Metrologia_Cientifica_-_aula_3-

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OUTRAS OPERAÇÕES COM ALGARISMOS 
SIGNIFICATIVOS
3) Radiciação, logaritmação, potenciação exponenciação, etc, 
e funções especiais trigonométricas, hiperbólicas, etc - “O 
resultado deve ser arredondado mantendo-se a mesma quantidade (ou 
número ) de algarismos significativos da medida que esta sofrendo a 
operação” 
INTRODUÇÃO À METROLOGIA 
CIENTÍFICA – AULA 3
 
Exemplo: Considere que, usando uma régua graduada em 
decímetros, foi medido o diâmetro de uma esfera, obtendo-se o 
valor d = 40,0 dm. Qual é o seu volume? 
O volume de uma esfera é dado pela expressão: V = (4πr3)/3, onde r 
é o raio da esfera. Como o diâmetro é o dobro do raio, isto é, d = 2r, 
então, V = [4π(d/2)3]/3 = (πd3/2)/3. 
Usando o π da calculadora, 
V = [π (40,0 dm)3 / 2] / 3 = 33510,321638 dm3 = 33,5 x103 dm3 = 
3,35 x104 dm3 = 3,35 x 101 m3 Resultado com 3 alg. Signif. 
 
INCERTEZAS, ERROS E DESVIOS
ATO DE MEDIR = UM ATO DE COMPARAR COM O OBJETIVO DE 
IDENTIFICAR O VALOR VERDADEIRO DE UMA GRANDEZA
A teoria de erros limita-se a estimar o erro máximo de que a medida pode ser 
acometida. O grau de certeza desta estimativa do erro depende, entre outras coisas, 
da quantidade de fatores que se levam em conta, e que têm influência no resultado 
das medidas.
“Não se pode medir uma grandeza física com precisão absoluta”, ou seja, 
“qualquer medição, por mais bem feita que seja, é sempre aproximada”
Um resultado de medida exprerimental deve sempre estar acompanhado de sua 
incerteza (erro ou desvio) 
este processo envolve erros de diversas origens!
- Erros dos instrumentos de medida
- erros dos operadores
- erros dos processos de medida
 
CLASIFICAÇÃO DOS ERROS
1) Erros de Escala: Alguns autores consideram este erro como sendo metade 
da escala. Em uma régua milimetrada este erro seria de 0,5 mm e, em uma régua 
centrimetrada seria dew 0,5 cm. Por exemplo, se alguém fizesse a leitura:
 583,4 mm, onde o algarismo duvidoso é o 4, poderia escrever: (583,4 + 0,5) mm 
2) Erros Sistemáticos: É aquele que perturba todas as medidas sempre da 
mesma forma, fazendo com que os valores obtidos se afastem do valor provável 
em um sentido definido, sempre para mais ou sempre para menos. Como o erro 
sistemático segue um certo comportamento padrão, é possível descobrir suas 
origem e eliminá-lo. Ex. Ponteiro de um medidor analógico que esteja torto ou 
descalibrado para a direita (sempre dará leituras maiores). Este tipo de erro deve-
se a falhas nos métodos empregados ou dos instrumentos de medida, como:
 
- Um instrumento mal calibrado ou usado a uma temperatura diferente daquela em 
que foi feita a sua calibração. Por exemplo: um relógio descalibrado que sempre 
adianta ou sempre atrasa.
- O tempo de resposta de um operador que sempre se adianta ou se atrasa nas 
observações.
- O operador que sempre superestima ou sempre subestima os valores das 
medidas.
3) Erros Indeterminados, acidentais, randômicos ou aleatórios: Não 
possuem valor definido, não são mensuráveis e flutuam de um modo aleatório. Por 
mais perfeito que seja o operador ou o processo de medição de uma grandeza, 
nunca deixaremos de contar com os fatores acidentais que afetam uma ou mais 
medidas. Esse erro é o resultado da soma de pequenas perturbações que são 
inevitáveis, tais como vibrações, calor, campos externos, oxidações, e outros 
fatores fora do controle do experimentador e, na maioria das vezes, de seu 
conhecimento. 
 
Esses erros são impossíveis de evitar, o que significa que temos que conviver 
com eles e aprender a tratá-los da maneira adequada.
Os principais fatores que implicam no aparecimento dos erros acidentais ou ao 
acaso são:
- Defeitos não sistemáticos de leitura (imperícia do operador).
- Variação da capacidade de avaliação, com o número de medidas efetuadas 
(cansaço).
- Variação da capacidade de avaliação ou da perícia, no caso da observação de 
uma mesma grandeza por vários observadores.
- Condições próprias dos aparelhos de medidas (certos aparelhos dão erros de 
paralaxe que variam com o tamanho da grandeza)
- Reflexos variáveis do operador (por exemplo no caso de apertar um 
cronômetro).
 
- Dificuldades na obtenção de certas medidas (ajuste do zero de uma escala, 
aplicação de um aparelho a uma peça em diferentes posições).
- Interesse do operador em obter medidas em situações diferentes para obtenção 
de um valor mais representativo de uma grandeza.
- Outros fatores não intencionais, tais que não possam ser considerados como falta 
grave de operação.
Os erros acidentais ou aleatórios podem ser minimizados pela perícia do operador, mas 
jamais eliminados por completo. Aos erros acidentais ou aleatórios são aplicados a 
teoria dos erros
4) Grosseiros: São aqueles provenientes de falhas grosseiras do 
operador, como:
1. Engano na leitura de medidas – o operador lê 10 no lugar de 100.
2. Troca de unidades. 
 
A maneira de eliminar este tipo de erro é sendo cuidadoso ao realizar as medidas.
 
PROPAGAÇÃO DE ERROS
Em soma (Z) ou subtração (S) o erro do resultado é a soma dos 
erros absolutos:
(Z ± ΔZ) = (X ± ΔX)+(Y ± ΔY)
= (X+Y) ± (ΔX+ΔY)
(S ±ΔS) = (X ±ΔX)-(Y ±ΔY)
= (X-Y) ±(ΔX+ΔY)
Ou
 
Portanto para soma e subtração (os erros se somam):
ΔS = ΔZ = ΔX+ΔY
S = S1 + S2 + S3 + ... + Sn
(S1 ± S1) + (S2 ± S2) = (S1 +S2 ) ± (S1 + S2 )
 
 
Em multiplicação e divisão são efetuadas a soma dos 
erros relativos para propagar o erro:
S/S = S1/S1 + S2/S2 + S3/S3 + ... + Sn/Sn
(S1 ± S1). (S2 ± S2)= S1.S2 ± S1.S2 ± S1.S2 ± S1.S2 
desprezando-se S1.S2 (muito pequeno) e colocando-se S1.S2 
em evidencia:
(S1 ± S1 ). (S2 ± S2 )= S1. S2 ± (S1.S2).(S1/S1 + S2/S2)
 
 
 
Erro máximo ou desvio das medidas
erro máximo = Δx = erroescala + errosistemático + errorandômico
O erro aleatório é desconhecido, ao contrário do erro de escala, que é bem conhecido. O erro aleatório não pode ser 
“consertado”, ao contrário do erro sistemático. Contudo, é fácil perceber que o erro máximo poderá ser dominado por 
um dos três tipos, por exemplo, se o erro de escala for bem maior do que os erros sistemático e randômico. 
Para tratar de erros aleatórios foram desenvolvidas teorias estatísticas, inicialmente por Gauss.
1 MEDIDA X VÁRIAS MEDIDAS
RESULTADO DA MEDIDA = VALOR OBSERVADO
- Obtenção de um valor adotado como melhor na representação da grandeza;
- obtenção de um limite de erro dentro do qual deve estar compreendido o valor aceito real. 
 
Algumas grandezas possuem seus valores reais conhecidos e 
outras não. Quando conhecemos o valor real de uma grandeza e 
experimentalmente encontramos um resultado diferente, dizemos 
que o valor obtido está afetado de um ERRO! ERRO DO VALOR!
ERRO ABSOLUTO (E) - é a diferença entre um valor 
obtido ao se medir uma grandeza 
e o valor real ou correto da mesma.
Matematicamente : erro = valor medido - valor real
E = X – Xv 
E = Erro absoluto X = valor medido Xv = Valor Verdadeiro
ERRO RELATIVO (Er) – é a razão entre o erro absoluto e o 
valor verdadeiro
Er = E/Xv 
 
Exemplo: Mediu-se os ângulos internos de um quadrilátero e obteve-se 361,4. 
Qual é o erro de que está afetada esta medida?
E = 361,4 – 360,0 = 1,4
Erro relativo = Er = E/Xv = 1,4/360 = 0,0039 = 0,39%
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