FE U2 TBase03 Algebra Booleana

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Álgebra Booleana
A álgebra booleana é a parte da matemática destinada à análise e projetos de sistemas lógicos. 
Seu criador foi o matemático inglês George Boole (1815-1864).
A álgebra booleana opera com variáveis que só podem assumir dois valores lógicos, usando para 
isso números binários. Assim, por exemplo, tanto a variável A, como a B e a Y podem assumir os 
valores 0 ou 1.
A álgebra booleana é aplicada aos sistemas digitais que também trabalham com dois estados ou 
níveis lógicos. Assim, para operar matematicamente dentro dos princípios da álgebra booleana, 
basta associar a um dos estados lógicos o valor binário 1 e ao outro estado o valor binário 0.
Os circuitos digitais mais complexos, desenvolvidos a partir de circuitos básicos, admitem 
geralmente simplificações, e consequentemente, uma diminuição do grau de dificuldade e do custo 
do sistema.
Para entrarmos no estudo da simplificação dos circuitos lógicos, é que faremos estudos sobre a 
álgebra de Boole, pois, é através de seus postulados, propriedades, teoremas fundamentais e 
identidades que efetuamos as mencionadas simplificações, e além disso, notamos que é na 
álgebra de Boole que estão todos os fundamentos da Eletrônica Digital.
Operações lógicas fundamentais
Três são as operações lógicas básicas na álgebra booleana:
Operação Expressão Lê-se
1. Multiplicação ou produto lógico - E A . B A e B
2. Adição ou soma lógica - OU A + B A ou B
3. Negação ou complementação - NÃO A A barrado ou não A
1. Operação produto lógico
A operação produto ou multiplicação lógica permite obter uma nova proposição (saída Y) a partir de 
duas ou mais proposições (variáveis A, B, C ...N), ligadas pela palavra E.
A expressão algébrica booleana da operação E de acordo com o enunciado é:
Y = A . B
A saída é igual a A e B. O ponto (.) significa E.
A expressão booleana da operação E com três variáveis será:
Y = A . B . C
A operação E é definida pela tabela a seguir.
A B Y (A . B)
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
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SENAI/SP
Texto Base 3 – Álgebra Booleana
Lembre-se de que a operação E , executada pela porta E, é a operação “tudo ou nada”. A porta E 
pode ter duas ou mais entradas e terá sempre uma única saída. Essa saída terá o estado 1 
somente quando todas as entradas tiverem o estado 1.
Propriedades da operação E
As propriedades da operação E e as respectivas expressões booleanas estão abaixo 
discriminadas:
• Propriedade associativa: A (BC) = (AB) C
• Propriedade comutativa: AB = BA
• Propriedade distributiva: A + (BC) = (A + B) (A + C)
A título de exemplo, vamos demonstrar como, através da tabela-verdade, pode-se provar a 
propriedade associativa da operação E.
A (BC) = (AB) C
Y Y
A B C (B . C) A (BC) (A . B) (AB) C
0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0
0 1 1 1 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0
1 0 1 0 0 0 0
1 1 0 0 0 1 0
1 1 1 1 1 1 1
Observação
As colunas em cinza - colunas dos resultados ou saída - apresentam, linha por linha, os mesmos 
valores. Isso prova que:
A (BC) = (AB) C
Identidades básicas - A operação E possui as seguintes identidades básicas:
1. A . 0 = 0
2. A . 1 = A
3. A . A = A
4. A . A = 0
Observação
É o postulado da multiplicação lógica que determina as regras da multiplicação booleana, ou seja:
(A) . (B) = (Y)
0 . 0 = 0
0 . 1 = 0
1 . 0 = 0
1 . 1 = 1
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SENAI/SP
Texto Base 3 – Álgebra Booleana
Vamos agora analisar cada identidade básica a partir desse postulado.
1. A . 0 = 0
Postula-se que todo número multiplicado por 0 (zero) é igual a 0 (zero). Temos assim as seguintes 
possibilidades:
(A) . (B) = (Y)
se A = 0 0 . 0 = 0
A = 1 1 . 0 = 0
Provamos com isso que A . 0 = 0
2. A . 1 = A
Demonstramos que 
(A) . (B) = (Y)
A = 0 0 . 1 = 0
A = 1 1 . 1 = 1
Portanto, A . 1 = A
3. A . A = A
Vamos demonstrar as duas possibilidades existentes:
(A) . (B) = (Y)
se A = 0 0 . 0 = 0
A = 1 1 . 1 = 1
Portanto, A . A = A
4. A . A = 0
Analisando as possibilidades, vemos que:
(A) . (B) = (Y)
se A = 0 e A = 1 0 . 1 = 0
 A = 1 e A = 0 1 . 0 = 0
Portanto, A . A = 0
2. Operação soma lógica
A operação soma ou adição lógica permite obter uma nova proposição (saída Y) a partir de duas 
ou mais proposições (variáveis A, B, C ...N), ligadas pela palavra OU.
A expressão algébrica booleana da operação OU de acordo com o enunciado é:
Y = A + B. 
A saída é igual a A ou B. O sinal (+) significa OU na álgebra de Boole.
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SENAI/SP
Texto Base 3 – Álgebra Booleana
A expressão booleana da operação OU com três variáveis será:
Y = A + B + C
A operação OU é definida pela tabela abaixo mostrada.
A B Y ( A + B)
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
1
É importante lembrar que a operação OU, executada pela porta OU, é a operação “qualquer ou 
todas”. A porta OU pode ter duas ou mais entradas e uma só saída. Esta saída terá o estado 1 
quando uma ou todas as entradas tiverem o estado 1.
Propriedades da operação OU
As propriedades da operação OU e as respectivas expressões booleanas estão abaixo 
discriminadas:
• Propriedade associativa: A + (B + C) = (A + B) + C
• Propriedade comutativa: A + B = B + A
• Propriedade distributiva: A (B + C) = AB + AC
A título de exemplo, demonstramos através da tabela-verdade a propriedade distributiva da 
operação OU: A (B + C) = AB + AC.
Y1 Y2
A B C (B + C) A (B + C) A . B A . C AB + AC
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 1 0 0 0 0
0 1 0 1 0 0 0 0
0 1 1 1 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 1 1 0 1 1
1 1 0 1 1 1 0 1
1 1 1 1 1 1 1 1
Observação
As colunas reticuladas - colunas dos resultados ou saídas - apresentam, linha por linha, os 
mesmos valores. Isso prova que:
A (B + C) = AB + AC
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SENAI/SP
Texto Base 3 – Álgebra Booleana
Identidades básicas
A operação OU possui as seguintes identidades básicas:
1. A + 0 = A
2. A + 1 = 1
3. A + A = A
4. A + A = 1
Observação
O postulado da adição determina as regras de adição dentro da álgebra booleana.
(A) + (B) = (Y)
1. 0 + 0 = 0
2. 0 + 1 = 1
3. 1 + 0 = 1
4. 1 + 1 = 1
Vamos então analisar cada identidade básica a partir desse postulado: 
1. A + 0 = A 
Vamos demonstrar as possibilidades.
(A) + (B) = (Y)
se A = 0 0 + 0 = 0
A = 1 1 + 0 = 1
O resultado será, portanto, sempre A.
2. A + 1 = 1
(A) + (B) = (Y)
se A = 0 0 + 1 = 1
A = 1 1 + 1 = 1
O resultado será sempre 1. Donde A + 1 = 1
3. A + A = A
Demonstrando:
(A) + (B) = (Y)
se A = 0 0 + 0 = 0
A = 1 1 + 1 = 1
Conclui-se que ao efetuar a soma lógica da mesma variável, o resultado será essa mesma variável.
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SENAI/SP
Texto Base 3 – Álgebra Booleana
4. A + A = 1
É possível demostrar que sempre que efetuarmos a soma lógica de uma variável ao seu 
complemento, o resultado será 1.
(A) + (B) = (Y)
se A = 0 e A = 1 0 + 1 = 1
 A = 1 e A = 0 1 + 0 = 1
3. Operação inversão
A operação lógica “inversão” ou “negação” ou “complementação” consiste em converter uma 
proposição dada numa proposição a ela oposta. A expressão algébrica booleana da operação NÃO 
de acordo com o enunciado é:
Y = A 
A saída Y é igual a não A.
A operação NÃO é definida pela seguinte tabela:
A Y ( A )
0 1
1 0
A operação inversão, executada pela porta NÃO, tem apenas uma entrada e uma saída. A saída terá 
o estado 1 quando a entrada for 0, pois a negação ou o oposto de 1 é 0.
Identidades básicas
São identidades básicas da operação NÃO:
(A) (B) = (Y)
1. A + A = 1
2. A . A = 0
3. A = A
Observação
Ao complemento de A, chamamos A (não A ou A barrado).
Desse modo, temos:
A = 0 A = 1
A = 1 A = 0
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SENAI/SP
Texto Base 3 – Álgebra Booleana
1. A + A = 1
Demonstraremos as duas possibilidades:(A) (B) = (Y)
se A = 0 e A = 1 0 + 1 = 1
A = 1 e A = 0 1 + 0 = 1
Portanto, A ou A = 1
2. A . A = 0 
(A) (B) = (Y)
se A = 0 e A = 1 0 . 1 = 0
A = 1 e A = 0 1 . 0 = 0
Portanto, A e A = 0
3. A = A (não não A = A)
Demonstrando:
se A = 0 A = 1; então, A = 0
Portanto A = A
Ou, A = 1 → A = 0, donde: A = 1
Portanto A = A
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SENAI/SP
Texto Base 3 – Álgebra Booleana
	Operações lógicas fundamentais
	1. Multiplicação ou produto lógico - E