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1 MAT001 Cálculo Diferencial e Integral 1 Oitava lista de exercícios 1. Em cada caso a seguir, calcule o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pelas curvas dadas em torno do eixo indicado: (a) .,02,0,1 2 xyxxxy eixodotornoeme ===+= (b) .,0 2 ,0, xyxxxseny eixodotornoeme =π=== (c) .2, === xxyxy detornoeme (d) . 2,2 === yxyxy detornoeme (e) entre x y 1= e o eixo x para 1≥x , em torno do eixo x . (f) ( método das cascas ) .,22 yxxyxxy eixodotornoeme −=−= 2. Calcule, usando integrais, o volume de um cone circular reto de raio da base r e altura h. 3. Verifique, por derivação, as seguintes integrais: (a) ∫ += Cxdxxtg |sec|ln (b) ∫ += Cxsendxx ||lncot (c) ∫ ++= Cxtgxdxx |sec|lnsec (d) ∫ ++−= Cxxdxx |cotseccos|lnseccos 4. Calcule as seguintes integrais trigonométricas: (a) (b) ∫ dxxxsen 23 cos dxxsenx∫ 45cos (c) (d) ∫ ∫ dxx4cos dxxtgx2sec (e) (f) ∫ ∫ dxxxtg sec3 dxxtgx 44sec (g) (h) ∫ dxxtg2 ∫ dxxxsen cos3 (i) (sugestão: use integração por partes) ∫ dxx3sec 1 2 5. Faça uma substituição trigonométrica para calcular as seguintes integrais: (a) dx x x∫ + 92 3 (b) ∫ − 25 xx dx (c) ∫ + 162x dx (d) ∫ − 922 xx dx (e) dx x x∫ −42 25 (e) dxxx∫ − 22 4 6. Calcule a área limitada pela hipérbole e a reta . 3649 22 =− yx 3=x 7. Um toro é gerado pela rotação do círculo ( ) 222 ryax =+− ao redor do eixo y ( a)r <<0 . Calcule o volume limitado por esse toro. Respostas:1) a) π 15 206 b) π c) π 15 8 d) π 15 8 e) π f) 3 π 4) a) C xx +− 3 cos 5 cos 35 b) C xsenxsenxsen ++− 97 2 5 975 c) C xsenxsenx +++ 32 4 4 2 8 3 d) C x ouC xtg ++ 2 sec 2 22 e) Cx x +− sec 3 sec3 f) C x xtgxtg ++ 75 5 g) Cxxtg +− h) C xx x +⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − 3 cos 7 cos cos2 3 i) ( ) Cxtgxxtgx +++ |sec|lnsec 2 1 5) a) ( ) C xx ++− 3 918 22 b) Cxx +⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −+− 255ln||ln 5 1 c) Cxx +⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ++ 216ln d) C x x +− 9 92 e) ( ) C x x +− 3 32 75 25 f) ( ) Cxxxxarcsen +−−+⎟⎠⎞⎜⎝⎛ 22 424122 6) ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +− 2 53 ln6 2 59 7) 222 arπ 2 Oitava lista de exercícios
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