Exercícios de Cálculo com Integrais

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Na análise matemática, o Teorema de Fubini, em homenagem a Guido Fubini, é um resultado que fornece condições sob as quais é possível calcular uma integral dupla por meio de integrais iteradas. Como consequência, ele permite a inversão da ordem de integração em integrais iteradas. 
 
Utilizando-o, calcule a integral dupla a seguir sabendo que R é uma região que consiste em todos os pontos (x,y) para os quais -1 ≤ x ≤ 2 e 1 ≤ y ≤ 3:
A
23.
B
21.
C
24.
D
22.
2Umas das primeiras aplicações de integrais duplas e tripas que é estudada é o cálculo de volume de um sólido. Utilizando as propriedades de integral dupla temos que o volume de um sólido é dado pela integral dupla:
A
94,5 unidades de volume.
B
45 unidades de volume.
C
103,5 unidades de volume.
D
40,5 unidades de volume.
3
As integrais duplas são usadas para calcular o volume abaixo de uma superfície, e podem ser calculadas pelo processo das somas de Riemann ou utilizando o Teorema de Fubini.   
Sabendo disso, determine o volume do sólido que se encontra abaixo do plano 3x + 2y + z = 12 e acima do retângulo :
A
922
B
952
C
50
D
895
4O momento de inércia de um corpo é o grau de dificuldade que o corpo tem de alterar o seu estado de movimento. Podemos calcular o momento de inércia em torno do eixo x e do eixo y. Determine o momento de inércia de um disco homogêneo com centro (0, 0) e raio igual a 2 e com densidade f (x, y) = 3 em torno do eixo x:
A
6 pi.
B
8 pi.
C
12 pi.
D
4 pi.
Tabela de Derivada e Integral - Cálculo
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5Umas das primeiras aplicações de integrais duplas que é estudada é o cálculo de volume de um sólido de base retangular. Utilizando integral dupla temos que o volume do sólido cuja base retangular no plano xy limitado por:
A
30.
B
7,5.
C
0.
D
15.
6
Há uma relação para escrever uma integral dupla em coordenadas polares. 
Assinale a alternativa CORRETA que apresenta essa relação (transformação) para cada x e y, utilizando-se novas vaiáveis de coordenadas polares:
A
x = r sen (θ); y = r cos (θ)
B
x = r cos (θ); y = r sen (θ)
C
x = r sen (θ); y = t cos (θ)
D
x = t sen (θ); y = t cos (θ)
7O momento de inércia de um corpo é o grau de dificuldade que o corpo tem de alterar o seu estado de movimento. Podemos calcular o momento de inércia em torno do eixo x e do eixo y. Determine o momento de inércia de um disco homogêneo com centro (0, 0) e raio igual a 2 e com densidade f (x, y) = 2 em torno do eixo y:
A
12 pi.
B
4 pi.
C
8 pi.
D
18 pi.
8Um dos Teoremas mais utilizados para calcular integrais duplas e triplas é o Teorema de Fubini, ele nos permite inverter a ordem de integração. Essa mudança na ordem de integração pode em certas integrais diminuir a quantidade de cálculos necessários para a resolução. Utilizando o Teorema de Fubini, concluímos que o valor da integral:
A
É igual a - 3.
B
É igual a 5.
C
É igual a 6.
D
É igual a 0.
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Exercícios envolvendo integrais duplas podem ser resolvidos por meio de integrais iteradas. 
Nesse sentido, assinale a alternativa CORRETA que apresenta o teorema que fornece condições de calcular uma integral dupla, de regiões não retangulares, através de integrais iteradas:
A
Teorema de Fubini.
B
Teorema de Compartilhamento.
C
Teorema de Newton.
D
Teorema de Iteração.
10A coordenada cilíndrica é muito utilizada para calcular integrais triplas. Esse sistema de coordenadas é baseado no sistema de coordenadas polares, pois caso fizéssemos uma projeção do ponto para o plano xy poderíamos utilizar o sistema de coordenadas polares. Calcule a integral tripla da função
A
12
B
54
C
81
D
27