Aula de Calculo 1Limite 1

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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I
Profª Heloisa Laura Queiroz Gonçalves da Costa
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LIMITE ???
Velocidade Média 
Vm= 			P0		Pf
Velocidade Instantânea
		P0=Pf isto é ΔS = 0 e Δt = 0
O que fazer ???
	Precisamos aproximar o ponto final do ponto inicial de forma a distância ficar ínfima e então a velocidade instantânea será “prevista”.
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Outro exemplo da aplicação de limite!!!
Cálculo de áreas:
A=
A?		
				 	A ~ Σ ARetângulos
					quando aumenta-se a 					quantidade de retângulos a 
					soma fica cada vez mais 
					próxima do valor real da área.
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Noção intuitiva de Limite
Exemplo 1: f(x) = 4x – 4
Observe que quando aproximamos x de 2 (por valores maiores e menores) o resultado de f(x) tende ao número 4
				
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Noção intuitiva de Limite
Exemplo 2: f(x) =
 
				
Observe que quando x tende a 3 a função tende a 6
OBS: a existência do limite independe da função estar ou não definida no ponto
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Noção intuitiva de Limite
Exemplo 3: f(x) = x2 – 9x + 18 , se x 4 
			 4 , se x = 4
				
Observe que quando aproximamos x de 4 (por valores maiores e menores) o resultado de f(x) tende ao número (-2)
 OBS: a existência do limite independe da função estar ou não definida no ponto e nem sempre o limite é igual ao valor da função no ponto 
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Definição formal de limite
Seja f uma função definida no intervalo aberto (a,b), com a possível exceção em x0∈ (a,b).
Seja L ∈ R, diz-se que o limite de f, para x tendendo a x0, é L
e indica-se	lim f(x) = L
			x→ x0
Se dado ε > 0 existe δ > 0 tal que para todo x pertencente ao domínio da função f,
se 0 < | x - x0 | < δ então |f(x) – L| < ε 
Observe que a existência do limite independe da função estar ou não definida no ponto
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Exemplos
Exemplo 1:
	lim f(x) = lim (x – 4) = ( 3 – 4 ) = (– 1) 
	x→ 3	 x→ 3
Exemplo 2:
	lim f(x) = lim (x2 – 9x + 18) = ( 42 – 9.4 + 18) = (– 2)
 x→ 4	 x→ 4
Exemplo 3:
lim f(x) = lim = lim 
x→ 3	 x→ 3 	 x→ 3	 	 	 	 
= lim (x + 3)= (3+3) = 6
 x→ 3
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Propriedades de Limites
Suponha que lim f(x) = L e lim g(x) = M, então:
 xx0 x x0
1) lim [f(x) ± g(x)] = lim f(x) ± lim g(x) = L ± M
 x x0		 x x0 x x0
	O limite da soma é a soma dos limites.
	O limite da diferença é a diferença dos limites.
2) lim [ c. f(x) ] = c. lim f(x) = c.L (c é uma constante qualquer)
 x x0	 x x0
	O limite do produto de um escalar por uma função é o escalar vezes o limite da função.
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Propriedades de Limites (continuação)
Suponha que lim f(x) = L e lim g(x) = M, então:
 xx0 x x0
3) lim f(x). g(x) = lim f(x) . lim g(x) = L . M
 x x0 x x0 x x0
	O limite do produto é o produto dos limites.
4) Se lim g(x) = M  0, então lim = = 
	 x x0 			 x x0 		
	O limite do quociente é o quociente dos limites desde que o limite da função do denominador não seja zero.
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Propriedades de Limites (continuação)
5) lim  f(x)n  =  lim f(x)  n = Ln (n inteiro ou racional positivo)
 xx0 xx0
6) lim |f(x)|= | lim f(x) | = | L | 
 xx0 xx0
	O limite do módulo é o módulo do limite.
7) lim c = c (c é uma constante qualquer) 
 x x0
	O limite de uma constante é a própria constante.
8) lim x = x0
 x x0 
 
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Limites Laterais
	Se x aproxima-se de xo através de valores maiores que xo, ou pela sua direita, escrevemos 
		lim f(x) (chamado de limite lateral à direita de x0)
		xx0+ 
 	Se x aproxima-se de xo através de valores menores que x0, ou pela sua esquerda, escrevemos 
		lim f(x) (chamado de limite lateral à esquerda de x0)
		xx0- 
	TEOREMA: O limite de f(x) para x → x0 existe se, e somente se, os limites laterais à direita e à esquerda são iguais, ou seja
		lim f(x) = L = lim f(x) 			lim f(x) = L
		xx0+	 xx0- 		 xx0
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Exemplos envolvendo
Limites Laterais
Exemplo 1:
Verifique a existência do limite lim f(x) 
						 x 4 
f(x) = x2 – 9x + 18 , se x > 4 
		2 – x , se x 4
	
lim f(x) = lim (x2 – 9x + 18) = (-2) 
x 4+	 x 4+
lim f(x) = lim (2 – x ) = (-2) 
x 4-	 x 4-
lim f(x) = (-2)
x 4
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Exemplos envolvendo
Limites Laterais
Exemplo 2:
Verifique a existência do limite lim f(x) 
						 x 2 
f(x) = x2 – 9x + 8 , se x > 2 
		x + 2 , se x 2
	
lim f(x) = lim (x2 – 9x + 8) = (-6) 
x 2+	 x 2+
lim f(x) = lim (x + 2) = 4 
x 2-	 x 2-
lim f(x)
x 2
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Exemplos envolvendo
Limites Laterais
Exemplo 3:
Verifique a existência do limite lim f(x) 
						 x 1 
f(x) = x – 1 , se x < 1 
		1 – x , se x > 1
	
lim f(x) = lim (x – 1) = 0 
x 1-	 x 1-
lim f(x) = lim (1 – x) = 0 
x 1+	 x 1+
lim f(x) = 0
x 1
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Exemplos envolvendo
Limites Laterais
Exemplo 4:
Verifique a existência do limite lim f(x) 
						 x 4 
f(x) = x2 – 9x + 18 , se x > 4 
		x – 6 , se x < 4
		0 , se x = 4
	
lim f(x) = lim (x2 – 9x + 18) = (-2) 
x 4+	 x 4+
lim f(x) = lim (x – 6 ) = (-2) 
x 4-	 x 4-
lim f(x) = (-2)
x 4
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Exemplos envolvendo
Limites Laterais
Exemplo 5:
Verifique a existência do limite lim f(x) 
						 x 4 
f(x) = x2 – 9x + 18 , se x > 4 
		x – 2 , se x < 4
		5 , se x = 4
	
lim f(x) = lim (x2 – 9x + 18) = (-2) 
x 4+	 x 4+
lim f(x) = lim (x – 2 ) = 2 
x 4-	 x 4-
lim f(x) 
x 4
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OBSERVAÇÃO IMPORTANTE
	A existência do limite independe da função estar ou não definida no ponto e nem sempre o limite é igual ao valor da função no ponto.
	O limite pode ou não existir mesmo que a função esteja definida no ponto.
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