Calculo I Parte III

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Unidade 3
Regras de Derivação
Gabriela Faria Barcelos Gibim
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Sumário
Unidade 3
Regras de Derivação ...................................................................................... 5
Seção 1
Derivada do produto e quociente ..................................................... 6
Seção 2
Regra da cadeia .................................................................................14
Seção 3
Derivada exponencial e logarítmica...............................................22
Seção 4
Derivadas trigonométricas e derivadas sucessivas .......................29
Unidade 3
Regras de Derivação
Convite ao estudo
Com a introdução do estudo de derivadas na unidade anterior, você 
aprendeu que a derivada se refere à taxa de variação instantânea e à incli-
nação da reta tangente num ponto. Também viu que a definição de derivadas 
usa a noção de limite e pode ser calculada por esse meio, mas, como foi visto, 
os cálculos de derivadas podem ser simplificados com o uso de fórmulas já 
estabelecidas. Portanto, é fundamental conhecer as funções e as regras de 
derivação existentes para aplicá-las corretamente. Afinal, as derivadas são 
muito usadas em áreas como a engenharia, ciência, economia, medicina e 
ciência da computação para, por exemplo: calcular a velocidade e a acele-
ração, explicar o funcionamento de máquinas, estimar a diminuição do nível 
da água quando ela é bombeada para fora de um tanque, prever as consequ-
ências de erros cometidos durante as medições, dentre outras situações. Ou 
seja, o conhecimento das regras de derivação é importante para facilitar a 
resolução de situações-problema em várias áreas. 
Para auxiliar no conhecimento dos fundamentos de cálculo que são 
necessários à formação do profissional da área de exatas e atender aos 
objetivos específicos do tema em questão, Regras de Derivação, vamos 
relembrar a situação hipotética apresentada nas Unidades 1 e 2. Esta situação 
visa aproximar os conteúdos teóricos com a prática.
João está cursando a faculdade de matemática e irá participar de um 
processo seletivo de uma empresa multinacional para trabalhar como estagi-
ário. Para tanto, precisa realizar um teste a fim de mostrar que é capaz de 
compreender e resolver problemas ligados ao nosso cotidiano. A empresa 
entende que o profissional, dependendo de sua qualificação, pode atuar em 
diversas áreas. Em todas elas, a facilidade em lidar com a matemática é funda-
mental, principalmente no que diz respeito ao estudo, agora, de derivadas. 
Portanto, João terá que resolver situações-problema que tratam de entender 
a interdependência de várias coisas ao nosso redor, das mais simples às mais 
complexas, como valor de despesas de uma família, número de indivíduos de 
uma população, cálculo de velocidade, aceleração etc.
6
Seção 1
Derivada do produto e quociente
Diálogo aberto
No estudo que você vem desenvolvendo sobre derivada, você já percebeu 
que é possível calcular a derivada de uma função por meio de sua definição 
(o cálculo que envolve limites) e de uma forma mais simplificada, que é pelo 
uso de fórmulas definidas.
Vamos voltar à situação hipotética apresentada no Convite ao estudo? 
Uma das situações-problema apresentadas pela empresa para João resolver 
foi a seguinte: uma companhia telefônica quer estimar o número de novas 
linhas residenciais que deverá instalar em um dado mês. No início de janeiro 
tinha 100.000 assinantes, cada um com 1,2 linhas, em média. A compa-
nhia estimou o crescimento das assinaturas a uma taxa mensal de 1000. 
Pesquisando os assinantes existentes, descobriu que cada um pretendia 
instalar uma média de 0,01 linha telefônica nova até o final daquele mês. 
Estime o número de novas linhas que a companhia deverá instalar até o final 
de janeiro calculando a taxa de crescimento das linhas no começo do mês.
Não pode faltar
Regra do produto 
Diferentemente da regra de derivação para soma de funções, a derivada 
do produto não é produto das derivadas. Por exemplo, se ( )f x x= e 
( ) 2g x x= , temos que ( )( ) 22fg x x= e, usando a regra da potência, 
( ) ( )' 4fg x x= . Mas ( )' 1f x = e ( )' 2g x = e assim ( ) ( )' ' 2f x g x× = . Portanto, 
( ) ( ) ( ) ( )' ' 'fg x f x g x¹ × . A regra do produto diz que a derivada do produto de 
duas funções é o produto da primeira função pela derivada da segunda mais 
o produto da segunda pela derivada da primeira. Essa regra será válida se 
ambas as funções forem diferenciáveis. Considerando ( )f x como a primeira 
função e ( )g x como a segunda função, pela regra temos:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )d d df x g x f x g x g x f x
dx dx dx
é ù é ù é ù× = +ê ú ê ú ê úë û ë û ë û 
Lembre-se que uma função ( )f x é diferenciável se existir o limite em x , isto é:
( ) ( ) ( )
0
lim
h
df x f x h f x
dx h®
+ -
= , que é o mesmo que escrever: 
7
( ) ( ) ( )
0
' lim
h
f x h f x
f x
h®
+ -
= 
A partir de agora usaremos apenas a segunda nomenclatura.
Ao aplicar a definição da regra do produto na segunda nomencla-
tura temos:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0
' lim
h
f x h g x h f x g x
f x g x
h®
+ × + - ×é ù× =ê úë û
Vamos desenvolver esse limite para chegarmos a uma fórmula que facilite 
o nosso cálculo. Para isso, vamos subtrair e adicionar ( ) ( )f x h g x+ × no 
numerador, logo:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0
' lim
h
f x h g x h f x h g x f x h g x f x g x
f x g x
h®
+ × + - + × + + × - ×é ù =ê úë û
Colocando ( )f x h+ e ( )g x em evidência:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0
' lim
h
g x h g x f x h f x
f x g x f x h g x
h h®
é ù+ - + -ê úé ù× = + × + ×ê ú ê úë û ê úë û
Aplicando as regras de limites para produtos:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0 0 0 0
' lim lim lim lim
h h h h
g x h g x f x h f x
f x g x f x h g x
h h® ® ® ®
+ - + -é ù× = + × + ×ê úë û
Observe que 
0
lim ( ) ( )
h
f x h f x
®
+ = , 
0
( ) ( )lim '( )
h
g x h g x g x
h®
+ -
= e 
0
( ) ( )lim '( )
h
f x h f x f x
h®
+ -
= . Assim: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
'
' 'f x g x f x g x g x f xé ù× = × + ×ê úë û
Exemplificando
Seja a função ( ) ( )25h x x sen x= × . Neste caso podemos escrever a 
função h como produto de duas funções ( ) 25f x x= e ( ) ( )g x sen x= . 
Então, aplicando a regra do produto teremos:
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2
2
'( ) 5 5
5 cos 10
h x fg x x sen x x sen x
x x x sen x
¢¢¢ = = × + ×
= × + ×
Regra do quociente
Analogamente, a derivada de quociente não é simplesmente o quociente 
das derivadas. Vamos dar um exemplo prático. Sejam ( ) 4f x x= e ( )g x x= . 
8
Temos que ( )
4
3f xx x
g x
æ ö÷ç ÷ = =ç ÷ç ÷çè ø
 e, portanto, ( )
'
23f x x
g
æ ö÷ç ÷ =ç ÷ç ÷çè ø
. Por outro lado, 
( ) 3' 4f x x= e ( )' 1g x = . Logo, ( )
( )
( )
'
3' 4
f x fx x
g x g
æ ö÷ç ÷= ¹ç ÷ç ÷çè ø
. “A regra do quociente 
diz que a derivada de um quociente é o denominador vezes a derivada do 
numerador menos o numerador vezes a derivada do denominador, todos 
divididos pelo quadrado do denominador” (STEWART, 2016, p. 169). 
Escrevendo matematicamente essa frase, temos:
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
2
d dg x f x f x g xf xd dx dx
dx g x g x
é ù é ù-é ù ê ú ê úë û ë ûê ú =ê ú é ùê úë û ê úë û 
E usando a outra notação temos: 
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
2
'
' 'f x g x f x f x g x
g x g x
æ ö -÷ç ÷ç =÷ç ÷ç ÷ç é ùè ø ê úë û
 
Como foi apresentado para a regra do produto, observe como é possível 
chegar a esse resultado ao usar adefinição de derivadas usando limite:
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )0 0
'
lim lim
h h
f x h f x
f x g x h g x f x h g x f x g x h
g x h h g x g x h® ®
+
-é ù + + × - × +ê ú = =ê ú × × +ê úë û
Para transformar a última fração em uma equivalente que facilite o 
cálculo da derivada vamos subtrair e adicionar ( ) ( )f x g x× ao numerador, logo:
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )0
'
lim
h
f x f x h g x f x g x f x g x f x g x h
g x h g x g x h®
é ù + × - × + × - × +ê ú =ê ú × × +ê úë û
 
Colocando ( )f x h e 
( )g x
h em evidência temos: 
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )0
'
lim
h
f x h f x g x h g x
g x f x
h hf x
g x g x g x h®
é ù é ù+ - + -ê ú ê ú× - ×ê ú ê úé ù ê ú ê úë û ë ûê ú =ê ú × +ê úë û
Aplicando as regras de limites para produtos, temos:
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
0 0 0 0
0 0
' lim lim lim lim
lim lim
h h h h
h h
f x h f x g x h g x
g x f xf x h h
g x g x g x h
® ® ® ®
® ®
+ - + -
× - ×é ù
ê ú =ê ú × +ê úë û
Note que agora aparece a definição de derivada por limite de f e g . 
Substituindo a notação de derivada:
9
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
0 0
0 0
' lim ' lim '
lim lim
h h
h h
g x f x f x g xf x
g x g x g x h
® ®
® ®
é ù é ù-é ù ê ú ê úë û ë ûê ú =ê ú × +ê úë û
Assim, falta resolver os limites restantes e obter fórmula final para a regra 
do quociente:
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
2
'
' 'f x g x f x f x g x
g x g x
é ù × - ×ê ú =ê ú é ùê úë û ê úë û
Exemplificando
Considere ( ) ( )3 4
sen x
h x
x x
=
-
. Note que a função h pode ser escrita como 
quociente de duas funções:
( ) ( )f x sen x= e ( ) 3 4g x x x= - . Temos que ( ) ( )cosf x x¢ = e 
( ) 23 4g x x¢ = - . Então, utilizando a regra do produto:
( )
( ) ( )3 2
23
' 4 cos 3 4
( )
4
x x x sen x xfh x x
g x x
é ù é ùæ ö - × - × -ê ú ê ú÷ ë û ë ûç¢ ÷= =ç ÷ç ÷ç é ùè ø -ê úë û
Sem medo de errar
Após o estudo de derivada, vamos resolver a situação-problema apresen-
tada ao João? Vamos relembrar! Uma companhia telefônica quer estimar o 
número de novas linhas residenciais que deverá instalar em um dado mês. No 
início de janeiro tinha 100.000 assinantes, cada um com 1,2 linhas, em média. 
A companhia estimou o crescimento das assinaturas a uma taxa mensal de 
1000. Pesquisando os assinantes existentes, descobriu que cada um pretendia 
instalar uma média de 0,01 linha telefônica nova até o final daquele mês. 
Estime o número de novas linhas que a companhia deverá instalar até o final 
de janeiro calculando a taxa de crescimento das linhas no começo do mês.
Solução:
Seja ( )s t o número de assinantes e ( )n t o número de linhas telefônicas 
por assinante em um instante t , sendo que t é medido em meses e 0t = 
corresponde ao início de janeiro. Então, o número total de linhas ( )L t é dado 
pelo número de assinantes multiplicado pelo número de linhas por assinante, 
ou seja, ( ) ( ) ( )L t s t n t= × .
10
O problema pede para estimar o número de novas linhas que a compa-
nhia deverá instalar até o final de janeiro calculando a taxa de crescimento 
das linhas no começo do mês, que consiste em calcular o ( )' 0L . Lembre-se 
que a derivada é uma taxa de variação num dado instante.
• Dados do problema:
– Assinantes em janeiro ( )0 100.000sÞ = .
– Número de linhas por assinantes em janeiro ( )0 1,2nÞ = .
– Taxa de crescimento mensal de assinantes ( )' 0 1000sÞ @ .
– Taxa de crescimento de novas linhas por assinante ( )' 0 0,01nÞ = .
Como a função ( ) ( ) ( )L t s t n t= × é o resultado do produto de duas funções, 
sabemos que a derivada de ( )L t pode ser calculada pela regra do 
produto como:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )' ' 'L t s t n t s t n t= × + ×
Substituindo os dados na equação da derivada, tem-se:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )' 0 0 ' 0 ' 0 0L s n s n= × + ×
( )' 0 100000 0,01 1000 1,2L = × + ×
( )' 0 1000 1200L = +
( )' 0 2200L = 
A companhia precisou instalar aproximadamente 2200 novas linhas 
telefônicas no mês de janeiro.
Veja que nesse exemplo não havia uma função definida, mas os números 
estimados. Mas mesmo assim foi possível resolver o problema. Além disso, 
perceba que os dois termos que aparecem na regra do produto vêm de fontes 
diferentes: os antigos e os novos assinantes. Portanto, 'L é o resultado do 
número de assinantes existentes vezes a taxa na qual eles ordenam novas 
linhas mais o número médio de linhas por assinante vezes a taxa de cresci-
mento dos assinantes.
11
Avançando na prática
Equação da reta tangente
Encontre a equação da reta tangente e da reta normal ao gráfico de 
3
1
x xy
x
+
=
-
 no ponto de abscissa 2.
Resolução da situação-problema
Primeiramente, temos que a equação da reta é dada por 0 0( )y y m x x- = - , 
onde 0 0,x y são pontos conhecidos e m é a inclinação da reta. Se a reta é 
tangente no ponto ( )0 0,x y , m é dada pela derivada da função nesse ponto. 
Então, a equação da reta tangente ao gráfico de 
3
1
x xy
x
+
=
-
 no ponto de 
abscissa 2 é dada por: ( ) ( ) ( )2 ' 2 2y f f x- = × - .
Observemos, inicialmente, que ( )
32 2 8 22 10
2 1 1
f + += = =
-
.
Para encontrar o coeficiente angular da reta no ponto de abscissa 2x = , temos:
( )
( ) ( ) ( )
( )
2 3
2
3 2 3
2
3 2
2
3 1 1 1
'
1
3 3 1
2 1
2 3 1
2 1
x x x x
f x
x
x x x x x
x x
x x
x x
+ × - - + ×
=
-
- + - - -
=
- +
- -
=
- +
Portanto, ( ) ( ) ( )
2 8 3 4 1 16 12 1' 2 3
4 4 1 1
f
× - × - - -
= = =
- +
.
Assim, a equação da reta tangente procurada é:
( )10 3 2y x- = × -
3 4y x= +
Para encontrar a equação da reta normal à curva no ponto (2,10), lembramos 
que ela é perpendicular à reta tangente nesse ponto. Logo, o coeficiente angular 
da normal é o oposto do inverso do coeficiente angular da reta tangente.
Assim a reta normal tem equação:
( )110 2
3
y x- =- × -
file:///C:/Users/vinicius.bastos/Desktop/LDI%202019.2/C%c3%a1lculo%20Diferencial%20e%20Integral/javascript:;
file:///C:/Users/vinicius.bastos/Desktop/LDI%202019.2/C%c3%a1lculo%20Diferencial%20e%20Integral/javascript:;
12
1 2 10
3 3
y x=- + +
1 32
3 3
y x=- +
Faça valer a pena
1. Marque a alternativa que apresenta a derivada da função 1
5 3
y
x
=
-
 no 
ponto 1x = .
a. 5'
64
y = .
b. 4'
5
y =- . 
c. ' 1y =- .
d. 5'
4
y = .
e. 5'
64
y =- .
2. Para simplificar ou facilitar o processo de derivação foram desenvol-
vidas regras de diferenciação ou de derivação de diferentes tipos de funções: 
polinomiais, racionais, algébricas, exponenciais, logarítmicas, trigonomé-
tricas e inversas trigonométricas.
Ao utilizar a regra do produto na derivação da função ( ) ( )22 3 5y x x x= - × - , 
foi encontrado como solução:
a. 26 26 15x x- + .
b. 212 26 15x x- + .
c. 224 26x x- .
d. 232 26x x- .
e. 264 26x - .
3. Aplicando a regra do quociente na função 2 3
5
xy
x
-
=
+
, é encontrada qual 
solução?
a. 2
3'
5
xy -= .
b. 
( )2
13'
5
y
x
=
+
 . 
13
c. 
( )2
13'
5
y
x
=-
+
. 
d. 
( )2
5'
5
xy
x
+
=
+
 .
e. 
( )2
5'
3
xy
x
+
=
-
 .
14
Seção 2
Regra da cadeia
Diálogo aberto
A partir de agora iremos ampliar nossos estudos sobre as regras de 
derivação. Veremos nesta seção conhecimentos sobre regra da cadeia, pois 
as regras de derivação discutidas na seção anterior não são suficientes para 
calcularmos as derivadas de todas as funções na prática. 
Vimos na seção anterior que o estudo das derivadas, além de proporcionar 
uma visão sobre o comportamento da função num determinado instante, 
prevê o entendimento e a correta aplicação das regras de derivação. É por isso 
que o estudo do cálculo diferencial passa pelo estudo de funções primeiro. 
Afinal, as regras de derivação devem ser usadas levando-se em consideração 
o tipo de função a ser derivada, existindo, inclusive regras específicas para 
determinadas funções.
Agora, vamos voltar à situação hipotética apresentada no Convite 
ao estudo?
Uma das situações-problema apresentadas pela empresa para João 
resolver foi a seguinte: suponha que o engenheiro da empresa tenha um carro 
econômicoque faça 20 km por litro de combustível. Sabe-se que a quilome-
tragem que pode ser alcançada sem reabastecer é uma função do número de 
litros que há no tanque de combustível. Se cada litro de combustível custa 4 
reais no posto favorito do engenheiro, qual a quilometragem obtida por real 
gasto em combustível? Considere que a quantidade de combustível dispo-
nível no tanque é uma função da quantia de dinheiro gasto no abastecimento.
Não pode faltar
Definição de função composta
Dadas duas funções f e g , a função composta f g (também chamada 
de composição de f e g ) é definida por ( )( ) ( )( )f g x f g x= .
O domínio de f g é o conjunto de todos os x no domínio de g , tal que 
( )g x está no domínio de f . Em outras palavras, ( )( )f g x está definida 
sempre que tanto ( )g x quanto ( )( )f g x estiverem definidas.
15
Em geral, f g g f¹  . Lembre-se de que a notação f g significa que a 
função g (interna) é aplicada primeiro e depois f (função externa) é 
aplicada. 
Para derivar uma função composta ( )( )f g x em x será necessário efetuar 
a derivada de f em ( )g x multiplicada pela derivada de g em x . Essa obser-
vação é conhecida como a regra da cadeia, a qual vamos conhecer agora.
Regra da cadeia
Considere a função ( ) 3 12 xh x += . Lembrando a regra para derivar a função 
( ) xf x a= , temos que ( ) ( )lnxf x a a¢ = × . Contudo, devemos observar que o 
expoente da função ( ) 3 12 xf x += não é simplesmente x , mas a função 
( ) 3 1g x x= + . Se recordarmos do conceito de derivada como taxa de variação 
de uma função, será possível perceber que aplicar a regra de derivação para 
funções do tipo ( ) xf x a= 
para uma função tal como ( ) 3 12 xh x += não levará 
em conta esta taxa de variação dada pelo expoente ( ) 3 1g x x= + (note que 
este expoente varia três vezes mais rápido que o expoente apenas x da função 
( ) xf x a= ). Assim, precisamos de uma outra estratégia para derivar funções 
como ( ) 3 12 xh x += . Veja que esta é uma função composta de duas outras 
funções, a saber, ( ) 2xf x = e ( ) 3 1g x x= + . Então, a função composta 
( )( ) ( )( )f g x f g x= é igual a ( )( ) ( )( ) 3 12 ( )xf g x f g x h x+= = = . Até o presente 
momento não sabemos como efetuar a derivada de ( )( ) ( )( )f g x f g x= de 
uma forma prática. A regra da cadeia é justamente esta regra prática e está 
apresentada a seguir. 
Regra da cadeia: suponha que a função g seja diferenciável em x e a 
função f seja diferenciável em ( )g x . A derivada da função composta 
( )( ) ( )( )f g x f g x= é dada por ( ) ( ) ( )( ) ( )f g x f g x g x¢ ¢ ¢= × .
Temos uma outra notação que pode facilitar o entendimento. Escrevendo 
( )u g x= , temos que a derivada da função composta é:
( )d f g df dg
dx du dx
=

Podemos traduzir em palavras a regra da cadeia assim: a derivada da 
função composta ( )( ) ( )( )f g x f g x= é igual a obter o produto da derivada 
f ¢ em relação a ( )u g x= pela derivada g ¢ em relação a x.
A Figura 3.1 ilustra em um diagrama a regra da cadeia.
16
Figura 3.1 | Taxa de variação múltipla
Fonte: adaptada de Thomas (2013, p.180) .
Vamos voltar para o exemplo que estávamos explorando: 3 1( ) 2 xh x += . 
Considere as funções ( ) 2xf x = e ( ) 3 1g x x= + . Temos que: ( ) ( )' 2 ln 2xf x = e 
( ) 3g x¢ = .
Note que '( ( ))f g x significa que, no lugar de x , vai ser substituído o valor 
de ( )g x , então, 3 1'( ( )) 2 ln2xf g x += + . Portanto:
( ) ( ) ( )( ) ( )f g x f g x g x¢ ¢ ¢= × = ( ) ( )3 1 3 12 ln 2 3 3ln 2 2x x+ +× × =
Vejamos alguns exemplos da regra da cadeia.
Exemplificando
Encontre a derivada para a função composta ( )( ) ( )( )f g x f g x= , 
onde:
• ( ) 3 25 7 3 11f x x x x= - + - e ( ) ( )g x sen x= .
• ( ) ( )5f x cos x= e ( ) 25 3 2g x x x= - + .
1. Para obter a derivada da composta ( )( )f g x primeiro derivamos 
a função ( )f x , calculamos esta derivada na função ( )g x e multi-
plicamos este resultado pela derivada da função ( )g x . Vejamos:
A derivada da função ( )f x é: ( ) 215 14 3f x x x¢ = - + .
Substituímos a função ( ) ( )g x sen x= na expressão apresentada e 
obtemos: ( )( ) ( ) ( )215 14 3f g x sen x sen x¢ = - + .
A derivada da função ( )g x é ( ) ( )cosg x x¢ = .
Finalmente:
( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
2
15 14 3 cos
15 cos 14 cos 3cos
f g x f g x g x
sen x sen x x
sen x x sen x x x
¢ ¢ ¢= ×
é ù= - + ×ê úë û
= - +

17
2. Efetuamos a derivada ( ) ( )5f x sen x¢ =- e calculamos esta 
derivada na função ( )g x :
( )( ) ( )25 5 3 2f g x sen x x¢ =- - + .
Agora efetuamos ( ) 10 3g x x¢ = - . Então:
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )25 5 3 2 10 3f g x f g x g x sen x x x¢ ¢ ¢= × =- - + × -
Aplicações da regra da cadeia
Imagine que na indústria de embalagens da qual você faz parte do quadro 
societário são utilizadas máquinas em uma das etapas de produção das 
embalagens cujo custo de produção (em milhares de R$), em função da 
energia elétrica necessária (em kWh), é dado pela função ( ) 0,329C E E= , 
onde E representa a energia elétrica. Considere que a função que associa uma 
determinada quantidade q de embalagens a serem produzidas com a energia 
elétrica necessária seja ( ) 9500 125E q q= + . Qual a taxa de variação no custo 
de produção quando são produzidas 1000 embalagens? 
Note que a derivada de ( )C E é medida em R$/kWh e a derivada de ( )E q 
é medida em kWh/unidades de embalagens produzidas. Ao multiplicarmos 
as duas derivadas teremos (R$/kWh)*(kWh/unidades) = R$/unidades, ou 
seja, avaliaremos a taxa de variação do custo em termos da quantidade de 
embalagens produzidas.
Para determinar a taxa de variação do custo de produção em termos 
da variação na quantidade de embalagens produzidas devemos derivar a 
função composta:
( )( ) ( )( ) 0,329 9500 125C E q C E q q= = +
Para tal, usaremos a regra da cadeia:
( ) 0,329 0,329
2 2 9500 125
C E
E q
¢ = =
+
 e ( ) 9500E q¢ =
Então, pela regra da cadeia:
( ) ( ) ( )( ) ( ) 0,329 9500 3125,5
2 9500 125 2 9500 125
C E q C E q E q
q q
×¢ ¢ ¢= × = =
+ +

Agora basta substituirmos 1000q= na expressão apresentada: 
( ) ( )( ) ( )'(1000) 1000 1000
3125,5
2 9500 1000 125
3125,5
2 9500125
0,51 R$/unidade
C E C E E¢ ¢= ×
=
× +
=
@

18
Portanto, ao produzir 1000 embalagens, o custo de produção varia em 
torno de R$ 0,51 por unidade.
Assimile
Você pode entender a regra da cadeia para derivar a função composta 
( )( ) ( )( )f g x f g x= da seguinte forma: derivamos a função “de fora” 
calculada na função “de dentro” e multiplicamos pela derivada da 
função “de dentro”.
Sem medo de errar
Após o estudo da regra da cadeia, vamos resolver a situação-problema 
apresentada ao João? Vamos relembrar! 
Suponha que um engenheiro da empresa tenha um carro econômico que 
faça 20 km por litro de combustível. Se cada litro de combustível custa 4 reais 
no posto favorito do engenheiro, qual a quilometragem obtida por real gasto 
em combustível? Considere que a quantidade de combustível disponível no 
tanque é uma função da quantia de dinheiro gasto no abastecimento. 
Solução:
• Sabe-se que a quilometragem que pode ser alcançada sem reabas-
tecer é uma função do número de litros que há no tanque de combus-
tível. Em símbolos, se y for o número de quilômetros que pode ser 
alcançado e u for o número de litros de combustível disponíveis, 
então y é uma função de u , ou ( )y f u= .
• Considerando que a quantidade de combustível disponível no tanque 
é uma função da quantia de dinheiro gasto no abastecimento, se x 
for o número de reais pagos no abastecimento, então ( )u g x= .
• Então, o número de quilômetros que pode ser percorrido pode ser 
expresso em uma função composta, que expressa a quilometragem 
rodada em relação ao valor abastecido em reais, ou seja: 
( ) ( )( )y f u f g x= = .
• 20 quilômetros por litro é a taxa de variação da quilometragem em 
relação ao combustível gasto, logo: ( )' 20dyf u
du
= = quilômetros 
por litro.
• Como cada combustível custa 4 reais porlitro, cada real fornece 1 4 
de litro de combustível, ou seja, ( ) 1'
4
dug x
dx
= = litro por real.
19
• A quilometragem obtida por real gasto em combustível é dy
dx
.
• Logo, temos pela regra da cadeia que: 
dy dy du
dx du dx
= ×
• Substituindo os valores que temos, obtemos 
20 1 20 5 /
1 4 4
km litro km km real
litro reais reais
× = =
Avançando na prática
Epidemia
Uma cidade x é atingida por uma moléstia epidêmica. Os setores de 
saúde calculam que o número de pessoas atingidas pela moléstia depois de 
um tempo t (medido em dias a partir do primeiro dia da epidemia) é, 
aproximadamente, dado por:
( ) ( ) ( ) ( )
3
2 22 3
1 964 1 1
3 4
t
N t t t
+
= + - + +
Qual é a função que descreve a taxa de variação com que essa epidemia 
cresce em função dos dias?
Resolução da situação-problema
Vamos calcular por partes. Primeiro, vamos escrever ( )N t como soma de 
três funções, ou seja: ( ) ( ) ( ) ( )N t f t g t h t= + + , onde ( ) ( )2264 1f t t= + , 
( )31
( )
3
t
g t
+
=- e ( ) ( )239 1
4
h t t= + . Vamos chamar de 2 1u t= + , então
( )22 2( ) 64 1 64f t t u= + = .
Assim:
( ) ( )2 2128 2 128 1 2 256 1df df du u t t t t t
dt du dt
= = × = + = +
Agora, chamando de 1v t= + , temos que ( )
3 31
( )
3 3
t vg t
+
=- =- . Logo:
( )22 1 1dg dg dv v t
dt dv dt
= =- × =- +
Por fim, ( )
3 2
239 9( ) 1
4 4
vh t t= + = e, portanto:
20
3 3
9 2 1 31
4 3 2 1
dh dh dv
dt dv dt v t
= = × =
+
Logo:
( ) ( )22 3
3256 1 1
2 1
dN df dg dh
dt dt dt dt
t t t
t
= + +
= + - + +
+
Faça valer a pena
1. Dadas as funções ( ) 4f x x= e ( ) 2 1g x x= - .
Marque a alternativa correta que apresenta ( )( )y f g x= e 'y , respectiva-
mente.
a. ( )32 1y x= + e ( )3' 4 2 1y x= + . 
b. ( )42 1y x= - e ( )3' 8 2 1y x= - .
c. ( )32 1y x= - e ( )3' 8 2 1y x= - .
d. ( )42 1y x= - e ( )3' 4 2 1y x= - .
e. ( )22 1y x= - e ( )3' 2 2 1y x= - .
2. O desenvolvimento da regra da cadeia foi considerado pelos matemáticos 
um método simples para realizar derivações de funções compostas, o que 
facilita ainda mais a análise e entendimento das taxas de variações.
Ao aplicar a regra da cadeia na função composta ( ) 3xf x e= foi encontrada a 
derivada i igual a:
a. 29 xe . 
b. 33 xe× .
c. 3xe .
d. 2xe .
e. xe .
3. Complete a afirmativa com a alternativa correta:
A regra da cadeia afirma que a derivada composta de duas funções é a 
derivada da função _____________ calculada na função ______________, 
vezes derivada da função ______________.
21
a. de fora; de dentro; de dentro.
b. de dentro; de fora; de dentro.
c. de fora; de fora; de dentro.
d. de dentro; de dentro; de fora. 
e. de fora; de fora; de fora.
22
Seção 3
Derivada exponencial e logarítmica
Diálogo aberto
Nesta seção você irá aprender a derivar as funções exponenciais 
e logarítmicas.
Vale lembrar que os logaritmos e exponenciais são extremamente úteis 
para resolver problemas que ocorrem em situações diversas, como economia, 
previsão de enchentes, crescimento populacional, abalos sísmicos, entre 
várias outras. Portanto, o estudo dessas funções é muito importante; elas 
aparecem em diversas análises que um engenheiro por exemplo precisa fazer. 
Agora observe que saber derivar as funções é fundamental em engenharia, 
afinal, em quantas situações um engenheiro não precisa encontrar a taxa 
de variação instantânea? Então, aproveite a oportunidade e aprofunde seus 
conhecimentos. 
Vamos voltar à situação hipotética apresentada no Convite ao estudo? 
Uma das situações-problema apresentadas pela empresa para João resolver 
foi a seguinte: considere uma população de bactérias em um meio nutriente 
homogêneo. Suponha que, tomando amostras da população em certos inter-
valos, determina-se que ela duplica a cada hora. Considere que a população 
inicial é de 0 100n = bactérias, qual é a taxa de crescimento depois de 4 horas?
Figura 3.2 | População de bactérias
Fonte: iStock.
23
Não pode faltar
Derivada de função logarítmica
Para entendermos a derivada de uma função logarítmica vamos conhecer 
o segundo limite fundamental:
1 1lim 1 lim 1
x x
x x
e
x x®¥ ®-¥
æ ö æ ö÷ ÷ç ç+ = = +÷ ÷ç ç÷ ÷÷ ÷ç çè ø è ø
Fazendo uma mudança de variável 1v
x
= , obtemos o seguinte limite: 
( )
1
0
lim 1 v
v
v e
®
+ =
Para demonstrar essa mudança de variável, vamos substituir 1x
v
= no 
segundo limite fundamental. Assim, teremos que:
( )
1
0
1lim 1 lim 1
x
v
xv
v e
x+ ®¥®
æ ö÷ç+ = + =÷ç ÷÷çè ø
 , então x ®¥ se 0v +® 
( )
1
0
1lim 1 lim 1
x
v
xv
v e
x- ®-¥®
æ ö÷ç+ = + =÷ç ÷÷çè ø
 , então x ®-¥ se 0v -®
Como os limites laterais são iguais, podemos concluir que o limite existe. 
Agora, podemos aplicar a definição de derivada a partir de limites da 
seguinte maneira:
( ) ( )
0
ln ln
ln lim
h
x h xd x
dx h®
+ -
= 
 
0
1lim ln
h
x h
h x®
æ ö+ ÷ç= ÷ç ÷÷çè ø
, aplicando a propriedade dos logaritmos ln ln ln aa b
b
æ ö÷ç æ ö÷ç ÷ç ÷÷ç - = ç ÷÷ç ç ÷÷ç ÷ç è øè ø
 
0
1lim ln 1
h
h
h x®
æ ö÷ç= + ÷ç ÷÷çè ø
 , fazendo h vx= , então 0v ® quando 0h®
 ( )
0
1lim ln 1
v
v
vx®
= + , como x está fixo nesse cálculo ele pode ser movido
( )
0
1 1lim ln 1
v
v
x v®
= + pela propriedade da potência ln ln
a
ba x x
b
æ ö÷ç = ÷ç ÷÷çè ø
( )
1
0
1 lim ln 1 v
v
v
x ®
= + , como lnx é contínua é possível mover o limite
( )
1
0
1 ln lim 1 v
v
v
x ®
é ù= +ê ú
ë û
 , usando o segundo limite fundamental
 1 lne
x
= , lembrando que ln 1e =
1
x
=
24
Portanto, podemos concluir que ( ) 1lnd x
dx x
= . Lembrando que podemos 
fazer a mudança de base para logaritmo, isto é, loglog
log
b
a
b
x
x
a
= , onde b é uma 
base arbitrária. Então, escolhendo b e= e sabendo que log lne x x= , temos:
( ) ( )ln 1log ln
ln lna
d d x dx x
dx dx a a dx
æ ö÷ç= =÷ç ÷÷çè ø
E, portanto, ( ) 1log , 0
lna
d x x
dx x a
= > .
Exemplificando
Calcule a derivada da função ( )2ln 1y x= + .
Para resolver essa derivada será necessário usar a regra da cadeia 
estudada na seção anterior. Então, vamos escrever a função y em 
termos de uma função composta. Fazendo ( ) lnf x x= e 2( ) 1g x x= + , 
temos:
( )( ) ( ) ( )2 21 ln 1y f g x f x x= = + = +
Dessa construção podemos calcular a derivada pela regra da cadeia: 
( )( ) ( ) ( )
'
' 'f g x f z g xé ù = ×ê úë û ou 
dy df dg
dx dz dx
= × ,
com ( )z g x= . Então tem-se:
2dg dz x
dx dx
= = , 
1df dy
dz dz z
= =
Substituindo os valores na fórmula da regra da cadeia:
2
1 2
2
1
dy df dg
dx dz dx
dy x
dx z
dy x
dx x
= ×
= ×
=
+
Derivada de função exponencial
Quando aplica-se a definição de derivada a ( ) xf x a= , podemos observar 
que a derivada é um múltiplo constante do próprio xa : 
( ) ( ) ( )
0
' lim
h
f x h f x
f x
h®
+ -
=
 
0
lim
x h x
h
a a
h
+
®
-
= , utilizando a propriedade do produto ( )x y x ya a a+ =
25
0
lim
x h x
h
a a a
h®
-
= , colocando xa em evidência
( )
0
1
lim
x h
h
a a
h®
-
= , xa é uma constante
0
1lim
h
x
h
aa
h®
-
=
Observe que o limite é o valor da derivada de f em zero, isto é,
( )
0 0
0 0
1lim lim ' 0
h h
h h
a a a f
h h
+
® ®
- -
= = 
Mas também temos que 
0
1lim ln
h
h
a a
h®
-
= , logo:
( )' lnxf x a a=
Quando a e= , tem-se:
( ) ( )' ln 'x xf x e e f x e= Þ = ou ( )x xd e e
dx
=
Outra forma de ser definida a função exponencial é escrever x como 
logaritmo, isto é, logx ay a x y= Þ = .
Derivando os dois lados em relação a x :
( )loga
d dx y
dx dx
= pela regra de derivação de logaritmos que vimos, temos:
11
ln
dy
y a dx
=
lndy y a
dx
= como xy a= , então ao substituir tem-se: 
lnxdy a a
dx
= , ou seja, chegamos no mesmo resultado.
Derivada da função exponencial composta
Seja ( )u x função derivável, aplicando a regra da cadeia podemos genera-
lizar as proposições:
1. ( )0, 1 ' ln 'u uy a a a y a a u= > ¹ Þ = × × .
2. ' 'u uy e y e u= Þ = × .
3. 'log '
lna
uy u y
u a
= Þ = .
4. 'ln ' uy u y
u
= Þ = .
26
Exemplificando
Calcule a derivada da função ( )ln 1 2 xy = .
Para resolver essa derivada seránecessário usar a regra da cadeia, 
como ocorreu no primeiro exemplo. Então, vamos separar as funções 
menores que compõem a função y .
( )( ) ( )
( )
z g x
y f g x
y f z
ìï =ï= Þíï =ïî
1( ) '( )
2
g x x g x
x
= Þ =
( ) ( )1 1 1ln ' ln
2 2 2
z z
f z f z
æ ö æ ö÷ ÷ç ç= Þ =÷ ÷ç ç÷ ÷÷ ÷ç çè ø è ø
Substituindo os valores na fórmula da regra da cadeia:
1 1 1ln
2 2 2
zdy df dg
dx dz dx x
æ öæ ö ÷÷ çç ÷= = ×÷ çç ÷÷ ç÷ç ÷çè ø è ø
Substituindo z :
1 1 1' ln
2 2 2
x
y
x
æ öæ ö ÷÷ çç ÷= ÷ çç ÷÷ ç÷ç ÷çè ø è ø
Sem medo de errar
Após estudo de derivada, vamos resolver a situação-problema apresen-
tada a João? 
Considere uma população de bactérias em um meio nutriente homogêneo. 
Suponha que, tomando amostras da população em certos intervalos, deter-
mina-se que ela duplica a cada hora. Considere que a população inicial é de 
0 100n = bactérias, qual é a taxa de crescimento depois de 4 horas?
Solução:
Se a população inicial for 0n e o tempo for medido em horas, então:
( ) ( ) 01 2 0 2f f n= =
( ) ( ) 2 02 2 1 2f f n= =
( ) ( ) 3 03 2 2 2f f n= =
E, em geral, a função da população é 0( ) 2tf t n= .
Portanto, a taxa de crescimento da população de bactérias no tempo t é:
27
( )0 02 2 ln2t t
df d n n
dt dt
= =
Considerando a população 0 100n = bactérias, a taxa de crescimento 
depois de 4 horas será de:
4100 2 ln2 1600 ln2 1109dn
dt
= × = @
Assim, depois de 4 horas, a população de bactérias está crescendo a uma 
taxa de aproximadamente 1109 bactérias por hora.
Avançando na prática
Boato
Sob certas circunstâncias, um boato se propaga de acordo com a equação 
( ) 11 ktp t ae-
= + , onde ( )p t é a proporção da população que já ouviu o boato 
no tempo t e a e k são constantes positivas.
Qual a taxa de espalhamento do boato?
Resolução da situação-problema
Vamos calcular a derivada da função p . Precisamos utilizar a regra da 
cadeia. Vamos chamar de 1( ) 1 xf x ae
= + e ( )g t kt=- , assim ( ) ( ( ))p t f g t= . 
Logo: 
( )' '( ( )) '( )p t f g t g t=
( )
( )2 2 2
'
kt kt
kt ktkt
ae ake kp t k
a e aeae
- -
- --
=- ×- = =
Faça valer a pena
1. Em que ponto da curva xy e= sua reta tangente é paralela a 2y x= ?
a. ( )( )ln 2 ,2 .
b. ( )( )2, ln 2 .
c. ( )( ), lnx x .
d. ( )( )ln ,x x .
28
e. ( )( ), ln 2e .
2. Marque a alternativa correta:
a. ( )3 3 ln 3xd
dx
= × .
b. 3 3x xd e e
dx
= .
c. ( )3
1log
ln3
d x
dx
= .
d. ( ) ( )log logd x x e e x
dx
× = × × .
e. ( ) ( )2 5 5log 2 log ln(5)
d xx x x x
dx
× = + .
3. Considerando ( ) ( )4 lnf x x x= - o valor de ( )' 1f será:
a. 3 .
b. 2 .
c. 4 .
d. 1 .
e. 14 .
29
Seção 4
Derivadas trigonométricas e derivadas 
sucessivas
Diálogo aberto
As funções trigonométricas são usadas em modelos de fenômenos do 
mundo real. Em particular: as vibrações, ondas, movimentos elásticos e 
outras grandezas que variem de maneira periódica podem ser descritos utili-
zando-se as funções trigonométricas.
Assim, iremos enfatizar o estudo da derivada das funções trigonomé-
tricas e também das derivadas sucessivas. Apresentaremos os seus conceitos e 
aplicações. Então, aproveite a oportunidade e aprofunde seus conhecimentos.
Vamos voltar à situação hipotéica apresentada no Convite ao estudo? 
Uma das situações-problema apresentadas pela empresa para João resolver 
foi a seguinte: um engenheiro está desenvolvendo um projeto. Para tanto, 
pendura um peso em uma mola que é puxado para baixo a 5 unidades da 
posição de repouso e liberado no instante 0t = para que oscile para cima e 
para baixo. Sabe-se que a posição do peso em qualquer instante t posterior é:
( )5coss t=
Para realização do projeto o engenheiro precisa saber quais são a veloci-
dade e a aceleração do peso no instante t . E agora, como João poderá resolver 
esse problema? Ajude-o a encontrar a velocidade e a aceleração do peso no 
instante t .
Figura 3.3 | Sistema massa-mola
Fonte: http://efisica.if.usp.br/mecanica/ensinomedio/elasticidade/experimento/. Acesso em: 26 ago. 2019.
http://efisica.if.usp.br/mecanica/ensinomedio/elasticidade/experimento/
30
Não pode faltar
Derivadas das funções trigonométricas: ( )sen x e ( )cos x
Para calcularmos a derivada da função ( )y sen x= , vamos utilizar da 
definição de limites e da seguinte propriedade:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )cos cossen x h sen x h x sen h+ = +
Assim, vamos ter o seguinte desenvolvimento:
( ) ( )
0
lim
h
sen x h sen xdy
dx h®
+ -
= (definição da derivada)
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
0
cos cos
lim
h
sen x h x sen h sen x
h®
+ -
= (propriedade)
( ) ( )( ) ( ) ( )
0
cos 1 cos
lim
h
sen x h x sen h
h®
- +
=
( ) ( ) ( ) ( )
0 0
cos 1
lim lim cos
h h
h sen h
sen x x
h h® ®
æ ö æ ö- ÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç= × + ×÷ ÷ç ç÷ ÷÷ ÷ç çè ø è ø
( ) ( ) ( ) ( )
0 0
cos 1
lim cos lim
h h
h sen h
sen x x
h h® ®
-
= × + ×
Temos que ( )
0
lim 1
h
sen h
h®
= e:
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
0 0
2
0
2
0
0
0
cos 1 cos 1 cos 1
lim lim
cos 1
cos 1
lim
cos 1
lim
cos 1
lim
cos 1
lim1
cos 1
0
1 1
0
h h
h
h
h
h
h h h
h h h
h
h h
sen h
h h
sen h sen h
h h
sen h
h
® ®
®
®
®
®
- - +
=
+
-
=
+
-
=
+
=-
+
=- ×
+
=-
+
=
Portanto, podemos concluir que a derivada da função seno é a 
função cosseno.
31
( )( ) ( )cosd sen x x
dx
=
Exemplificando
Calcule a derivada da função 
( )sen x
y
x
= .
( )( ) ( )
2
1d sen x x sen xdy dx
dx x
× - ×
= (regra do quociente)
( ) ( )
2
cosx x sen x
x
-
=
Para o cálculo da função cosseno, vamos utilizar da propriedade da 
fórmula da soma do ângulo:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )cos cos cosx h x h sen x sen h+ = -
Assim, para a função cosseno teremos o seguinte desenvolvimento:
( )( ) ( ) ( )
0
cos cos
cos lim
h
x h xd x
dx h®
+ -
= (definição de derivada)
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
0
cos cos cos
lim
h
x h sen x sen h x
h®
- -
=
( ) ( )( ) ( ) ( )
0
cos cos 1
lim
h
x h sen x sen h
h®
- -
=
( ) ( ) ( ) ( )
0 0
cos 1
limcos lim
h h
h sen h
x sen x
h h® ®
-
= × - ×
( ) ( ) ( ) ( )
0 0
cos 1
cos lim lim
h h
h sen h
x sen x
h h® ®
-
= × - ×
( ) ( )cos 0 1x sen x= × - ×
( )sen x=-
Assim a derivada da função cosseno é a oposta da função seno.
( )( ) ( )cosd x sen x
dx
=-
Exemplificando
Calcule a derivada da função ( ) ( )cosy sen x x= .
( ) ( )( ) ( ) ( )cos cosdy d dsen x x x sen x
dx dx dx
= + (regra do produto)
32
( ) ( )( ) ( )( )cos cossen x sen x x= - +
2 2cos x sen x= -
Derivada das demais funções trigonométricas
Como as demais funções trigonométricas são definidas a partir do seno e 
cosseno, podemos usar as regras de derivação para encontrar suas derivadas. 
Todas essas fórmulas podem ser demonstradas através da utilização da 
definição de derivadas ou podem ser demonstradas por meio da regra do 
produto ou do quociente, aplicando as regras às relações:
( ) ( )
( )cos
sen x
tg x
x
= ; ( ) ( )
( )
cos
cot
x
g x
sen x
= ; ( )
( )
1sec
cos
x
x
= ; ( )
( )
1cos ecs x
sen x
=
Exemplificando
Calcule a derivada da função 
( )
( )
sec
1
x
y
tg x
=
+
.
( )
( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )
( )( )2
1 sec sec 1
'
1
d dtg x x x tg x
dx dxf x
tg x
+ - +
=
+
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )( )
2
2
1 sec sec sec
1
tg x x tg x x x
tg x
+ - ×
=
+
( ) ( ) ( ) ( )( )
( )( )
2 2
2
sec sec
1
x tg x tg x x
tg x
+ -
=
+
( ) ( )( )
( )( )2
sec 1
1
x tg x
tg x
-
=
+
Na última igualdade foi utilizada a identidade
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 21 sec sec 1tg x x tg x x+ = Þ - =- .
Derivadas sucessivas
Seja f uma função diferenciável, então sua derivada 'f também é uma 
função, de modo que 'f pode ter sua própria derivada, denotando da 
seguinte maneira: ( )' ' ''f f= . A função ''f é chamada de segunda derivada 
ou derivada de ordem dois de f . Usando a notação de Leibniz temos a 
segunda derivada de ( )y f x= como: 
33
2
2
d dy d y
dx dx dx
æ ö÷ç =÷ç ÷÷çè ø
 ou 
2
2
d df d f
dx dx dx
æ ö÷ç =÷ç ÷÷çè ø
De forma análoga, podemos calcular a derivada de ordem 3, ordem 4 etc.
Exemplificando
Calcule a segunda derivada da função 3y x x= - .
Já sabemosque ( ) 2' 3 1f x x= - . Calculando a derivada de novo, temos
( )'' 6f x x= .
A derivada de uma função indica a ocorrência de variações em um certo 
intervalo e se este está apresentando um crescimento ou decrescimento:
• Quando 'f for maior que zero em um certo intervalo, então f será 
crescente neste intervalo.
• Quando 'f for menor que zero em um certo intervalo , então f será 
decrescente neste intervalo.
E para a segunda derivada dessa função, o crescimento ou decrescimento 
seguirá a mesma tendência da primeira derivada, ou seja:
• Quando ''f for maior que zero em um certo intervalo, então 'f será 
crescente neste intervalo.
• Quando ''f for menor que zero em um certo intervalo, então 'f será 
decrescente neste intervalo.
A derivada de uma função representa a taxa de variação, então a derivada 
segunda será a taxa de variação de uma taxa de variação. Quando a derivada 
segunda é positiva, a sua taxa de variação em relação a f será crescente e, 
quando a derivada segunda é negativa, a sua taxa de derivação será decrescente.
Sem medo de errar 
Após o estudo de derivada, vamos resolver a situação-problema apresen-
tada a João? Vamos relembrar! Um engenheiro está desenvolvendo um 
projeto. Para tanto, pendura um peso em uma mola que é puxado para baixo 
a 5 unidades da posição de repouso e liberado no instante 0t = para que 
oscile para cima e para baixo. Sabe-se que a posição do peso em qualquer 
instante t posterior é:
( )5coss t=
34
Para realização do projeto o engenheiro precisa saber quais são a veloci-
dade e a aceleração do peso no instante t . E agora, como João poderá resolver 
esse problema? Ajude-o a encontrar a velocidade e a aceleração do peso no 
instante t .
Solução:
Primeiro, precisamos retomar alguns conceitos de física. Quando temos 
a função posição, a derivada dela resulta em função velocidade. E quando 
deriva a função velocidade, temos a função aceleração. Então:
• Posição: ( )5coss t= .
• Velocidade: ( )( ) ( )5cos 5ds dv t sen t
dt dt
= = =- .
• Aceleração: ( )( ) ( )5 5cosdv da sen t t
dt dt
= = - =- .
Assim, com o passar do tempo, o peso se desloca para cima e para baixo 
entre 5s =- e 5s = no eixo s . A amplitude do movimento é 5. O período do 
movimento é 2p , que é o período da função cosseno.
E, por fim, a velocidade ( )5v sen t=- atinge sua maior magnitude 5 , 
quando ( ) 1sen t =± . Assim, o módulo da velocidade do peso ( )5v sen t= é 
o máximo quando ( )cos 0t = , isto é, quando ( ) 1sen t =± . Isso ocorre quando 
2
t p=± , nas extremidades do intervalo do movimento. (THOMAS, 2012).
Avançando na prática
Velocidade e aceleração
Um corpo em uma mola vibra horizontalmente sobre uma superfície lisa. 
Sua equação de movimento é ( ) ( )8x t sen t= , onde t está em segundos e x , 
em centímetros. Encontre a velocidade e a aceleração do corpo na posição de 
equilíbrio 2
3
t p= .
35
Figura 3.4 | Mola vibrando horizontalmente
Fonte: http://www.alunosonline.com.br/fisica/forca-elastica.html. Acesso em: 26 ago. 2019.
Solução:
Vamos calcular a derivada da função x .
( )'( ) 8cosx t t= é a função velocidade. Assim:
2 2 1' 8cos 8 4
3 3 2
x p p
æ ö æ ö æ ö÷ ÷ ÷ç ç ç= = × - =-÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷÷ ÷ ÷ç ç çè ø è ø è ø
Se derivar mais uma vez a função x , obtemos a função aceleração, ou 
seja: ( )''( ) 8x x sen t=- . Logo:
2 2 3'' 8 8 4 3
3 3 2
x senp p
æ ö æ ö÷ ÷ç ç=- =- × =-÷ ÷ç ç÷ ÷÷ ÷ç çè ø è ø
Faça valer a pena
1. Para a função ( )2y sen x= marque a alternativa que mostra a derivada 
dessa função.
a. ( )' 2y sen x= .
b. ( )' 2cosy x=- .
c. ( )2' 2 cosy x x= .
d. ( )2' cosy x x= .
e. ( )' 2 cosy x x= .
2. Considere a função ( ) ( )2cos 2 1 3y x x sen x= + - - .
Marque a alternativa que mostra a derivada dessa função.
a. ( ) ( ) ( )2' 2 2 cos 2 1 3cosy x x x x= - - + - - .
b. ( ) ( ) ( )2' 2 2 2 1 3cosy x sen x x x= - - + - - .
http://www.alunosonline.com.br/fisica/forca-elastica.html
36
c. ( ) ( ) ( )2' 2 2 2 1 3y x sen x x sen x= - - + - - .
d. ( ) ( ) ( )2' 2 2 2 1 3cosy x sen x x x= + + - - .
e. ( ) ( ) ( )2' 2 2 cos 2 1 3cosy x x x x= + + - - .
3. Se ( ) 4 3 23 2 4 2f x x x x x= - + - + , então a derivada de quarta ordem de f 
será igual a:
a. 0 .
b. 72 .
c. 1 .
d. 72 12x- .
e. 236 12 2x x- + .
Referências
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Bookman, 2012. 1168 p.
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Makron Books, 2000.
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de Janeiro: LTC, 1999. 216 p.
GONÇALVES, Mirian Buss; FLEMMING, Diva Marilia. Cálculo A. 2. ed. São Paulo: Pearson, 
2006. 435 p.
GOLDSTEIN, Larry; LAY, David; SCHNEIDER, David. Matemática Aplicada (Economia, 
Administração e Contabilidade). 8. ed. Porto Alegre: Bookman, 2000. 
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1997. 481 p.
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várias variáveis). São Paulo: Editora Saraiva, 2003. 408 p.
SIMMONS, George F. Cálculo com Geometria Analítica. Volume 1. São Paulo: Makron 
Book, 1987.
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TAN, S. T. Matemática Aplicada a Administração e Economia. 2. ed. São Paulo: Thomson, 
2001. 
THOMAS, George B et al. Cálculo Volume 1. 10. ed. São Paulo: Pearson Addison Wesley, 2012. 
570 p.
WEBER, Jean. Matemática para Economia e Administração. São Paulo: Editora Harbra, 1986.