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1 FGV/EPGE - Mestrado em Finanças e Economia Empresarial Disciplina: Estatística/2014 - Professor: Eduardo Lima Campos 2. PROBABILIDADE (CONCEITOS E LEIS BÁSICAS) Os 3 conceitos fundamentais da teoria da probabilidade são os seguintes: 1 - Experimento Aleatório 2 - Espaço Amostral 3 - Evento. Cada um deles é apresentado e exemplificado a seguir. Notas de Aula - Professor Eduardo Lima Campos. Um experimento aleatório é uma ação cujo resultado não pode ser previsto. Exemplos: 2.1 - Lançar um dado e observar a face que fica voltada para cima. 2.2 - Selecionar uma bolinha de uma urna com bolinhas vermelhas e azuis e verificar sua cor. Experimento Aleatório Embora o resultado de um experimento aleatório não possa ser pré-determinado, é possível descrever o conjunto dos resultados que podem ocorrer. Este conjunto é chamado espaço amostral. Notas de Aula - Professor Eduardo Lima Campos. O espaço amostral associado a um experimento aleatório é o conjunto de todos os seus possíveis resultados. Notação: S. No exemplo 2.1 – S = {1,2,3,4,5,6}. No exemplo 2.2 – S = {´azul`,´vermelha`}. Espaço Amostral Um evento é um subconjunto do espaço amostral. No exemplo 2.1, alguns possíveis eventos são: A = ´face par` = {2,4,6}; B = ´face>3` = {4,5,6}; C = ´face=2` = {2}. Evento Notas de Aula - Professor Eduardo Lima Campos. 2 FGV/EPGE - Mestrado em Finanças e Economia Empresarial Disciplina: Estatística/2014 - Professor: Eduardo Lima Campos Um evento ocorre quando o resultado do experimento é um ponto que pertence a ele. Exemplos com os eventos do slide anterior: Se a face observada foi o 5, dizemos que B ocorreu, Se a face observada foi o 4, dizemos que A e B ocorreram, e assim por diante... • União e Interseção de Eventos No exemplo 2.1, considere os eventos: A: ´Face par` = {2,4,6} B: ´Face > 3` = {4,5,6} Notas de Aula - Professor Eduardo Lima Campos. O evento ´A ou B ocorre` é dado pela união do evento A com o evento B. A∪B = {2,4,5,6}. Notas de Aula - Professor Eduardo Lima Campos. O evento ´A e B ocorrem` é dado pela interseção do evento A com o evento B. A∩B = {4,6}. Seja A um evento definido em um espaço amostral S. A probabilidade de A, denotada por P(A), é uma função que satisfaz aos 3 Axiomas que são apresentados a seguir. Probabilidade – Definição Propriedades da Probabilidade: 1) 0 ≤ P(A) ≤ 1, p/ todo A definido em S. 2) P(S) = 1. 3) P(A∪B) = P(A) + P(B), se A∩B = ∅. Axiomas da Probabilidade quanto mais perto de 1, maior a probabilidade de que A ocorra. este é um evento especial, chamado evento certo. O Axioma 3 pode ser generalizado para mais de 2 eventos. Por exemplo, P(A∪B∪C) = P(A)+P(B)+P(C), se os 3 pares possíveis têm interseções vazias. • Atribuição de Probabilidades Se os elementos do espaço amostral são todos equiprováveis, a probabilidade de um evento A é obtida da seguinte forma: S# A#)A(P = casos favoráveis ao evento A casos possíveis 3 FGV/EPGE - Mestrado em Finanças e Economia Empresarial Disciplina: Estatística/2014 - Professor: Eduardo Lima Campos Exemplo 2.3 - Seja o experimento: lançar 3 moedas e observar as faces voltadas para cima. Seja: ´CA` = cara e ´CO` = coroa. O espaço amostral associado a este experimento aleatório é: S = {(CA,CA,CA);(CA,CA,CO); (CA,CO,CA);(CO,CA,CA);(CA,CO,CO); (CO,CA,CO);(CO,CO,CA);(CO,CO,CO)}, totalizando #S = 8 casos possíveis. Seja o evento: A = ´2 caras`. Obtenha a probabilidade de A. Solução: #A = 3 casos favoráveis. A = {(CA,CA,CO);(CA,CO,CA);(CO,CA,CA)} . 8 3 S# A#)A(P == • Abordagens da Probabilidade A abordagem anterior para obter probabilidades é chamada clássica. Existem ainda duas outras formas de “pensar” em, ou abordar, ou interpretar uma probabilidade, que são denominadas abordagens frequentista e subjetivista. Notas de Aula - Professor Eduardo Lima Campos. Abordagem Frequentista: A probabilidade de um evento A é a frequência relativa de ocorrência de A, quando o experimento aleatório é repetido muitas vezes (rigorosamente, é o limite da frequência relativa de A, quando n → ∞ ). Abordagem Subjetivista: A probabilidade de um evento A é baseada em “achismo” ou na opinião de especialistas. • Eventos Especiais e suas Probabilidades O espaço amostral S é o evento certo, cuja probabilidade é 1 (Axioma 2). O conjunto ∅ (vazio) é o evento impossível, cuja probabilidade é 0. O evento composto de todos os pontos não favoráveis a A é chamado evento complementar de A e denotado por Ac. Sua probabilidade é: P(Ac) = 1-P(A). Sejam A e B dois eventos, com interseção A∩B. Qual a probabilidade de A∪B? (ou seja, de que A ou B ocorram) P(A∪∪∪∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩∩∩∩B). pode ser ampliada para mais de 2 eventos Lei da Adição (Probabilidade do ´OU`) A Lei da Adição fornece a solução deste problema, por meio da seguinte fórmula: Notas de Aula - Professor Eduardo Lima Campos. 4 FGV/EPGE - Mestrado em Finanças e Economia Empresarial Disciplina: Estatística/2014 - Professor: Eduardo Lima Campos Exemplo 2.4 - Um aluno estuda para um exame por 2 livros. O primeiro aborda 30% do programa. O segundo, 28%. 24% do programa é abordado pelos dois livros. Qual a probabilidade de que determinado tópico do programa esteja em pelo menos um dos dois livros utilizados pelo aluno? Notas de Aula - Professor Eduardo Lima Campos. Solução: Seja A = ´tópico estar no primeiro livro` e B = ´tópico estar no segundo livro`. Pede-se P(A∪B). São dados no enunciado: P(A) = 0,30, P(B) = 0,28 e P(A∩B) = 0,24. Aplicando a Lei da Adição: P(A∪B) = 0,30 + 0,28 – 0,24 = 0,34. Notas de Aula - Professor Eduardo Lima Campos. • Leis de DeMorgan Ac∩∩∩∩Bc = (A∪∪∪∪B)c Ac∪∪∪∪Bc = (A∩∩∩∩B)c Exemplo 2.4 (cont.) - Calcule a probabilidade de que o conteúdo não esteja em nenhum dos dois livros. 2 eventos A e B são mutuamente exclusivos (ou disjuntos) se a ocorrência de um impede a ocorrência do outro. Se B ocorre, então A não ocorre, e vice-versa. Em outras palavras, são aqueles que não possuem pontos em comum, ou seja: A∩∩∩∩B = ∅∅∅∅, o que implica P(A∩∩∩∩B) = 0. Eventos Mutuamente Exclusivos Notas de Aula - Professor Eduardo Lima Campos. Exemplo 2.5 - Considere o lançamento simultâneo de 2 dados. Verifique se os pares de eventos a seguir são mutuamente exclusivos: a) A = ´soma das faces igual a 7` e B = ´soma das faces igual a 11`. b) A = ´soma das faces maior que 8` e B = ´ faces iguais`. Solução: a) A = {(3,4),(4,3),(2,5),(5,2),(1,6),(6,1)} e B = {(5,6),(6,5)} e A∩B = ∅. Portanto: A e B são mutuamente exclusivos. b) A ={(3,6),(6,3),(4,5),(5,4),(4,6),(6,4), (5,6),(6,5),(5,5),(6,6)}, B = {(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)} e A∩B = {(5,5),(6,6)}. Portanto: A e B não são mutuamente exclusivos. 5 FGV/EPGE - Mestrado em Finanças e Economia Empresarial Disciplina: Estatística/2014 - Professor: Eduardo Lima Campos Prova Formal da Lei da Adição: A idéia é escrever A∪B e B como união de 2 eventos mutuamente exclusivos: (I) A∪B = A∪(B∩Ac). Note que: A∩(B∩Ac) = ∅. (II) B = (A∩B)∪(B∩Ac). Note que: (A∩B)∩(B∩Ac) = ∅. Em seguida, é só aplicar o Axioma 3 em ambas as equações, e “isolar” P(B∩Ac). Exemplo 2.6 - Distribuição por sexo dos funcionários promovidosem uma empresa: Promovidos Não-Promovidos Total Masc. 46 184 230 Fem. 8 72 80 Total 54 256 310 Notas de Aula - Professor Eduardo Lima Campos. Responda as perguntas a seguir. a) Qual a probabilidade de um funcionário ser do sexo masculino e ter sido promovido? Solução: sejam os eventos: A = ´ter sido promovido` e B = ´ser do sexo masculino`. Diretamente da tabela, temos que 46 indivíduos satisfazem ambas as condições. Assim: P(A∩B) = 46/310 = 0,1483. O que está sendo pedido é a probabilidade (condicional) de A dado B, denotada por P(A|B). b) Qual a probabilidade de um funcionário do sexo masculino ter sido promovido? Notas de Aula - Professor Eduardo Lima Campos. Obs - Perceba a diferença entre P(A|B) e P(A∩B). Esta é uma confusão comum! Promovidos Não-Promovidos Total Masc. 46 184 230 Fem. 8 72 80 Total 54 256 310 A idéia é que somente os casos favoráveis ao evento condicionante (B = ´ser do sexo masculino`) passam a ser os casos possíveis. Notas de Aula - Professor Eduardo Lima Campos. A probabilidade de A dado B é, portanto, 46/230 = 0,2. Se dividirmos numerador e denominador acima pelo total de funcionários (310), obtemos P(A|B) em função de P(A∩B) e P(B), conforme apresentado a seguir. Notas de Aula - Professor Eduardo Lima Campos. 6 FGV/EPGE - Mestrado em Finanças e Economia Empresarial Disciplina: Estatística/2014 - Professor: Eduardo Lima Campos Sejam 2 eventos A e B, tais que P(B)>0. A probabilidade de A dado B é: P(A|B) = P(A∩∩∩∩B)/P(B). Probabilidade Condicional Notas de Aula - Professor Eduardo Lima Campos. R: 2/3. Exemplo 2.7 - Considere novamente o exemplo 2.1, e sejam os eventos: A: ´Face par` e B: ´Face > 3`. a) Calcule P(A|B). 2 eventos são independentes se a ocorrência de um não interfere na probabilidade de ocorrência do outro. Ou seja, se: P(A|B) = P(A). Eventos Independentes Notas de Aula - Professor Eduardo Lima Campos. Exemplo 2.7 (cont.) - b) A: ´face par` e B: ´face > 3` são eventos independentes? R: não, pois P(A|B) ≠ P(A). Notas de Aula - Professor Eduardo Lima Campos. Obs - Não confunda eventos independentes com eventos mutuamente exclusivos! Exemplo 2.8 - Em uma classe, os percentuais de aprovados em álgebra e literatura são, respectivamente, 75% e 84%. 63% são aprovados em ambas as disciplinas. a) Qual a probabilidade de um aluno ter passado em álgebra ou em literatura? b) Se um aluno passou em literatura, qual a probabilidade de ter passado em álgebra? c) Ter passado em álgebra e ter passado em literatura são eventos independentes? Notas de Aula - Professor Eduardo Lima Campos. Solução: Sejam A = ´ter passado em álgebra` e B = ´ter passado em literatura`. a) P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B) = 0,75 + 0,84 – 0,63 = 0,96. b) P(A|B) = P(A∩B)/P(B) = 0,75. c) Sim, pois P(A|B) = P(A) = 0,75. Notas de Aula - Professor Eduardo Lima Campos. 7 FGV/EPGE - Mestrado em Finanças e Economia Empresarial Disciplina: Estatística/2014 - Professor: Eduardo Lima Campos Exemplo 2.9 - Seja uma urna com 8 bolinhas azuis e 4 vermelhas. 2 bolinhas são selecionadas ao acaso desta urna. a) Qual a probabilidade de que a primeira bolinha retirada da urna seja vermelha e que a segunda seja azul? Seja A = segunda bolinha azul e B = primeira bolinha vermelha. Queremos P(A∩B). Notas de Aula - Professor Eduardo Lima Campos. Para revolver o problema, basta inverter a fórmula da probabilidade condicional para obter P(A∩∩∩∩B) como função de P(A|B) e P(B). P(A|B) = P(A∩∩∩∩B)/P(B). ⇓⇓⇓⇓ P(A∩∩∩∩B) = P(A|B)P(B). Notas de Aula - Professor Eduardo Lima Campos. Sejam A e B dois eventos, com P(B)>0. Qual a probabilidade de que A e B ocorram (A∩B)? pode ser ampliada para mais de 2 eventos. Lei da Multiplicação (Probabilidade do ´E`) A Lei da Multiplicação fornece a solução deste problema, por meio da fórmula a seguir: P(A∩∩∩∩B) = P(A|B)P(B) Solução do exemplo 2.9, item a: A = segunda bolinha azul e B = primeira bolinha vermelha. Do enunciado, temos que: P(A|B) = 8/11 e P(B) = 4/12. Assim: P(A∩B) = 8/33. Notas de Aula - Professor Eduardo Lima Campos. Diagrama de Árvore: B Bc A A Ac Ac P(B) P(Bc) P(A|B) P(Ac|B) P(A|Bc) P(Ac|Bc) Notas de Aula - Professor Eduardo Lima Campos. • Evento A∩∩∩∩B em um Diagrama de Árvore: B Bc A A Ac Ac P(B) P(Bc) P(A|B) P(Ac|B) P(A|Bc) P(Ac|Bc) Notas de Aula - Professor Eduardo Lima Campos. 8 FGV/EPGE - Mestrado em Finanças e Economia Empresarial Disciplina: Estatística/2014 - Professor: Eduardo Lima Campos • Forma-Produto para Independência Vimos que, pela Lei da Multiplicação: P(A∩∩∩∩B) = P(A|B)P(B). Por outro lado, vimos que 2 eventos A e B são independentes se: P(A|B) = P(A). Pode-se concluir que A e B são independentes se: P(A∩∩∩∩B) = P(A)P(B). Notas de Aula - Professor Eduardo Lima Campos. Exercício 2.1 - Sejam 2 eventos A e B tais que P(A) = 0,3 e P(A∪B) = 0,5. Determine o valor de P(B) se: a) A e B são mutuamente exclusivos. b) A e B são independentes. Respostas: a) 0,2. b) 2/7. Exemplo 2.9 (cont.) b) Qual a probabilidade de que a segunda bolinha selecionada seja azul? Considere novamente: A = segunda bolinha azul e B = primeira bolinha vermelha. Notas de Aula - Professor Eduardo Lima Campos. • Evento A no Diagrama de Árvore B Bc A A Ac Ac P(B) P(Bc) P(A|B) P(Ac|B) P(A|Bc) P(Ac|Bc) Notas de Aula - Professor Eduardo Lima Campos. Sejam A e B dois eventos, em que A possa ocorrer condicionado a B ou a Bc. A probabilidade “total” do evento A pode ser calculada por meio da seguinte fórmula: P(A) = P(A|B)P(B) + P(A|Bc)P(Bc) pode ser ampliada para mais de 2 eventos Lei da Probabilidade Total Notas de Aula - Professor Eduardo Lima Campos. Solução do exemplo 2.9, item b: Do enunciado, temos que: P(A|B) = 8/11, P(B) = 4/12, P(A|Bc) = 7/11 e P(Bc) = 8/12. Assim: P(A) = 2/3. Notas de Aula - Professor Eduardo Lima Campos. 9 FGV/EPGE - Mestrado em Finanças e Economia Empresarial Disciplina: Estatística/2014 - Professor: Eduardo Lima Campos Exemplo 2.10 - A empresa X lança um serviço inédito de envio de mensagens pelo celular. Ela calcula que este novo serviço gera lucro no primeiro ano com probabilidade 0,6, caso o concorrente não introduza um serviço semelhante. Caso contrário, a probabilidade de lucro é 0,3. Suponha ainda que exista 50% de chances de que o concorrente introduza um serviço semelhante naquele ano. a) Qual a probabilidade de que o concorrente introduza o serviço e que, mesmo assim, ele seja lucrativo para a empresa X? b) Qual a probabilidade de que o serviço seja lucrativo para a empresa X? c) Qual a probabilidade de que o serviço seja lucrativo para a empresa X ou o concorrente introduza o serviço? Solução: Os eventos de interesse são: A: ´serviço é lucrativo p/ a empresa X` B: ´concorrente introduz serviço semelhante`. São fornecidas no enunciado as seguintes probabilidades: P(A|B) = 0,3; P(A|Bc) = 0,6 e P(B) = 0,5. a) Pela Lei da Multiplicação, temos que: P(A∩B) = P(A|B)P(B) = 0,3*0,5 = 0,15. b) Pela Lei da Probabilidade Total: P(A) = P(A|B)P(B) + P(A|Bc)P(Bc) = 0,3*0,5 + 0,6*0,5 = 0,45. c) Pela Lei da Adição: P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B) = 0,45 + 0,5 – 0,15 = 0,8. Exercício 2.2 - Demonstre que, se A e B são independentes, então: a) A e Bctambém são independentes. b) Ac e B também são independentes. c) Ac e Bc também são independentes. Solução: a) Pela Lei da Probabilidade Total: P(A) = P(A∩B) + P(A∩Bc), logo: P(A∩Bc) = P(A) - P(A∩B). Além disto, como A e B são independentes: P(A∩B) = P(A)P(B). Assim: P(A∩Bc) = P(A) - P(A)P(B) = P(A)[1 - P(B)] = P(A)P(Bc), C.Q.D.. b) igual à do item a), invertendo A e B. c) análoga à do item a), porém escrevendo a L.P.T. para Ac (ao invés de para A). 10 FGV/EPGE - Mestrado em Finanças e Economia Empresarial Disciplina: Estatística/2014 - Professor: Eduardo Lima Campos Exemplo 2.11 - 2 máquinas (M1 e M2) são usadas para fabricar o mesmo tipo de item. Suponha que: 60% dos itens tenham sido fabricados por M1, 40% dos itens tenham sido fabricados por M2, e que: 1% dos itens fabricados por M1 têm defeito, 2% dos itens fabricados por M2 têm defeito. Notas de Aula - Professor Eduardo Lima Campos. Um item é selecionado aleatoriamente. a) Qual a probabilidade de que ele seja defeituoso? Notas de Aula - Professor Eduardo Lima Campos. Os eventos de interesse são: Sejam A = ´ser defeituoso` e B = ´ter sido produzido por M1`. São fornecidas no enunciado as seguintes probabilidades: P(B) = 0,6, P(Bc) = 0,4, P(A|B) = 0,01 e P(A|Bc) = 0,02. Notas de Aula - Professor Eduardo Lima Campos. Solução do item a: Pede-se P(A) Aplicando a Lei da Probabilidade Total: P(A) = P(A|B)P(B) + P(A|Bc)P(Bc) = 0,01*0,6 + 0,02*0,4 = 0,014. Notas de Aula - Professor Eduardo Lima Campos. b) Se (= dado que) o item selecionado é defeituoso, qual a probabilidade de que ele tenha sido produzido por M1? Notas de Aula - Professor Eduardo Lima Campos. Solução do item b: pede-se P(B|A), que pode ser obtida da seguinte forma: P(B|A) = P(A∩∩∩∩B)/P(A) = P(A|B)P(B)/P(A) = 0,01*0,6/0,014 = 0,429. A fórmula acima, que permite obter P(B|A) a partir de P(A|B) é chamada Teorema de Bayes. Notas de Aula - Professor Eduardo Lima Campos. 11 FGV/EPGE - Mestrado em Finanças e Economia Empresarial Disciplina: Estatística/2014 - Professor: Eduardo Lima Campos Sejam A e B eventos definidos em S, sendo A dependente de B, na sequência: B ⇒ A. O Teorema de Bayes (p/ 2 eventos) se ocupa da sequência reversa: A ⇒ B, fornecendo: Teorema de Bayes .)A(P )B(P)B|A(P)A|B(P = obtida pela Lei da Probabilidade TotalNotas de Aula - Professor Eduardo Lima Campos. Exemplo 2.12 - Um candidato que cursou o MFEE tem probabilidade 0,9 de ser selecionado para uma vaga em um cargo gerencial. Caso contrário, esta probabilidade é de apenas 0,3. 70% dos candidatos cursaram o MFEE. a) Calcule a probabilidade de que um candidato ao acaso seja selecionado para a vaga. Os eventos de interesse são: A = ´ser selecionado` B = ´ter cursado o MFEE`. São fornecidas no enunciado as seguintes probabilidades: P(A|B) = 0,9, P(A|Bc) = 0,3 e P(B) = 0,7. Notas de Aula - Professor Eduardo Lima Campos. Solução do Item a: Pede-se P(A). Aplicando a Lei da Probabilidade Total: P(A) = P(A|B)P(B) + P(A|Bc)P(Bc) = 0,9*0,7 + 0,3*0,3 = 0,72. Notas de Aula - Professor Eduardo Lima Campos. Exemplo 2.12 (cont.) b) Se um candidato foi selecionado para a vaga, qual a probabilidade de que ele tenha cursado o MFEE? Solução do Item b: Pede-se P(B|A) P(B|A) = P(A|B)P(B)/P(A) = 0,9*0,7/0,72 = 0,875. Notas de Aula - Professor Eduardo Lima Campos. O Teorema de Bayes pode ser ampliado para mais de 2 Eventos, fazendo, por exemplo: B1, B2 e B3, ao invés de B e Bc. 12 FGV/EPGE - Mestrado em Finanças e Economia Empresarial Disciplina: Estatística/2014 - Professor: Eduardo Lima Campos • Teorema de Bayes para 3 Eventos Exemplo 2.13 - Os funcionários de uma empresa dividem-se em 3 grupos: economistas, engenheiros e analistas de sistemas. Estes funcionários podem ocupar cargos técnicos ou gerenciais. Sabemos que 20% dos funcionários são analistas de sistemas, 30% são engenheiros e 50% são economistas. 1% dos analistas de sistemas, 2% dos engenheiros e 3% dos economistas fazem parte da direção da empresa. Um funcionário é selecionado aleatoriamente. a) Qual a probabilidade de que ele seja um dos diretores da empresa? b) Dado que ele é um dos diretores, qual a probabilidade de que seja engenheiro? Os eventos de interesse são: A = ser diretor da empresa B1 = ser analista B2 = ser engenheiro B3 = ser economista. São fornecidas no enunciado as seguintes probabilidades: P(B1) = 0,2, P(B2) = 0,3, P(B3) = 0,5, P(A|B1) = 0,01, P(A|B2) = 0,02, P(A|B3) = 0,03. Solução do Item a - Ampliando a Lei da Probabilidade Total para 3 eventos: P(A) = P(A|B1)P(B1) + P(A|B2)P(B2) + P(A| B3)P(B3) = 0,01*0,2 + 0,02*0,3 + 0,03*0,5 = 0,002 + 0,006 + 0,015 = 0,023. Solução do Item b: P(B2|A) = P(A|B2)P(B2)/P(A) = 0,02*0,3/0,023 = 0,2609. • Lei da Adição para 3 Eventos P(A∪∪∪∪B∪∪∪∪C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A∩∩∩∩B) - P(A∩∩∩∩C) - P(B∩∩∩∩C) + P(A∩∩∩∩B∩∩∩∩C). • Lei da Multiplicação para 3 Eventos P(A∩∩∩∩B∩∩∩∩C) = P(A|B∩∩∩∩C)P(B|C)P(C). • Independência para 3 Eventos P(A∩∩∩∩B∩∩∩∩C) = P(A)P(B)P(C), P(A∩∩∩∩B) = P(A)P(B), P(A∩∩∩∩C) = P(A)P(C), e P(B∩∩∩∩C) = P(B)P(C). 3 eventos A, B e C são independentes se, e somente se:
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