Aula 15

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Curso Online - Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados 
Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior 
Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior 1 
Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados 
Aula 15 
Teoria Elementar da Probabilidade 
15. Teoria Elementar da Probabilidade . ........................................................................... 3 
15.1 Os Diferentes Tipos de Probabilidade . ............................................................... 3 
15.2 Conjuntos e Eventos . ................................................................................................ 5 
15.2.1 Álgebra de Conjuntos . .................................................................................................. 5 
15.3 Definição Axiomática de Probabilidade . ............................................................. 8 
15.4 Probabilidades Conjunta e Condicional . ............................................................ 8 
15.5 Independência . .......................................................................................................... 11 
15.6 Regras de Adição . .................................................................................................... 12 
15.7 Regra da Multiplicação . .......................................................................................... 14 
15.8 Teorema da Probabilidade Total . ....................................................................... 14 
15.9 Teorema de Bayes . .................................................................................................. 18 
15.10 Memorize para a prova . ..................................................................................... 21 
15.11 Exercícios de Fixação . ......................................................................................... 22 
15.12 Gabarito . .................................................................................................................. 27 
15.13 Resolução dos Exercícios de Fixação . ........................................................... 28 
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Olá. Antes de começar esta aula, gostaríamos de apresentar a tabela abaixo, 
que detalha a programação das aulas restantes de Estatística: 
Aula Data Conteúdo 
16 06/10 Variável Aleatória, Valor Esperado, Análise Combinatória e 
Principais Distribuições de Probabilidade. 
17 13/10 Variável Aleatória Bivariada, Correlação, Regressão e 
Função Geratriz de Momentos. 
18 20/10 Amostragem. 
19 27/10 Estimação de Parâmetros. 
20 03/11 Testes de Hipóteses. 
21 17/11 Regressão Linear. Números Índices. 
Algumas alterações foram feitas com o intuito de melhorar o aproveitamento 
do nosso curso. Agradecemos pela sua compreensão! 
Alexandre Lima 
Moraes Jr. 
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15. Teoria Elementar da Probabilidade 
A Probabilidade é a teoria matemática que nos ajuda a estudar sistemas 
físicos, econômicos, biológicos, mecânicos, financeiros, etc., num sentido 
médio (esta idéia será formalizada nos próximas aulas). O seu objetivo é 
construir um modelo matemático para uma situação física e, a partir deste 
modelo, deduzir propriedades da situação. A Inferência Estatística (que é uma 
das parte da Estatística) é baseada na teoria das probabilidades. 
Um fenômeno é aleatório quando o seu comportamento futuro não pode 
ser previsto com absoluta certeza. Por exemplo, as condições climáticas no 
dia da prova do concurso não podem ser previstas com 100% de acerto. Por 
outro lado, é possível que a previsão do tempo seja realizada em termos 
probabilísticos. Se você tiver a curiosidade de consultar o site de uma empresa 
de previsão do tempo, constatará que a previsão é dada em termos de 
“tendências” e que, inclusive, a seguinte observação poderia ser feita: “esta 
tendência é resultado de modelos matemáticos e não tem interferência direta 
dos meteorologistas. Estes valores podem variar muito de um dia para o 
outro.”. Ou seja, a empresa está dizendo para os seus clientes, que são leigos 
em Meteorologia, que a previsão do tempo possui uma margem de erro e que 
isto se deve à utilização de modelos matemáticos probabilísticos de previsão. 
Considere, por exemplo, variáveis de natureza econômica. Elas são aleatórias 
por natureza. Não sabemos quais serão os seus valores futuros senão depois 
de observá-los. Por exemplo, não sabemos dizer, com 100% de precisão, qual 
será a cotação do Dólar daqui a um ano. 
Faremos uma breve apresentação dos conceitos fundamentais da teoria da 
probabilidade nesta aula. 
15.1 Os Diferentes Tipos de Probabilidade 
A) Probabilidade como a razão entre o número de resultados 
favoráveis e o número total de resultados possíveis (teoria clássica) 
Nesta abordagem a probabilidade de um dado evento (conceito de evento será 
formalizado mais adiante) E é calculada pela fórmula 
(1) 
N
N
P E= 
em que P é a probabilidade de E, NE representa o número de ocorrências de E 
e N é o número de todos os resultados possíveis. Uma noção importante que 
está subentendida em (1) é que os resultados devem ser equiprováveis. 
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Exemplo. Lance uma moeda não viciada (ou justa) duas vezes. Os resultados 
possíveis são cara-cara (CC), cara-coroa (CK), coroa-cara (KC) e coroa-coroa 
(KK). Qual é a probabilidade de se obter pelo menos uma coroa? 
Seja E o evento que denota a obtenção de pelo menos uma coroa; então E é o 
conjunto dos resultados 
KK}KC,{CK,E = . 
O número de elementos em E é 3. Como N = 4, temos que 
4
3
N
N
EP E ==][ . ▪ 
A definição clássica de probabilidade possui alguns defeitos, como, por 
exemplo, a sua não capacidade de abordar situações em que os resultados são 
não equiprováveis. 
B) Probabilidade como freqüência relativa 
Considere n realizações de um experimento aleatório (vide definição mais 
adiante). Então, define-se a probabilidade de um dado evento E como 
(2) 
n
n
EP En→∞= lim][ 
em que nE denota o número de ocorrências de E. Como na prática não 
podemos obter infinitas realizações, temos que (2) estima P[E] dado um valor 
finito de n. Observe que 1][0 ≤≤ EP , pois nnE ≤ . Um dos problemas desta 
abordagem é justamente o fato de nunca podermos realizar o experimento por 
um número infinito de vezes. Outra dificuldade é que se assume que a razão 
nE/n possui um limite para n tendendo a infinito. 
Apesar dos problemas mencionados acima, a definição de probabilidade como 
freqüência relativa é essencial para a aplicação da teoria das probabilidades ao 
mundo real. 
C) Probabilidade baseada na teoria axiomática 
Esta é a abordagem moderna da probabilidade. Para desenvolvê-la, é preciso 
introduzir os conceitos de experimento aleatório, espaço amostral e 
evento. 
Um experimento aleatório é simplesmente um experimento em que os 
resultados são não determinísticos, isto é, probabilísticos. O espaço 
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amostral é o conjunto de todos os possíveis resultados de um 
experimento aleatório. Um evento é um subconjunto do espaço 
amostral de um experimento aleatório. 
O moderno tratamento axiomático da teoria da probabilidade é em grande 
parte devido à pesquisa do brilhante matemático russo Andrei N. Kolmogorov 
(1903-1987). 
15.2 Conjuntos e Eventos 
Um conjunto é uma coleção de objetos abstratos ou concretos. Um 
exemplo de conjunto concreto é o conjunto de todos os residentes na cidade 
de São Paulo cuja altura exceda 1,60 m. O conjunto de todosos habitantes de 
São Paulo com altura entre 1,60m e 1,70m é um subconjunto do conjunto 
anterior. No estudo da probabilidade, nós estamos interessados no conjunto de 
todos os possíveis resultados de um experimento (espaço amostral) e nos 
subconjuntos daquele conjunto. É comum representar o espaço amostral de 
um experimento aleatório usando a letra grega Ω (ômega). Eventos são 
subconjuntos de Ω. O próprio conjunto Ω é um evento, o qual é denominado 
evento certo. O conjunto que não envolve nenhum dos resultados possíveis é 
o evento impossível ∅ (conjunto vazio). Este é o evento que não pode 
acontecer e que é incluído na teoria por uma questão de completeza. 
15.2.1 Álgebra de Conjuntos 
A união (soma) de dois conjuntos E e F, denotada por E∪F ou E+F, é o 
conjunto de todos os elementos que estão em pelo menos um dos conjuntos E 
ou F. Portanto, com E = {1, 2, 3, 4} e F = {1, 3, 4, 5, 6} 
E ∪ F = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. 
Se E é um subconjunto de F, indicamos este fato escrevendo E ⊂ F. Neste 
caso, segue-se que E ∪ F = F. Nós indicamos que ζ é um elemento de Ω 
escrevendo ζ ∈ Ω. Logo, podemos escrever 
E ∪ F = {ζ: ζ ∈ E ou ζ ∈ F ou ζ está em ambos}. 
A interseção de dois conjuntos E e F, denotada por E ∩ F ou EF, é o conjunto 
dos elementos comuns a ambos os conjuntos E e F. Portanto, com E = {1, 2, 
3, 4} e F = {1, 3, 4, 5, 6} 
EF = {1, 3, 4}. 
Formalmente, tem-se que EF = {ζ: ζ ∈ E e ζ ∈ F }. O complemento de um 
conjunto E, denotado por Ec, é o conjunto de todos os elementos que não 
estejam em E. Deste modo, segue-se que 
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E ∪ Ec = Ω. 
Nota: O complemento de E também costuma ser denotado por E´. 
Observe que EEc = ∅. A diferença de dois conjuntos ou, mais 
apropriadamente, a redução de E por F, denotada por E – F, é o conjunto de 
elementos em E que não estão em F, de modo que 
E – F = EFc. 
O ou exclusivo de dois conjuntos, denotado por E ⊕ F, é o conjunto de todos 
os elementos em E ou F mas não em ambos. Note que 
E ⊕ F = (E - F) ∪ (F - E). 
Dois eventos E, F são mutuamente exclusivos (ou excludentes ou 
disjuntos) se EF = ∅; ou seja, E e F não têm elementos em comum. 
As próximas três figuras ilustram algumas operações com conjuntos vistas 
acima por meio de diagramas de Venn. 
FE
Figura: a união dos conjuntos E e F é a parte 
hachurada do diagrama. 
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E
Ec
FE
E-F F-EE∩F
Dado qualquer conjunto E, uma partição-n de E consiste em uma sequência 
de conjuntos Ei, i = 1, 2, ..., n, tal que Ei ⊂ E, ∪
n
i i
EE
1= 
= e =jiEE ∅ para todo 
ji ≠ . A figura a seguir ilustra o diagrama de Venn para uma partição-4 de um 
espaço amostral em quatro eventos E1, E2, E3 e E4 mutuamente exclusivos. 
Figura: a parte hachurada do diagrama é o complementar de E. 
Figura: interseção e diferenças.
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15.3 Definição Axiomática de Probabilidade 
Seja um experimento aleatório com espaço amostral Ω. Considere um evento 
qualquer E. Define-se probabilidade como a função P[.] que atribui um 
número P[E] para o evento E do espaço amostral Ω denominado probabilidade 
de E tal que 
a) P[E] ≥ 0. 
b) P[Ω] = 1. 
c) P[E ∪ F] = P[E] + P[F] se E ∩ F = ∅. 
As expressões (a), (b) e (c) são os axiomas da probabilidade. 
Os axiomas acima implicam os seguintes resultados: 
P[∅] = 0 
e para qualquer evento E, 
P[Ec] = 1 - P[E]. 
Por exemplo, se a probabilidade de um evento E for 0,4, então a probabilidade 
de Ec = 1 - 0,4 = 0,6. 
15.4 Probabilidades Conjunta e Condicional 
Assuma que se queira realizar o seguinte experimento: estamos numa certa 
cidade do Brasil e desejamos coletar dados sobre o tempo local. Em particular 
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estamos interessados em três eventos, os quais serão denominados A, B e C, 
onde 
A é o evento que representa uma temperatura igual ou maior a 20o C em 
qualquer dia; 
B é o evento que denota um índice de precipitação maior ou igual a 10 mm em 
qualquer dia; 
C é o evento que representa a ocorrência simultânea de A e B, isto é, C = AB 
(ou C = A ∩ B); 
Como C é um evento, P[C] é uma probabilidade que satisfaz os axiomas. Mas 
P[C] = P[AB]; neste caso, diz-se que P[AB] é a probabilidade conjunta dos 
eventos A e B. 
Em muitas situações práticas, o fenômeno aleatório de interesse pode ser 
desmembrado em duas etapas. A informação do que ocorreu numa dada etapa 
pode influenciar as probabilidades de ocorrências das etapas seguintes. 
Nestes casos, diz-se que ganhamos informação e que podemos “recalcular” as 
probabilidades de interesse. Essas probabilidades “recalculadas” são 
conhecidas como probabilidades condicionais. A definição de probabilidade 
condicional será motivada pelo exemplo a seguir. 
Exemplo. Considere os eventos A, B e C definidos acima. Seja ni o número de 
dias em que o evento i ocorreu. Ao longo de 1.000 dias, foram feitas as 
seguintes observações: nA = 711, nB = 406, nAB = 200. Pela interpretação da 
probabilidade em termos da noção de freqüência relativa, podemos estimar 
que: 
P[A] ≈ nA/n = 711/1.000 = 0,711 
P[B] ≈ nB/n = 406/1.000 = 0,406 
P[AB] ≈ nAB/n = 200/1.000 = 0,200 
Agora considere a razão nAB/nA . Esta é a freqüência relativa de ocorrência do 
evento AB quando o evento A ocorre. Dito de outra forma, nAB/nA corresponde 
à fração do tempo em que o índice de precipitação é maior ou igual a 10mm 
naqueles dias em que a temperatura é igual ou maior a 20º C. Portanto, 
estamos lidando com a freqüência de um evento, dado que (ou 
condicionado ao fato de que) outro evento ocorreu. Note que 
][
][
/
/
AP
ABP
nn
nn
n
n
A
AB
A
AB ≈= 
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Este conceito empírico sugere que seja introduzido o conceito de uma medida 
de probabilidade condicional definida por 
(3) ,
][
][
]|[
AP
ABP
ABP = 0][ >AP 
em que ]|[ ABP denota a probabilidade de que B ocorra dado que A 
ocorreu. 
Similarmente, 
(4) ,
][
][
]|[
BP
ABP
BAP = 0][ >BP 
Já caiu em prova! (Analista Judiciário/Estatístico/TRF 1ª 
Região/2001/FCC). Numa cidade onde se publicam 2 jornais, A e B, sabe-se 
que entre n famílias: 160, assinam o jornal A, 35 assinam os 2 jornais A e B, 
201 não assinam B e 155 assinam apenas 1 jornal. O valor de n e a 
probabilidade de que uma família selecionada ao acaso, dentre as n, assinar A 
dado que assina B, são dados, respectivamente, por 
A) 180 e 160/266 
B) 250 e 35/75 
C) 266 e 7/13 
D) 266 e 35/76 
E) 266 e 35/266 
Resolução 
Se 35 das 160 famílias que assinam o jornal A também assinam o jornal B, 
então o número das famílias que só assinam A é igual a 160 – 35) = 125. Se 
155 famílias assinam apenas um jornal, então (155 – 125 = 30 corresponde ao 
números de famílias que somente assinam B. Se 201 famílias não assinam B, 
e, dado que 125 famílias assinam somente A, então temos (201 – 125) = 76 
famílias que não assinam nenhum dos dois jornais. O diagrama de Venn abaixo 
ilustra o nosso raciocínio. 
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AAA B
125 35 30
76
O número de famílias no espaço amostral Ω é igual a 125 + 35 + 30 + 76 = 
266. 
A questão pede que seja calculada a probabilidade condicional P(A|B) = 
P(AB)/P(B). 
⇒ P(AB) = 35/266 
⇒ P(B) = 65/266Logo, P(A|B) = 35/65 = 7/13. 
GABARITO: C 
15.5 Independência 
Os eventos A e B, pertencentes ao espaço amostral Ω, com P[A] > 0 e P[B] > 
0, são independentes se e somente se 
(5) ][][][ BPAPABP = . 
Como ][]|[][]|[][ BPBAPAPABPABP == , segue-se que 
(6) ][]|[ APBAP = 
(7) ][]|[ BPABP = 
são válidas somente quando A e B são eventos independentes. 
A definição de independência diz que, se A e B são independentes, então o 
resultado B não terá efeito sobre a probabilidade de A e vice-versa. 
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15.6 Regras de Adição 
Sejam os eventos A e B, pertencentes ao espaço amostral Ω. Então vale 
(8) ][][][][ BAPBPAPBAP ∩−+=∪ . 
Se A e B são eventos mutuamente excludentes, então 
(9) ][][][ BPAPBAP +=∪ . 
Sejam A, B e C eventos de um espaço amostral Ω. Neste caso, temos que 
(10) ][][][][][][ CAPBAPCPBPAPCBAP ∩−∩−++=∪∪ 
][][ CBAPCBP ∩∩+∩− . 
Para uma coleção de k eventos mutuamente excludentes, 
(11) ][...][][]...[ 2121 kk EPEPEPEEEP +++=∪∪ . 
Já caiu em prova! (Analista Técnico/SUSEP/2006/ESAF). Os eventos E1 
e E2 são os conjuntos de pontos que podem estar tanto em E1, quanto em E2, 
como em ambos simultaneamente. Então, a probabilidade de uma ocorrência 
ser do evento E1 ou E2 é dada por: 
A) P(E1 + E2) = P(E1) + P(E2). 
B) P(E1 + E2) = P(E1) + P(E2) - P(E1 E2). 
C) P(E1 + E2) = P(E1) + (1 - P(E2)). 
D) P(E1 + E2) = P(E2) + (1 - P(E1)). 
E) P(E1 + E2) = P(E1) * P(E2). 
Resolução 
A probabilidade do evento A = E1 ∪ E2 é 
P(E1 ∪ E2) = P(E1) + P(E2) - P(E1 ∩ E2). 
Logo, a resposta é a alternativa B. 
GABARITO: B 
Já caiu em prova! (ICMS-RJ/2010/FGV) Se A e B são eventos 
independentes com probabilidades P[A]=0,4 e P[B]=0,5 então P[A∪B] é igual 
a: 
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A) 0,2. 
B) 0,4. 
C) 0,5. 
D) 0,7. 
E) 0,9. 
Resolução 
P[A∪B] = P[A] + P[B] – P[A∩B] 
Mas, P[A∩B] = P[A].P[B] = 0,4 x 0,5 = 0,2, pois A e B são eventos 
independentes. Assim, 
P[A∪B] = 0,4 + 0,5 – 0,2 = 0,7 
GABARITO: D 
Já caiu em prova! (ICMS-RJ/2009/FGV). Os eventos A e B são tais que 
P(A) = 0,4 e P(B) = 0,9. Assinale a única alternativa que apresenta um 
possível valor para P(A∩B). 
A) 0,13 
B) 0,22 
C) 0,31 
D) 0,49 
E) 0,54 
Resolução 
)(( )( ))( BAPBPAPBAP ∩−+=∪ (Regra da Adição de Probabilidades) 
)(,31)(,904,0)( BAPBAPBAP ∩−=∩−+=∪ 
Como não foi dado o valor de )( BAP ∪ , testaremos os valores de )( BAP ∩ 
dados em cada uma das alternativas, levando em conta a restrição 
1)(( )}( ),{ max ≤∪≤ BAPBPAP ⇒ 1)(,90 ≤∪≤ BAP , pois )( BAP ∪ deve ser, no 
mínimo, igual a )(BP , caso BA⊂ . 
A) P(A∩B) = 0,13 ⇒ 117,1,133 0,1)( >=−=∪ BAP NÃO é uma medida de 
probabilidade. 
B) P(A∩B) = 0,22 ⇒ 108,1,223 0,1)( >=−=∪ BAP NÃO é uma medida de 
probabilidade. 
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C) P(A∩B) = 0,31 ⇒ 199,0,313 0,1)( <=−=∪ BAP satisfaz a restrição 
1)(,90 ≤∪≤ BAP . 
D) P(A∩B) = 0,49 ⇒ 9,81 0,0,493 0,1)( <=−=∪ BAP NÃO satisfaz a restrição 
1)(,90 ≤∪≤ BAP . 
E) P(A∩B) = 0,54 ⇒ 9,76 0,0,543 0,1)( <=−=∪ BAP NÃO satisfaz a restrição 
1)(,90 ≤∪≤ BAP . 
GABARITO: C 
15.7 Regra da Multiplicação 
A definição (3) de probabilidade condicional pode ser reescrita para fornecer 
uma expressão geral para a probabilidade conjunta de dois eventos A e B, 
denominada regra da multiplicação, dada por 
(12) ][]/[][]/[][ APABPBPBAPABP == . 
15.8 Teorema da Probabilidade Total 
Em muitas aplicações, é necessário calcular a probabilidade não condicional de 
um evento B em termos de uma soma de probabilidades condicionais 
ponderadas. 
Sejam os eventos A e B de um espaço amostral Ω como na figura a seguir. 
Como A e Ac são disjuntos, segue-se que A ∩ B e Ac ∩ B serão mutuamente 
excludentes. Sendo assim, podemos escrever B na forma 
B = (A ∩ B) ∪ (Ac ∩ B). 
A aplicação da regra da adição das probabilidades para o evento B nos dá 
P(B) = P(A ∩ B) + P(Ac ∩ B), 
e a aplicação da regra do produto na expressão acima nos dá 
(13) P(B) = P(B/A) P(A) + P(B/Ac) P(Ac), 
conhecida como a regra da probabilidade total para dois eventos. 
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A expressão (13) pode ser generalizada para o caso de k eventos mutuamente 
excludentes E1, E2, ..., Ek tal que E1 ∪ E2 ∪ ... ∪ Ek = Ω (os eventos Ei são ditos 
exaustivos porque cobrem todo o espaço amostral): 
(14) =∩++∩+∩= )(...)()()( 21 kEBPEBPEBPBP 
( )./ )() ...()( /( ))/( 2211 kk EPEBPEPEBPEPEBP +++= 
A Eq. (14) nos dá a probabilidade total (não condicional) de B como uma 
soma das probabilidades condicionais P(B/Ei) ponderadas, respectivamente, 
pelas probabilidades dos eventos exaustivos P(Ei), i =1, 2, ..., k. 
Já caiu em prova! (Analista Legislativo/Contador da Câmara dos 
Deputados/2007/FCC). Uma rede local de computadores é composta por 
um servidor e 2 (dois) clientes (Z e Y). Registros anteriores indicam que dos 
pedidos de certo tipo de processamento, cerca de 30% vêm de Z e 70% de Y. 
Se o pedido não for feito de forma adequada, o processamento apresentará 
erro. Sabendo-se que 2% dos pedidos feitos por Z e 1% dos feitos por Y 
apresentam erro, a possibilidade do sistema apresentar erro é 
A) 5% 
B) 4,1% 
C) 3,5% 
D) 3% 
E) 1,3% 
Resolução 
Figura: divisão do evento B em dois eventos mutuamente 
exclusivos. 
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Trata-se de uma aplicação direta do teorema da probabilidade total. Devemos 
determinar a probabilidade do sistema apresentar erro, seja o pedido de 
processamento originado pelo cliente Z ou pelo cliente Y. 
Assim, 
P(erro) = P(erro|Z).P(Z) + P(erro|Y).P(Y), 
em que P(erro|Z) = 2% = 0,02, P(Z) = 30% = 0,30, P(erro|Y) =1% =0,01 e 
P(Y) = 70% = 0,70. Substituindo esses valores obtemos, 
P(erro) = (0,02 x 0,30) + (0,01 x 0,70) = 0,013 = 1,3% 
GABARITO: E 
Já caiu em prova! (Analista do BACEN/Área 3/2005/FCC). Do total de 
títulos em poder de um investidor, 1/8 é do tipo T1, 1/4 é do tipo T2, e o 
restante do tipo T3. Sabe-se que as probabilidades de se obter uma taxa real 
de juros positiva com estas aplicações são 0,60 com T1, 0,70 com T2 e 0,80 
com T3. Se for escolhido um título aleatoriamente entre estes em poder do 
investidor e verificar-se que apresentou uma taxa real de juros não positiva, a 
probabilidade dele ser do tipo T3 é 
A) 50% 
B) 40% 
C) 30% 
D) 20% 
E) 10% 
Resolução 
Pede-se que seja calculada a probabilidade do título aleatoriamente 
escolhido ser do tipo T3 sabendo-se que o mesmo apresentou uma taxa 
real de juros não positiva ( 0≤j ), ou seja, trata-se do cálculo da 
probabilidade condicional 
,
)0(
)0(
)0|( 33 ≤
≤∩
=≤ 
jP
jTP
jTP 
em que 0≤j denota o evento “título escolhido apresenta taxa real de juros 
não positiva” e )0( ≤jP é a probabilidade total de se obter uma taxa real de 
juros não positiva. 
Porque )0( ≤jP é a probabilidade total de se obter 0≤j ? 
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17 
Observe que os eventos T1, T2 e T3 são mutuamente exclusivos e 
exaustivos, pois 
P(T1 ∪∪∪ T2 ∪∪∪ T3) = P(T1) +P(T2) + P(T3) = 1. 
Logo, 
P(j≤0) = P(j≤0 ∩∩∩ T1) + P(j≤0 ∩∩∩ T2) + P(j≤0 ∩∩∩ T3) 
P(j≤0) = P(j≤0|T1).P(T1) + P(j≤0|T2).P(T2) + P(j≤0|T3).P(T3) 
A equação acima nos dá a probabilidade total (não condicional) do evento 
j≤0 como uma soma das probabilidades condicionaisP(j≤0|Tk), ponderadas, 
respectivamente, pelas probabilidades dos eventos exaustivos P(Tk), k =1, 2, 
3. 
O enunciado forneceu P(T1) = 1/8 e P(T2) = 1/4. Portanto, 
P(T3) = 1 - 1/8 - 1/4 = 5/8. 
Além disso, 
P(j>0|T1) = 0,60 ⇒ P(j≤0|T1) = 1 - P(j>0|T1) = 0,40 
P(j>0|T2) = 0,70 ⇒ P(j≤0|T2) = 1 - P(j>0|T2) = 0,30 
P(j>0|T3) = 0,80 ⇒ P(j≤0|T3) = 1 - P(j>0|T3) = 0,20 
Agora, podemos construir a seguinte tabela: 
Título P(j>0|Tk) P(j≤0|Tk) P(Tk) P(j≤0|Tk).P(Tk) 
T1 0,60 0,40 = 2/5 1/8 2/40 
T2 0,70 0,30 = 3/10 1/4 3/40 
T3 0,80 0,20 = 1/5 5/8 5/40 
Totais 1 P(j≤0) = 10/40 
Desejamos calcular 
0)(
)0(
)0|( 33 ≤
≤∩
=≤ 
jP
jTP
jTP 
em que o numerador é a probabilidade de um título ser do tipo T3 e ter taxa 
real não positiva, ou seja, 
)( 0( )| )( 00)()| 0(0)( 33333 TjPTPTjPjPjTPjTP ∩≤=≤=≤≤=≤∩ 
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18 
40/5)()|0()0( 333 =≤=≤∩ TPTjPjTP . 
Finalmente, obtemos 
%50,5010/5
40/10
40/5
)0|( 3 ====≤jTP 
GABARITO: A 
15.9 Teorema de Bayes 
Aprendemos que 
.
)(
)(
)/(
BP
BAP
BAP
∩
= 
como 
)()/(][ APABPBAP =∩ 
temos que 
(15) 
)(
)()/(
)/(
BP
APABP
BAP = .0)( ≠BP 
A fórmula (15) é o Teorema (ou Regra) de Bayes. 
Em geral, se A1, A2, ..., Ak forem eventos mutuamente exclusivos e exaustivos 
e B for qualquer evento, então (15) pode ser reescrita como 
(16) .
)()/(
)()/(
)/(
1
∑
=
= 
n
i
ii
kk
k
APABP
APABP
BAP 
Observe que o denominador de (16) é a probabilidade total de B ocorrer. 
O Teorema de Bayes nos permite calcular as probabilidades dos vários eventos 
nAAA ,...,, 21 que podem causar ou provocar a ocorrência de B. Por este motivo, o 
Teorema de Bayes também é conhecido como o teorema que nos dá a 
probabilidade da causa (evento kA ) dado o efeito observado (evento B). 
Na prática, a probabilidade )/( BAP k de (16) é conhecida como probabilidade 
a posteriori de kA dado B ; )/( kABP é denominada probabilidade a priori de 
B dado kA e )( kAP é a probabilidade da causa ou a priori de kA . Geralmente, 
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19 
as probabilidades a priori são estimadas a partir de medições passadas ou 
pressupostas pela experiência, ao passo que as probabilidades a posteriori são 
medidas ou calculadas a partir de observações. 
Exemplo. A probabilidade de que um novo teste de baixo custo identifique 
corretamente alguém com AIDS, dando positivo, é 0,99; e a probabilidade de 
que o teste identifique corretamente alguém sem AIDS, dando negativo, é 
0,95. Suponha que a incidência de AIDS na população seja igual a 0,0001. 
Uma pessoa é escolhida ao acaso, faz o teste e o resultado dá positivo. Qual é 
a probabilidade de que esse indivíduo tenha AIDS? 
Devemos calcular a probabilidade de que o indivíduo tenha AIDS (= causa) 
dado que o resultado do teste foi positivo (= efeito observado): 
,
)()( |( )| )(
)()|(
)(
)()|(
)|(
SPSPDPDP
DPDP
P
DPDP
DP
+++
+
=
+
+
=+ 
em que “S” denota a parcela saudável da população (isto é, não infectada pelo 
vírus), “D” representa a parcela da população que tem a doença (ou seja, a 
parcela infectada) e “+” denota o evento “resultado positivo”. 
O enunciado fornece as seguintes probabilidades a priori: 
- P(S) = 1 – 0,0001; 
- P(D) = 0,0001; 
- P(+|D) = 0,99; 
- P(-|S) = 0,95; 
Logo, P(+|S) = 1 – P(-|S) = 1 – 0,95 = 0,05. Além disso, temos que P(-|D) = 
1 – P(+|D) = 1 – 0,99 = 0,01. 
A figura a seguir ilustra a aplicação do Teorema de Bayes nesta questão: 
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20 
,0020
),00010105 (,0,000199 0,0
,000199 0,0
)()|()()|(
)()|(
)|( =
−×+×
×
=
+++
+
=+ 
SPSPDPDP
DPDP
DP 
Nota: podemos descrever o espaço amostral Ω do experimento aleatório 
proposto pelo exemplo utilizando a notação genérica 
 = {(X,Y): X = 0 ou 1, Y = 0 ou 1} = {(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1)}. 
Assim, os resultados elementares de Ω são: 
⇒⇒⇒ (0, 0) = (S, -) 
⇒⇒⇒ (0, 1) = (S, +) 
⇒⇒⇒ (1, 0) = (D, -) 
⇒⇒⇒ (1, 1) = (D, +) 
Já caiu em prova! (Analista Técnico/SUSEP/2010/ESAF). Admita que a 
probabilidade de uma pessoa de um particular grupo genético ter uma 
determinada doença é de 30%. Um custoso e invasivo exame para diagnóstico 
específico dessa doença tem uma probabilidade de um resultado falso positivo 
de 10% e de um resultado falso negativo de 30%. Considerando que uma 
pessoa desse grupo genético com suspeita da doença fez o referido exame, 
qual a probabilidade dela ter a doença dado que o resultado do exame foi 
negativo? 
A) 30% 
B) 7,5% 
C) 25% 
D) 15% 
E) 12,5% 
Resolução 
Devemos calcular a probabilidade de que a pessoa tenha doença (= causa) 
dado que o resultado do exame foi negativo (= efeito observado): 
P(D | −) =
P(− |D)P(D)
P(−)
=
P(− |D)P(D)
P(− |D)P(D) + P(− | S)P(S)
, 
em que “S” denota a parcela saudável da população (isto é, que não possui a 
doença), “D” representa a parcela da população que tem a doença, “-” e “+” 
denotam “resultado negativo” e “resultado positivo”, respectivamente. 
O enunciado fornece as seguintes probabilidades a priori: 
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21 
- P(D) = 30% = 0,3 
- P(S) = 1 – 0,3 = 0,7 
- P(+|S) = 0,1 (falso positivo) 
- P(-|D) = 0,3 (falso negativo) 
Logo, P(+|D) = 1 – P(-|D) = 1 – 0,3 = 0,7. Além disso, temos que P(-|S) = 1 
– P(+|S) = 1 – 0,1 = 0,9. 
P(D | −) =
P(− |D)P(D)
P(− |D)P(D) + P(− | S)P(S)
=
0,3 × 0,3
0,3 × 0,3+ 0,9 × 0,7
=
0,09
0,09 + 0,63
=12,5% 
GABARITO: E 
15.10 Memorize para a prova 
- Dois eventos A e B são mutuamente exclusivos (excludentes) se AB = ∅; 
ou seja, A e B não têm elementos em comum. 
- Probabilidade condicional: ][/][]|[ BPABPBAP = 
- Eventos A e B independentes: ][][][ BPAPABP = ⇒ ][]|[ APBAP = e 
][]|[ BPABP = . 
- Regra da adição: ][][][][ BAPBPAPBAP ∩−+=∪ . 
- Regra da multiplicação: ][]|[][]|[][ APABPBPBAPABP == . 
- Regra da probabilidade total: 
).()|(...)()|()()|()( 2211 kk EPEBPEPEBPEPEBPBP +++= 
em que E1, E2, ..., Ek denotam eventos mutuamente excludentes e exaustivos 
(E1 ∪ E2 ∪ ... ∪ Ek = Ω) e B é um evento qualquer definido sobre o mesmo 
espaço amostral Ω. 
- Regra de Bayes: .
)()|(
)()|(
)|(
1
∑
=
= 
n
i
ii
kk
k
APABP
APABP
BAP 
A fórmula de Bayes nos permite calcular as probabilidades dos vários eventos 
nAAA ,...,, 21 que podem causar ou provocar a ocorrência de B (probabilidade da 
causa kA dado o efeito observado B). 
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22 
15.11 Exercícios de Fixação 
1. (Analista de Finanças e Controle STN/2008/ESAF) Dois eventos A e B 
são ditos eventos independentes se e somente se: 
A) a probabilidade de ocorrência conjunta de A e B for nula. 
B) a ocorrência de B alterar a probabilidade de ocorrência de A. 
C) a ocorrência de A alterar a probabilidade de ocorrência de B. 
D) a ocorrência de B não alterar a probabilidade de ocorrência de A. 
E) a probabilidade de ocorrência conjunta de A e B for igual a 1. 
2. (Analista de Finanças e Controle STN/2008/ESAF) Marco estuda em 
uma universidade na qual, entre as moças de cabelos loiros, 18 possuem olhos 
azuis e 8 possuem olhos castanhos; entre as moças de cabelos pretos, 9 
possuem olhos azuis e 9 possuem olhos castanhos; entre as moças de cabelos 
ruivos, 4 possuem olhos azuis e 2 possuem olhos castanhos. Marisa seleciona 
aleatoriamente uma dessas moças para apresentar para seu amigo Marco. Ao 
encontrar com Marco, Marisa informa que a moça selecionadapossui olhos 
castanhos. Com essa informação, Marco conclui que a probabilidade de a moça 
possuir cabelos loiros ou ruivos é igual a: 
A) 0 
B) 10/19 
C) 19/50 
D) 10/50 
E) 19/31 
3. (ICMS-RJ/2009/FGV) Um torneio será disputado por 4 tenistas (entre os 
quais A e B) de mesma habilidade, isto é, em qualquer jogo entre dois dos 
quatro jogadores, ambos têm a mesma chance de ganhar. 
Na primeira rodada, eles se enfrentarão em dois jogos, com adversários 
definidos por sorteio. Os vencedores disputarão a final. A probabilidade de que 
o torneio termine com A derrotando B na final é 
A) 1/2 
B) 1/4 
C) 1/6 
D) 1/8 
E) 1/12 
4. (ICMS-RJ/2007/FGV) A tabela abaixo apresenta a distribuição de 1.000 
pessoas classificadas por Sexo (Masculino e Feminino) e Estado Civil (Solteiro, 
Casado e Viúvo). 
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23 
Estado Civil 
Sexo 
Total M F 
Solteiro 300 200 500 
Casado 200 100 300 
Viúvo 100 100 200 
Total 600 400 1.000 
Uma pessoa é selecionada ao acaso. A probabilidade de que ela seja do sexo 
Feminino ou Viúva é igual a: 
A) 0,6. 
B) 0,2. 
C) 0,5. 
D) 0,7. 
E) 0,4. 
5. (ICMS-RJ/2007/FGV) Sejam A e B dois eventos definidos em um espaço 
amostral S de modo que P(A) = 0,70, P(B) = 0,20 e P(A∩B) = 0,14. Então, 
pode-se dizer que A e B são eventos: 
A) mutuamente exclusivos. 
B) complementares. 
C) elementares. 
D) condicionais. 
E) independentes. 
6. (TFC-CGU/2008/ESAF) Uma empresa de consultoria no ramo de 
engenharia de transportes contratou 10 profissionais especializados, a saber: 4 
engenheiras e 6 engenheiros. Sorteando- se, ao acaso, três desses 
profissionais para constituírem um grupo de trabalho, a probabilidade de os 
três profissionais sorteados serem do mesmo sexo é igual a: 
A) 0,10 
B) 0,12 
C) 0,15 
D) 0,20 
E) 0,24 
7. (Assistente Técnico-Administrativo MF/2009/ESAF) Ao se jogar um 
determinado dado viciado, a probabilidade de sair um número 6 é de 20%, 
enquanto que as probabilidades de sair qualquer outro número são iguais 
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24 
entre si. Ao se jogar este dado duas vezes, qual o valor mais próximo da 
probabilidade de um número par sair duas vezes? 
A) 20% 
B) 27% 
C) 25% 
D) 23% 
E) 50% 
8. (Adm. Pleno/Petrobrás/2005/CESGRANRIO) Joga-se um dado não 
tendencioso. Se o resultado não foi “quatro”, qual é a probabilidade de que 
tenha sido “um”? 
A) 1/5 
B) 1/6 
C) 1/9 
D) 1/12 
E) 1/18 
9. (TCE-ES/Economia/2001/ESAF) Num teste de múltipla escolha, um 
estudante sabe uma questão ou “chuta” a resposta. Seja 2/3 a probabilidade 
de que o estudante saiba uma questão do teste. Suponha que cada questão 
tenha 5 alternativas e que a probabilidade de acertar no “chute” seja 1/5. 
Assinale a opção que dá a probabilidade condicional de que o estudante saiba 
realmente uma pergunta que respondeu corretamente. 
A) 1/5 
B) 2/15 
C) 10/11 
D) 2/3 
E) 13/15 
10. (Adm. Jr./REFAP/2007/CESGRANRIO) A probabilidade de que o preço 
da farinha de trigo aumente em determinado mês é estimada em 40%. Se isso 
ocorre, a probabilidade de que o preço do pão francês também aumente é de 
50%; caso contrário, a probabilidade de aumento do pão francês será de 
apenas 10%. Se o preço do pão francês subiu, a probabilidade de que o preço 
da farinha de trigo tenha sofrido majoração é igual a: 
A) 1/13 
B) 2/10 
C) 6/13 
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25 
D) 6/11 
E) 10/13 
11. (Analista do BACEN/2002/ESAF) Uma empresa fabrica motores a jato 
em duas fábricas A e B. Um motor é escolhido ao acaso de um lote de 
produção. Nota-se que o motor apresenta defeitos. De observações anteriores 
a empresa sabe que 2% e 3% são as taxas de motores fabricados com algum 
defeito em A e B, respectivamente. Sabendo-se que a fábrica A é responsável 
por 40% da produção, assinale a opção que dá a probabilidade de que o motor 
escolhido tenha sido fabricado em A. 
A) 0,400 
B) 0,030 
C) 0,012 
D) 0,308 
E) 0,500 
12. (Analista do BACEN/Área 2/2010/CESGRANRIO) A probabilidade de 
um indivíduo de classe A comprar um automóvel é 3/4. Para um indivíduo de 
classe B, essa probabilidade é 1/6, e para um indivíduo de classe C, ela é de 
1/20. A probabilidade de um indivíduo de classe A comprar um fusca é 1/10, 
enquanto que, para um indivíduo de classe B, essa probabilidade é 3/5 e para 
um indivíduo de classe C, é de 3/10. Sabendo-se que a revendedora XPTO 
vendeu um Fusca, a probabilidade de o comprador pertencer à classe B é 
A) 0,527 
B) 0,502 
C) 0,426 
D) 0,252 
E) 0,197 
13. (AFT/2010/ESAF) Em uma universidade, 56% dos alunos estudam em 
cursos da área de ciências humanas e os outros 44% estudam em cursos da 
área de ciências exatas, que incluem matemática e física. Dado que 5% dos 
alunos da universidade estudam matemática e 6% dos alunos da universidade 
estudam física e que não é possível estudar em mais de um curso na 
universidade, qual a proporção dos alunos que estudam matemática ou física 
entre os alunos que estudam em cursos de ciências exatas? 
A) 20,00%. 
B) 21,67%. 
C) 25,00%. 
D) 11,00%. 
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26 
E) 33,33%. 
14. (Analista Judiciário/Estatístico/TRF 1ª região/2001/FCC) Duas 
urnas guardam bolas brancas e pretas. Uma das urnas tem 3 bolas brancas e 
1 preta enquanto que a outra tem 3 bolas brancas e 3 pretas. Escolhendo-se 
uma urna ao acaso e em seguida, sucessivamente e com reposição duas de 
suas bolas, a probabilidade de ocorrer uma branca e uma preta é 
A) 7/8. 
B) 7/16. 
C) 3/8. 
D) 7/32. 
E) 3/16. 
15. (AFPS/2002/ESAF) Suponha que a probabilidade de um evento C seja 
0,4 e que a probabilidade condicional do evento D dado que C ocorreu seja 
0,2. Assinale a opção que dá o valor da probabilidade de ocorrência de D e C 
A) 0,50 
B) 0,08 
C) 0,00 
D) 1,00 
E) 0,60 
(Analista do INSS com formação em estatística/2008/Cespe) Texto 
para os itens de 16 a 20 
perfil A B C total 
Número de trabalhadores 
(em milhões de pessoas) 
3 8 8 19 
Um projeto do governo tinha como objetivo atrair para o sistema 
previdenciário uma parcela de trabalhadores que não eram contribuintes do 
INSS. Na ocasião em que tal projeto havia sido proposto, pelos cálculos do 
governo, existiam no país 19 milhões de trabalhadores com mais de 16 anos e 
renda mensal de um ou mais salários mínimos que não contribuíam para a 
previde ̂ ncia. Esses trabalhadores foram classificados de acordo com tres perfis 
A, B e C, e a distribuicão do número de trabalhadores em cada perfil está no 
quadro acima. A expectativa do governo era a seguinte: entre as pessoas com 
o perfil A, a probabilidade de entrada para o sistema previdenciário era de 0,8; 
para as de perfil B, a probabilidade de entrada para o sistema era de 0,5 e os 
de perfil C entrariam no sistema com uma probabilidade igual a 0,1. 
Correio Braziliense, 15/11/2006, p. A-14 (com adaptações). 
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27 
Com base nas informações apresentadas no texto acima, julgue os itens 
seguintes. 
16. Na ocasião em que o projeto havia sido proposto, a probabilidade de uma 
pessoa entre os 19 milhões de trabalhadores entrar para o sistema 
previdenciário era superior a 0,35 e inferior a 0,40. 
17. A expectativa do governo era de que mais de 7 milhões de trabalhadores 
fossem atraídos para o sistema previdenciário. 
18. Um trabalhador que atende às condições do projetodo governo, decidiu 
entrar para o sistema de previdência. A probabilidade de ele ser um 
trabalhador do perfil A é superior a 0,4. 
Ainda com relação ao texto e considerando que a probabilidade de dois 
trabalhadores selecionados aleatoriamente entre aqueles com o perfil A 
entrarem para o sistema previdenciário é igual a α, julgue os itens 
subseqüentes. 
19. Por ser uma probabilidade, α pode assumir qualquer valor entre 0 e 1. 
20. O número esperado de trabalhadores do perfil A que entrarão no sistema 
previdenciário aumenta à medida que α aumenta. 
15.12 Gabarito 
1 – D 
2 - B 
3 - E 
4 – C 
5 – E 
6 - D 
7 – B 
8 – A 
9 – C 
10 – E 
11 – D 
12 – A 
13 – C 
14 – B 
15 – B 
16 – C 
17 – C 
18 – E 
19 – E 
20 - E 
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28 
15.13 Resolução dos Exercícios de Fixação 
1. (Analista de Finanças e Controle STN/2008/ESAF) Dois eventos A e B 
são ditos eventos independentes se e somente se: 
A) a probabilidade de ocorrência conjunta de A e B for nula. 
B) a ocorrência de B alterar a probabilidade de ocorrência de A. 
C) a ocorrência de A alterar a probabilidade de ocorrência de B. 
D) a ocorrência de B não alterar a probabilidade de ocorrência de A. 
E) a probabilidade de ocorrência conjunta de A e B for igual a 1. 
Resolução 
Dois eventos A e B são ditos eventos independentes se e somente se a 
ocorrência de B não alterar a probabilidade de ocorrência de A e vice-versa. 
GABARITO: D 
2. (Analista de Finanças e Controle STN/2008/ESAF) Marco estuda em 
uma universidade na qual, entre as moças de cabelos loiros, 18 possuem olhos 
azuis e 8 possuem olhos castanhos; entre as moças de cabelos pretos, 9 
possuem olhos azuis e 9 possuem olhos castanhos; entre as moças de cabelos 
ruivos, 4 possuem olhos azuis e 2 possuem olhos castanhos. Marisa seleciona 
aleatoriamente uma dessas moças para apresentar para seu amigo Marco. Ao 
encontrar com Marco, Marisa informa que a moça selecionada possui olhos 
castanhos. Com essa informação, Marco conclui que a probabilidade de a moça 
possuir cabelos loiros ou ruivos é igual a: 
A) 0 
B) 10/19 
C) 19/50 
D) 10/50 
E) 19/31 
Resolução 
Vamos fazer uma tabela, para facilitar o entendimento: 
Moças Cabelos 
Loiros 
Cabelos 
Pretos 
Cabelos 
Ruivos 
Total 
Olhos Azuis 18 9 4 31 
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29 
Olhos Castanhos 8 9 2 19 
Total 26 18 6 50 
Marisa seleciona aleatoriamente uma dessas moças para apresentar para seu 
amigo Marco. Ao encontrar com Marco, Marisa informa que a moça selecionada 
possui olhos castanhos. Com essa informação, Marco conclui que a 
probabilidade de a moça possuir cabelos loiros ou ruivos é igual a: 
Evento A = “moça de cabelos loiros ou ruivos” 
Evento B = “moça de olhos castanhos” 
P(A/B) = P(A∩B)/P(B) = 
19
10
19
50
50
10
50
19
50
)8 2(
=×=
+
GABARITO: B 
3. (ICMS-RJ/2009/FGV) Um torneio será disputado por 4 tenistas (entre os 
quais A e B) de mesma habilidade, isto é, em qualquer jogo entre dois dos 
quatro jogadores, ambos têm a mesma chance de ganhar. 
Na primeira rodada, eles se enfrentarão em dois jogos, com adversários 
definidos por sorteio. Os vencedores disputarão a final. A probabilidade de que 
o torneio termine com A derrotando B na final é 
A) 1/2 
B) 1/4 
C) 1/6 
D) 1/8 
E) 1/12 
Resolução 
P(A vencer B na final) = P[(A não enfrentar B na 1ª rodada) ∩ (A vencer a 1ª 
rodada) ∩ (B vencer a 1ª rodada) ∩ (A vencer B na final)] = P(A não 
enfrentar B na 1ª rodada) x P(A vencer a 1ª rodada) x P(B vencer a 1ª 
rodada) x P(A vencer B na final), pois os quatro experimentos aleatórios são 
independentes. 
Na primeira rodada, as seguintes duplas podem ser formadas: 
• 1ª possibilidade: (A,B) e (C,D) ⇒ 1/3 de probabilidade 
• 2ª possibilidade: (A,C) e (B,D) ⇒ 1/3 de probabilidade 
• 3ª possibilidade: (A,D) e (B,C) ⇒ 1/3 de probabilidade 
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30 
Logo, P(A não enfrentar B na 1ª rodada) = P{[(A,C) e (B,D)] ∪ [(A,D) e 
(B,C)]} = P{(A,C) e (B,D)} + P{[(A,D) e (B,C)} = 1/3 + 1/3 = 2/3. 
Também temos que P(A vencer a 1ª rodada) = P(B vencer a 1ª rodada) = P(A 
vencer B na final) = 1/2, pois em qualquer jogo entre dois dos quatro 
jogadores, ambos têm a mesma chance de ganhar. 
Logo, 
P(A vencer B na final) = 2/3 x 1/2 x 1/2 x 1/2 = 2/24 = 1/12. 
GABARITO: E 
4. (ICMS-RJ/2007/FGV) A tabela abaixo apresenta a distribuição de 1.000 
pessoas classificadas por Sexo (Masculino e Feminino) e Estado Civil (Solteiro, 
Casado e Viúvo). 
Estado Civil 
Sexo 
Total M F 
Solteiro 300 200 500 
Casado 200 100 300 
Viúvo 100 100 200 
Total 600 400 1.000 
Uma pessoa é selecionada ao acaso. A probabilidade de que ela seja do sexo 
Feminino ou Viúva é igual a: 
A) 0,6. 
B) 0,2. 
C) 0,5. 
D) 0,7. 
E) 0,4. 
Resolução 
P(sexo Feminino ou Viúva) = P(sexo Feminino) + P(Viúva) - P(sexo Feminino e 
Viúva). 
P(sexo Feminino) = 400/1.000 
P(Viúva) = 200/1.000 
P(sexo Feminino e Viúva) = 100/1.000 
Logo, P(sexo Feminino ou Viúva) = 400/1.000 + 200/1.000 – 
100/1.000 = 500/1.000 = 0,5. 
GABARITO: C 
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31 
5. (ICMS-RJ/2007/FGV) Sejam A e B dois eventos definidos em um espaço 
amostral S de modo que P(A) = 0,70, P(B) = 0,20 e P(A∩B) = 0,14. Então, 
pode-se dizer que A e B são eventos: 
A) mutuamente exclusivos. 
B) complementares. 
C) elementares. 
D) condicionais. 
E) independentes. 
Resolução 
Note que P(A) x P(B) = 0,7 x 0,2 = 0,14 = P(A∩B) ⇒ A e B são eventos 
independentes. 
GABARITO: E 
6. (TFC-CGU/2008/ESAF) Uma empresa de consultoria no ramo de 
engenharia de transportes contratou 10 profissionais especializados, a saber: 4 
engenheiras e 6 engenheiros. Sorteando- se, ao acaso, três desses 
profissionais para constituírem um grupo de trabalho, a probabilidade de os 
três profissionais sorteados serem do mesmo sexo é igual a: 
A) 0,10 
B) 0,12 
C) 0,15 
D) 0,20 
E) 0,24 
Resolução 
I – Probabilidade de sortear três homens: 
Total de Engenheiros = 6 
p(três homens) = (6/10) x (5/9) x (4/8) = (3/5) x (5/9) x (1/2) = 0,1667 
II – Probabilidade de sortear três mulheres: 
Total de Engenheiras = 4 
p(três mulheres) = (4/10) x (3/9) x (2/8) = (2/5) x (1/3) x (1/4) = 0,0333 
Probabilidade de Sortear Três Pessoas do Mesmo Sexo (P) 
P = P(três homens) + P(três mulheres) = 0,1667 + 0,0333 = 0,20 
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32 
GABARITO: D 
7. (Assistente Técnico-Administrativo-MF/2009/ESAF) Ao se jogar um 
determinado dado viciado, a probabilidade de sair um número 6 é de 20%, 
enquanto que as probabilidades de sair qualquer outro número são iguais 
entre si. Ao se jogar este dado duas vezes, qual o valor mais próximo da 
probabilidade de um número par sair duas vezes? 
A) 20% 
B) 27% 
C) 25% 
D) 23% 
E) 50% 
Resolução 
Dado viciado: P(X = 6) = 0,2 
As probabilidades de sair qualquer outro número são iguais entre si. 
P(X = 1) = P(X = 2) = P(X = 3) = P(X = 4) = P(X = 5) = (1-0,2)/5 = 0,8/5 = 
0,16. 
Ao se jogar o dado duas vezes, qual o valor mais próximo da probabilidade de 
um número par sair duas vezes? 
I – Dado jogado pela primeira vez: 
P(X par na jogada 1) = P(X = 2) + P(X = 4) + P(X = 6) = 0,16 + 0,16 + 0,20 
= 0,52 
II – Dado jogado pela segunda vez: 
P(X par na jogada 2) = 0,52 
Probabilidade de um número par sair duas vezes (eventos independentes): 
P(par nas duas vezes) = P(X par na jogada 1) x P(X par najogada 2) = 0,52 x 
0,52 = 27,04% 
GABARITO: B 
8. (Adm. Pleno/Petrobrás/2005/CESGRANRIO) Joga-se um dado não 
tendencioso. Se o resultado não foi “quatro”, qual é a probabilidade de que 
tenha sido “um”? 
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33 
A) 1/5 
B) 1/6 
C) 1/9 
D) 1/12 
E) 1/18 
Resolução 
Se já se sabe, a priori, que o resultado não foi “quatro”, então só nos restam 
cinco possibilidades equiprováveis. Logo, a probabilidade de que tenha sido 
“um” é igual a 1/5. 
Também podemos resolver aplicando a fórmula da probabilidade condicional, 
4)(
)41(
)4|1(
≠
≠∩=
=≠= 
XP
XXP
XXP , 
em que 
6
1
)41( =≠∩= XXP , pois a probabilidade de que o resultado dê “um” e 
que ao mesmo tempo seja diferente de “quatro” é igual a probabilidade de se 
obter “um”, 
e ==∪=∪=∪=∪==≠ )65321()4( XXXXXPXP 
6
5
6
1
5)6()5()3()2()1( =×==+=+=+=+== XPXPXPXPXP . 
Então, 
5/1
6/5
6/1
)4|1( ==≠= XXP . 
GABARITO: A 
9. (TCE-ES/Economia/2001/ESAF) Num teste de múltipla escolha, um 
estudante sabe uma questão ou “chuta” a resposta. Seja 2/3 a probabilidade 
de que o estudante saiba uma questão do teste. Suponha que cada questão 
tenha 5 alternativas e que a probabilidade de acertar no “chute” seja 1/5. 
Assinale a opção que dá a probabilidade condicional de que o estudante saiba 
realmente uma pergunta que respondeu corretamente. 
A) 1/5 
B) 2/15 
C) 10/11 
D) 2/3 
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34 
E) 13/15 
Resolução 
Esta questão aborda o Teorema de Bayes. Um possível método de resolução é 
baseado no uso de um diagrama binário como o que se segue abaixo: 
O enunciado diz que a probabilidade de que o estudante saiba uma questão do 
teste (X=1) é 2/3, ou seja, PX(1) = 2/3. Logo, PX(0) = 1 – 2/3 = 1/3 
(probabilidade de o estudante não saber a questão). 
Observe que Y=0 denota o evento “resposta errada”, enquanto que Y=1 
representa a “resposta certa”. A probabilidade de acertar no “chute” é 1/5, ou 
seja, a probabilidade de transição 
Py|x(1|0) = 1/5. 
Então, a probabilidade de transição complementar Py|x(0|0) (probabilidade de 
errar no “chute”) é dada por 
Py|x(0|0) = 1 - Py|x(1|0) = 4/5. 
Está implícito que a probabilidade de o estudante acertar a resposta 
quando sabe a questão é igual a 1, isto é, 
Py|x(1|1) = 1. 
Logo, a probabilidade de errar quando sabe a questão é nula, pois 
Py|x(0|1) = 1 - 1 = 0. 
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35 
Finalmente, chegamos a uma versão completa do DIAGRAMA BINÁRIO: 
Note que as probabilidades PY(0) e PY(1) são calculadas pelo Regra da 
Probabilidade Total. 
Se o estudante acertou a resposta (Y=1 é o efeito observado), a 
probabilidade condicional de que o estudante saiba realmente a pergunta 
(X=1 é a causa) é dada por (Regra de Bayes) 
11
10
3
1
5
1
3
2
1
3
2
1
)0()0|1(1)()1|1(
1)()1|1(
)11|(
||
|
| =
×+×
×
=
+
=
xyxxyx
xyx
yx
PPPP
PP
P 
GABARITO: C 
10. (Adm. Jr./REFAP/2007/CESGRANRIO) A probabilidade de que o preço 
da farinha de trigo aumente em determinado mês é estimada em 40%. Se isso 
ocorre, a probabilidade de que o preço do pão francês também aumente é de 
50%; caso contrário, a probabilidade de aumento do pão francês será de 
apenas 10%. Se o preço do pão francês subiu, a probabilidade de que o preço 
da farinha de trigo tenha sofrido majoração é igual a: 
A) 1/13 
B) 2/10 
C) 6/13 
D) 6/11 
E) 10/13 
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36 
Resolução 
O enunciado diz que a probabilidade de que o preço da farinha de trigo 
aumente em determinado mês (X=1) é estimada em 40%. Logo, temos as 
seguintes probabilidades a priori: PX(1) = 0,40 e PX(0) = 1 - 0,40 = 0,60. 
Observe que X=0 denota o evento “preço da farinha de trigo não aumentou”. 
Foi dito que se X=1 (preço da farinha de trigo aumentou), a probabilidade de 
que o preço do pão francês também aumente (Y=1) é de 50%, ou seja, foi 
dada a probabilidade de transição 
Py|x(1|1) = 0,50. 
Então, a probabilidade de transição complementar Py|x(0|1) (probabilidade de 
que o preço do pão francês não aumente (Y=0) dado que o preço da 
farinha de trigo aumentou (X=1)) é dada por 
Py|x(0|1) = 1 - 0,50 = 0,50. 
Caso o preço da farinha de trigo NÃO aumente (X=0), a probabilidade de 
aumento do pão francês (Y=1) será de apenas 10%, ou seja, 
Py|x(1|0) = 0,10. 
Portanto, se o preço da farinha de trigo NÃO aumentar (X=0), a 
probabilidade do preço do pão francês também NÃO aumentar (Y=0) será 
de 
Py|x(0|0) = 1 - 0,10 = 0,90. 
Agora, chegamos a uma versão completa do DIAGRAMA BINÁRIO: 
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37 
Note que as probabilidades PY(0) e PY(1) são calculadas pelo Teorema da 
Probabilidade Total. 
Se o preço do pão francês subiu (Y=1 é o efeito observado), a probabilidade 
de que o preço da farinha de trigo tenha sofrido majoração (X=1 é a causa) 
é, pelo Teorema de Bayes, dada por 
13
10
26
20
10
6
10
1
10
4
10
5
10
4
10
5
)0()0|1(1)()1|1(
1)()1|1(
)11|(
||
|
| ==
×+×
×
=
+
=
xyxxyx
xyx
yx
PPPP
PP
P 
GABARITO: E 
11. (Analista do BACEN/2002/ESAF) Uma empresa fabrica motores a jato 
em duas fábricas A e B. Um motor é escolhido ao acaso de um lote de 
produção. Nota-se que o motor apresenta defeitos. De observações anteriores 
a empresa sabe que 2% e 3% são as taxas de motores fabricados com algum 
defeito em A e B, respectivamente. Sabendo-se que a fábrica A é responsável 
por 40% da produção, assinale a opção que dá a probabilidade de que o motor 
escolhido tenha sido fabricado em A. 
A) 0,400 
B) 0,030 
C) 0,012 
D) 0,308 
E) 0,500 
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38 
Resolução 
Seja um espaço amostral Ω. Considere os eventos mutuamente exclusivos e 
exaustivos nAAA ,...,, 21 e um evento qualquer B. O Teorema de Bayes afirma 
que 
,
)()/(
)()/(
)/(
1
∑
=
= 
n
i
ii
kk
k
APABP
APABP
BAP 
ou seja, o Teorema de Bayes nos permite calcular as probabilidades dos vários 
eventos nAAA ,...,, 21 que podem causar ou provocar a ocorrência de B. Por este 
motivo, o Teorema de Bayes também é conhecido como o teorema que nos 
dá a probabilidade da causa (evento kA ) dado o efeito observado 
(evento B). 
Na prática, a probabilidade )/( BAP k é conhecida como probabilidade a 
posteriori de kA dado B ; )/( kABP é denominada probabilidade a priori de 
B dado kA e )( kAP é a probabilidade da causa ou a priori de kA . 
Geralmente, as probabilidades a priori são estimadas a partir de medições 
passadas ou pressupostas pela experiência, ao passo que as probabilidades a 
posteriori são medidas ou calculadas a partir de observações. 
Devemos calcular a probabilidade de que o motor defeituoso escolhido ao 
acaso tenha sido fabricado em A. O motor observado pode ser defeituoso 
(evento “D”) ou não defeituoso (evento “ND”). Ou seja, pede-se para 
determinar a probabilidade de que a fábrica A tenha causado o defeito 
observado no motor selecionado: 
.
)()|(( )| )(
)()|(
)(
)()|(
)|(
BPBDPAPADP
APADP
DP
APADP
DAP
+
== 
O enunciado fornece as seguintes probabilidades a priori: 
.
3%| )(
%2)|(
%60)(
%40)(






=
=
=
=
BDP
ADP
BP
AP
Portanto, 
P(ND|A) = 1 – P(D|A) = 1 – 0,02 = 0,98 e 
P(ND|B) = 1 – P(D|B) = 1 – 0,03 = 0,97. 
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39 
A figura a seguir ilustra a aplicação do Teorema de Bayes nesta questão: 
13
4
26
8
18080
80
100
60
100
3
100
40
100
2
100
40
100
2
)()/()()/(
)()/(
)/( ==
+
=
×+×
×
=
+
= 
BPBDPAPADP
APADP
DAP
,3080)/( ≈DAP 
Nota: podemos descrever o espaço amostral Ω do experimento aleatório 
proposto pela questão utilizando a notação genérica 
 = {(X,Y): X = 0 ou 1, Y = 0 ou 1} = {(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1)}. 
Para a questão, os resultados elementares de Ω são: 
⇒⇒⇒ (0, 0) = (A, ND) 
⇒⇒⇒ (0, 1) = (A, D) 
⇒⇒⇒ (1, 0) = (B, ND) 
⇒⇒⇒ (1, 1) = (B, D) 
GABARITO: D 
12. (Analista do BACEN/Área 2/2010/CESGRANRIO) A probabilidade de 
um indivíduo de classe A comprar um automóvel é 3/4. Para um indivíduo de 
classe B, essa probabilidade é 1/6, e para um indivíduo de classe C, ela é de 
1/20. A probabilidade de um indivíduo de classe A comprar um fusca é 1/10, 
enquanto que, para um indivíduo de classe B, essa probabilidade é 3/5 e para 
um indivíduo de classe C, é de 3/10. Sabendo-se que a revendedora XPTO 
vendeu um Fusca, a probabilidade de o comprador pertencer à classe B é 
A) 0,527 
B) 0,502 
C) 0,426 
D) 0,252 
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40 
E) 0,197 
Resolução 
Sabendo-se que a revendedora XPTO vendeu um Fusca (efeito) qual é a 
probabilidade de o comprador pertencer à classe B (causa)? Ou seja, qual 
é o valor de P(B|Fusca)? 
A pergunta formulada acima indica, de forma inequívoca, que é preciso aplicar 
o Teorema de Bayes (probabilidade da causa dado o efeito observado) 
para resolver a questão. O equacionamento da probabilidade P(B|Fusca) pelo 
Teorema de Bayes fornece 
P(B|Fusca) = P(Fusca|B)P(B)/P(Fusca) 
Neste ponto da resolução, precisamos confirmar se os dados fornecidos pelo 
enunciado viabilizam a aplicação do Teorema de Bayes. Recordaremos, a 
seguir, o enunciado deste importante teorema do cálculo de probabilidades. 
Sejam os eventos mutuamente exclusivos e exaustivos nk EEEE ,...,,...,1 , 2
definidos sobre o espaço amostral Ω. Se Z é um evento qualquer de ΩΩΩ, 
então é válida a relação 
∑
=
= 
n
i
ii
kk
k
EPEZP
EPEZP
ZEP
1
)()|(
)()|(
)|( . 
O que seria o espaço amostral Ω, dado o enunciado do problema? Quais seriam 
os eventos mutuamente exclusivos e exaustivos definidos sobre Ω? 
Suponha que Ω represente o espaço amostral dos indivíduos das classe A, 
B e C que compram automóveis. Neste caso, temos os seguintes eventos 
mutuamente exclusivos e exaustivos: 
- Evento A: indivíduo da classe A comprar um automóvel. Neste caso, a 
freqüência relativa ao evento A é 3/4, ou seja, P(A) = 3/4; 
- Evento B: indivíduo da classe B comprar um automóvel, em que P(B) = 
1/6; 
- Evento C: indivíduo da classe C comprar um automóvel, em que P(C) = 
1/20. 
Será que a equação P(A) + P(B) + P(C) = 1 é verificada? 
P(B) + P(C) = 1 - P(A) = 1 – 3/4 = ¼ = 0,25 
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41 
P(B) + P(C) = 1/6 + 1/20 ≈ 0,167 + 0,05 = 0,217 ≠≠≠ 0,25 
Há uma discrepância de (0,25 – 0,217) = 0,033. Depreende-se que a banca 
considerou a aproximação 
P(A) + P(B) + P(C) = 0,967 ≈ 1 
Quem faria o papel do evento Z? Este evento representa a compra de um 
Fusca por um indivíduo de qualquer classe, cuja probabilidade é denotada por 
P(Fusca). A probabilidade total P(Fusca) é dada por 
P(Fusca) = P(Fusca|A)P(A) + P(Fusca|B)P(B) + P(Fusca|C)P(C) 
ou seja, 
P(Fusca) = (1/10)x(3/4) + (3/5)x(1/6) + (3/10)x(1/20) = 0,19 
Logo, 
,52630
,190
)61/()5/3(
)(
)()|(
)|( =
×
== 
FuscaP
BPBFuscaP
FuscaBP 
A banca utilizou o arredondamento 0,5263 ≈ 0,527 (opção A). 
GABARITO: A 
13. (AFT/2010/ESAF) Em uma universidade, 56% dos alunos estudam em 
cursos da área de ciências humanas e os outros 44% estudam em cursos da 
área de ciências exatas, que incluem matemática e física. Dado que 5% dos 
alunos da universidade estudam matemática e 6% dos alunos da universidade 
estudam física e que não é possível estudar em mais de um curso na 
universidade, qual a proporção dos alunos que estudam matemática ou física 
entre os alunos que estudam em cursos de ciências exatas? 
A) 20,00%. 
B) 21,67%. 
C) 25,00%. 
D) 11,00%. 
E) 33,33%. 
Resolução 
Vamos supor que há um total de 100 alunos 
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42 
56% dos alunos = Área de Ciências Humanas = 56 alunos 
44% dos alunos = Área de Ciências Exatas = 44 alunos 
5% estudam matemática = 5 alunos 
6% estudam física = 6 alunos 
Não é possível estudar mais de um curso. 
Percentual (Matemática ou Física/Ciências Exatas) 
= (5 + 6)/44 = 11/44 = 1/4 = 25% 
GABARITO: C 
14. (Analista Judiciário/Estatístico/TRF 1ª região/2001/FCC) Duas 
urnas guardam bolas brancas e pretas. Uma das urnas tem 3 bolas brancas e 
1 preta enquanto que a outra tem 3 bolas brancas e 3 pretas. Escolhendo-se 
uma urna ao acaso e em seguida, sucessivamente e com reposição duas de 
suas bolas, a probabilidade de ocorrer uma branca e uma preta é 
A) 7/8. 
B) 7/16. 
C) 3/8. 
D) 7/32. 
E) 3/16. 
Resolução 
A probabilidade de escolher qualquer uma das urnas é 1/2. O sorteio das duas 
bolas é feito com reposição, ou seja, a 1ª bola sorteada retorna para a urna, 
de modo que as probabilidades de ocorrência das bolas são mantidas no 2º 
sorteio. 
Temos as seguintes probabilidades de sorteio para a urna que guarda 3 bolas 
brancas e 1 preta: P(bola branca) = 3/4 e P(bola preta) = 1/4. 
Para a outra urna temos: P(bola branca) = P(bola preta) = 3/6 = 1/2. 
A probabilidade pedida é a probabilidade de ocorrer uma branca e uma preta. 
A ordem de ocorrência não foi especificada, isto é, podemos ter branca no 1º 
sorteio e preta no 2º sorteio ou o inverso. Quais são as possibilidades? Há 
quatro casos possíveis: 
1) escolha de uma bola branca no 1º sorteio e de uma bola preta no 2º 
sorteio quando a urna escolhida é a que tem 3 bolas brancas e 1 preta 
(caso 1) ou 
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43 
2) caso 2: escolha de uma bola preta no 1º sorteio e de uma preta no 2º 
sorteio quando a urna escolhida é a que tem 3 bolas brancas e 1 preta 
(caso 2) ou 
3) escolha de uma bola branca no 1º sorteio e de uma bola preta no 2º 
sorteio quando a urna escolhida é a que tem 3 bolas brancas e 3 pretas 
(caso 3) ou 
4) escolha de uma bola preta no 1º sorteio e de uma preta no 2º sorteio 
quando a urna escolhida é a que tem 3 bolas brancas e 3 pretas (caso 
4). 
As probabilidades dos 4 casos acima são: 
P(caso 1) = (1/2)x(3/4)x(1/4) = 3/32 
P(caso 2) = (1/2)x(1/4)x(3/4) = 3/32 
P(caso 3) = P(1/2)x(1/2)x(1/2) = 1/8 
P(caso 4) = P(1/2)x(1/2)x(1/2) = 1/8 
Temos que somar as probabilidades dos 4 casos. Logo, a probabilidade de 
ocorrer uma branca e uma preta é 
(2 x 3/32) + (2 x 1/8) = 3/16 + 1/4 = 7/16. 
GABARITO: B 
15. (AFPS/2002/ESAF) Suponha que a probabilidade de um evento C seja 
0,4 e que a probabilidade condicional do evento D dado que C ocorreu seja 
0,2. Assinale a opção que dá o valor da probabilidade de ocorrência de D e C 
A) 0,50 
B) 0,08 
C) 0,00 
D) 1,00 
E) 0,60 
Resolução 
Trata-se de aplicação da regra da multiplicação: P(DC) = P(D|C).P(C). 
P(DC) = P(D|C).P(C) = 0,2 x 0,4 = 0,08. 
GABARITO: B 
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44 
(Analista do INSS com formação em estatística/2008/Cespe) Texto 
para os itens de 16 a 20 
perfil A B C totalNúmero de trabalhadores 
(em milhões de pessoas) 
3 8 8 19 
Um projeto do governo tinha como objetivo atrair para o sistema 
previdenciário uma parcela de trabalhadores que não eram contribuintes do 
INSS. Na ocasião em que tal projeto havia sido proposto, pelos cálculos do 
governo, existiam no país 19 milhões de trabalhadores com mais de 16 anos e 
renda mensal de um ou mais salários mínimos que não contribuíam para a 
previde ̂ ncia. Esses trabalhadores foram classificados de acordo com tres perfis 
A, B e C, e a distribuicão do número de trabalhadores em cada perfil está no 
quadro acima. A expectativa do governo era a seguinte: entre as pessoas com 
o perfil A, a probabilidade de entrada para o sistema previdenciário era de 0,8; 
para as de perfil B, a probabilidade de entrada para o sistema era de 0,5 e os 
de perfil C entrariam no sistema com uma probabilidade igual a 0,1. 
Correio Braziliense, 15/11/2006, p. A-14 (com adaptações). 
Com base nas informações apresentadas no texto acima, julgue os itens 
seguintes. 
16. Na ocasião em que o projeto havia sido proposto, a probabilidade de uma 
pessoa entre os 19 milhões de trabalhadores entrar para o sistema 
previdenciário era superior a 0,35 e inferior a 0,40. 
Resolução 
Dados: 
⇒ P(entrada|A) = 0,8, P(entrada|B) = 0,5 e P(entrada|C) = 0,1. 
⇒ P(A) = 3/19, P(B) = 8/19 e P(C) = 8/19. Note que P(A) + P(B) + P(C) = 
3/19 + 2 x 8/19 = 1, pois A, B e C são eventos mutuamente exclusivos. 
A probabilidade total de uma pessoa entrar para o sistema previdenciário é 
dada por 
P(entrada) = P(entrada|A).P(A) + P(entrada|B).P(B) + P(entrada|C).P(C) 
P(entrada) = (0,8 x 3/19) + (0,5 x 8/19) + (0,1 x 8/19) = 7,2/19 ≅ 0,38. 
Portanto, a probabilidade de uma pessoa entre os 19 milhões de trabalhadores 
entrar para o sistema previdenciário era superior a 0,35 e inferior a 0,40. O 
item está certo. 
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45 
GABARITO: C 
17. A expectativa do governo era de que mais de 7 milhões de trabalhadores 
fossem atraídos para o sistema previdenciário. 
Resolução 
P(entrada) = 0,38 = 38% ⇒ representa a fração da população que entraria 
para o sistema da previdência. Logo, a expectativa do governo era de que 
0,38 x 19 milhões ≅ 7,22 milhões fossem atraídos para o INSS. O item está 
certo. 
GABARITO: C 
18. Um trabalhador que atende às condições do projeto do governo, decidiu 
entrar para o sistema de previdência. A probabilidade de ele ser um 
trabalhador do perfil A é superior a 0,4. 
Resolução 
O item poderia ser parafraseado da seguinte forma: dado que um trabalhador 
entrou para o sistema de previdência, qual é a probabilidade de ter o perfil A, 
ou seja, qual é a probabilidade da causa ser o grupo A? 
Precisamos aplicar a regra de Bayes (probabilidade da causa dado o efeito): 
P(A|entrada) = P(entrada|A).P(A)/P(entrada), 
P(A|entrada) = (0,8 x 3/19)/0,38 ≅ (0,8 x 3/19)/0,4 = 2 x 3/19 ≅ 1/3 ≅ 0,33 
⇒ inferior a 0,4. O item está errado. 
Nota: você notou que as contas acima foram feitas de forma aproximada? 
Recomendamos que você adote esta tática na prova. Deste modo, o tempo 
economizado na resolução desta questão poderá ser usado para resolver 
outra(s) questão(ões). 
GABARITO: E 
Ainda com relação ao texto e considerando que a probabilidade de dois 
trabalhadores selecionados aleatoriamente entre aqueles com o perfil A 
entrarem para o sistema previdenciário é igual a α, julgue os itens 
subseqüentes. 
19. Por ser uma probabilidade, α pode assumir qualquer valor entre 0 e 1. 
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46 
Resolução 
Sejam os dois trabalhadores selecionados do grupo A denotados por T1 e T2. 
Suponha que você escolha T1 e depois T2. Como o espaço amostral é muito 
grande (lembre que o grupo A tem 3 milhões de pessoas), podemos considerar 
que 
P(T2 entrar no sistema dado que T1 foi escolhido) = P(T2 entrar no sistema), 
pois a escolha aleatória de T1 não muda a probabilidade de T2 entrar no 
sistema ⇒ conceito de independência. Então, 
P(T1 e T2 entrarem no sistema|A) = P(entrada|A) x P(entrada|A) = 0,8 x 0,8 
= 0,64 = α. 
Logo α tem um valor fixo (= 0,64) e não pode assumir qualquer valor entre 0 
e 1. Percebeu a sutileza deste item? 
GABARITO: E 
20. O número esperado de trabalhadores do perfil A que entrarão no sistema 
previdenciário aumenta à medida que α aumenta. 
Resolução 
A expectativa do número de trabalhadores do perfil A que entrarão no sistema 
previdenciário aumentará se a probabilidade P(entrada|A) aumentar. O 
aumento de α é consequência do aumento de P(entrada|A) e não sua causa, 
como sugerido pelo item. Assim, concluímos que o item está errado. 
GABARITO: E