aula_10-11-12

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Introduc¸a˜o Senoides Fasores Impedaˆncia e Admitaˆncia Poteˆncia Introduc¸a˜o aos Circuitos CA Exerc´ıcios Exerc´ıcios Sugeridos
BAC006 - Eletricidade
Universidade Federal de Itajuba´
Campus Itabira
Aulas 10, 11 e 12
Senoides, Fasores e Introduc¸a˜o aos Circuitos em
Corrente Alternada
Prof. Caio Fernandes de Paula
caiofernandes@unifei.edu.br
2◦ Semestre de 2013
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Introduc¸a˜o Senoides Fasores Impedaˆncia e Admitaˆncia Poteˆncia Introduc¸a˜o aos Circuitos CA Exerc´ıcios Exerc´ıcios Sugeridos
Considerac¸o˜es Gerais
Ate´ agora, a ana´lise de circuitos ele´tricos estava focada nos circuitos
em corrente cont´ınua, ou seja, circuitos nos quais a tensa˜o e a corrente
possu´ıam valores fixos ao longo do tempo o tempo (exceto por um
per´ıodo transito´rio em capacitores e indutores). Nestes circuitos, as
fontes (de tensa˜o ou corrente), que possu´ıam tambe´m valores fixos ao
longo do tempo, sa˜o conhecidas como Fontes CC (ou Fontes DC) -
corrente cont´ınua;
A partir deste momento, nossa ana´lise estara´ focada em circuitos nos
quais a tensa˜o e a corrente sera˜o varia´veis no tempo, pore´m, com um
“perfil” de variac¸a˜o fixo ao longo do tempo, a qual chamaremos de
forma de onda. Logo, embora a tensa˜o e a corrente sejam varia´veis, a
sua forma de onda se repete ao longo do tempo (sinais perio´dicos). As
fontes presentes nestes circuitos sa˜o chamadas de Fontes CA (ou Fontes
AC) - corrente alternada;
Existem va´rios tipos ondas alternadas de interesse particular, como a
senoidal, a quadrada e a triangular. Devido ao fato da onda senoidal
ser a mais comum e importante (por diversos motivos, como a gerac¸a˜o
da enegia ele´trica, entre outros), o termo CA (ou AC) se refere a` onda
senoidal.
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Tipos de Formas de Onda Alternada
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Visa˜o Geral de uma Forma de uma Senoide
Equac¸a˜o da onda senoidal: e(t) = Ecc + Emsen (2pift+ θ) .
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Paraˆmetros Importantes de uma Onda Perio´dica
Valor instantaˆneo: e´ o valor da onda em um determinado instante de tempo;
Per´ıodo (T ): intervalo de tempo entre repetic¸o˜es de uma forma de onda
perio´dica;
Ciclo: parte da forma de onda contida em um per´ıodo;
Frequeˆncia (f): quantidade de vezes que a forma de onda se repete em um
segundo, ou seja, nu´mero de ciclos por segundo. Importante: f =
1
T
;
Fase (θ): aˆngulo da senoide no in´ıcio de um ciclo;
Valor CC (Ecc): e´ o valor equivalente em corrente cont´ınua de uma onda
perio´dica durante um ciclo;
Valor de pico (Em): valor ma´ximo instantaˆneo (em mo´dulo) que pode existir
na forma de onda desconsiderando o valor me´dio;
Amplitude de pico: valor ma´ximo instantaˆneo que pode existir na forma de
onda considerando o valor me´dio;
Valor de pico-a-pico (Ep−p): diferenc¸a entre o valor de pico positivo e nega-
tivo.
Observac¸o˜es: a fase geralmente e´ adotada desconsiderando-se o valor CC. A
unidade padra˜o de frequeˆncia e´ o Hertz (Hz). Frequeˆncia angular: ω = 2pif em
radianos por segundo (rad/s).
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Relac¸o˜es de Fase
Importaˆncia da senoide
A onda senoidal e´ importante pois e´ a u´nica forma de onda perio´dica que,
ao ser aplicada em um circuito ele´trico contendo resistores, capacitores e
indutores, na˜o se altera em qualquer ponto do circuito. Isso se deve ao
fato de que derivadas e integrais de senoides resultarem em ondas tambe´m
perio´dicas, pore´m deslocadas em fase em relac¸a˜o a` senoide original.
Relac¸o˜es de fase importantes:
sen(−α) = −sen(α);
sen(α+ 90◦) = cos(α);
sen(α− 90◦) = − cos(α);
sen(α± 180◦) = −sen(α);
cos(−α) = cos(α) = sen(α+ 90◦);
cos(α± 180◦) = − cos(α) = sen(α− 90◦).
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Me´todo Gra´fico
Me´todo gra´fico para encontrar relac¸o˜es de fase:
Sentido hora´rio: positivo Sentido antihora´rio: negativo
Exemplo: convertendo-se cos(α− 60◦) em seno resultara´ em
sen(α+ 30◦).
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Defasagem
Definic¸a˜o
Quando o in´ıcio do ciclo de uma senoide na˜o coincide com uma determinada re-
fereˆncia, dizemos que a senoide esta´ defasada (com fase). Se o ciclo se inicia antes
da refereˆncia no tempo, dizemos que a senoide esta´ adiantada. Se o ciclo se inicia
apo´s a refereˆncia no tempo, dizemos que ela esta´ atrasada.
Senoide adiantada em θ graus:
Senoide atrasada em θ graus:
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Valor Me´dio e Valor Eficaz
Valor Me´dio (av)
O valor me´dio de uma determinada curva e´ definido como a raza˜o entre a soma
alge´brica da a´rea desta curva e o comprimento da curva. Matematicamente
Vav =
1
T
∫ T
0
v(t)dt .
O valor me´dio de uma senoide pura (sem componente CC) e´ sempre nulo.
Valor Eficaz (rms)
O valor eficaz de uma determinada curva sem valor me´dio e´ definido como a raiz
quadrada da raza˜o entre a soma alge´brica da a´rea da curva ao quadrado e o com-
primento da curva. Matematicamente
Vrms =
√√√√√∫ T
0
v2(t)dt
T
−→ Vrms = Vm√
2
para uma senoide .
Quando a onda possui componente CC (valor me´dio), o valor eficaz deve ser corri-
gido para Vrms =
√
V 2cc + V
2
ca.
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Fasor e Nu´meros Complexos
Definic¸a˜o de Fasor
Um fasor e´ um nu´mero complexo que representa a amplitude e a fase de
uma senoide.
Um nu´mero complexo z pode ser representado atrave´s de treˆs formas
distintas:
1 Forma retangular: z = x+ jy, onde j =
√−1;
2 Forma polar: z = r 6 θ;
3 Forma exponencial: z = rejθ.
Conversa˜o retangular-polar:
r =
√
x2 + y2 θ = tan−1
( y
x
)
Conversa˜o polar-retangular:
x = r cos θ y = r sen θ
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Representac¸a˜o Fasorial
Identidade de Euler
Um nu´mero complexo z na forma exponencial pode ser representado na forma re-
tangular atrave´s de
z = e±jθ = cos θ ± jsen θ .
Logo, o cosseno e seno de um aˆngulo qualquer podem ser compreendidos, respecti-
vamente, como a parte real e imagina´ria de uma exponencial complexa.
Sendo assim, considere a senoide na sua forma geral
v(t) = Vmsen (ωt+ θ) ;
De acordo com a Identidade de Euler, podemos representar a senoide atraves
de
v(t) = Im
(
Vme
j(ωt+θ)
)
= Im
(
Vme
jθejωt
)
;
De acordo com a equac¸a˜o anterior, vemos que a parte imagina´ria e´ composta
de um termo que varia com o tempo e outro na˜o. O termo que na˜o varia
com o tempo e´
V = Vme
jθ = Vm 6 θ ,
e e´ conhecido como a representac¸a˜o fasorial da senoide v(t).
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Diagrama Fasorial
Podemos imaginar enta˜o o seno fasorial Vejωt como um vetor no plano com-
plexo, de mo´dulo Vm e fase θ, que gira com velocidade ω no sentido an-
tihora´rio, formando um c´ırculo. A projec¸a˜o do seno fasorialsobre o plano
complexo forma enta˜o o gra´fico de v × t.
A representac¸a˜o de diversos fasores no plano complexo e´ chamada de
diagrama fasorial.
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Transformac¸a˜o para Domı´nio Fasorial
Embora pela definic¸a˜o isto na˜o seja necessa´rio, geralmente quando transforma-
mos uma senoide no domı´nio do tempo para o domı´nio dos fasores utilizamos
o valor eficaz de v(t) como mo´dulo. Logo a conversa˜o do domı´nio do tempo
para o domı´nio dos fasores e´
v(t) = Vmsen (ωt+ θ) ⇔ V = Vm√
2
6 θ ;
Lembre-se que cada fasor e´ definido para uma frequeˆncia ω. Logo, na˜o e´
poss´ıvel fazer operac¸o˜es com fasores de frequeˆncias distintas;
Lembre-se tambe´m que definimos o fasor para o seno. Logo, qualquer senoide
que estiver expressa por meio de cosseno, “menos seno” e “menos cosseno”
devem ser expressadas por meio de seno, atrave´s das relac¸o˜es de fase vistas
anteriormente;
O conceito de fasor, proposto por Charles Steinmetz, simplifica substancial-
mente a ana´lise de circuitos em CA. Para comprovar isto, basta verificar que
a seguinte equac¸a˜o
v(t) = V1sen(ωt+ θ1) + V2 cos(ωt+ θ2)− V3sen(ωt+ θ3)
e´ facilmente resolvida no domı´nio dos fasores. Apo´s a operac¸a˜o no domı´nio
dos fasores, e´ poss´ıvel converter o fasor resultante de volta para o domı´nio do
tempo.
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Derivada e Integral com Fasores
Seja v(t) = Vmsen(ωt+ θ) uma senoide e V sua representac¸a˜o fasorial.
Ao se derivar v(t) em relac¸a˜o ao tempo, tem-se
dv
dt
= ωVm cos(ωt+ θ) = ωVmsen
(
ωt+ θ +
pi
2
)
.
Tomando-se a representac¸a˜o fasorial da derivada, temos
dv
dt
= Im
(
ωVme
j pi
2 ejθejωt
)
= Im
(
jωVejωt
)
.
Logo
dv
dt
⇔ jωV ;
Em relac¸a˜o a integral, e´ poss´ıvel provar, de maneira similar, que∫
vdt ⇔ V
jω
;
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Relac¸o˜es entre Fasores no Resistor
Considere que uma tensa˜o v(t) = Vmsen(ωt + θv) e´ aplicada em um resistor
com resisteˆncia R, gerando uma corrente i(t) = Imsen(ωt + θi), conforme
mostra a figura a seguir.
Pela Lei de Ohm, temos que v(t) = Ri(t). No domı´nio fasorial
Im
(
Vme
jθv
)
= R Im
(
Ime
jθi
)
→ V = RI ;
Em notac¸a˜o polar
Vm√
2
6 θv = R 6 0◦ Im√
2
6 θi ;
Logo, em um resistor vemos que a relac¸a˜o entre tensa˜o e corrente fasorial e´
dada simplesmente por R. Logo, o mo´dulo da tensa˜o fasorial e´ o mo´dulo da
corrente fasorial multiplicado por R e a fase da tensa˜o fasorial e´ a mesma da
corrente fasorial (a tensa˜o e a corrente esta˜o em fase).
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Relac¸o˜es entre Fasores no Resistor
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Relac¸o˜es entre Fasores no Indutor
Considere que uma tensa˜o vL(t) = Vmsen(ωt+ θv) e´ aplicada em um indutor
com indutaˆncia L, gerando uma corrente iL(t) = Imsen(ωt + θi), conforme
mostra a figura a seguir.
Temos que vL(t) = L
diL
dt
. No domı´nio fasorial
Im
(
Vme
jθv
)
= L Im
(
ωIme
j pi
2 ejθiejωt
)
→ V = jωLI ;
Em notac¸a˜o polar
Vm√
2
6 θv = ωL6 90◦ Im√
2
6 θi ;
Logo, em um indutor vemos que a relac¸a˜o entre tensa˜o e corrente fasorial e´
dada simplesmente por jωL. Logo, o mo´dulo da tensa˜o fasorial e´ o mo´dulo
da corrente fasorial multiplicado por ωL e a fase da tensa˜o fasorial e´ fase da
corrente fasorial acrescida de 90◦ (a tensa˜o esta´ adiantada em 90◦ em relac¸a˜o
a` corrente).
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Relac¸o˜es entre Fasores no Indutor
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Relac¸o˜es entre Fasores no Capacitor
Considere que uma tensa˜o vC(t) = Vmsen(ωt+θv) e´ aplicada em um capacitor
com capacitaˆncia C, gerando uma corrente iC(t) = Imsen(ωt+ θi), conforme
mostra a figura a seguir.
Temos que iC(t) = C
dvC
dt
. No domı´nio fasorial
Im
(
Ime
jθi
)
= C Im
(
ωVme
j pi
2 ejθvejωt
)
→ I = jωCV ;
Em notac¸a˜o polar
Im√
2
6 θi = ωC 6 90◦ Vm√
2
6 θv ;
Logo, em um capacitor vemos que a relac¸a˜o entre tensa˜o e corrente fasorial
e´ dada simplesmente por 1/(jωC). Logo, o mo´dulo da tensa˜o fasorial e´ o
mo´dulo da corrente fasorial dividido por ωC e a fase da tensa˜o fasorial e´ fase
da corrente fasorial decrescida de 90◦ (a tensa˜o esta´ atrasada em 90◦ em
relac¸a˜o a` corrente). 19 / 35
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Relac¸o˜es entre Fasores no Capacitor
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Impedaˆncia
Definic¸a˜o
A impedaˆncia Z de um circuito ou elemento e´ definida como sendo a raza˜o
entre a tensa˜o fasorial V e a corrente fasorial I, sendo portanto medida em
Ohms (Ω). Logo, temos o que chamamos de Lei de Ohm Fasorial
V = ZI −→ Z = V
I
Temos enta˜o que a impedaˆncia de um resistor e´
ZR =
V
I
−→ ZR = R = R 6 0◦ = Rej0
◦
;
Temos enta˜o que a impedaˆncia de um indutor e´
ZL =
V
I
−→ ZL = jωL = ωL6 90◦ = ωLej90
◦
;
Temos enta˜o que a impedaˆncia de um capacitor e´
ZC =
V
I
−→ ZC = 1
jωC
=
1
ωC
6 −90◦ = 1
ωC
e−j90
◦
;
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Reataˆncia e Diagrama de Impedaˆncias
A relac¸a˜o entre o mo´dulo da tensa˜o e da corrente fasoriais depende,
obviamente, da frequeˆncia ω da senoide. Uma vez que o comportamento
e´ de oposic¸a˜o a` passagem de corrente ele´trica, damos a esse fenoˆmeno o
nome de reataˆncia, tambe´m medida em Ohms (Ω). Logo, temos que a
reataˆncia indutiva XL e a reataˆncia capacitiva XC sa˜o, respectivamente
XL = ωL = 2pifL XC =
1
ωC
=
1
2pifC
;
Devido ao fenoˆmeno da reataˆncia, o indutor se comporta como um
curto-circuito em baixas frequeˆncias e como um circuito-aberto em al-
tas frequeˆncias. Ja´ o capacitor se comporta de maneira oposta, sendo
um circuito-aberto em baixas frequeˆncias e um curto-circuito em altas
frequeˆncias;
Observe que, embora seja um vetor complexo, a impedaˆncia na˜o e´ um
fasor, pois a posic¸a˜o do vetor Z no plano complexo na˜o depende do
tempo (o vetor na˜o gira a uma frequeˆncia ω no plano complexo). A
representac¸a˜o das impedaˆncias no plano complexo e´ chamada de dia-
grama de impedaˆncias.
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Admitaˆncia
Definic¸a˜o
A admitaˆncia Y de um circuito ou elemento e´ definida como sendo a raza˜o
entre a corrente fasorial I e a tensa˜o fasorial V, sendo portanto medida em
Siemens (S). Logo, temos a outra interpretac¸a˜o Lei de Ohm Fasorial
I = YV −→ Y = I
V
Temos enta˜o que a admitaˆncia de um resistor e´
YR =
I
V
−→ ZR = 1
R
= G = G6 0◦ = Gej0◦ ;
Temos enta˜o que a admitaˆncia de um indutor e´
YL =
I
V
−→ YL = 1
jωL
=
1
ωL
6 −90◦ = 1
ωL
e−j90
◦
;
Temos enta˜o que a admitaˆncia de um capacitor e´
YC =I
V
−→ YC = jωC = ωC 6 90◦ = ωCej90
◦
;
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Susceptaˆncia e Conversa˜o Y − Z
A relac¸a˜o entre o mo´dulo da corrente e da tensa˜o fasoriais depende, obvi-
amente, da frequeˆncia ω da senoide. Uma vez que o comportamento e´ de
facilidade a` passagem de corrente ele´trica, damos a esse fenoˆmeno o nome
de susceptaˆncia, tambe´m medida em Siemens (S). Logo, temos que a sus-
ceptaˆncia indutiva BL e a susceptaˆncia capacitiva BC sa˜o, respectivamente
BL =
1
ωL
=
1
2pifL
BC = ωC = 2pifC ;
Observe que Z =
1
Y
;
Temos enta˜o que a impedaˆncia e a admitaˆncia sa˜o dadas, respectivamente,
por
Z = R+ jX =
√
R2 +X2 6 tan−1 (X/R)
Y = G+ jB =
√
G2 +B2 6 tan−1 (B/G) ;
Com isso, e´ poss´ıvel obter a condutaˆncia e a susceptaˆncia de uma impedaˆncia
atrave´s de
G =
R
R2 +X2
B = − X
R2 +X2
;
De maneira similar, e´ poss´ıvel obter a resisteˆncia e a reataˆncia de uma ad-
mitaˆncia atrave´s de
R =
G
G2 +B2
X = − B
G2 +B2
.
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Poteˆncia em Corrente Alternada (Introduc¸a˜o)
A poteˆncia ele´trica instantaˆnea e´ dada por
p(t) = v(t)i(t) ;
Para corrente alternada, temos que v(t) = Vmsen(ωt + θv) e que i(t) =
Imsen(ωt+ θi). Logo
p(t) = VmImsen(ωt+ θv)sen(ωt+ θi) ;
Atrave´s de identidades trigonome´tricas, e´ poss´ıvel provar que a equac¸a˜o acima
pode ser desenvolvida em
p(t) =
VmIm
2
cos(θv − θi)− VmIm
2
cos (2ωt+ θv + θi)
Da equac¸a˜o acima, veˆ-se que parte da poteˆncia instantaˆnea na˜o depende do
tempo. Esta parcela e´
Pav =
VmIm
2
cos(θv − θi) ,
e e´ chamada de poteˆncia me´dia. Uma vez que o cosseno e´ uma func¸a˜o par, a
poteˆncia me´dia independe se a tensa˜o esta´ atrasada ou adiantada em relac¸a˜o
a` corrente;
Em valores rms, temos que a poteˆncia media e´
Pav =
√
2Vrms
√
2Irms
2
cos(θv − θi) = VrmsIrms cos(θv − θi) .
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Poteˆncia Me´dia e Fator de Poteˆncia
Entretanto, vemos que a poteˆncia me´dia depende da diferenc¸a entre a fase da
tensa˜o e da corrente. Para um resistor, tensa˜o e corrente esta˜o em fase, e logo
θv = θi. Sendo assim
Pav = VrmsIrms cos(0
◦) = VrmsIrms [W] ;
Para um indutor, a tensa˜o esta´ 90◦ adiantada em relac¸a˜o a` corrente. Logo,
θv = θi + 90
◦. Sendo assim
Pav = VrmsIrms cos(90
◦) = 0 ;
Para um capacitor, a tensa˜o esta´ 90◦ atrasada em relac¸a˜o a` corrente. Logo,
θv = θi − 90◦. Sendo assim
Pav = VrmsIrms cos(−90◦) = 0 ;
Logo, vemos que a poteˆncia me´dia dissipada em capacitores e indutores e´
sempre nula;
O termo cos(θv − θi) e´ frequentemente chamado de fator de poteˆncia (Fp),
e seu valor flutua entre 0 (carga puramente reativa) e 1 (carga puramente
resistiva). Como o cosseno e´ uma func¸a˜o par, o valor do fator de poteˆncia
na˜o indica o teor da carga. Desta forma, geralmente se indica, ale´m do valor
do fator de poteˆncia, se ele e´ adiantado (predominantemente capacitivo) ou
atrasado (predominantemente indutivo). Isso se deve a` ana´lise da fase da
corrente em relac¸a˜o a` da tensa˜o.
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Introduc¸a˜o a` Ana´lise de Circuitos em CA
Dado um circuito ele´trico em corrente alternada, o primeiro passo a
se fazer e´ transformar todas as varia´veis do domı´nio do tempo para
o domı´nio dos fasores. Quando isto e´ feito, toda a ana´lise de circui-
tos em corrente cont´ınua pode ser extendida, fazendo-se as genera-
lizac¸o˜es necessa´rias: resisteˆncias devem ser trocadas por impedaˆncias,
condutaˆncias por admitaˆncias, tenso˜es e correntes por tenso˜es e corren-
tes fasoriais, etc. Ate´ mesmo as Leis de Kirchoff podem ser generaliza-
das para o domı´nio dos fasores. Logo, todos os procedimentos, regras,
me´todos e teoremas de ana´lise de circuitos sa˜o prontamente extendidos
para circuitos CA no domı´nio dos fasores.
Lei de Kirchoff Fasorial para as Tenso˜es
A soma alge´brica das tenso˜es fasoriais ao longo de um caminho fechado e´
sempre nula. Ou seja
N∑
i=1
Vi = 0 ,
ou ∑
Velevac¸o˜es =
∑
Vquedas .
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Introduc¸a˜o a` Ana´lise de Circuitos em CA
Lei de Kirchoff Fasorial para as Correntes
A soma alge´brica das correntes fasoriais em um no´ e´ sempre nula. Ou seja
N∑
i=1
Ii = 0 ,
ou ∑
Ientram =
∑
Isaem .
Associac¸a˜o Se´rie de Impedaˆncias
Para N impedaˆncias conectadas em se´rie, a impedaˆncia equivalente Zeq e´
Zeq = Z1 + Z2 + . . .+ ZN .
Associac¸a˜o Paralelo de Impedaˆncias
Para N impedaˆncias conectadas em paralelo, a impedaˆncia equivalente Zeq
e´
1
Zeq
=
1
Z1
+
1
Z2
+ . . .+
1
ZN
.
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Introduc¸a˜o Senoides Fasores Impedaˆncia e Admitaˆncia Poteˆncia Introduc¸a˜o aos Circuitos CA Exerc´ıcios Exerc´ıcios Sugeridos
Introduc¸a˜o a` Ana´lise de Circuitos em CA
Associac¸a˜o Se´rie de Admitaˆncias
Para N admitaˆncias conectadas em se´rie, a admitaˆncia equivalente Yeq e´
1
Yeq
=
1
Y1
+
1
Y2
+ . . .+
1
YN
.
Associac¸a˜o Paralelo de Admitaˆncias
Para N admitaˆncias conectadas em paralelo, a admitaˆncia equivalente Yeq e´
Yeq = Y1 + Y2 + . . .+ YN .
Divisor de Tensa˜o com Impedaˆncias
Seja V a tensa˜o aplicada em um ramo com N impedaˆncias conectadas em
se´rie. A tensa˜o Vx em uma impedaˆncia Zx qualquer e´ dada por
Vx = V
Zx
Z1 + Z2 + . . .+ ZN
.
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Introduc¸a˜o Senoides Fasores Impedaˆncia e Admitaˆncia Poteˆncia Introduc¸a˜o aos Circuitos CA Exerc´ıcios Exerc´ıcios Sugeridos
Introduc¸a˜o a` Ana´lise de Circuitos em CA
Divisor de Tensa˜o com Admitaˆncias
Seja V a tensa˜o aplicada em um ramo com 2 admitaˆncias conectadas em
se´rie. A tensa˜o V1 na admitaˆncia Y1 e´ dada por
V1 = V
Y2
Y1 + Y2
.
Divisor de Corrente com Admitaˆncias
Seja I a corrente em um no´ com N admitaˆncias conectadas em paralelo. A
corrente Ix em uma admitaˆncia Yx qualquer e´ dada por
Ix = I
Yx
Y1 + Y2 + . . .+ YN
.
Divisor de Corrente com Impedaˆncias
Seja I a corrente em um no´ com 2 impedaˆncias conectadas em paralelo. A
corrente I1 na impedaˆncia Y1 e´ dada por
I1 = I
Z2
Z1 + Z2
.
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Introduc¸a˜o Senoides Fasores Impedaˆncia e Admitaˆncia Poteˆncia Introduc¸a˜o aos Circuitos CA Exerc´ıcios Exerc´ıcios Sugeridos
Exerc´ıcios
Exerc´ıcio 10.1
Converta os seguintes sinais de tensa˜o e corrente para o domı´nio
dos fasores:
(a) v(t) =
√
2 127sen(377t+ 60◦) [V];
(b) i(t) = 16, 78 cos(1000t− 45◦) [A];
(c) v(t) = −5sen(20t− 30◦) [V];
(d) i(t) = −20, 39 cos(500t+ 20◦) [A].
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Introduc¸a˜o Senoides Fasores Impedaˆncia e Admitaˆncia Poteˆncia Introduc¸a˜o aos Circuitos CA Exerc´ıcios Exerc´ıcios Sugeridos
Exerc´ıcios
Exerc´ıcio 10.2
Para o circuito ele´trico em corrente alternada da figura abaixo:
(a) Calcule a impedaˆncia vista pela fonte ZT ;
(b) Calcule a corrente fasorial fornecida pela fonte I;
(c) Calcule as tenso˜es fasoriais VR e VC ;
(d) Calcule o fator de poteˆncia e a poteˆncia me´dia fornecida pela fonte;
(e) Desenhe o diagrama fasorial;
(f) Desenhe o diagrama de impedaˆncias.
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Introduc¸a˜o Senoides Fasores Impedaˆncia e Admitaˆncia Poteˆncia Introduc¸a˜o aos Circuitos CA Exerc´ıcios Exerc´ıcios Sugeridos
Exerc´ıcios
Exerc´ıcio 10.3
Para o circuito ele´trico em corrente alternadada figura abaixo:
(a) Calcule a admitaˆncia vista pela fonte YT ;
(b) Calcule a tensa˜o fasorial fornecida pela fonte V;
(c) Calcule as correntes fasoriais VR, VL e VC ;
(d) Calcule o fator de poteˆncia e a poteˆncia me´dia fornecida pela fonte;
(e) Desenhe o diagrama fasorial;
(f) Desenhe o diagrama de impedaˆncias.
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Exerc´ıcios
Exerc´ıcio 10.4
Considere o circuito ele´trico em corrente alternada da figura abaixo. Sabendo que
a equac¸a˜o da fonte de corrente e´ is(t) =
√
2 20 cos(1000t − 45◦) [A], e que Z1 =
20 + j30 [Ω], Z2 = 25 6 −40◦ [Ω], Z3 = 10− j25 [Ω] e Z4 = 33 6 60◦ [Ω], calcule:
(a) A impedaˆncia total ZT e a admitaˆncia total YT vistas pela fonte de
corrente;
(b) A tensa˜o fasorial fornecida pela fonte de corrente;
(c) A corrente fasorial I1;
(d) A corrente fasorial I2;
(e) A tensa˜o fasorial Vab;
(f) O fator de poteˆncia e a poteˆncia me´dia fornecida pela fonte.
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Introduc¸a˜o Senoides Fasores Impedaˆncia e Admitaˆncia Poteˆncia Introduc¸a˜o aos Circuitos CA Exerc´ıcios Exerc´ıcios Sugeridos
Boylestad 12a Edic¸a˜o
Cap´ıtulo 13: 26, 27, 28, 33 e 34;
Cap´ıtulo 14: 9, 10, 16, 17, 28, 31, 52, 53 e 54. Os exerc´ıcios
37 a 51 sa˜o opcionais e sa˜o indicados para aqueles que na˜o
esta˜o familiarizados com operac¸o˜es com nu´meros complexos;
Cap´ıtulo 15: 9, 10, 15, 17, 29, 30, 31 e 39;
Cap´ıtulo 16: 2, 3, 6, 8, 9 e 10;
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	Introdução
	Senoides
	Fasores
	Impedância e Admitância
	Potência
	Introdução aos Circuitos CA
	Exercícios