Unidade-I-Gravitacao

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 6 
Unidade I - Gravitação 
 
 
fig. I.1. A figura mostra a interação gravitacional entre a Lua e a Terra. 
 
1. Situando a Temática 
 
 O propósito desta unidade temática é o de introduzir a lei da 
gravitação Newtoniana. Estudaremos a lei da gravitação universal formulada 
por Newton, a constante gravitacional G e sua medida, a aceleração da 
gravidade g de corpos caindo próximos à Terra, as órbitas dos planetas, a 
energia potencial gravitacional, a velocidade de escape, a ação gravitacional 
de uma massa esférica, a massa inercial e massa gravitacional com o 
princípio de equivalência. A fig. I.1 mostra a Lua em seu movimento orbital 
em volta da Terra e através da formulação Newtoniana da gravitação 
universal, a Lua e a Terra estão ligadas por uma força. 
 
2. Problematizando a Temática 
 
 A alta precisão da mecânica celeste é legendária. Cálculos usando as 
leis de Newton do movimento e a lei de Newton da gravitação permitiu 
predições para o movimento de planetas, satélites e cometas. Essa 
abordagem teórica concorda muito precisamente com as observações 
astronômicas. Por exemplo, predições de posições angulares planetárias 
concordam com as observações com uma precisão de poucos segundos de 
arco, mesmo depois de um período de dez anos. A teoria da gravitação 
Newtoniana provou ser eficiente quando astrônomos notaram um 
movimento anômalo de Urano. Eles previram que esse movimento anômalo 
estaria sendo provocado por uma força gravitacional vinda de uma massa nas 
2
Gm ML TF
r
 
1
2
R Rg T    
 
r 
 7 
vizinhanças daquele planeta. Um novo planeta foi encontrado, Netuno. 
 A força gravitacional é uma das quatro forças da natureza. Apesar de 
permear todo o nosso espaço físico, agindo sobre massas, é uma força de 
muito pouca intensidade quando comparada às forças fraca, forte e 
eletromagnética. Quando calculamos essa força entre dois prótons separados 
por uma distância de 15102  m obtemos um valor de 3410 N, enquanto 
obtemos 100 N para força eletromagnética. 
 A principal aplicação da gravitação é na astronomia, viagens 
espaciais de satélites, na medicina, etc. Apesar da gravitação de Newton ser 
uma teoria de alta precisão, algumas observações, como o desvio do periélio 
de Mercúrio, não coincidem com os cálculos previstos por essa teoria. Ao 
contrário da gravitação formulada pela Relatividade Geral, os dados 
observacionais do desvio do periélio de Mercúrio vêm a ser confirmados por 
essa outra teoria. 
 Atualmente, problemas fundamentais da física continuam a existir, 
por exemplo, como explicar a expansão acelerada do universo. Algumas 
tentativas estão sendo feitas, agora formulando a gravitação com teorias mais 
gerais do que a Relatividade Geral. 
 
3. A Lei de Newton da Gravitação Universal 
 
 Foi Newton quem descobriu que a força interplanetária que mantém 
os corpos celestes em suas órbitas é a força gravitacional. A lei da 
gravitação universal formulada por Newton estabelece que: 
Uma partícula atrai uma outra com uma força diretamente proporcional ao 
produto de suas massas e inversamente proporcional ao quadrado da 
distância entre elas. 
 A intensidade da força gravitacional entre duas massas 1m M e 
2m m separadas por uma distância r é 
 
2r
GMmF  eq. I.1 
 
 
 
 
fig. I-2. Interação gravitacional entre duas massa. 
 
onde G é a constante universal. Seu valor em unidades internacionais ou 
métrica é 
 
2211 /1067,6 kgNmG  
 
 A fig. I-2 mostra a direção da força atrativa sobre cada partícula. 
Note que as duas forças são de igual intensidade e direções opostas, elas 
formam um par ação e reação. Por outro lado, a ação da força é a distância, 
 
 8 
não requerendo contado entre as partículas e a atração gravitacional entre 
duas partículas é completamente independente da presença de outras 
partículas. Segue que a força gravitacional obedece ao princípio da 
superposição linear, isto é, a força gravitacional líquida entre dois corpos 
(por exemplo, Terra e Lua) é o vetor soma das forças individuais entre todas 
as partículas que compõem os corpos. Podemos assim usar este fato para 
aproximarmos os corpos celestes como partículas pontuais. 
 
4. Força Gravitacional Exercida pela Terra sobre uma Partícula 
 
 Aproximando a Terra e um corpo próximo a ela por um ponto, a 
força gravitacional exercida pela Terra sobre este corpo (partícula) é 
 
 2r
mGMF T ou 
r
r
r
mGMF T


 2 eq. I.2 
 
onde r é a distância medida do centro da Terra à partícula fora da Terra. Se a 
partícula está dentro da Terra a força é menor. 
 Se a partícula está na superfície da Terra em TRr  , então a eq. I.2 
 2
T
T
R
mGMF  eq. I.3 
 
A corresponde aceleração da massa m é 
 
 g
R
GM
m
Fa
T
T  2 eq. I.4 
Mas essa aceleração é exatamente aquela que chamamos aceleração da 
gravidade g. 
Em geral teremos a aceleração para uma distância r 
 
 g
r
R
r
GMa TT 2
2
2  eq. I.5 
 
fig. I.4. Gráfico da aceleração em m/s 2 da gravidade versus distância radial r em 
metros. 
TR 2 TR 3 TR 
4,9 
9,8 
 a 
r 
 
fig. I.3. Força gravitacional 
entre duas partículas. 
 
 9 
 
fig. I.5. Experimento de Cavendish. 
 
5. A Medida da Constante Gravitacional 
 
 A constante G é muito difícil de ser medida com 
precisão. Isto ocorre devido às forças gravitacionais entres 
massas no laboratório serem pequenas e portanto os 
instrumentos para detectar estas forças serem extremamente 
sofisticados. As medidas de G são feitas com uma balança de 
torsão de Cavendish. 
 
 
 O valor da constante G é determinado através da 
aproximação das pequenas massas das massas grandes e a 
comparação dos torques surgidos no cabo central de 
sustentação. 
 
 
 
 
6. Órbitas dos Planetas 
 
É razoável considerarmos o Sol fixo e imóvel estudando apenas o 
movimento dos planetas. 
Se supusermos as órbitas dos planetas aproximadamente circulares 
de raio r, a força gravitacional age como uma força centrípeta, tendo o Sol 
como o corpo central. Se a velocidade do planeta é v, a equação de 
movimento 
 
 
2
2
2 vr
GM
r
mvF
r
mGM
F sc
s  eq. I.6 
Temos que 
2r
v
T

 , onde T é chamado o período da órbita. Assim o 
período para órbita circular é dado por 
3
2
2 4 r
GM
T
s

 eq. I.7 
 Mesmo as órbitas dos planetas em torno do Sol sendo 
aproximadamente circulares nenhuma dessas órbitas é circular. Foi Kepler 
que mostrou através das observações este fato. Isso é a primeira lei de 
Kepler: 
‘As órbitas dos planetas são elipses com o Sol em um 
dos focos’ 
 
fig. I.6. Uma órbita elíptica de um planeta, com o Sol em 
um dos focos. 
 
 A segunda lei de Kepler expressa essencialmente a conservação do 
momentum angular do planeta em torno do Sol, já que a força gravitacional 
 10 
fig. I.7. Lei de Kepler das áreas 
é uma força central. Ela é chamada lei das áreas. 
‘O segmento de reta que une o Sol ao planeta varre áreas iguais 
em tempos iguais’ 
 A terceira lei de Kepler relaciona o período da órbita 
ao tamanho dela. Uma generalização da equação eq. I..7: 
‘O quadrado do período é proporcional ao cubo do semi-eixo 
maior da órbita do planeta’ 
 As três leis de Kepler são também aplicadas a satélites e a 
cometas. Também são aplicadas a órbitasde estrelas, como em 
sistemas binários de estrelas. Por outro lado, são aplicadas a movimento 
de projéteis próximos da Terra. 
 Notamos que na nossa descrição matemática do movimento 
planetário não contemplamos as forças dos outros planetas muito menores 
do que a do Sol. Porém, num tratamento mais preciso, essas forças devem 
ser levadas em conta. A força líquida sobre qualquer um dos planetas é então 
uma função da posição de todos os outros planetas. A solução da equação do 
movimento envolve o problema de muitos corpos. No cálculo do movimento 
de um planeta é incluído o cálculo do movimento dos outros planetas. Não 
temos uma solução exata desse problema, apenas cálculos envolvendo 
análise numérica. Dessa forma as leis de Kepler descrevem uma primeira 
aproximação do movimento planetário. Isto resulta no desvio do periélio de 
alguns planetas. 
 
7. Energia Gravitacional 
 
Sabemos do estudo da mecânica que a força gravitacional é uma 
força conservativa, isto é, o trabalho realizado por esta força para deslocar 
uma partícula de um ponto a outro somente depende da localização destes 
pontos e não do caminho entre eles. Assim podemos definir a energia 
potencial gravitacional 
)()( 0PUrdFrU
r
 


 eq. I.7 
Tomamos aqui um ponto numa distância infinita da massa central M 
e colocamos 0)( 0 PU . Note que esta integral pode ser calculada para 
qualquer caminho, em particular numa linha reta. Então, 
 
r
GMmdxiixGMmPUrdFrU
rr






 )/(0)()( 20 q.I.8 
 
Veja que a energia potencial gravitacional cresce com a distância, de 
um valor negativo para zero. Isto decorre naturalmente pelo fato da força ser 
atrativa. Por outro lado essa energia é mútua, de M e m, mas por exemplo se 
M >> m podemos dizer que a energia é apenas de m, já que praticamente M 
 11 
não se move. 
Algumas vezes é desejável calcular a força da energia potencial. 
Suponha que dois pontos P e Q são separados apenas por um deslocamento 
infinitesimal 

rd , então U(P) será diferente de U(Q) somente por uma 
quantidade infinitesimal, 
dzFdyFdxFrdFQUPUdU zyx 

)()( , assim 
)(),,(










 rU
z
U
y
U
x
UF . 
Neste caso dizemos que 

F provém de um potencial. Podemos rever 
este resultado em um curso básico de cálculo. 
A energia total é igual a U+K, mas se M é estática, então a energia 
cinética K é devida apenas ao movimento de m, assim pela conservação de 
energia, 
 
.
2
1 2 const
r
GMmmvKUE  eq. I.9 
 
Da eq. I.6 e eq. I.9 podemos calcular facilmente a energia para uma órbita 
circular: 
 
r
mGM
r
mGM
r
mGM
KUE sss
2
1
2
1
 eq. I.10 
 
 A energia negativa E é exatamente a metade da energia potencial. 
Para uma órbita elíptica a energia total é também negativa. Pode-se mostrar 
que E é escrito como na eq. I.10, substituindo r pelo semi-eixo maior da 
elipse. A energia total não depende do formato da elipse e sim do seu 
tamanho global. Se a energia é próxima de zero, então o tamanho da órbita é 
muito grande. O que caracteriza as órbitas de cometas, indo além do limite 
do sistema solar. Se a energia é exatamente zero, então a elipse torna-se uma 
parábola, para distâncias infinitas e velocidade zero. Se a energia é positiva, 
então a órbita é uma hipérbole, o astro alcança distâncias infinitas com 
velocidades diferentes de zero e continua movendo-se em linha reta. 
 Para um detalhamento sobre as órbitas dos planetas podemos estudar 
as curvas de potencial através da eq. I.9, calculando-se a expressão da 
velocidade para determinar qualitativamente: pontos de retorno e equilíbrio, 
níveis de energia, órbitas ligadas e não ligadas. Ou, de forma mais precisa, 
muito mais difícil, resolver uma equação diferencial definida pela eq. I.9 
para a posição da partícula. 
 
 Um objeto de massa m na superfície de um astro de massa M está 
sujeito a uma força da gravidade exercida por tal astro. Qual deve ser a 
velocidade inicial mínima aproximada que deverá ser lançado o objeto, da 
superfície do astro, para que ele não retorne mais? Como tal objeto escapará 
do astro? A velocidade correspondente é chamada velocidade de escape. No 
infinito a velocidade do objeto é zero e a energia potencial também. Dessa 
 12 
forma E = 0, como a única força que realiza trabalho é a gravitacional, que é 
conservativa, então na superfície, 

T
T
R
mGMmvUKE 2
2
10 
 
T
T
R
GMv 2 eq. I.11 
 
Note que estamos considerando um corpo lançado em pontos acima da 
superfície da Terra onde, aproximadamente, o atrito com o ar é zero e a força 
do Sol sobre ele tem um pequeno efeito. 
 
8. O Campo Gravitacional 
 
 Uma abordagem para descrever interações entre objetos na Terra que 
não estão em contato, veio com o conceito de um campo gravitacional o qual 
permeia nosso espaço físico. O campo gravitacional é definido como 
 

 F
m
g 1 eq. I.12 
 
O campo gravitacional em um ponto do espaço é igual à força 
experimentada por uma partícula teste colocada no ponto multiplicada 
escalarmente pelo inverso da massa da partícula. Note que a presença da 
partícula teste não é necessária para o campo existir. A Terra cria o campo. 
Como exemplo, considere um objeto de massa m próximo a superfície da 
Terra. O campo gravitacional a uma distância r do centro da Terra é 
 



r
r
r
mGM
m
F
m
g T2
11
 
 
 

 r
r
GMg T2 eq. I.13 
 
onde 

 rr
r
1
 é o vetor unitário apontando radialmente em direção à Terra e 
o sinal menos indica que o campo está na direção do centro da Terra. 
 
9. Interação Gravitacional entre uma Partícula e um Objeto Extenso 
 
 Notemos que até agora a interação gravitacional que estamos 
considerando é entre partículas. Porém agora temos interesse em saber como 
tratamos o caso de interação gravitacional entre objetos extensos. 
 Se uma partícula de massa m interage gravitacionalmente com um 
objeto extenso de massa M, a força gravitacional total exercida pelo objeto 
sobre a partícula pode ser obtida dividindo o objeto em vários elementos de 
 13 
massa iM para tomar o vetor soma sobre todas as forças exercidas por 
todos os elementos. A energia potencial para qualquer um desses elementos 
é dada por ii rMGmU / , como podemos ver na fig. I.8. 
 
A energia potencial total do sistema de partículas de massa M é obtida, 
quando tomamos 0 iM , 
dM
U Gm
r
   eq. I.14 
Agora calculamos a força gravitacional através de drdU / para obter 
 

 rr
dMGmF 3 eq. I.15 
onde 


 r
r
r
 é o vetor unitário dirigido do elemento dM em direção a 
partícula e o sinal menos indica que a direção da força é oposta a de 

r . 
 
10. Teorema de Newton da Interação Gravitacional entre Distribuições 
Esféricas de Massa 
 
 Vamos mostrar um teorema muito importante que trata da interação 
entre corpos extensos com simetria esférica. Os planetas, bem como outros 
corpos, podem ser considerados com esta simetria. 
 
Teorema: A interação gravitacional entre dois corpos que possuem 
distribuições de massa com simetria esférica, para pontos externos das 
esferas, é igual à interação gravitacional entre duas partículas localizadas 
nos centros dessas esferas. 
Prova: 
Podemos começar calculando a energia potencial total entre uma casca 
esférica, dividindo a casca em elementos de massa  iM , e uma 
partículam no seu exterior, 
)(


i
i
r
MGmU eq. I.15 
onde ir é a distância entre iM e m. 
Tome um anel da casca como na 
fig. I.9 
 
 
Tome um anel de uma casca 
esférica, obviamente a reunião 
de desses anéis nos dá a casca 
inteira. O anel está a uma 
distância Lri  da partícula 
m. O anel tem uma largura Rd , um raio Rsenθ e uma circunferência 
m 
 
fig. I.8. Interação entre uma 
 partícula e um objeto extenso 
de massa M. 
 
fig. I. 9. Interação gravitacional entre duas massas esféricas. 
 
 14 
 Rsen2 e assim à área da superfície do anel é  dsenR22 . A massa 
do anel é proporcional a área dessa superfície. Como a massa total M é 
uniformemente distribuída sobre a área total 24R da casca, podemos 
escrever 


 dMsen
R
dsenRMM i 2
1
4
2
2
2
 para massa do anel. 
No limite 0 iM e encontramos da eq. I.15 
 
 L
dGmMsenU
2
 eq. I.16 
Aplicando a lei dos cossenos, cos2222 rRrRL  e calculando 
ddL / , onde r e R são constantes, RrL  como maior valor de L e 
RrL  como menor valor de L, teremos 
 
)2(
2
][
22
R
rR
GmML
rR
GmMdL
rR
GmMU Rr Rr
Rr
Rr
 

 
 
r
GmMU  eq.I.17 
 
 Esse resultado mostra que a energia potencial é calculada como se 
toda a massa estivesse em seu centro. Então a força, drdU / , entre a 
casca e a partícula é exatamente calculada como se toda a massa estivesse no 
centro. 
 A distribuição de massa esférica é uma coleção de cascas esféricas. 
Assim a força gravitacional entre a distribuição de massa esférica e a massa 
m será calculada como se toda a massa da esfera estivesse no seu centro, 
quando aplicado o princípio da superposição de forças. Note que este 
resultado permanece para uma densidade de massa não uniforme. Pela 
terceira lei de Newton, a distribuição de massa sente igual força. Agora se 
substituímos a partícula de massa m por uma distribuição de massa esférica, 
e indagamos sobre a força de atração gravitacional entre as distribuições de 
massa esférica, pelos argumentos acima é fácil ver que a força gravitacional 
é calculada como se as massas estivessem concentradas em um ponto. 
Terminando assim a prova do teorema. 
 Se agora a partícula está dentro da distribuição esférica o cálculo 
procede de forma análoga, isto é, apenas os limites da última integral são 
trocados para rRL  e rRL  , para obtermos, 
 
R
GmMU  eq. I.18 
 
 Note que U é constante, dessa forma quando m se move no interior 
da esfera nenhum trabalho é realizado sobre ela, como consequência a força 
gravitacional é igual a zero em qualquer ponto no interior da casca esférica. 
 Para uma distribuição de massa esférica consideremos uma partícula 
dentro dessa distribuição. A força líquida que temos é devido à massa 
 15 
contida em um raio menor do que o raio onde a partícula está, como se a 
massa dessa parte da esfera estivesse concentrada em seu centro. Assim, de 
uma forma geral, teremos para intensidade de 

F 
 
2
)(
r
rGmMF  eq. I.19 
onde M(r) é a quantidade de massa contida dentro da massa esférica, cujo o 
raio é r, calculado a partir da localização da massa m. Esta é a força 
gravitacional sobre uma partícula localizada dentro de uma massa esférica. 
 
11. Massa Gravitacional, Massa Inercial e o Princípio de Equivalência 
 
 Quando a massa de um corpo é medida de acordo com sua inércia, 
dizemos que essa massa é inercial. Isto é, quando queremos medir a massa 
de um corpo, comparamos a massa desconhecida com uma massa padrão, 
fazendo-se exercer forças uma sobre a outra e calculando as razões das 
acelerações obtendo a razão inversa dessas massas. De acordo com essa 
definição, massa é a medida de sua inércia, ou seja, a medida da oposição 
que o corpo oferece a qualquer mudança de seu estado de movimento. 
 Por outro lado, quando medimos massa através de um peso padrão 
através de uma balança comparamos a força gravitacional que a Terra exerce 
sobre as massas. A massa medida dessa forma é chamada massa 
gravitacional. 
 Seria razoável que a massa de um corpo tivesse a mesma medida por 
ambos os métodos. 
 Sejam 1P e 2P os pesos de dois corpos, se 21 PP  , teremos 
2121 mmgmgm  . Isto é, as massas inerciais são iguais. A igualdade 
dessas massas inerciais se mantém devido ao fato delas poderem cair 
livremente com a mesma aceleração. 
 Por outro lado, podemos de um sistema referência acelerado simular 
os efeitos da gravidade. A similaridade entre os dois efeitos é chamada de 
princípio de equivalência. Por exemplo, se estamos num elevador fechado, 
em queda livre, não saberemos se estamos em um sistema acelerado ou se 
sujeitos a um campo gravitacional. 
 
Exercícios Resolvidos 
 
Exemplo I. 1 
Qual é a força gravitacional entre um homem de 70 kg e uma mulher de 70 kg 
quando estão separados por uma distância de 10m? Trate as massas como particulas. 
Solução: 
N
m
kgkgkgmN
r
mGMF T 92
2211
2 103,3)10(
7070/.1067,6   . 
Exemplo I. 2 
 16 
As órbitas do planeta Vênus e da Terra são aproximadamente circulares quando 
giram em torno do Sol. O período de Venus é 0,615 anos e o da Terra é 1 ano. 
Mostre que os raios das órbitas são tais que .38,1 VT rr  
Solução: 
De fato, usamos 3
2
2 4 r
GM
T
s

 para ambos os planetas para chegarmos a 
relação, 
38,1
)615,0(
)1(
5,1
5,1
5,1
5,1

ano
ano
T
T
r
r
V
T
V
T . 
 
Exemplo I. 3 
Sabendo-se que o raio médio orbital da Terra é m1110496,1  , calcule a massa do 
Sol. 
Solução: 
Usamos kg
GT
rMr
GM
T s
s
30
2
32
3
2
2 10989,144   , onde 
T= s710156,3  . 
 
Exemplo I. 4 
Um astronauta está em uma espaçonave com uma órbita circular de raio 
km3106,9  ao redor da Terra. Em um ponto da órbita ele faz a nave impulsionar 
para frente e reduz sua velocidade. Isto coloca a nave em uma nova órbita elíptica 
com apogeu igual ao raio da órbita velha, mas com perigeu menor. Suponha que o 
perigeu da nova órbita é km3100,7  . Compare os períodos da nova e velha 
órbita. 
Solução: 
O período da órbita velha, que é circular, sr
GM
T
T
velha
33
2
104,94   , 
enquanto de acordo com a terceira lei de Kepler o período da nova, que é elíptica, 
sa
GM
T
T
nova
33
2
105,74   , onde 
2/)100,7106,9( 33 kmkma  , a sendo o semi-eixo maior. Então o 
período da nova órbita é aproximadamente 20% menor do que o da velha. Mesmo o 
astronauta diminuindo sua velocidade no apogeu, ele leva menos tempo para 
completar a órbita. A razão disso vem do fato que o piloto cresceu sua velocidade no 
perigeu e encurtou a distância em torno da órbita. 
 
Exemplo I. 5 
Sabendo-se que o periélio de Mercúrio é m9109,45  e o afélio m9108,69  
encontre a velocidade de Mercúrio no periélio e no afélio. 
 
Solução: 
 
 17 
Note que no afélio e periélio as velocidades são perpendiculares ao raio assim a 
norma do momentum angular de cada ponto é dado por pPrmv e aa rmv . Usando a 
conservação de momentum angular 
aapP rmvrmv  
Por conservação de energia mecânica 
a
S
a
p
S
p r
mGMmv
r
mGMmv  22
2
1
2
1
. 
Substituindo a equação anterior nesta última, obtemos facilmente, 
smv p /1091,5
4 e smva /1088,3
4 . 
Exemplo I. 6 
Um ‘meteoróide’ está inicialmente em repouso no espaço interplanetário a uma 
grande distância do Sol. Devido a influência da gravidade, ele começa a cair em 
direção ao Sol ao longo de uma linha radial. Com qual velocidade ele colide com o 
Sol? 
Solução: 
A energia do ‘meteoróide’ é 
.
2
1 2 const
r
mGMmvE S  
Inicialmente U = 0 e K = 0, já quev = 0 e r  . Assim em qualquer tempo depois 
0
2
1 2 
r
mGMmvE S ou 
r
GMv S2 , no momento do impacto, 
SRr  , onde mRS
81096,6  . Logo smv /1018,6 5 . Essa quantidade 
é chamada velocidade de escape, caso o corpo estivesse sendo lançado do Sol. 
 
Exemplo I. 7 
Qual a energia potencial gravitacional de uma partícula na vizinhança da Terra? 
Solução: 
Sabemos que, 
r
mGMrU T)( 
A mudança de energia potencial entre o ponto r e o ponto sobre a superfície 
da Terra é então 
T
TT
T R
mGM
r
mGMRUrUU  )()( 
Se TRr  e zRr T  é a altura acima da superfície da Terra da partícula m 
gmzz
R
mGMU
T
T  2 . 
Essa é nossa velha expressão da energia potencial gravitacional de uma partícula de 
massa m a uma altura z da superfície da Terra. Note que esta aproximação que 
fizemos vale para TT RzRr  . 
Exemplo I. 8 
 18 
Uma esfera tem massa M e raio R. Encontre a força gravitacional sobre uma 
partícula de massa m em um raio Rr  . 
Solução: 
A massa contida na esfera de raio r é diretamente proporcional ao volume 3/4 3r . 
A massa total M é distribuída sobre o volume 3/4 3R . Assim 
3
3
3
3
3/4
3/4)(
R
Mr
R
rMrM 


 e r
R
GmM
r
rGmMF 32
)(
 
 
Note que a força cresce diretamente proporcional ao raio r, quando r = R a força 
para de crescer e começa a decrescer com 2/1 r . 
 
Exercícios Propostos 
 
Exercício I. 1 
Um satélite de comunicações tem uma órbita circular equatorial ao redor da Terra. 
O período da órbita é exatamente um dia, pois o satélite sempre permanece numa 
posição fixa relativa a rotação da Terra. Qual deve ser o raio de tal órbita 
geoestacionária? 
Resposta: mr 71023,4  
 
Exercício I. 2 
A massa 1m de uma das esferas pequenas da balança de Cavendish é igual a 0,0100 
kg, a massa 2m de uma das esferas grandes é igual a 0,500 kg, e a distância entre o 
centro de massa da esfera pequena e o centro de massa da esfera grande é igual a 5 
cm. Calcule a força gravitacional F sobre cada esfera produzida pela esfera mais 
próxima. 
Resposta: use a expressão da força para achar duas forças de mesmo valor e de 
intensidade muito pequena. 
Exercício I. 3 
Suponha que uma esfera pequena e uma esfera grande sejam destacadas do 
dispositivo da balança de Cavendish, descrita no exercício acima, e colocadas a uma 
distância de 5 cm entre os centros das esferas, em um local do espaço muito afastado 
de outros corpos. Qual é a intensidade da aceleração de cada esfera em um 
referencial inercial? 
Resposta: 28 /1033,1 sm e 101066,2  
Exercício I. 4 
r 
F 
R 
 
 19 
 
Uma nave está sendo projetada para levar material até Marte que tem 
mRM
61040,3  e massa kgmM
231042,6  . O veículo explorador que 
deve pousar em Marte possui peso na Terra igual a N39200 . Calcule o peso e a 
aceleração desse veículo em Marte. (a) a uma altura de m6106 acima da 
superficie de Marte. (b) e sobre a superfície de Marte. Despreze os efeitos 
gravitacionais das Luas de Marte que são muito pequenas. 
Resposta: (a) 1940 N e 0,48 2/ sm ; (b) 15000 N e 3,7 2/ sm 
 
Exercício I. 5 
(a) Um corpo de massa m é lançado verticalmente da Terra. Qual a velocidade 
mínima necessária para atingir uma altura igual ao raio da Terra? 
(b) Qual a velocidade de escape desse corpo? 
Despreze a resistência do ar, a rotação da Terra e a atração da Lua. 
mRT
61038,6  e kgM T
241097,5  . 
Resposta: (a) hkm /28400 e (b) hkm /40200 
 
Exercício I. 6 
Três esferas estão localizadas nos vértices de um triângulo 
retângulo de 045 . Determine a norma e a direção da força 
gravitacional resultante sobre a esfera menor exercida pela ação 
das duas esferas maiores. 
 
 
Resposta: Força de 111017,1  N e 06,14 em relação ao eixo x. 
 
 
 
Exercício I. 7 
Pesquise para encontrar uma relação entre o peso aparente e o peso real de um corpo 
localizado na Terra. 
 
Exercício I. 8 
Pesquise para descrever a ideia fundamental do conceito de buraco negro com base 
nos princípios da mecânica de Newton. 
 
Exercício I. 9 
Pesquise e responda: Quando o centro de gravidade de um sistema de partículas 
coincide com seu centro de massa? 
 
Exercício I. 10 
Uma barra homogênea de comprimento L e massa M, fina (sem espessura), está a 
uma distância h de uma partícula de massa m, ambas as massas localizadas na 
horizontal. Calcule a força gravitacional exercida pela barra sobre a partícula. 
Resposta: 


 i
Lhh
GMmF
)(
. 
 
Exercício I. 11 
 20 
Duas partículas cada uma de massa M estão fixadas sobre o eixo y, em y = b e y = -
b. Encontre o campo gravitacional em um ponto p sobre o eixo x, a uma distância x 
a direita de x = 0. 
Resposta: 


 i
bx
GMxg
2
322 )(
2
. 
 
Exercício I. 12 
Um projétil é lançado verticalmente para cima da superfície da Terra com uma 
velocidade inicial de 15 km/s. Encontre a velocidade do projétil quando ele estiver 
‘muito longe da Terra’, desprezando os efeitos do ar. Se ele tivesse inicialmente 
uma velocidade de 8 km/s, qual a atura máxima que ele atinge? Despreze novamente 
os efeitos do ar. 
Resposta: 10 km/s e 1,05 TR . 
 
Exercício I. 13 
Uma esfera sólida de raio R e massa M é simetricamente esférica, mas não 
uniforme. Sua densidade ρ é proporcional à distância do centro da esfera, para 
Rr  . Isto é, Cr para Rr  e ρ = 0 para Rr  , onde C é uma constante. 
(a) Encontre C. (b) Encontre o campo gravitacional para Rr  . (c) Encontre o 
campo gravitacional em r = R/2. 
Resposta: (a) 4/ RMC  , (b) 2/ rGMg  , (c) 24/ RGM . 
 
Exercício I. 14 
Pesquise sobre o fenômeno das marés em gravitação.