Unidade-III-Ondas

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Unidade III - Ondas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1. Situando a Temática 
 
 Nesta unidade temática daremos algumas ideias do fenômeno 
ondulatório e sua introdução como modelo matemático, especialmente em 
uma corda. Estudaremos os conceitos básicos como ondas transversais, 
longitudinais, pulsos de onda, função de onda geral, ondas em uma corda, 
energia de uma onda, superposição de ondas e ondas estacionárias. Nesta 
unidade e na próxima estudaremos as ondas mecânicas que são perturbações 
que se propagam em um meio. Porém na natureza não temos apenas ondas 
mecânicas, temos as ondas eletromagnéticas que não necessitam de meio 
para se propagar. Ainda existem outros fenômenos ondulatórios associados 
ao comportamento das partículas atômicas e subatômicas, ligados aos 
fundamentos da mecânica quântica. 
 
2. Problematizando a Temática 
 
 Quando estudamos o movimento de rotação de um corpo rígido, as 
partículas que o compõe não se movem umas com relação as outras. 
Diferentemente para um corpo deformável como o ar, água, cordas, sólidos 
elásticos, podemos estudar o movimento ondulatório desse corpo, isto é, um 
movimento coletivo de partículas em um corpo, mas aqui as partículas se 
movem relativamente umas com relação as outras e elas exercem forças, que 
dependem do tempo, umas contra as outras. 
 
3. Pulsos de Onda 
 
 Considere uma corda elástica como um sistema de partículas que 
está submetida a uma perturbação em um de seus pontos. O movimento é 
 
fig. III.1. Exemplos de ondas. 
 34 
transmitido de uma partícula a outra e a perturbação se propaga ao longo das 
linhas das partículas. Tal perturbação é chamada de pulso de onda. 
Dependendo da direção da perturbação, ela pode ser chamada de onda 
transversal ou onda longitudinal, como podemos distinguir na fig. III.2. 
 
 
 
 
 
 
 
4. Ondas Viajando 
 
 
Considere um pulso de onda transversal, 
como na fig. III.3, viajando ao longo de uma 
corda com uma velocidade v. Suponha que a 
forma do pulso permanece constante. Para 
um tempo t = 0, a forma da onda representa 
uma função y = f(x). Em um tempo t > 0, um 
tempo depois, y = f(x - vt). Note que, se a 
onda viaja no sentido contrário de x, y = f(x 
+ vt), para um tempo t > 0. 
 No caso especial de ondas 
harmônicas, isto é, que em t = 0, a forma da 
onda é uma função seno ou cosseno. Temos 
 
kxAy cos eq. III.1 
 
para t = 0, onde A é chamada a amplitude da onda, k é o número de onda, 
não confunda com a constante de uma mola. As cristas da onda ocorrem em 
kx = 0, 2π, 4π, ...Os valores mínimos de y são chamados de vales da onda 
que ocorrem em kx = π, 3π, 5π, ...A distância de uma crista a outra é 
chamado comprimento de onda 
 
k


2
 eq. III.2 
 
 A onda pode ser descrita pelas seguintes expressões, viajando na direção 
positiva de x ou negativa de x. Isto é, 
 
)(cos vtxkAy  e )(cos vtxkAy  eq. III.3 
 
O período da onda é o tempo de sua viagem correspondente a  , 
 
vT / eq. III.4 
enquanto a frequência da onda é 
fig. III.2. Exemplos de propagação de uma onda longitudinal na primeira figura 
e onda transversal na segunda figura. 
 
fig. III-3. Pulso de onda em t = 0 e em t = x/v > 0, 
o pico viajou uma distância vt. 
 35 
Fig. III.5. Forças que atuam no segmento L 
da corda, onde 

F é a resultante. 
 
/vf  eq. III.5 
 
A frequência angular é dada por 
 
kvf   2 
 
Agora teremos a função de onda, 
 
)cos(]2)/2cos[( tkxAvtxAy   eq. III.6 
 
5. Velocidade de Onda em uma Corda 
 
 A velocidade de uma onda depende da característica do meio e, às 
vezes, de  . Vamos mostrar a velocidade de uma onda numa corda. 
 Considere uma corda como na fig. III.4. 
 
 A tensão na corda é 1F e sua densidade 
é d kg/m, vamos assumir a amplitude da onda 
muito pequena, comparada ao tamanho da corda. 
Desta forma podemos dizer também que 1F = 
const. já que a perturbação é muito pequena. 
Nosso sistema de referência está se movendo 
para direita com velocidade do pulso. Nesse 
sistema, o pulso está em repouso e a corda viaja 
para esquerda. Cada segmento da curva viaja ao 
longo de um caminho tal como o pulso. 
 
Tome L da corda ao redor do caminho curvo, muito 
pequeno, para um  muito pequeno do círculo. Note que 
1

F + 2

F =

F = centripetaF

, tal que RLvdF /2

, por outro 
lado a norma de 

F é  1F . Temos que LR  , 
assim a velocidade de uma onda transversal é 
 
d
Fv 1 eq. III.7 
 
 Observe que, como a velocidade da onda é independente da forma, 
podemos pensar uma onda harmônica como uma sucessão de pulsos 
negativos e positivos. Se os pulsos têm mesma velocidade, todas ondas 
harmônicas sobre a corda tem mesma velocidade, independente do 
comprimento de onda. Apesar de nosso exemplo ser uma corda, o calculo da 
velocidade é geral. A velocidade de onda depende da força de restituição e 
da inércia do meio. Porém a velocidade depende da forma na maioria dos 
tipos de onda e assim os pulsos se tornam rasos. Um meio que proporciona 
 
fig. III.4. Uma corda inicialmente esticada e bem ajustada entre 
dois pontos fixos, com tensão 1F , depois um pulso é aplicado 
adquirindo uma velocidade v. 
 36 
 
fig. III.6. Pedaço ‘pequeno’ da corda 
entre x e x+dx. 
 
isto é chamado de meio dispersivo. 
 Em contraste, para o caso de ondas harmônicas sobre uma corda, 
essas ondas em meio dispersivo não podem ser considerados como 
simplesmente uma sucessão de pulsos, pois os pulsos mudam sua forma, 
enquanto as ondas harmônicas não. Então nós chamaremos a velocidade do 
pico de um pulso de onda de velocidade de grupo, enquanto a velocidade de 
uma onda harmônica a velocidade de fase. 
 
6. Energia em uma Onda 
 
 Uma onda transversal em uma corda tem energia cinética, pois as 
partículas estão em movimento e por outro lado tem energia potencial 
porque um trabalho é preciso para esticar a corda. Considere um intervalo 
dx e  a densidade de massa da corda para esse intervalo dx , assim 
 
2)()(
2
1
dt
dydxdK  eq. III.8 
 
é a energia cinética desse pedaço de corda, onde 
dt
dy
 é sua velocidade. 
 
Note que quando a onda passa em dx a corda estica mais com um 
comprimento aproximado de 22 dydx  , a corda perturbada e 
invadindo a dimensão y. Então a mudança de comprimento da 
corda é, dxdydxL  22 ou 
 ]1)(
2
11[]1)(1[ 22
dx
dydx
dx
dydxL 
dx
dx
dyL 2)(
2
1
 , para 
dx
dy
suficientemente pequeno. 
 
 A energia potencial 
 
dx
dx
dyFLFdU 2)(
2
1
  eq. III.9 
 
onde F é a força de tensão para esticar a corda e dU é a energia associada ao 
intervalo dx interpretada como o trabalho que deve ser feito contra a F. 
 A energia total associada a dx é 
dx
x
yFdx
t
ydUdKdE 22 )(
2
1)(
2
1





  , enquanto a densidade de 
energia da onda 
 
22 )(
2
1)(
2
1
x
yF
t
y
dx
dE





  eq. III.10 
 
Tem-se uma onda harmônica, 
 37 
 
)(])[(
2
1 2222 tkxsenAFk
dx
dE
  , 
em virtude de kv e 

Fv  
 
 )(222 tkxsenA
dx
dE
 eq. III.11 
 
 A energia deve viajar com uma onda de velocidade v , então para 
dx: 
v
dxdt  é o tempo de mover esse intervalo. Assim, para uma onda 
harmônica, a potência transportada de uma onda é 
 
 )(222 tkxsenAv
dx
dEv
dt
dEP  eq. III.12 
 
7. A Superposição de Ondas 
 
 Muitos tipos de ondas obedecem ao princípio de superposição, isto 
é, quando duas ou mais ondas se propagam, esta propagação é independente, 
ou seja,uma onda se propaga como se nenhuma outra onda a perturbasse. 
Muito embora, se uma onda de som é muito forte, o princípio da 
superposição não vale mais, assim como ondas de choque. Aqui não 
devemos nos preocupar com esse tipo de ondas e assim o princípio da 
superposição continua valendo. 
 Como primeiro exemplo, vamos considerar duas ondas propagando-
se em uma mesma direção com mesma frequência e amplitude, mas fases 
diferentes, como ondas em uma corda, no ar, na superfície da água. As 
funções de onda são, 
 
)cos(1 tkxAy  e )cos(2   tkxAy , 
pelo princípio da superposição 21 yyy  e usando uma identidade 
trigonométrica, 

2
1cos)
2
1cos(2  tkxAy . 
Se 0 , as ondas estão em fase, elas encontram crista com crista e vale 
com vale. Isto é uma interferência construtiva. Enquanto se   , as 
cristas das ondas se encontram com vales e a interferência é destrutiva, neste 
caso y = 0. Se duas ondas tem amplitudes diferentes suas interferências 
destrutivas não darão um cancelamento total das ondas. 
 Um outro exemplo de superposição é quando consideramos 
frequências diferentes, 
 )cos( 111 txkAy  e )cos( 222 txkAy  , teremos 
)cos(])(
2
1cos[2
_
21 xkxkAyyy  , para t = 0, 21 kkk  e 
 38 
fig. III.7. Ondas de frequências diferentes. 
 
 
fig. III.8. O gráfico mostra uma superposição de 
ondas dando uma amplitude modulada. 
 
)(
2
1
21
_
kkk  . Se k <<
_
k a onda y pode ser interpretada como uma onda 
cujo número de onda é 
_
k e amplitude ])(
2
1cos[2 xkA  , sua amplitude 
variando devagar com a posição. Essa amplitude é chamada de amplitude 
modulada. Veja a figura mostrando a superposição resultante de ondas com 
 e  diferentes. 
 Ao passar o tempo, o padrão dessa fig. III.8 se move para direita 
com velocidade de onda. Isto evolui 
para o fenômeno dos batimentos. Isto é 
o fenômeno da amplitude baixar e subir. 
A frequência de tais pulsos é dita 
frequência de batimento. O intervalo de 
tempo entre esses batimentos é 
kvvxt  /2/  e a frequência 
de batimento é 
21
21
222
1 fffvkvkkv
t
f batimento 





. 
 Pela superposição de ondas harmônicas de 
diferentes amplitudes e freqüências, nós construímos formas 
de ondas complicadas. De fato, pode-se mostrar que 
qualquer onda periódica pode ser construída pela 
superposição de um número suficientemente grande de 
ondas harmônicas senoidais e cossenoidais. Chamamos este 
resultado de teorema de Fourier. Para fazermos essa 
composição usamos as séries de Fourier que poderemos ver 
em um curso mais avançado. 
 
8. Ondas Estacionárias 
 
 Vamos considerar a superposição de duas ondas com mesmas 
frequências e amplitudes, mas propagando-se em direções opostas. As 
funções de onda e sua resultante são 
)cos(1 tkxAy  e )cos(2 tkxAy  e 
tkxAyyy coscos221  eq. III.13 
 
y descrevendo uma onda estacionária. Essa onda viaja nem para direita nem 
para esquerda, seus picos permanecem fixos enquanto toda a onda cresce e 
decresce em harmonia. Se y acima representa o movimento de uma corda, 
então cada partícula da corda executa um MHS. Entretanto, em contraste ao 
caso de onda viajante, onde a amplitude de oscilação de cada partícula é a 
mesma, a amplitude de oscilação agora depende da posição com valor 
kxAcos em uma posição x. 
 Posições onde a amplitude de oscilação é máxima são: 
,...2,,0 kx , onde  /2k ,2/3,,2/,0 x ..... Os máximos são 
devidos a interferência construtiva entre as ondas. Da mesma forma para 
 39 
amplitude zero: ,
2
3,
2

kx ..., ou ,...,4/3,4/ x os mínimos são 
devido a interferência destrutiva entre as ondas. Os mínimos de ondas 
estacionárias são chamados de nodos e os máximos de antinodos. 
 Estamos supondo até agora que uma corda é um objeto longo sem 
pontos finais. Existe uma condição de contorno, nos pontos extremos da 
corda. A deformação y deve ser zero nesses pontos em todos os tempos. Isto 
impõe sérias restrições sobre as ondas que podem ser geradas na corda. Note 
que ondas estacionárias com nodos nos extremos satisfazem essa condição 
de contorno. Podemos ver um exemplo a seguir: 
 )cos()(1 vtl
x
l
Aseny  , )2cos()2(2 vtl
x
l
Aseny  e 
)3cos()3(3 vtl
x
l
Aseny  , onde 
correspondem respectivamente os gráficos da 
fig. III.9, 
 
Esses possíveis movimentos da corda são ditos 
modos normais. Os comprimentos de onda 
desses 
modos são: 2l, l, ,...
3
2 l 
Enquanto as frequências desses modos: 
l
v
2
, 
l
v , .....
2
3
l
v Essas frequências são chamadas 
também de frequências normais, próprias ou 
autofrequências que, em geral, são escritas como, 
l
nvf
2
 , n = 1, 2, 3, .... mostrando que todas as autofrequências são 
múltiplos da frequência fundamental lv 2/ . 
 Em geral, qualquer movimento da corda será alguma superposição 
de vários modos normais, dependentes de como o movimento começou. Um 
exemplo de modos normais de uma corda fixa nos extremos se assemelha a 
uma barra numa mesma condição, como em uma ponte. 
 
Exercícios Resolvidos 
 
Exemplo III. 1 
Uma corda esticada e presa em uma das extremidades sofre uma oscilação senoidal 
na extremidade que não está presa com uma amplitude de 0,075 m, e uma frequência 
de 2 Hz. A velocidade da onda é 12 m/s. No instante t = 0 a extremidade possui um 
deslocamento nulo e começa a mover no sentido +y. Suponha que nenhuma onda 
seja refletida na extremidade presa. Ache a amplitude, frequência angular, período, 
comprimento, e número de onda. Escreva uma função de onda. Escreva equações 
 
fig. III.9. Modo fundamental(G1), primeiro modo harmônico(G2), 
segundo modo harmônico(G3). 
 40 
para o deslocamento em função do tempo na extremidade da corda que é dado o 
pulso em um ponto situado a 3 m desta extremidade. 
Solução: 
A amplitude é aquela dada no problema, A = 0,075 m. A frequencia angular é 
sradsciclosciclorradf /6,12/2/22   . O período é 
.5,0/1 sfT  O comprimento de onda, mfv 6/  . O número de onda, 
mradk /05,1/2   ou mradvk /05,1/  . 
Coloque x = 0 onde se encontra a extremidade do pulso no sentido +x. A função de 
onda é, )()(2),( kxtAsenx
T
tAsentxyy  

 . 
Agora para x = 0: )(),0( tAsentyy  e para x = 3 m: 
)3(),3( ktAsentyy   . 
 
Exemplo III. 2 
No exemplo anterior a densidade da corda é 0,250 kg/m. Qual é a tensão na 
extremidade do pulso da corda para que a velocidade da onda observada seja igual a 
12 m/s? 
Solução: 
NdvF
d
Fv 362  . 
 
Exemplo III. 3 
Uma das extremidades de uma corda está presa a um suporte fixo no topo de um 
poço vertical de uma mina com profundidade igual a 80 m. A corda fica esticada 
pela ação do peso de uma caixa com massa igual a 20 kg presa na extremidade 
inferior da corda. Um geólogo no fundo da mina balança a corda enviando um sinal 
lá em cima. Qual é a velocidade da onda transversal propagada na corda? Sabendo 
que um ponto da corda executa um MHS com frequência igual a 2 Hz, qual é o 
comprimento de onda? 
Solução: 
Despreze a variação da tensão devido ao peso da corda. A tensão F na corda é 
produzido pelo peso da caixa. Então NmgF 196 . A densidade é dada por 
d
Fvkg
l
md  0250,0 . Por outro lado 
m
s
sm
f
v 3,44
2
/5,88
1   . 
 
Exemplo III. 4 
No exemplo III. 1 qual é a taxa de transferência de energia máxima que o pulso 
fornece para a corda? Ou seja, qual a potência instantânea máxima? E a média? 
Solução: 
dtkxsenAv
dx
dEv
dt
dEP )(222   a potência máxima é .22 dAv A 
potência média é a metade da máxima. 
 
 
 41 
Exemplo III. 5 
Deduza a equação da onda em uma corda para deformações suficientemente 
pequenas em um ‘pequeno’ segmentoda corda. 
 
Solução: 
 
 A fig. III.10 mostra um segmento 
de corda esticada. Vamos considerar 
pequenos deslocamentos verticais. O 
segmento mede x e sua massa xdm  , 
onde d é massa por unidade de 
comprimento. O segmento se move 
verticalmente na direção y e a força de 
tensão resultante nessa direção é, 
12  FsenFsenFRy  . Como  é muito pequeno,  tgsen  e assim 
12  FtgFtgFRy  . Veja que a tangente do ângulo feita pela corda com a 
horizontal é a deformação (declive) da curva formada pela corda. Isto é, 
x
ytg


  , onde ),( txyy  . Então )( 12   FFRy . Teremos 
 )( 12   como a variação de declives nos extremos do segmento. 
Usando a segunda lei de Newton, 2
2
2
2
t
yd
x
F
t
yxdF










 . No 
limite ,0x portanto 2
2
0
lim
x
y
x
y
xxxx 














. Usando a 
expressão da velocidade da onda obtemos a equação da onda: 
 
2
2
22
2 1
t
y
vx
y





 eq. III. 14 
 
Exercícios Propostos 
 
Exercício III. 1 
A tensão em uma corda é fornecida por um objeto pendurado de massa 3 kg como 
mostra a figura abaixo. O comprimento da corda é l = 2,5 m e sua massa m = 50 g. 
Qual é a velocidade das ondas sobre a corda? 
 
 
Resposta: 38,3 m/s 
 
 
fig. III.10. Segmento de uma corda 
 42 
Exercício III. 2 
Mostre que a função do tipo )(),( vtxytxy  satisfaz a equação de onda. Em 
particular verifique para a função de onda ).(),( tkxAsentxy  
 Resposta: Observe a eq. III.14. 
 
Exercício III. 3 
Uma onda é descrita por )6285,0(002,0 txseny  . Determine a amplitude, 
frequência, período, comprimento de onda e velocidade da onda. 
 
Resposta: 0,002 m; 100 Hz; 0,01 s; 12,6 m; 1260 m/s. 
 
Exercício III. 4 
Uma corda de densidade linear 480 g/m está sob uma tensão de 48 N. Uma onda de 
frequencia 200 Hz e amplitude 4 mm viaja na corda. Qual a taxa média de transporte 
de energia da onda? 
 
Resposta: 61 W. 
 
Exercício III. 5 
A função de onda para uma onda harmônica sobre uma corda é 
).5,32,2()03,0(),( 11 tsxmsenmtxy   Para qual direção a onda viaja? 
Qual é sua velocidade? Encontre o comprimento de onda, frequência, período dessa 
onda. Qual o deslocamento máximo de qualquer segmento dessa corda? Qual a 
velocidade máxima de qualquer segmento? 
 
Resposta: Para direita, 
 
max
2,86 , 1,59 / , 0,557 ,
1,80 , 0,03 , 0,105 /
m v m s f Hz
T s A m v m s
   
  
 
 
Exercício III. 6 
Considere duas ondas viajando em direções opostas e suas funções de onda 
)(1 tkxAseny  e )(2 tkxAseny  . Mostre que a soma dessas ondas é 
uma onda estacionária. Uma onda estacionária sobre uma corda que está fixa nos 
extremos é dada por )480cos()3,52(024,0),( txsentxy  , daí encontre a 
velocidade da onda e a distância entre os dois nodos. 
 
Resposta: smv /18,9 e a distância 6 cm.