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CA´LCULO DIF. E INTEGRAL III
1a LISTA DE EXERCI´CIOS
1. Calcule
∫∫
Ω
x2 + y2dA pela definic¸a˜o, onde Ω = [0, 1]× [0, 1].
2. Seja Ω = {(x, y) ∈ R2 : 1 6 x 6 2 e 0 6 y 6 1}. Calcule∫∫
Ω
f (x, y) dA,
sendo f (x, y) igual a
a) x+ 2y b) x− y c) √x+ y d) 1
x+ y
e) 1 f) x cosxy g) y cosxy h)
1
(x+ y)2
3. Sejam f (x) e g (y) func¸o˜es cont´ınuas, respectivamente, nos intervalos [a, b] e [c, d].
Mostre que ∫∫
Ω
f (x) g (y) dxdy =
(∫ b
a
f (x) dx
)(∫ d
c
g (y) dy
)
.
4. Calcule:
a)
∫∫
Ω
sin2 x
1 + 4y2
dxdy, onde Ω = {(x, y) ∈ R2 : 0 6 x 6 pi
2
e 0 6 y 6 1
2
}.
b)
∫∫
Ω
xy sinx
1 + 4y2
dxdy, onde Ω = {(x, y) ∈ R2 : 0 6 x 6 pi
2
e 0 6 y 6 1}.
5. Calcule o volume do conjunto dado.
a) {(x, y, z) ∈ R3 : 0 6 x 6 1, 0 6 y 6 1 e 0 6 z 6 x+ 2y}.
b) {(x, y, z) ∈ R3 : 0 6 x 6 2, 1 6 y 6 2 e 0 6 z 6 √xy}.
c) {(x, y, z) ∈ R3 : 0 6 x 6 1, 0 6 y 6 1 e 0 6 z 6 xyex2−y2}.
6. Calcule
∫∫
Ω
f (x, y) dA, onde Ω e´ um conjunto dado.
a) f (x, y) = y e Ω e´ o triaˆngulo de ve´rtices (0, 0) , (1, 0) e (1, 1).
b) f (x, y) = x cos y e Ω = {(x, y) ∈ R2 : 0 6 x e x2 6 y 6 pi}.
c) f (x, y) = y3exy
2
e Ω = {(x, y) ∈ R2 : 0 6 x 6 1 e 1 6 y 6 2}.
1
d) f (x, y) = x5 cos y3 e Ω = {(x, y) ∈ R2 : x2 6 y e x2 + y2 6 2}.
7. Utilizando a integral dupla, calcule a a´rea do conjunto Ω dado.
a) Ω e´ o conjunto de todos (x, y) tais que lnx 6 y 6 1 + ln x, y > 0 e x 6 e.
b) Ω = {(x, y) ∈ R2 : x3 6 y 6 √x}.
c) Ω e´ o conjunto delimitado pelas desigualdades xy 6 2, x 6 y 6 x + 1 e
x > 0.
d) Ω e´ limitado pelas curvas y = x2 − x e x = y2 − y.
8. Usando integral dupla, determine a a´rea da regia˜o do 1o quadrante que e´ delimi-
tada pelos eixos coordenados e pela curva y =
√
9− x2/3.
9. Encontre a a´rea da regia˜o cortada do 1o quadrante pela curva r = 2 (2− sin 2θ) 12 .
10. Encontre a a´rea da regia˜o que esta´ dentro da cardioide r = 1 + cos θ e fora da
circunfereˆncia r = 1.
11. Integre
f (x, y) =
ln (x2 + y2)√
x2 + y2
sobre a regia˜o 1 6 x2 + y2 6 e.
12. A regia˜o delimitada pela lemniscata r2 = 2 cos 2θ e´ a base de um cilindro so´lido
reto cujo topo e´ delimitado pela esfera z =
√
2− r2. Encontre o volume do
cilindro.
13. Dizemos que Ω ⊂ R2 e´ um conjunto magro se int (Ω) = ∅. Sejam Ω um conjunto
magro, limitado, no espac¸o R2 e f : Ω −→ R uma func¸a˜o integra´vel. Mostre que∫∫
Ω
f (x, y) dA = 0.
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