CAL4

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1. 
 
 
Determine o valor da integral dupla definida por f(x,y) = 2x - y, sobre a região R, onde esta região é delimitada pela figura em vermelho (interior da 
figura) 
. 
 
 
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22 
 
 
zero 
 
 
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33∕2 
 
 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Marque a alternativa que indica o resultado da integral dupla A = ∫42∫24 ∫62dydx∫26dydx 
 
 
 
12 
 
 
5 
 
 
6 
 
 
7 
 
8 
 
 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
A definição rigorosa da interpretação geometrica da integral dupla utiliza o método e Riemann. Este tem como idéia principal ? 
 
 
 
Utilizar a partição regular de ordem n do retângulo R = [a,b] x[c,d] onde a função encontra-se definida, e decompor em subretângulos. 
Forma-se a soma de Riemann de f sobre R (nos n subretângulos) e em seguida aplicasse o limite com n tendendo a infinito. 
 
 
Utilizar a partição nao regular de ordem n do retângulo R = [a,b] x[c,d] onde a função encontra-se definida, e decompor em subretângulos. 
Forma-se a soma de Riemann de f sobre R (nos n subretângulos) e em seguida aplicasse o limite com n tendendo a infinito. 
 
 
Utilizar a partição nao regular de ordem n do retângulo R = [a,b] x[c,d] onde a função encontra-se definida, e decompor em subretângulos. 
Forma-se a soma de Euler de f sobre R (nos n subretângulos) e em seguida aplicasse o limite com n tendendo a infinito. 
 
 
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Utilizar a partição regular de ordem n do retângulo R = [a,b] x[c,d] onde a função encontra-se definida, e decompor em subretângulos. 
Forma-se a soma de Euler de f sobre R (nos n subretângulos) e em seguida aplicasse o limite com n tendendo a infinito. 
 
 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
Encontre o valor da integral dupla da função f(x,y) = x sen y3 definida na região 0 ≤ x ≤ 1 e x ≤ y ≤ 1 e classifique o tipo de região utilizado. 
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
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(-1 ∕ 6 ) e tipo de região I 
 
 
(- 6 ) (cos 1 - 1) e tipo de região I I 
 
 
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(-cos 1 - 1) e tipo de região I 
 
 
(-1 ∕ 6 ) (cos 1 - 1) e tipo de região I 
 
 
 
Explicação: 
∫10∫1x∫01∫x1 x sen y3 definida na região 0 ≤ x ≤ 1 e x ≤ y ≤ 1 
∫10∫y0xseny3dxdy∫01∫0yxseny3dxdy = ∫10x2seny32dy=12∫10y2seny3dy=−16(cos1−cos0)∫01x2seny32dy=12∫01y2seny3dy=−16(cos1−cos0) 
−16(cos1−1)−16(cos1−1) 
regiao do tipo I 
 
 
Gabarito 
Coment. 
 
 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
Calcule a integral dupla da função f(x,y) = -y e x onde R = [-1,1]x[0, pi/2] 
 
 
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zero 
 
(-e + e -1) (pi2/8) 
 
 
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6. 
 
 
Seja a função f(x,y) = 1. Podemos afirmar que a integral dupla da função f(x,y) definida no intervalor 2 ≤ x ≤ 4 e 2 ≤ y ≤ 6, tem como solução e 
geometricamente define: 
 
 
 
Tem como solução o valor 8 e não tem definição geometricamente. 
 
 
Tem como solução o valor 8 e define geometricamente um volume. 
 
Tem como solução o valor 8 e define geometricamente um área. 
 
 
Tem como solução o valor 5 e define geometricamente um volume. 
 
 
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1. 
 
 
Calcule a integral dupla da função f(x,y) = -y e x onde R = [-1,1]x[0, pi/2] 
 
 
 
8 
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
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(-e + e -1) (pi2/8) 
 
 
zero 
 
 
1 
 
 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Determine o valor da integral dupla definida por f(x,y) = 2x - y, sobre a região R, onde esta região é delimitada pela figura em vermelho (interior da 
figura) 
. 
 
 
 
33∕2 
 
 
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zero 
 
 
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3. 
 
 
Marque a alternativa que indica o resultado da integral dupla A = ∫42∫24 ∫62dydx∫26dydx 
 
 
 
7 
 
 
6 
 
 
12 
 
 
5 
 
8 
 
 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
A definição rigorosa da interpretação geometrica da integral dupla utiliza o método e Riemann. Este tem como idéia principal ? 
 
 
 
Utilizar a partição nao regular de ordem n do retângulo R = [a,b] x[c,d] onde a função encontra-se definida, e decompor em subretângulos. 
Forma-se a soma de Riemann de f sobre R (nos n subretângulos) e em seguida aplicasse o limite com n tendendo a infinito. 
 
 
Utilizar a partição regular de ordem n do retângulo R = [a,b] x[c,d] onde a função encontra-se definida, e decompor em subretângulos. 
Forma-se a soma de Euler de f sobre R (nos n subretângulos) e em seguida aplicasse o limite com n tendendo a infinito. 
 
 
Utilizar a partição nao regular de ordem n do retângulo R = [a,b] x[c,d] onde a função encontra-se definida, e decompor em subretângulos. 
Forma-se a soma de Euler de f sobre R (nos n subretângulos) e em seguida aplicasse o limite com n tendendo a infinito. 
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
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Utilizar a partição regular de ordem n do retângulo R = [a,b] x[c,d] onde a função encontra-se definida, e decompor em subretângulos. 
Forma-se a soma de Riemann de f sobre R (nos n subretângulos) e em seguida aplicasse o limite com n tendendo a infinito. 
 
Nenhuma das respostas anteriores 
 
 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
Encontre o valor da integral dupla da função f(x,y) = x sen y3 definida na região 0 ≤ x ≤ 1 e x ≤ y ≤ 1 e classifique o tipo de região utilizado. 
 
 
 
(-cos 1 - 1) e tipo de região I 
 
 
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(-1 ∕ 6 ) e tipo de região I 
 
 
(- 6 ) (cos 1 - 1) e tipo de região I I 
 
(-1 ∕ 6 ) (cos 1 - 1) e tipo de região I 
 
 
 
Explicação: 
∫10∫1x∫01∫x1 x sen y3 definida na região 0 ≤ x ≤ 1 e x ≤ y ≤ 1 
∫10∫y0xseny3dxdy∫01∫0yxseny3dxdy = ∫10x2seny32dy=12∫10y2seny3dy=−16(cos1−cos0)∫01x2seny32dy=12∫01y2seny3dy=−16(cos1−cos0) 
−16(cos1−1)−16(cos1−1) 
regiao do tipo I 
 
 
Gabarito 
Coment. 
 
 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Seja a função f(x,y) = 1. Podemos afirmar que a integral dupla da função f(x,y) definida no intervalor 2 ≤ x ≤ 4 e 2 ≤ y ≤ 6, tem como solução e 
geometricamente define: 
 
 
 
Tem como solução o valor 8 e não tem definição geometricamente. 
 
 
Tem como solução o valor 8 e define geometricamente um área. 
 
 
Tem como solução o valor 5 e define geometricamente um volume. 
 
 
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Tem como solução o valor 8 e define geometricamente um volume. 
 
 
 
 
 
1. 
 
 
Calcule a integral dupla da função f(x,y) = -y e x onde R = [-1,1]x[0, pi/2] 
 
 
(-e + e -1) (pi2/8) 
 
 
1 
 
 
zero 
 
 
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8 
 
 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Determine o valor da integral dupla definida por f(x,y) = 2x - y, sobre a região R, onde esta região é delimitada pela figura em vermelho (interior da 
figura) 
. 
 
 
 
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33∕2 
 
 
Nenhuma das respostas anteriores 
 
 
zero 
 
 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Marque a alternativa que indica o resultado da integral dupla A = ∫42∫24 ∫62dydx∫26dydx 
 
 
8 
 
 
5 
 
 
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12 
 
 
6 
 
 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
A definição rigorosa da interpretação geometrica da integral dupla utiliza o método e Riemann. Este tem como idéia principal ? 
 
 
Utilizar a partição regular de ordem n do retângulo R = [a,b] x[c,d] onde a função encontra-se definida, e decompor em subretângulos. 
Forma-se a soma de Riemann de f sobre R (nos n subretângulos) e em seguida aplicasse o limite com n tendendo a infinito. 
 
 
Nenhuma das respostas anteriores 
 
 
Utilizar a partição regular de ordem n do retângulo R = [a,b] x[c,d] onde a função encontra-se definida, e decompor em subretângulos. 
Forma-se a soma de Euler de f sobre R (nos n subretângulos) e em seguida aplicasse o limite com n tendendo a infinito. 
 
 
Utilizar a partição nao regular de ordem n do retângulo R = [a,b] x[c,d] onde a função encontra-se definida, e decompor em subretângulos. 
Forma-se a soma de Riemann de f sobre R (nos n subretângulos) e em seguida aplicasse o limite com n tendendo a infinito. 
 
Utilizar a partição nao regular de ordem n do retângulo R = [a,b] x[c,d] onde a função encontra-se definida, e decompor em subretângulos. 
Forma-se a soma de Euler de f sobre R (nos n subretângulos) e em seguida aplicasse o limite com n tendendo a infinito. 
 
 
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
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5. 
 
 
Encontre o valor da integral dupla da função f(x,y) = x sen y3 definida na região 0 ≤ x ≤ 1 e x ≤ y ≤ 1 e classifique o tipo de região utilizado. 
 
 
 
(-1 ∕ 6 ) (cos 1 - 1) e tipo de região I 
 
 
(-1 ∕ 6 ) e tipo de região I 
 
 
(- 6 ) (cos 1 - 1) e tipo de região I I 
 
 
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(-cos 1 - 1) e tipo de região I 
 
 
 
Explicação: 
∫10∫1x∫01∫x1 x sen y3 definida na região 0 ≤ x ≤ 1 e x ≤ y ≤ 1 
∫10∫y0xseny3dxdy∫01∫0yxseny3dxdy = ∫10x2seny32dy=12∫10y2seny3dy=−16(cos1−cos0)∫01x2seny32dy=12∫01y2seny3dy=−16(cos1−cos0) 
−16(cos1−1)−16(cos1−1) 
regiao do tipo I 
 
 
Gabarito 
Coment. 
 
 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Seja a função f(x,y) = 1. Podemos afirmar que a integral dupla da função f(x,y) definida no intervalor 2 ≤ x ≤ 4 e 2 ≤ y ≤ 6, tem como solução e 
geometricamente define: 
 
 
Tem como solução o valor 8 e não tem definição geometricamente. 
 
 
Tem como solução o valor 8 e define geometricamente um volume. 
 
 
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Tem como solução o valor 8 e define geometricamente um área. 
 
 
Tem como solução o valor 5 e define geometricamente um volume. 
 
 
 
1. 
 
 
Maria precisa apresentar a resolução correta da integral dupla da função f(x,y) = xy + x2 em relação as variáveis x e y definida na região R= [0.1] x 
[0,1], ou seja, ∫10∫10(xy+x2)dxdy∫01∫01(xy+x2)dxdy. Qual o resultado encontrado por Maria. 
 
 
 
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Explicação: 
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
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Maria precisa apresentar a resolução correta da integral dupla da função f(x,y) = xy + x2 em relação as variáveis x e y definida na região R= [0.1] x [0,1], 
ou seja, ∫10∫10(xy+x2)dxdy∫01∫01(xy+x2)dxdy. Qual o resultado encontrado por Maria. 
∫10∫10(xy+x2)dxdy=∫10(x22y+x33)dy∫01∫01(xy+x2)dxdy=∫01(x22y+x33)dy Passando o limite de x teremos 
∫10(x22y+x33)dy=∫10(12y+13)dy=∫01(x22y+x33)dy=∫01(12y+13)dy= 
∫10(12y+13)dy=(12y22+13y)∫01(12y+13)dy=(12y22+13y) Passando os limite de integracao de y teremos 
(12y22+13y)=(12122+13)(12y22+13y)=(12122+13) 
(12122+13)=14+13=712(12122+13)=14+13=712 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Um engenheiro fez os cálculos do volume do sólido situado abaixo do parabolóide z = 4 - x2 - y2 e acima do plano z = 0. Qual foi o volume encontrado 
pelo engenheiro supondo que seus cálculos estão corretos. 
 
 
 
8π8π 
 
 
2π32π3 
 
 
7π37π3 
 
 
2 ππ 
 
 
3π53π5 
 
 
 
Explicação: 
O domínio D interior a interseção de z = 4 - x2 - y2 com o plano z = 0 entao temos 0 = 4 - x2 - y2 ou x2 + y2 = 2, ou seja , D é o interior do disco de raio 2. 
OBS: Esse exercicio pode ser feito por integral tripla também. 
V = ∫∫4−x2−y2dxdy=∫2π0∫20(4−r2)rdrdθ∫∫4−x2−y2dxdy=∫02π∫02(4−r2)rdrdθ 
(4r22−r44)|20θ|2π0=8π(4r22−r44)|02θ|02π=8π 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Resolvendo a integral tripla a seguir encontramos: 
int0 até 3int de -1 até 2 int_0 até 1(xyz²)dxdydz 
 
 
 
4/27 
 
27/4 
 
 
-7/4 
 
 
7/4 
 
-27/4 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
Determine o volume do sólido que está abaixo do parabolóide z = x2 + y2 e acima da região do plano xy limitada pela reta y = 2x e pela parábola y = x 2. 
 
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Gabarito 
Coment. 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
Gisele precisa apresentar o resultado correto da integral dupla da função f(x,y) = 1 em relação às variáveis x, y onde x está no intervalo 1≤x≤41≤x≤4 e y 
esta no intervalo 1≤y≤21≤y≤2 . Além disso ela deverá explicar o que representa o cálculo de ∫∫1dxdy∫∫1dxdy no 1≤x≤41≤x≤4 e 1≤y≤21≤y≤2 . O que 
Gisele apresentou como resultado da integral e sua explicação sobre o o significado da integral ∫∫1dxdy∫∫1dxdy no intevalo dado ? 
 
 
 
A integral tem como resultado 5 e representa o volume de uma caixa retangular de base R = [1,4]x[1,1] e altura k = 6 
 
 
A integral tem como resultado 1 e representa o volume de uma caixa retangular de base R = [1,4]x[1,2] e altura k = 4 
 
 
A integral tem como resultado 4 e representa o volume de uma caixa retangular de base R = [1,5]x[1,2] e altura k = 4 
 
 
A integral tem como resultado 2 e representa o volume de uma caixa retangular de base R = [1,1]x[1,2] e altura k = 2 
 
 
A integral tem como resultado 3 e representa o volume de uma caixa retangular de base R = [1,4]x[1,2] e altura k = 1 
 
 
 
Explicação: 
Gisele precisa apresentar o resultado correto da integral dupla da função f(x,y) = 1 em relação às variáveis x, y onde x varia 1≤x≤41≤x≤4 e y varia no 
intervalo 1≤y≤21≤y≤2 e especificar para turma o que representa o cálculo de ∫∫1dxdy∫∫1dxdy . O que Gisele apresentou como resultado da integral e 
sua explicação sobre o o significado da integral ∫∫1dxdy∫∫1dxdy: 
∫21∫411dxdy=∫21xdy∫12∫141dxdy=∫12xdy Passando os limites de integração de x 
temos ∫21xdy=∫21(4−1)dy=∫213dy=3∫21dy∫12xdy=∫12(4−1)dy=∫123dy=3∫12dy 
3∫21dy=3y3∫12dy=3y Passando os limites de integração de y teremos 3 ( 2-1) = 3 
A integral tem como resultado 3 e representa o volume de uma caixa retangular de base R = [1,4]x[1,2] e altura k = f(x,y) = 1 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Seja o sólido limitado pelas superfícies x2 + y2 = 1, z + y = 2 e z = 0. Determite a massa do sólido supondo que a densidade é dada por s(x,y,z) = z. 
 
 
7 ππ u.m 
 
 
2ππ u.m 
 
 
ππ u.m 
 
Será (17ππ) / 8 u.m 
 
 
2ππ/3 u.m 
 
 
 
 
 
7. 
 
 
Determine o volume do sólido S que é delimitado pelo parabolóide elíptico x2 + 2y2 + z = 16, os planos x = 2 e y = 2 e os três planos coordenados. 
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8. 
 
 
Pedro precisa resolver um problema de cálculo e para isso precisa utilizar mudança de variável utilizando coordenadas polares. Para isto considerou o 
círculo de raio r e centro na origem. A equação de tal círculo é dada por x²+y²=r². Pedro encontrou em coordenadas polares, o mesmo círculo como 
sendo: 
 
 
 
x=r.cos⁡(θ),y= r.tan(θ) , onde θ∈[0,2π] 
 
 
x=r.cos⁡(θ),y= r.cos(θ) , onde θ∈[0,2π] 
 
 
x=r.tan(θ),y= r.sen(θ) , onde θ∈[0,2π] 
 
 
x=r.sen(θ),y= r.sen(θ) , onde θ∈[0,2π] 
 
 
x=r.cos⁡(θ),y= r.sen(θ) , onde θ∈[0,2π] 
 
 
 
 
 
1. 
 
 
Seja f(x,y,z) = ( x^(1/2) * y^(3) ) / z^(2). Calcular o valor da integral tripla da função f(x,y,z) em relação às variáveis x, y e z onde x varia no intervalo [1 , 4] , 
y varia no intervalo [1 , 2] e z varia no intervalo [1 , 2]. 
 
 
35/4 
 
 
35/6 
 
 
7 
 
 
35/3 
 
 
35/2 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Se g(x) e h(y) são contínuas em [a,b] e [c,d], respectivamente então podemos afirmar 
que: ∫∫[a,b]x[c,d]g(x)h(y)dxdy=∫bag(x)dx∫dch(y)dy∫∫[a,b]x[c,d]g(x)h(y)dxdy=∫abg(x)dx∫cdh(y)dy 
Usando a definição de integral dupla defina o volume do sólido acima da região D = [0,1]x[0,1] 
do plano xy e abaixo do plano x+y+z = 2. 
 
 
 
5 u.v 
 
 
1 u.v 
 
 
10 u.v 
 
 
4 u.v 
 
 
9 u.v 
 
 
 
Explicação: 
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Se g(x) e h(y) são contínuas em [a,b] e [c,d], respectivamente 
então ∫∫[a,b]x[c,d]g(x)h(y)dxdy=∫bag(x)dx∫dch(y)dy∫∫[a,b]x[c,d]g(x)h(y)dxdy=∫abg(x)dx∫cdh(y)dy 
Usando a definição de integral dupla defina o volume do sólido acima da região D = [0,1]x[0,1] do plano xy e abaixo do plano x+y+z = 2. 
Solução: Para encontrar o volume do sólido descrito devemos fazer a integral dupla dentro da região D. 
∫∫[a,b]x[c,d]g(x)h(y)dxdy=∫bag(x)dx∫dch(y)dy∫∫[a,b]x[c,d]g(x)h(y)dxdy=∫abg(x)dx∫cdh(y)dy Utilizando a definição dada temos 
∫10∫102−x−ydxdy∫01∫012−x−ydxdy 
∫102x−x2/2−xydy=∫10(3/2)−ydy=1∫012x−x2/2−xydy=∫01(3/2)−ydy=1 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Calcule a integral dupla da função f(x,y) = xy, onde D é a região limitada pela reta y = x - 1 e pela parábola y2 = 2x + 6. 
 
 
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56 
 
 
22 
 
 
30 
 
 
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4. 
 
 
Determine o valor da integral dupla da função f(x,y) = ex2ex2, ou seja, eu onde u = x 2, no intevalo 0 <= x <=1 e 0<= y <= x 
 
 
 
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e 
 
 
e - 1 
 
 
 (e−1)2(e−1)2 
 
 
1/2 
 
 
 
Explicação: 
∫10∫x0eudydxondeu=x2∫01∫0xeudydxondeu=x2 
∫10yex2dx∫01yex2dx passando os limites de integracao de y temos ∫10xex2dx∫01xex2dx 
chame u = x2 e du = 2x dx 
∫12eudu=12ex2∫12eudu=12ex2 aplicando os limites de integracao encontra-se=e−12=e−12 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
Calcular o volume do sólido:∫10∫01 ∫1−z0∫01-z ∫20∫02 dxdydz. 
 
 
 
3 
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1.5 
 
 
2.5 
 
 
1 
 
 
2 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Gisele precisa apresentar o resultado correto da integral dupla da função f(x,y) = 1 em relação às variáveis x, y onde x está no intervalo 1≤x≤41≤x≤4 e y 
esta no intervalo 1≤y≤21≤y≤2 . Além disso ela deverá explicar o que representa o cálculo de ∫∫1dxdy∫∫1dxdy no 1≤x≤41≤x≤4 e 1≤y≤21≤y≤2 . O que 
Gisele apresentou como resultado da integral e sua explicação sobre o o significado da integral ∫∫1dxdy∫∫1dxdy no intevalo dado ? 
 
 
 
A integral tem como resultado 5 e representa o volume de uma caixa retangular de base R = [1,4]x[1,1] e altura k = 6 
 
 
A integral tem como resultado 4 e representa o volume de uma caixa retangular de base R = [1,5]x[1,2] e altura k = 4 
 
 
A integral tem como resultado 3 e representa o volume de uma caixa retangular de base R = [1,4]x[1,2] e altura k = 1 
 
 
A integral tem como resultado 2 e representa o volume de uma caixa retangular de base R = [1,1]x[1,2] e altura k = 2 
 
 
A integral tem como resultado 1 e representa o volume de uma caixa retangular de base R = [1,4]x[1,2] e altura k = 4 
 
 
 
Explicação: 
Gisele precisa apresentar o resultado correto da integral dupla da função f(x,y) = 1 em relação às variáveis x, y onde x varia 1≤x≤41≤x≤4 e y varia no 
intervalo 1≤y≤21≤y≤2 e especificar para turma o que representa o cálculo de ∫∫1dxdy∫∫1dxdy . O que Gisele apresentou como resultado da integral e 
sua explicação sobre o o significado da integral ∫∫1dxdy∫∫1dxdy: 
∫21∫411dxdy=∫21xdy∫12∫141dxdy=∫12xdy Passando os limites de integração de x 
temos ∫21xdy=∫21(4−1)dy=∫213dy=3∫21dy∫12xdy=∫12(4−1)dy=∫123dy=3∫12dy 
3∫21dy=3y3∫12dy=3y Passando os limites de integração de y teremos 3 ( 2-1) = 3 
A integral tem como resultado 3 e representa o volume de uma caixa retangular de base R = [1,4]x[1,2] e altura k = f(x,y) = 1 
 
 
 
 
 
7. 
 
 
Determine o volume do sólido que está abaixo do parabolóide z = x2 + y2 e acima da região do plano xy limitada pela reta y = 2x e pela parábola y = x 2. 
 
 
 
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Gabarito 
Coment. 
 
 
 
 
 
8. 
 
 
Pedro precisa resolver um problema de cálculo e para isso precisa utilizar mudança de variável utilizando coordenadas polares. Para isto considerou o 
círculo de raio r e centro na origem. A equação de tal círculo é dada por x²+y²=r². Pedro encontrou em coordenadas polares, o mesmo círculo como 
sendo: 
 
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x=r.sen(θ),y= r.sen(θ) , onde θ∈[0,2π] 
 
 
x=r.cos⁡(θ),y= r.cos(θ) , onde θ∈[0,2π] 
 
 
x=r.cos⁡(θ),y= r.tan(θ) , onde θ∈[0,2π] 
 
 
x=r.tan(θ),y= r.sen(θ) , onde θ∈[0,2π] 
 
 
x=r.cos⁡(θ),y= r.sen(θ) , onde θ∈[0,2π] 
 
 
 
1. 
 
 
Maria precisa apresentar a resolução correta da integral dupla da função f(x,y) = xy + x2 em relação as variáveis x e y definida na região R= [0.1] x 
[0,1], ou seja, ∫10∫10(xy+x2)dxdy∫01∫01(xy+x2)dxdy. Qual o resultado encontrado por Maria. 
 
 
 
7/12 
 
 
9/12 
 
 
5/12 
 
 
6/12 
 
 
8/12 
 
 
 
Explicação: 
Maria precisa apresentar a resolução correta da integral dupla da função f(x,y) = xy + x2 em relação as variáveis x e y definida na região R= [0.1] x [0,1], 
ou seja, ∫10∫10(xy+x2)dxdy∫01∫01(xy+x2)dxdy. Qual o resultado encontrado por Maria. 
∫10∫10(xy+x2)dxdy=∫10(x22y+x33)dy∫01∫01(xy+x2)dxdy=∫01(x22y+x33)dy Passando o limite de x teremos 
∫10(x22y+x33)dy=∫10(12y+13)dy=∫01(x22y+x33)dy=∫01(12y+13)dy= 
∫10(12y+13)dy=(12y22+13y)∫01(12y+13)dy=(12y22+13y) Passando os limite de integracao de y teremos 
(12y22+13y)=(12122+13)(12y22+13y)=(12122+13) 
(12122+13)=14+13=712(12122+13)=14+13=712 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Um engenheiro fez os cálculos do volume do sólido situado abaixo do parabolóide z = 4 - x2 - y2 e acima do plano z = 0. Qual foi o volume encontrado 
pelo engenheiro supondo que seus cálculos estão corretos. 
 
 
 
8π8π 
 
 
3π53π5 
 
 
2 ππ 
 
 
2π32π3 
 
 
7π37π3Explicação: 
O domínio D interior a interseção de z = 4 - x2 - y2 com o plano z = 0 entao temos 0 = 4 - x2 - y2 ou x2 + y2 = 2, ou seja , D é o interior do disco de raio 2. 
OBS: Esse exercicio pode ser feito por integral tripla também. 
V = ∫∫4−x2−y2dxdy=∫2π0∫20(4−r2)rdrdθ∫∫4−x2−y2dxdy=∫02π∫02(4−r2)rdrdθ 
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(4r22−r44)|20θ|2π0=8π(4r22−r44)|02θ|02π=8π 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Determine o volume do sólido S que é delimitado pelo parabolóide elíptico x2 + 2y2 + z = 16, os planos x = 2 e y = 2 e os três planos coordenados. 
 
 
 
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40 
 
 
35 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
Seja o sólido limitado pelas superfícies x2 + y2 = 1, z + y = 2 e z = 0. Determite a massa do sólido supondo que a densidade é dada por s(x,y,z) = z. 
 
 
 
ππ u.m 
 
 
2ππ u.m 
 
 
7 ππ u.m 
 
 
Será (17 ππ) / 8 u.m 
 
 
2ππ/3 u.m 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
Resolvendo a integral tripla a seguir encontramos: 
int0 até 3int de -1 até 2 int_0 até 1(xyz²)dxdydz 
 
 
 
4/27 
 
 
7/4 
 
 
27/4 
 
 
-7/4 
 
 
-27/4 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Gisele precisa apresentar o resultado correto da integral dupla da função f(x,y) = 1 em relação às variáveis x, y onde x está no intervalo 1≤x≤41≤x≤4 e y 
esta no intervalo 1≤y≤21≤y≤2 . Além disso ela deverá explicar o que representa o cálculo de ∫∫1dxdy∫∫1dxdy no 1≤x≤41≤x≤4 e 1≤y≤21≤y≤2 . O que 
Gisele apresentou como resultado da integral e sua explicação sobre o o significado da integral ∫∫1dxdy∫∫1dxdy no intevalo dado ? 
 
 
 
A integral tem como resultado 4 e representa o volume de uma caixa retangular de base R = [1,5]x[1,2] e altura k = 4 
 
 
A integral tem como resultado 1 e representa o volume de uma caixa retangular de base R = [1,4]x[1,2] e altura k = 4 
 
 
A integral tem como resultado 2 e representa o volume de uma caixa retangular de base R = [1,1]x[1,2] e altura k = 2 
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A integral tem como resultado 5 e representa o volume de uma caixa retangular de base R = [1,4]x[1,1] e altura k = 6 
 
 
A integral tem como resultado 3 e representa o volume de uma caixa retangular de base R = [1,4]x[1,2] e altura k = 1 
 
 
 
Explicação: 
Gisele precisa apresentar o resultado correto da integral dupla da função f(x,y) = 1 em relação às variáveis x, y onde x varia 1≤x≤41≤x≤4 e y varia no 
intervalo 1≤y≤21≤y≤2 e especificar para turma o que representa o cálculo de ∫∫1dxdy∫∫1dxdy . O que Gisele apresentou como resultado da integral e 
sua explicação sobre o o significado da integral ∫∫1dxdy∫∫1dxdy: 
∫21∫411dxdy=∫21xdy∫12∫141dxdy=∫12xdy Passando os limites de integração de x 
temos ∫21xdy=∫21(4−1)dy=∫213dy=3∫21dy∫12xdy=∫12(4−1)dy=∫123dy=3∫12dy 
3∫21dy=3y3∫12dy=3y Passando os limites de integração de y teremos 3 ( 2-1) = 3 
A integral tem como resultado 3 e representa o volume de uma caixa retangular de base R = [1,4]x[1,2] e altura k = f(x,y) = 1 
 
 
 
 
 
7. 
 
 
Determine o volume do sólido que está abaixo do parabolóide z = x2 + y2 e acima da região do plano xy limitada pela reta y = 2x e pela parábola y = x 2. 
 
 
23/35 
 
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1/3 
 
 
Gabarito 
Coment. 
 
 
 
 
 
8. 
 
 
Pedro precisa resolver um problema de cálculo e para isso precisa utilizar mudança de variável utilizando coordenadas polares. Para isto considerou o 
círculo de raio r e centro na origem. A equação de tal círculo é dada por x²+y²=r². Pedro encontrou em coordenadas polares, o mesmo círculo como 
sendo: 
 
 
 
x=r.sen(θ),y= r.sen(θ) , onde θ∈[0,2π] 
 
 
x=r.tan(θ),y= r.sen(θ) , onde θ∈[0,2π] 
 
 
x=r.cos⁡(θ),y= r.sen(θ) , onde θ∈[0,2π] 
 
 
x=r.cos⁡(θ),y= r.cos(θ) , onde θ∈[0,2π] 
 
 
x=r.cos⁡(θ),y= r.tan(θ) , onde θ∈[0,2π] 
 
 
 
 
1. 
 
 
Determine o volume do tetraedro limitado pelos planos x + 2y + z = 2, x = 2y, x = 0 e z = 
0. 
 
 
Volume 4 u.v 
 
 
Volume 2 u.v 
 
 
Volume 3 u.v 
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Volume 1/3 u.v 
 
 
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2. 
 
 
Determine o valor da integral tripla da função f(x,y,z) = xyz , definida sobre a regiçao 
- 1 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1 e 1 ≤ z ≤ 2. 
 
 
 
4 
 
 
9 
 
 
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8 
 
9/8 
 
 
 
Explicação: 
Determine o valor da integral tripla da função f(x,y,z) = xyz , definida sobre a regiçao 
- 1 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ 
∫21∫10∫2−1xyzdxdydz=∫21∫10x22yzdydz∫12∫01∫−12xyzdxdydz=∫12∫01x22yzdydz∫21∫10x22yzdydz=∫21∫102−32yzdydz=∫21∫1032yzdydz∫12∫01x22yzdydz=∫12∫01
2−32yzdydz=∫12∫0132yzdydz 
32∫21y22zdz=32∫2112zdz32∫12y22zdz=32∫1212zdz 
34∫21zdz=34z22=34(2−12)=9834∫12zdz=34z22=34(2−12)=98 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Pedro precisa apresentar a integral tripla da função f(x,y,z)=2 em relação às variáveis x, y e z onde os limites de integração são definidos 
como 1≤x≤41≤x≤4, 1≤y≤21≤y≤2, 1≤z≤21≤z≤2 . Qual foi a solução encontrada por Pedro ? 
 
 
4 
 
 
3 
 
 
2 
 
6 
 
 
5 
 
 
 
Explicação: 
Pedro precisa apresentar a integral tripla da função f(x,y,z)=2 em relação às variáveis x, y e z onde os limites de integração 
são 1≤x≤41≤x≤4 , 1≤y≤21≤y≤2, 1≤z≤21≤z≤2 . Qual foi a solução encontrada por Pedro ? 
∫21∫21∫412dxdydz∫12∫12∫142dxdydz 
2∫21∫21x|41dydz=2∫21∫213dydz=6∫21∫21dydz2∫12∫12x|14dydz=2∫12∫123dydz=6∫12∫12dydz 
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6∫21∫21dydz=6∫21y|21dz=6∫21(2−1)dz6∫12∫12dydz=6∫12y|12dz=6∫12(2−1)dz 
6∫21(2−1)dz=6∫21dz=6z|21=6(2−1)=66∫12(2−1)dz=6∫12dz=6z|12=6(2−1)=6 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
Encontre o volume do sólido sob o gráfico da função f (x, y) = 5 e acima do domínio dado pelas inequações 
y ≤ X ≤ 3y e 0 ≤ y ≤ 5 
 
 
 
125 
 
 
105 
 
 
115 
 
 
110 
 
 
120 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
O ponto dado em coordenadas cartesianas (0,1,2) pode ser representado em coordenadas cilíndricas como: 
 
 
 
(1, pi/2; -2) 
 
 
(1, 3pi/2; 2) 
 
 
(2, pi/2; 2) 
 
 
(1, pi/2; 2) 
 
 
(2, pi/2; 1) 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Calcule a integral tripla e marque a única resposta correta: `I = int_0^3int_(-1)^2int_0^1(xyz²)dxdydz 
 
 
-7/4 
 
 
-27/4 
 
 
4/27 
 
 
7/4 
 
27/4 
 
 
 
Explicação: 
Integral tripla resolvida pelo Método de Fubini. 
 
 
 
 
 
7. 
 
 
Paulo precisa apresentar a integral multipla da função f(x,y) = ∫∫∫ (xy + x²)dxdydz, onde R= [0.1] x [0,1] x [0,1] aos colegas de classe. Qual o resultado 
encontrado por Paulo ao desenvolver a integral multipla ? 
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8/12 
 
 
10/12 
 
 
5/12 
 
 
7/12 
 
 
9/12 
 
 
 
Explicação: 
A integral dupla da função f(x,y) = ∫∫∫ (xy + x²)dxdydz, onde R= [0.1] x [0,1] x [0,1] é igual a : 
A primeira integral ficaria (x2 / 2 ) y + (x3 / 3) com os limites de x de 0 a 1 : (1/2) y + 1/3 
∫∫y2+13dydz=∫12y22+13ydz∫∫y2+13dydz=∫12y22+13ydz Passando o limite de y de 0 a 1 temos 
∫∫1212+13dz=(14+13)z∫∫1212+13dz=(14+13)z Passando o limite de z de 0 a 1 temos 
(14+13)=712(14+13)=712 
 
 
 
 
 
8. 
 
 
Determine o volume do sólido representado pela integral dupla, onde a função a ser integrada f(x,y) = x2+ y2 esta definida em R = [0,1] x[0,1]. 
 
 
1/3 
 
 
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2/3 
 
 
2 
 
 
 
 
1. 
 
 
Determine o volume do tetraedro limitado pelos planos x + 2y + z = 2, x = 2y, x = 0 e z = 
0. 
 
 
Volume 4 u.v 
 
 
Volume 3 u.v 
 
 
Volume 2 u.v 
 
 
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Volume 1/3 u.v 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Determine o valor da integral tripla da função f(x,y,z) = xyz , definida sobre a regiçao 
- 1 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1 e 1 ≤ z ≤ 2. 
 
 
 
9/8 
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8 
 
 
9 
 
 
4 
 
 
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Explicação: 
Determine o valor da integral tripla da função f(x,y,z) = xyz , definida sobre a regiçao 
- 1 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ 
∫21∫10∫2−1xyzdxdydz=∫21∫10x22yzdydz∫12∫01∫−12xyzdxdydz=∫12∫01x22yzdydz∫21∫10x22yzdydz=∫21∫102−32yzdydz=∫21∫1032yzdydz∫12∫01x22yzdydz=∫12∫01
2−32yzdydz=∫12∫0132yzdydz 
32∫21y22zdz=32∫2112zdz32∫12y22zdz=32∫1212zdz 
34∫21zdz=34z22=34(2−12)=9834∫12zdz=34z22=34(2−12)=98 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Pedro precisa apresentar a integral tripla da função f(x,y,z)=2 em relação às variáveis x, y e z onde os limites de integração são definidos 
como 1≤x≤41≤x≤4, 1≤y≤21≤y≤2, 1≤z≤21≤z≤2 . Qual foi a solução encontrada por Pedro ? 
 
 
3 
 
 
2 
 
 
5 
 
6 
 
 
4 
 
 
 
Explicação: 
Pedro precisa apresentar a integral tripla da função f(x,y,z)=2 em relação às variáveis x, y e z onde os limites de integração 
são 1≤x≤41≤x≤4 , 1≤y≤21≤y≤2, 1≤z≤21≤z≤2 . Qual foi a solução encontrada por Pedro ? 
∫21∫21∫412dxdydz∫12∫12∫142dxdydz 
2∫21∫21x|41dydz=2∫21∫213dydz=6∫21∫21dydz2∫12∫12x|14dydz=2∫12∫123dydz=6∫12∫12dydz 
6∫21∫21dydz=6∫21y|21dz=6∫21(2−1)dz6∫12∫12dydz=6∫12y|12dz=6∫12(2−1)dz 
6∫21(2−1)dz=6∫21dz=6z|21=6(2−1)=66∫12(2−1)dz=6∫12dz=6z|12=6(2−1)=6 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
Encontre o volume do sólido sob o gráfico da função f (x, y) = 5 e acima do domínio dado pelas inequações 
y ≤ X ≤ 3y e 0 ≤ y ≤ 5 
 
 
105 
 
125 
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
 
 
115 
 
 
120 
 
 
110 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
O ponto dado em coordenadas cartesianas (0,1,2) pode ser representado em coordenadas cilíndricas como: 
 
 
 
(2, pi/2; 2) 
 
(1, pi/2; 2) 
 
 
(1, pi/2; -2) 
 
 
(1, 3pi/2; 2) 
 
(2, pi/2; 1) 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Calcule a integral tripla e marque a única resposta correta: `I = int_0^3int_(-1)^2int_0^1(xyz²)dxdydz 
 
 
 
-7/4 
 
27/4 
 
 
-27/4 
 
 
7/4 
 
4/27 
 
 
 
Explicação: 
Integral tripla resolvida pelo Método de Fubini. 
 
 
 
 
 
7. 
 
 
Paulo precisa apresentar a integral multipla da função f(x,y) = ∫∫∫ (xy + x²)dxdydz, onde R= [0.1] x [0,1] x [0,1] aos colegas de classe. Qual o resultado 
encontrado por Paulo ao desenvolver a integral multipla ? 
 
 
 
8/12 
 
 
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7/12 
 
 
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Explicação: 
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
A integral dupla da função f(x,y) = ∫∫∫ (xy + x²)dxdydz, onde R= [0.1] x [0,1] x [0,1] é igual a : 
A primeira integral ficaria (x2 / 2 ) y + (x3 / 3) com os limites de x de 0 a 1 : (1/2) y + 1/3 
∫∫y2+13dydz=∫12y22+13ydz∫∫y2+13dydz=∫12y22+13ydz Passando o limite de y de 0 a 1 temos 
∫∫1212+13dz=(14+13)z∫∫1212+13dz=(14+13)z Passando o limite de z de 0 a 1 temos 
(14+13)=712(14+13)=712 
 
 
 
 
 
8. 
 
 
Determine o volume do sólido representado pela integral dupla, onde a função a ser integrada f(x,y) = x2+ y2 esta definida em R = [0,1] x[0,1]. 
 
 
2/3 
 
 
2 
 
 
1/3 
 
 
3 
 
 
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1. 
 
 
Paulo precisa apresentar a integral multipla da função f(x,y) = ∫∫∫ (xy + x²)dxdydz, onde R= [0.1] x [0,1] x [0,1] aos colegas de classe. Qual o resultado 
encontrado por Paulo ao desenvolver a integral multipla ? 
 
 
 
5/12 
 
 
9/12 
 
 
8/12 
 
 
7/12 
 
 
10/12 
 
 
 
Explicação: 
A integral dupla da função f(x,y) = ∫∫∫ (xy + x²)dxdydz, onde R= [0.1] x [0,1] x [0,1] é igual a : 
A primeira integral ficaria (x2 / 2 ) y + (x3 / 3) com os limites de x de 0 a 1 : (1/2) y + 1/3 
∫∫y2+13dydz=∫12y22+13ydz∫∫y2+13dydz=∫12y22+13ydz Passando o limite de y de 0 a 1 temos 
∫∫1212+13dz=(14+13)z∫∫1212+13dz=(14+13)z Passando o limite de z de 0 a 1 temos 
(14+13)=712(14+13)=712 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Pedro precisa apresentar a integral tripla da função f(x,y,z)=2 em relação às variáveis x, y e z onde os limites de integração são definidos 
como 1≤x≤41≤x≤4, 1≤y≤21≤y≤2, 1≤z≤21≤z≤2 . Qual foi a solução encontrada por Pedro ? 
 
 
 
2 
 
 
6 
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
 
 
5 
 
 
4 
 
 
3 
 
 
 
Explicação: 
Pedro precisa apresentar a integral tripla da função f(x,y,z)=2 em relação às variáveis x, y e z onde os limites de integração 
são 1≤x≤41≤x≤4 , 1≤y≤21≤y≤2, 1≤z≤21≤z≤2 . Qual foi a solução encontrada por Pedro ? 
∫21∫21∫412dxdydz∫12∫12∫142dxdydz 
2∫21∫21x|41dydz=2∫21∫213dydz=6∫21∫21dydz2∫12∫12x|14dydz=2∫12∫123dydz=6∫12∫12dydz 
6∫21∫21dydz=6∫21y|21dz=6∫21(2−1)dz6∫12∫12dydz=6∫12y|12dz=6∫12(2−1)dz 
6∫21(2−1)dz=6∫21dz=6z|21=6(2−1)=66∫12(2−1)dz=6∫12dz=6z|12=6(2−1)=6 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Determine o volume do sólido representado pela integral dupla, onde a função a ser integrada f(x,y) = x2+ y2 esta definida em R = [0,1] x[0,1]. 
 
 
 
3 
 
 
2 
 
 
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1/3 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
Encontre o volume do sólido sob o gráfico da função f (x, y) = 5 e acima do domínio dado pelas inequações 
y ≤ X ≤ 3y e 0 ≤ y ≤ 5 
 
 
 
120 
 
 
115 
 
 
110 
 
125 
 
105 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
Determine o valor da integral tripla da função f(x,y,z) = xyz , definida sobre a regiçao 
- 1 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1 e 1 ≤ z ≤ 2. 
 
 
 
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9 
 
 
4 
 
 
8 
 
 
9/8 
 
 
 
Explicação: 
Determine o valor da integral tripla da função f(x,y,z) = xyz , definida sobre a regiçao 
- 1 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ 
∫21∫10∫2−1xyzdxdydz=∫21∫10x22yzdydz∫12∫01∫−12xyzdxdydz=∫12∫01x22yzdydz∫21∫10x22yzdydz=∫21∫102−32yzdydz=∫21∫1032yzdydz∫12∫01x22yzdydz=∫12∫01
2−32yzdydz=∫12∫0132yzdydz 
32∫21y22zdz=32∫2112zdz32∫12y22zdz=32∫1212zdz 
34∫21zdz=34z22=34(2−12)=9834∫12zdz=34z22=34(2−12)=98 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
O ponto dado em coordenadas cartesianas (0,1,2) pode ser representado em coordenadas cilíndricas como: 
 
 
 
(2, pi/2; 2) 
 
 
(1, pi/2; 2) 
 
 
(2, pi/2; 1) 
 
 
(1, pi/2; -2) 
 
 
(1, 3pi/2; 2) 
 
 
 
 
 
7. 
 
 
Calcule a integral tripla e marque a única resposta correta: `I = int_0^3int_(-1)^2int_0^1(xyz²)dxdydz 
 
 
27/4 
 
 
-27/4 
 
 
7/4 
 
 
-7/4 
 
4/27 
 
 
 
Explicação: 
Integral tripla resolvida pelo Método de Fubini. 
 
 
 
 
 
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8. 
 
 
Determine o volume do tetraedro limitado pelos planos x + 2y + z = 2, x = 2y, x = 0 e z = 0. 
 
 
 
Volume 2 u.v 
 
 
Volume 3 u.v 
 
 
Volume 1/3 u.v 
 
 
Volume 4 u.v 
 
 
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1. 
 
 
Calcule a integral de linha ʃ F.dr, onde F(x,y,z) = (x,y,z), e C é a curva parametrizada por (sen t, cos t , t), 0 ≤ t ≤ 2 ππ 
 
 
 
Será 2 ππ 2 
 
 
Será 4 
 
 
Será 3 ππ + 1 
 
 
Será 3 ππ 
 
 
Será ππ 
 
 
 
Explicação: 
F é contínua em R3 e σ′(t)=(cost,−sent,1)σ′(t)=(cost,−sent,1)é continua em [0,2 π]π] 
Usando a integral de 
linha ∫CFdr=∫2π0(sent,cost,t).(cost,−sent,1)dt=∫2π0(sentcost−sentcost+t)dt=2π2∫CFdr=∫02π(sent,cost,t).(cost,−sent,1)dt=∫02π(sentcost−sentcost+t)dt=2π22. 
 
 
A integral de linha ∫(2x + y) dx − (x − 4xy) dy no circulo x²+y²= 1, percorrido (uma vez) em sentido anti-horário satisfaz as condições do Teorema de 
Green. Portanto ao aplicar o teorema encontraremos: 
 
 
 
-4π 
 
 
2π 
 
 
4π 
 
 
-2π 
 
 
0 
 
 
 
Explicação: 
P(x,y) = 2x + y e Q(x,y) = - x + 4xy sao funçoes diferenciáveis em R2 e C é o bordo positivamente orientado de S = { (x,y)| x2 +y2 < = 1} entao podemos 
aplicar o Teorema de Green (satisfaz as condições do Teorema de Green). 
∫(2x+y)dx−(x−4xy)dy=∫∫(4y−2)dxdy∫(2x+y)dx−(x−4xy)dy=∫∫(4y−2)dxdy 
aplicando as coordenadas polares ∫2pi0∫10(4rsenθ−2)drdθ∫02pi∫01(4rsenθ−2)drdθ 
= 4 int10r2dr∫2pi0senθdθ−2∫10rdr∫2pi0dθ=−4pi4 int01r2dr∫02pisenθdθ−2∫01rdr∫02pidθ=−4pi 
 
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http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
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3. 
 
 
Seja f:R3→Rf:R3→R definida por f(x,y,z)=x+3y2+zf(x,y,z)=x+3y2+z e ττ o segmento de reta que une (0,0,0)(0,0,0) e (1,1,1)(1,1,1). Calcule ∫τfds∫τfds 
Sugestão: Utilize a parametrização deste segmento : r(t)=(t,t,t)r(t)=(t,t,t), t∈[0,1]t∈[0,1] . 
 
 
 
√ 3 3 
 
 
√ 5 5 
 
 
4√ 3 43 
 
 
2√ 3 23 
 
 
3√ 2 32 
 
 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
Determine a integral de linha sendo γγ o segmento de reta da origem A(1,1) a extremidade B(4,2). 
∫γ(x+y)dx+(y−x)dy∫γ(x+y)dx+(y-x)dy 
 
 
 
5 
 
 
10 
 
 
5/4 
 
 
2/5 
 
 
11 
 
 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
Calcule a integral de linha da forma diferencial x2y dx + z dy + xy dz, ao longo do arco da parábola y = x2, z = 1 do ponto A(-1,1,1) ao ponto B(1,1,1). 
 
 
2/5 
 
 
3/5 
 
 
7 
 
 
7/3 
 
4/7 
 
 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Utilize o Teorema de Green para calcular a integral de linha da função diferencial y dx + 3x dy, onde a intergral é definida na interseção do cone z = (x2+ 
y2)1/2 com o plano z = 2. 
 
 
5 pi 
 
 
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4 pi 
 
 
pi 
 
 
8 pi 
 
 
 
1. 
 
 
A integral de linha ∫(2x + y) dx − (x − 4xy) dy no circulo x²+y²= 1, percorrido (uma vez) em sentido anti-horário satisfaz as condições do 
Teorema de Green. Portanto ao aplicar o teorema encontraremos: 
 
 
 
2π 
 
 
-4π 
 
 
0 
 
 
-2π 
 
 
4π 
 
 
 
Explicação: 
P(x,y) = 2x + y e Q(x,y) = - x + 4xy sao funçoes diferenciáveis em R2 e C é o bordo positivamente orientado de S = { (x,y)| x2 +y2 < = 1} entao podemos 
aplicar o Teorema de Green (satisfaz as condições do Teorema de Green). 
∫(2x+y)dx−(x−4xy)dy=∫∫(4y−2)dxdy∫(2x+y)dx−(x−4xy)dy=∫∫(4y−2)dxdy 
aplicando as coordenadas polares ∫2pi0∫10(4rsenθ−2)drdθ∫02pi∫01(4rsenθ−2)drdθ 
= 4 int10r2dr∫2pi0senθdθ−2∫10rdr∫2pi0dθ=−4pi4 int01r2dr∫02pisenθdθ−2∫01rdr∫02pidθ=−4pi 
 
 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Utilize o Teorema de Green para calcular a integral de linha da função diferencial y dx + 3x dy, onde a intergral é definida na interseção do cone z = (x2+ 
y2)1/2 com o plano z = 2. 
 
 
 
8 pi 
 
 
pi 
 
 
5 pi 
 
 
4 pi 
 
 
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Explicação: 
Utilize o Teorema de Green para calcular a integral de linha da função diferencial y dx + 3x dy, onde a intergral é definida na interseção do cone z = (x2+ 
y2)1/2 com o plano z = 2. 
∫CPdx+Qdy=∫D∂Q∂x−∂P∂ydA∫CPdx+Qdy=∫D∂Q∂x−∂P∂ydA 
P = y 
Q = 3x 
∂Q∂x=3,∂P∂y=1∂Q∂x=3,∂P∂y=1 
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∫CPdx+Qdy=∫D∂Q∂x−∂P∂ydA=∫D3−1dA=∫D2dA=∫CPdx+Qdy=∫D∂Q∂x−∂P∂ydA=∫D3−1dA=∫D2dA= 
2 Area D 
z = (x2+ y2)1/2 com o plano z = 2. 
2= (x2+ y2)1/2 
4= (x2+ y2) é uma circunferência de raio 2 
A=πR2=4πA=πR2=4π mas como é 2 Area D a reposta será 8 ππ 
 
 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Calcule a integral de linha da forma diferencial x2y dx + z dy + xy dz, ao longo do arco da parábola y = x2, z = 1 do ponto A(-1,1,1) ao ponto B(1,1,1). 
 
 
 
2/5 
 
 
7/3 
 
 
3/5 
 
 
7 
 
 
4/7 
 
 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
Seja f:R3→Rf:R3→R definida por f(x,y,z)=x+3y2+zf(x,y,z)=x+3y2+z e ττ o segmento de reta que une (0,0,0)(0,0,0) e (1,1,1)(1,1,1). Calcule ∫τfds∫τfds 
Sugestão: Utilize a parametrização deste segmento : r(t)=(t,t,t)r(t)=(t,t,t), t∈[0,1]t∈[0,1] . 
 
 
 
2√ 3 23 
 
 
√ 3 3 
 
 
3√ 2 32 
 
 
4√ 3 43 
 
 
√ 5 5 
 
 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
Determine a integral de linha sendo γγ o segmento de reta da origem A(1,1) a extremidade B(4,2). 
∫γ(x+y)dx+(y−x)dy∫γ(x+y)dx+(y-x)dy 
 
 
 
2/5 
 
 
5/4 
 
 
11 
 
 
5 
 
 
10 
 
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
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http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
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6. 
 
 
Calcule a integral de linha ʃ F.dr, onde F(x,y,z) = (x,y,z), e C é a curva parametrizada por (sen t, cos t , t), 0 ≤ t ≤ 2 ππ 
 
 
 
Será 3 ππ + 1 
 
 
Será 4 
 
 
Será 2 ππ 2 
 
 
Será ππ 
 
 
Será 3 ππ 
 
 
 
1. 
 
 
Calcule a integral de linha ʃ F.dr, onde F(x,y,z) = (x,y,z), e C é a curva parametrizada por (sen t, cos t , t), 0 ≤ t ≤ 2 ππ 
 
 
Será ππ 
 
 
Será 4 
 
 
Será 3 ππ 
 
Será 2 ππ 2 
 
 
Será 3 ππ + 1 
 
 
 
Explicação: 
F é contínua em R3 e σ′(t)=(cost,−sent,1)σ′(t)=(cost,−sent,1)é continua em [0,2 π]π] 
Usando a integral de 
linha ∫CFdr=∫2π0(sent,cost,t).(cost,−sent,1)dt=∫2π0(sentcost−sentcost+t)dt=2π2∫CFdr=∫02π(sent,cost,t).(cost,−sent,1)dt=∫02π(sentcost−sentcost+t)dt=2π2 
 
 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
A integral de linha ∫(2x + y) dx − (x − 4xy) dy no circulo x²+y²= 1, percorrido (uma vez) em sentido anti-horário satisfaz as condições do Teorema de 
Green. Portanto ao aplicar o teorema encontraremos: 
 
 
 
-2π 
 
 
2π 
 
-4π 
 
 
4π 
 
0 
 
 
 
Explicação: 
P(x,y) = 2x + y e Q(x,y) = - x + 4xy sao funçoes diferenciáveis em R2 e C é o bordo positivamente orientado de S = { (x,y)| x2 +y2 < = 1} entao podemos 
aplicar o Teorema de Green (satisfaz as condições do Teorema de Green). 
∫(2x+y)dx−(x−4xy)dy=∫∫(4y−2)dxdy∫(2x+y)dx−(x−4xy)dy=∫∫(4y−2)dxdy 
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aplicando as coordenadas polares ∫2pi0∫10(4rsenθ−2)drdθ∫02pi∫01(4rsenθ−2)drdθ 
= 4 int10r2dr∫2pi0senθdθ−2∫10rdr∫2pi0dθ=−4pi4 int01r2dr∫02pisenθdθ−2∫01rdr∫02pidθ=−4pi 
 
 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Seja f:R3→Rf:R3→R definida por f(x,y,z)=x+3y2+zf(x,y,z)=x+3y2+z e ττ o segmento de reta que une (0,0,0)(0,0,0) e (1,1,1)(1,1,1). Calcule ∫τfds∫τfds 
Sugestão: Utilize a parametrização deste segmento : r(t)=(t,t,t)r(t)=(t,t,t), t∈[0,1]t∈[0,1] . 
 
 
4√ 3 43 
 
 
√ 3 3 
 
 
√ 5 5 
 
2√ 3 23 
 
 
3√ 2 32 
 
 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
Determine a integral de linha sendo γγ o segmento de reta da origem A(1,1) a extremidade B(4,2). 
∫γ(x+y)dx+(y−x)dy∫γ(x+y)dx+(y-x)dy 
 
 
 
5/4 
 
 
10 
 
 
5 
 
 
2/5 
 
11 
 
 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
Calcule a integral de linha da forma diferencialx2y dx + z dy + xy dz, ao longo do arco da parábola y = x2, z = 1 do ponto A(-1,1,1) ao ponto B(1,1,1). 
 
 
 
3/5 
 
 
2/5 
 
 
4/7 
 
 
7 
 
 
7/3 
 
 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Utilize o Teorema de Green para calcular a integral de linha da função diferencial y dx + 3x dy, onde a intergral é definida na interseção do cone z = (x2+ 
y2)1/2 com o plano z = 2. 
 
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4 pi 
 
 
Nenhuma das respostas anteriores 
 
 
8 pi 
 
 
5 pi 
 
 
pi 
 
 
 
 
1. 
 
 
Utilize o Teorema de Green para calcular o trabalho realizado pelo campo 
→F(x,y)=−3y5→i+5y2x3→jF→(x,y)=-3y5i→+5y2x3j→ para mover uma 
partícula ao longo 
 da circunferência x2 + y2 = 4, partindo do ponto (2; 0) e retornando a este 
 ponto apenas uma vez. 
 
 
 
150π150π 
 
 
90π90π 
 
 
70π70π 
 
 
180π180π 
 
 
160π160π 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Determine a integral dupla da função f(x,y) = y2 sen x2 tendo com limites de integração y3= x , y3 = -x , x = 0 e x = 8. 
 
 
 
(cos 64 + 1):3 
 
 
- cos 64 
 
 
(- cos 64 +1):3 
 
 
cos 64 
 
 
Nenhuma das respostas anteriores 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
 
Calcule a integral ∫C(x+2y)dS∫C(x+2y)dS onde C é uma semicircunferência 
centrada na origem de raio igual a 3 e orientada no sentido positivo. 
 
 
36 
 
 
18 
 
 
45 
 
 
25 
 
10 
 
 
 
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
 
 
4. 
 
 
Calcule ∫CxzdS∫CxzdS , onde C é a interseção da esfera x² + y² + z² = 4 
com o plano x = y. 
 
 
 
0 
 
 
√ 6 6 
 
 
10 
 
 
16 
 
 
√ 8 8 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
Supondo um campo F = xy i - xy2 j, ao longo do triângulo de vértices A (0,0), B(1,0) e C(1,1). Calcule a integral do campo vetorial ao longo do triângulo. 
 
 
 
2/3 
 
3 
 
 
1/4 
 
 
2 
 
 
3/5 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Encontrar o volume do tetraedro: ∫10∫01 ∫1x∫x1 ∫y−x0∫0y-xF(x, y, z)dzdydx. 
Considerar F(x, y, z) = 1. 
 
 
 
7/6 
 
1/6 
 
 
1/2 
 
 
5/6 
 
 
2/3 
 
 
 
 
 
7. 
 
 
Usando à técnica de integração dupla, calcular o volume do sólido gerado pela equação f(x,y) = e(x+2y) dxdy, para os intervalos 
R= [0,1]x[0,3]. 
 
 
 
1/2(e6e6-1) 
 
 
-1/2(e-1)(e6e6-1) 
 
 
1/2(e-1)(e6e6-1) 
 
 
(e-1)(e6e6-1) 
 
 
1/2(e-1) 
 
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
 
 
 
 
8. 
 
 
Usando a técnica da integral dupla, encontre o volume do sólido gerado pela expressão ∫∫ ∫∫(x2 + y2) dxdy para os intervalos R=[-1,1] x[-2,1]. 
 
 
21(u.v.) 
 
 
17(u.v.) 
 
 
15(u.v.) 
 
8(u.v.) 
 
 
2(u.v.) 
 
 
 
 
1. 
 
 
Calcule a integral dupla: 
∫42∫24 ∫21∫12 (x2x2 + y2y2) dydx 
 
 
70/11 
 
 
70/15 
 
70/3 
 
 
70/9 
 
 
70/13 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Calcule a integral ∮Cx2ydx−y2xdy∮Cx2ydx-y2xdy em que C é a fronteira da região no primeiro quadrante compreendida pelos eixos 
coordenados e o círculo x2 + y2 = 16. 
 
 
 
18π18π 
 
 
32π32π 
 
 
−32π-32π 
 
 
20π20π 
 
 
−16π-16π 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Determine a integral dupla da função f(x,y) = y2 sen x2 tendo com limites de integração y3= x , y3 = -x , x = 0 e x = 8. 
 
 
 
(- cos 64 +1):3 
 
 
cos 64 
 
 
Nenhuma das respostas anteriores 
 
 
(cos 64 + 1):3 
 
 
- cos 64 
 
 
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http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
 
 
 
4. 
 
 
Supondo um campo F = xy i - xy2 j, ao longo do triângulo de vértices A (0,0), B(1,0) e C(1,1). Calcule a integral do campo vetorial ao longo do triângulo. 
 
 
 
3 
 
 
1/4 
 
 
2/3 
 
 
2 
 
 
3/5 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
Usando à técnica de integração dupla, calcular o volume do sólido gerado pela equação f(x,y) = e(x+2y) dxdy, para os intervalos 
R= [0,1]x[0,3]. 
 
 
 
-1/2(e-1)(e6e6-1) 
 
 
1/2(e-1) 
 
 
(e-1)(e6e6-1) 
 
1/2(e-1)(e6e6-1) 
 
 
1/2(e6e6-1) 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Usando a técnica da integral dupla, encontre o volume do sólido gerado pela expressão ∫∫ ∫∫(x2 + y2) dxdy para os intervalos R=[-1,1] x[-2,1]. 
 
 
 
17(u.v.) 
 
8(u.v.) 
 
 
15(u.v.) 
 
 
2(u.v.) 
 
 
21(u.v.) 
 
 
 
 
 
7. 
 
 
Calcule ∫CxzdS∫CxzdS , onde C é a interseção da esfera x² + y² + z² = 4 
com o plano x = y. 
 
 
 
√ 6 6 
 
 
√ 8 8 
 
 
0 
 
 
16 
 
 
10 
 
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
 
 
 
 
8. 
 
 
Utilize o Teorema de Green para calcular o trabalho realizado pelo campo 
→F(x,y)=−3y5→i+5y2x3→jF→(x,y)=-3y5i→+5y2x3j→ para mover uma partícula ao longo 
 da circunferência x2 + y2 = 4, partindo do ponto (2; 0) e retornando a este 
 ponto apenas uma vez. 
 
 
 
150π150π 
 
 
160π160π 
 
 
90π90π 
 
 
180π180π 
 
 
70π70π 
 
 
 
1. 
 
 
 
Calcule a integral ∫C(x+2y)dS∫C(x+2y)dS onde C é uma semicircunferência 
centrada na origem de raio igual a 3 e orientada no sentido positivo. 
 
 
10 
 
 
36 
 
 
18 
 
 
45 
 
 
25 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Encontrar o volume do tetraedro: ∫10∫01 ∫1x∫x1 ∫y−x0∫0y-xF(x, y, z)dzdydx. 
Considerar F(x, y, z) = 1. 
 
 
 
2/3 
 
 
7/6 
 
 
5/6 
 
 
1/6 
 
 
1/2 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Utilize o Teorema de Green para calcular o trabalho realizado pelo campo 
→F(x,y)=−3y5→i+5y2x3→jF→(x,y)=-3y5i→+5y2x3j→ para mover uma partícula ao longo 
 da circunferência x2 + y2 = 4, partindo do ponto (2; 0) e retornando a este 
 ponto apenas uma vez. 
 
 
 
150π150π 
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
 
 
70π70π 
 
 
90π90π 
 
 
160π160π 
 
 
180π180π 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
Determine a integral dupla da função f(x,y) = y2 sen x2 tendo com limites de integração y3= x , y3 = -x , x = 0 e x = 8. 
 
 
 
- cos 64 
 
(- cos 64 +1):3 
 
 
Nenhuma das respostas anteriores 
 
 
cos 64 
 
(cos 64 + 1):3 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
Supondo um campo F = xy i - xy2 j, ao longo do triângulo de vértices A (0,0), B(1,0) e C(1,1). Calcule a integral do campo vetorial ao longo do triângulo. 
 
 
 
2 
 
 
3/5 
 
 
3 
 
 
2/3 
 
1/4 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Usando à técnica de integração dupla, calcular o volume do sólido gerado pela equação f(x,y) = e(x+2y) dxdy, para os intervalos 
R= [0,1]x[0,3]. 
 
 
 
1/2(e-1) 
 
 
1/2(e-1)(e6e6-1) 
 
 
1/2(e6e6-1) 
 
 
-1/2(e-1)(e6e6-1) 
 
 
(e-1)(e6e6-1) 
 
 
 
 
 
7. 
 
 
Calcule a integral dupla: 
∫42∫24 ∫21∫12 (x2x2 + y2y2) dydx 
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
 
 
 
70/13 
 
 
70/15 
 
 
70/11 
 
 
70/9 
 
 
70/3 
 
 
 
 
 
8. 
 
 
Usando a técnica da integral dupla, encontre o volume do sólido gerado pela expressão ∫∫ ∫∫(x2 + y2) dxdy para os intervalos R=[-1,1] x[-2,1]. 
 
 
 
15(u.v.) 
 
 
8(u.v.)2(u.v.) 
 
 
17(u.v.) 
 
 
21(u.v.) 
 
 
 
 
1. 
 
 
 
 
 
9/2 u.v 
 
 
16/3 u.v 
 
 
10 u.v 
 
 
24/5 u.v 
 
 
18 u.v 
 
 
 
Explicação: O aluno usará a integral dupla. Usará a integral dupla. Uma sugestão de limites de integração: 0=<="" td=""> 
 
 
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
 
 
 
2. 
 
 
Seja uma superfície parametrizada por j(u,v) = (vcos u, vsen u, 1 - v2 ) com 0 ≤ u ≤ 2 ππ e v ³ 0. Determine a equação do plano tangente a S em j (0,1). 
 
 
 
3z + x = 1 
 
 
z = 2 
 
 
3x + 5z = 1 
 
 
2x + z - 2 = 0 
 
 
5x + 4 = 0 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Determine a integral `int_pi^(2pi) int_0^(pi) (senx+cosy)dxdy 
 
 
 
`2pi 
 
 
0 
 
 
`cos(2pi)-sen(pi) 
 
 
`pi+senx 
 
 
`pi 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
Determine a área da região limitada pelas curvas: x = y3 , x + y = 2 e y = 0. 
 
 
 
1/2 
 
 
3/5 
 
5/4 
 
 
2 
 
 
3 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
A área da região limitada pelo círculo de raio r, positivamente orientada e parametrizada pelo caminho λ(t) = (r cost, r sin t) definida em λ: [0, 2π] ⊂ R → 
R², safisfaz as condições do Teorema de Green. Aplicando o Teorema podemos encontrar: 
 
 
 
2πr 
 
 
π²r 
 
 
πr² 
 
 
πr 
 
 
2πr² 
 
 
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
 
 
 
6. 
 
 
Seja uma superfície parametrizada por j(u,v) = (vcos u, vsen u, 1 - v2 ) com 0 ≤ u ≤ 2 ππ e v ³ 0. Determine o vetor normal a S em j (0,1). 
 
 
 
O vetor normal será (-2,0,-1) 
 
 
O vetor normal será (2,0,1) 
 
 
O vetor normal será (0,0,0) 
 
 
O vetor normal será (-2,3,-1) 
 
 
O vetor normal será (0,0,-1) 
 
 
 
 
1. 
 
 
 
 
 
24/5 u.v 
 
 
18 u.v 
 
 
9/2 u.v 
 
 
16/3 u.v 
 
 
10 u.v 
 
 
 
Explicação: O aluno usará a integral dupla. Usará a integral dupla. Uma sugestão de limites de integração: 0=<="" td=""> 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Seja uma superfície parametrizada por j(u,v) = (vcos u, vsen u, 1 - v2 ) com 0 ≤ u ≤ 2 ππ e v ³ 0. Determine a equação do plano tangente a S em j (0,1). 
 
 
z = 2 
 
 
3x + 5z = 1 
 
 
3z + x = 1 
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
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2x + z - 2 = 0 
 
 
5x + 4 = 0 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Determine a integral `int_pi^(2pi) int_0^(pi) (senx+cosy)dxdy 
 
 
 
`pi+senx 
 
 
`pi 
 
 
`cos(2pi)-sen(pi) 
 
 
0 
 
`2pi 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
Determine a área da região limitada pelas curvas: x = y3 , x + y = 2 e y = 0. 
 
 
 
2 
 
 
1/2 
 
 
3 
 
 
3/5 
 
5/4 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
A área da região limitada pelo círculo de raio r, positivamente orientada e parametrizada pelo caminho λ(t) = (r cost, r sin t) definida em λ: [0, 2π] ⊂ R → 
R², safisfaz as condições do Teorema de Green. Aplicando o Teorema podemos encontrar: 
 
 
 
2πr² 
 
 
πr 
 
 
πr² 
 
 
2πr 
 
 
π²r 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Seja uma superfície parametrizada por j(u,v) = (vcos u, vsen u, 1 - v2 ) com 0 ≤ u ≤ 2 ππ e v ³ 0. Determine o vetor normal a S em j (0,1). 
 
 
 
O vetor normal será (-2,3,-1) 
 
 
O vetor normal será (0,0,-1) 
 
 
O vetor normal será (0,0,0) 
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
 
 
O vetor normal será (2,0,1) 
 
 
O vetor normal será (-2,0,-1) 
 
 
 
1. 
 
 
 
 
18 u.v 
 
 
10 u.v 
 
9/2 u.v 
 
 
16/3 u.v 
 
 
24/5 u.v 
 
 
 
Explicação: O aluno usará a integral dupla. Usará a integral dupla. Uma sugestão de limites de integração: 0=<="" td=""> 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Seja uma superfície parametrizada por j(u,v) = (vcos u, vsen u, 1 - v2 ) com 0 ≤ u ≤ 2 ππ e v ³ 0. Determine a equação do plano tangente a S em j (0,1). 
 
 
5x + 4 = 0 
 
2x + z - 2 = 0 
 
 
z = 2 
 
 
3x + 5z = 1 
 
 
3z + x = 1 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Determine a integral `int_pi^(2pi) int_0^(pi) (senx+cosy)dxdy 
 
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`cos(2pi)-sen(pi) 
 
 
`2pi 
 
 
`pi 
 
 
`pi+senx 
 
 
0 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
Determine a área da região limitada pelas curvas: x = y3 , x + y = 2 e y = 0. 
 
 
 
3/5 
 
 
1/2 
 
 
2 
 
5/4 
 
 
3 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
A área da região limitada pelo círculo de raio r, positivamente orientada e parametrizada pelo caminho λ(t) = (r cost, r sin t) definida em λ: [0, 2π] ⊂ R → 
R², safisfaz as condições do Teorema de Green. Aplicando o Teorema podemos encontrar: 
 
 
 
2πr² 
 
 
π²r 
 
 
πr 
 
 
2πr 
 
 
πr² 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Seja uma superfície parametrizada por j(u,v) = (vcos u, vsen u, 1 - v2 ) com 0 ≤ u ≤ 2 ππ e v ³ 0. Determine o vetor normal a S em j (0,1). 
 
 
 
O vetor normal será (0,0,-1) 
 
 
O vetor normal será (-2,3,-1) 
 
 
O vetor normal será (0,0,0) 
 
 
O vetor normal será (-2,0,-1) 
 
 
O vetor normal será (2,0,1) 
 
 
 
 
1. 
 
 
Em uma indústria existe uma reservatório para armazenamento de um certo produto 
químico por algum período de tempo. O volume deste reservatório é definido pelo 
interior da esfera x2 + y2 + z2 = z e o cone z2 = 3 (x2 + y2). Determine o volume do 
reservatório. 
 
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
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7 pi /96 
 
 
7pi 
 
 
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pi/96 
 
 
7/96 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Calcule a integral dupla da função f(x,y) = exp ( (y-x) / (y+x) ) sobre a região D delimitada pelas retas x + y = 1, x + y = 2 , x = 0 e y = 0. 
 
 
 
Nenhuma das respostas anteriores 
 
 
e - 1/e 
 
 
3 e - 1/e 
 
 
-1/e 
 
 
(3/4) ( e - 1/e) 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Dado o ponto (1,1,1), em coordenadas cartesianas, a representação deste ponto em coordenadas cilíndricas é apresentada em: 
 
 
 
(sqrt(2);pi/4 ; -1) 
 
(sqrt(2);pi/4 ; 1) 
 
 
(sqrt(2);2pi/4 ; 1) 
 
 
(sqrt(2);pi/4 ; 2) 
 
(sqrt(3);pi/4 ; 1) 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
Seja F(x,y,z) = x^(2) + 2y + 3z. Calcular a integral da função F(x,y,z) sobre a curva C definida por r(x,y,z) = -2t (i) + 3t (j) + t (k), onde t varia no intervalo [0 , 
1] 
 
 
 
14 * (2)^(1/2) 
 
 
4 * (14)^(1/2) 
 
 
4 
 
 
4 * (2)^(1/2) 
 
 
2 * (14)^(1/2) 
 
 
 
 
 
5. 
 
Calcular ∫c fds em que r é a hélice definida por r(t)=(sent,cost,t), 
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t∈[0,2π] e F o campo vetorial definido por F(x,y,z)=(x,y,z). 
 
 
2π32π3 
 
2π22π2 
 
 
2π2π 
 
 
π2π2 
 
 
3π23π2 
 
 
 
 
1. 
 
 
Calcule a integral dupla da função f(x,y) = exp ( (y-x) / (y+x) ) sobre a região D delimitada 
pelas retas x + y = 1, x + y = 2 , x = 0 e y = 0. 
 
 
 
3 e - 1/e 
 
 
-1/e 
 
(3/4) ( e - 1/e) 
 
 
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e - 1/e 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Em uma indústria existe uma reservatório para armazenamento de um certo produto químico por algum período de tempo. O volume deste reservatório 
é definido pelo interior da esfera x2 + y2 + z2 = z e o cone z2 = 3 (x2 + y2). Determine o volume do reservatório. 
 
 
 
7/96 
 
 
7pi 
 
 
7 pi /96 
 
 
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pi/96 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Seja F(x,y,z) = x^(2) + 2y + 3z. Calculara integral da função F(x,y,z) sobre a curva C definida por r(x,y,z) = -2t (i) + 3t (j) + t (k), onde t varia no intervalo [0 , 
1] 
 
 
 
4 * (14)^(1/2) 
 
 
14 * (2)^(1/2) 
 
 
4 
 
 
2 * (14)^(1/2) 
 
 
4 * (2)^(1/2) 
 
 
 
 
 
4. 
 
Calcular ∫c fds em que r é a hélice definida por r(t)=(sent,cost,t), 
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t∈[0,2π] e F o campo vetorial definido por F(x,y,z)=(x,y,z). 
 
 
 
3π23π2 
 
 
π2π2 
 
2π22π2 
 
 
2π32π3 
 
 
2π2π 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
Dado o ponto (1,1,1), em coordenadas cartesianas, a representação deste ponto em coordenadas cilíndricas é apresentada em: 
 
 
 
(sqrt(2);pi/4 ; 2) 
 
 
(sqrt(3);pi/4 ; 1) 
 
 
(sqrt(2);pi/4 ; 1) 
 
 
(sqrt(2);pi/4 ; -1) 
 
 
(sqrt(2);2pi/4 ; 1) 
 
 
 
 
1. 
 
 
Calcule a integral dupla da função f(x,y) = exp ( (y-x) / (y+x) ) sobre a região D delimitada 
pelas retas x + y = 1, x + y = 2 , x = 0 e y = 0. 
 
 
 
(3/4) ( e - 1/e) 
 
 
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-1/e 
 
 
e - 1/e 
 
 
3 e - 1/e 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Em uma indústria existe uma reservatório para armazenamento de um certo produto químico por algum período de tempo. O volume deste reservatório 
é definido pelo interior da esfera x2 + y2 + z2 = z e o cone z2 = 3 (x2 + y2). Determine o volume do reservatório. 
 
 
 
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7pi 
 
 
pi/96 
 
 
7 pi /96 
 
 
7/96 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Seja F(x,y,z) = x^(2) + 2y + 3z. Calcular a integral da função F(x,y,z) sobre a curva C definida por r(x,y,z) = -2t (i) + 3t (j) + t (k), onde t varia no intervalo [0 , 
1] 
 
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2 * (14)^(1/2) 
 
 
4 
 
 
4 * (14)^(1/2) 
 
 
4 * (2)^(1/2) 
 
 
14 * (2)^(1/2) 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
Calcular ∫c fds em que r é a hélice definida por r(t)=(sent,cost,t), 
t∈[0,2π] e F o campo vetorial definido por F(x,y,z)=(x,y,z). 
 
 
 
3π23π2 
 
 
2π22π2 
 
 
π2π2 
 
 
2π32π3 
 
 
2π2π 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
Dado o ponto (1,1,1), em coordenadas cartesianas, a representação deste ponto em coordenadas cilíndricas é apresentada em: 
 
 
 
(sqrt(2);pi/4 ; 1) 
 
 
(sqrt(3);pi/4 ; 1) 
 
 
(sqrt(2);pi/4 ; -1) 
 
 
(sqrt(2);pi/4 ; 2) 
 
 
(sqrt(2);2pi/4 ; 1) 
 
 
 
1. 
 
 
Seja o campo vetorial F(x,y,z) = (x - y, x + y, z). 
Calcule o fluxo de F através de S, orientada com o vetor n exterior a S. 
S: x2 + y2 = a2 com a > 0 e 0 ≤ z ≤ h. 
 
2p a2h 
 
 
8p a2h 
 
 
8 p ah 
 
 
p a2h 
 
 
22ph 
 
 
 
 
 
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2. 
 
 
Determine a integral `int_0^1 int_0^2 int_0^(1-z)dydxdz 
 
 
 
1-z 
 
 
2-2z 
 
 
1 
 
 
0 
 
 
2 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Calcule a massa da superfície S parte do plano z + x = 2 e dentro do cilindro x2 + y2 = 1 sendo a densidade dada por d(x,y,z) = y2. 
 
 
 
M = [ ( 2 ) 1/2 ππ]/4 u.m 
 
 
M = [ ππ]/4 u.m 
 
 
M = [ ( 2 ) 1/2 ππ] u.m 
 
 
M = 3 ππ u.m. 
 
 
M = ππ u.m 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
Calcule o volume do sólido cuja base inferior é a região retangular no plano xy, com x variando de 0 a 3 e y variando de 0 a 2 e cujo topo está na 
superfície f(x,y) = 4 - y^2. 
 
 
 
12 
 
 
20 
 
 
16 
 
 
14 
 
 
10 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
Uma lâmina tem a forma da parte do plano z = x recortada pelo cilindro 
( x - 1)2 + y2 = 1. Determine a massa dessa lâmina se a densidade no 
 ponto (x,y,z) é proporcional a distância desse ponto ao plano xy. 
 
 
 
 
2π u.m. 
 
 
k u.m. 
 
 
√ 2 2 u.m. 
 
 
k√ 2 k2ππu.m. 
 
 
k√ 3 k3 u.m. 
 
 
 
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6. 
 
 
Um corpo move-se ao longo da parábola y=x² do ponto (0,0) ao ponto (2,4). O trabalho total (w) realizado, se o movimento é causado pelo campo de 
forças F(x,y)=(x²+y²)i+x²yj, sabendo-se que o arco é medido em metros e a força é medida em Newtons, é: 
 
 
 
577/32N.m 
 
 
w=777/33N.m 
 
 
w=833/5N.m 
 
 
w=540/7N.m 
 
 
w=456/15 N.m 
 
 
 
Explicação: 
Parametrizacao de y =x2 será (t, t2) portanto r(t) = (t,t2 ) com t variando de 0 a 2 e a derivada de r(t) = ( 1,2t) 
Portanto F(t) ( t2 + t4, t2 .t2) 
O trabalho será aplique o limite de integracao de 0 a 2 
∫Fdr=∫(t2+t4)i+t4j)(i+2tj)dt∫Fdr=∫(t2+t4)i+t4j)(i+2tj)dt 
w = ∫Fdr=t33+t55+2t66=45615∫Fdr=t33+t55+2t66=45615 
 
 
 
 
 
7. 
 
 
Calcule a circulação do campo F (x,y,z) = (y, xz, z2 ) ao redor da curva C fronteira do triânculo cortado do plano x + y + z = 1 pelo primeiro octante, no 
sentido horário quando vista da origem. 
 
 
 
5 
 
 
9 
 
 
-1/2 
 
 
3 
 
 
24 
 
 
 
1. 
 
 
Calcule a circulação do campo F (x,y,z) = (y, xz, z2 ) ao redor da curva C fronteira do triânculo cortado do plano x + y + z = 1 pelo primeiro octante, no 
sentido horário quando vista da origem. 
 
 
 
24 
 
 
3 
 
 
-1/2 
 
 
9 
 
 
5 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Determine a integral `int_0^1 int_0^2 int_0^(1-z)dydxdz 
 
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2 
 
 
2-2z 
 
 
0 
 
 
1 
 
 
1-z 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Calcule a massa da superfície S parte do plano z + x = 2 e dentro do cilindro x2 + y2 = 1 sendo a densidade dada por d(x,y,z) = y2. 
 
 
M = [ ( 2 ) 1/2 ππ]/4 u.m 
 
 
M = ππ u.m 
 
 
M = [ ( 2 ) 1/2 ππ] u.m 
 
 
M = [ ππ]/4 u.m 
 
 
M = 3 ππ u.m. 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
Calcule o volume do sólido cuja base inferior é a região retangular no plano xy, com x variando de 0 a 3 e y variando de 0 a 2 e cujo topo está na 
superfície f(x,y) = 4 - y^2. 
 
 
 
10 
 
 
20 
 
 
12 
 
 
14 
 
 
16 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
Uma lâmina tem a forma da parte do plano z = x recortada pelo cilindro 
( x - 1)2 + y2 = 1. Determine a massa dessa lâmina se a densidade no 
 ponto (x,y,z) é proporcional a distância desse ponto ao plano xy. 
 
 
 
2π u.m. 
 
 
k√ 3 k3 u.m. 
 
 
k u.m. 
 
k√ 2 k2ππu.m. 
 
 
√ 2 2 u.m. 
 
 
 
 
 
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6. 
 
 
Um corpo move-se ao longo da parábola y=x² do ponto (0,0) ao ponto (2,4). O trabalho total (w) realizado, se o movimento é causado pelo campo de 
forças F(x,y)=(x²+y²)i+x²yj, sabendo-se que o arco é medido em metros e a força é medida em Newtons, é: 
 
 
 
w=777/33N.m 
 
 
w=833/5N.m 
 
 
w=456/15 N.m 
 
 
577/32N.m 
 
 
w=540/7N.m 
 
 
 
Explicação: 
Parametrizacao de y =x2 será (t, t2) portanto r(t) = (t,t2 ) com t variando de 0 a 2 e a derivada de r(t) = ( 1,2t) 
Portanto F(t) ( t2 + t4, t2 .t2) 
O trabalho será aplique o limite de integracao de 0 a 2 
∫Fdr=∫(t2+t4)i+t4j)(i+2tj)dt∫Fdr=∫(t2+t4)i+t4j)(i+2tj)dt 
w = ∫Fdr=t33+t55+2t66=45615∫Fdr=t33+t55+2t66=45615 
 
 
 
 
 
7. 
 
 
Seja o campo vetorial F(x,y,z) = (x - y, x + y, z). 
Calcule o fluxo de F através de S, orientada com o vetor n exterior a S. 
S: x2 + y2 = a2 com a > 0 e 0 ≤ z ≤ h. 
 
8p a2h 
 
 
8 p ah 
 
2p a2h 
 
 
p a2h 
 
 
22ph 
 
 
 
 
1. 
 
 
Um corpo move-se ao longo da parábola y=x² do ponto (0,0) ao ponto (2,4). O trabalho 
total (w) realizado,se o movimento é causado pelo campo de forças F(x,y)=(x²+y²)i+x²yj, 
sabendo-se que o arco é medido em metros e a força é medida em Newtons, é: 
 
 
 
577/32N.m 
 
 
w=456/15 N.m 
 
 
w=540/7N.m 
 
 
w=777/33N.m 
 
 
w=833/5N.m 
 
 
 
Explicação: 
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Parametrizacao de y =x2 será (t, t2) portanto r(t) = (t,t2 ) com t variando de 0 a 2 e a derivada de r(t) = ( 1,2t) 
Portanto F(t) ( t2 + t4, t2 .t2) 
O trabalho será aplique o limite de integracao de 0 a 2 
∫Fdr=∫(t2+t4)i+t4j)(i+2tj)dt∫Fdr=∫(t2+t4)i+t4j)(i+2tj)dt 
w = ∫Fdr=t33+t55+2t66=45615∫Fdr=t33+t55+2t66=45615 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Seja o campo vetorial F(x,y,z) = (x - y, x + y, z). 
Calcule o fluxo de F através de S, orientada com o vetor n exterior a S. 
S: x2 + y2 = a2 com a > 0 e 0 ≤ z ≤ h. 
 
8p a2h 
 
 
p a2h 
 
2p a2h 
 
 
22ph 
 
 
8 p ah 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Uma lâmina tem a forma da parte do plano z = x recortada pelo cilindro 
( x - 1)2 + y2 = 1. Determine a massa dessa lâmina se a densidade no 
 ponto (x,y,z) é proporcional a distância desse ponto ao plano xy. 
 
 
 
 
√ 2 2 u.m. 
 
 
2π u.m. 
 
 
k√ 3 k3 u.m. 
 
 
k√ 2 k2ππu.m. 
 
 
k u.m. 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
Calcule a massa da superfície S parte do plano z + x = 2 e dentro do cilindro x2 + y2 = 1 sendo a densidade dada por d(x,y,z) = y2. 
 
 
 
M = [ ππ]/4 u.m 
 
 
M = [ ( 2 ) 1/2 ππ]/4 u.m 
 
 
M = [ ( 2 ) 1/2 ππ] u.m 
 
 
M = ππ u.m 
 
 
M = 3 ππ u.m. 
 
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5. 
 
 
Determine a integral `int_0^1 int_0^2 int_0^(1-z)dydxdz 
 
 
 
2-2z 
 
1 
 
 
0 
 
 
2 
 
1-z 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Calcule o volume do sólido cuja base inferior é a região retangular no plano xy, com x variando de 0 a 3 e y variando de 0 a 2 e cujo topo está na 
superfície f(x,y) = 4 - y^2. 
 
 
 
12 
 
 
20 
 
16 
 
 
10 
 
14 
 
 
 
 
 
7. 
 
 
Calcule a circulação do campo F (x,y,z) = (y, xz, z2 ) ao redor da curva C fronteira do triânculo cortado do plano x + y + z = 1 pelo primeiro octante, no 
sentido horário quando vista da origem. 
 
 
 
-1/2 
 
 
5 
 
 
24 
 
 
9 
 
 
3 
 
 
 
 
1. 
 
 
Calcule a integral dupla da função f(x,y) = x + 2y, onde D é a região limitada pelas 
parábolas y = 2x2 e y = 1 + x 2. 
 
 
 
1/3 
 
 
36 
 
 
32/15 
 
 
32/25 
 
 
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2. 
 
 
Seja f(x,y) = 1 / (x2+ y2). Determine a integral dupla da função f(x,y) definida no intervalo 
0 ≤ x ≤ y e 1 ≤ y ≤ e. 
 
 
 
pi 
 
 
pi/4 
 
 
pi / 5 
 
 
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2 pi 
 
 
Gabarito 
Coment. 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Determine o fluxo do rotacional do campo de vetores F(x,y,z)=(y3,x3,ez)F(x,y,z)=(y3,x3,ez) através da 
superfície S={(x,y,z)∈R3S={(x,y,z)∈R3 tal que x2+y2+z2=2,x2+y2≤1,z≥0}x2+y2+z2=2,x2+y2≤1,z≥0}, com normal exterior. 
Sugestão: Calcular ∫∫Srot(F)dS∫∫Srot(F)dS, aplicando o teorema de Stokes 
∫∫Srot(F)dS=∮∂SF∫∫Srot(F)dS=∮∂SF 
 
 
 
0 
 
 
−12-12 
 
 
1212 
 
 
1 
 
 
-1 
 
 
 
Explicação: 
rot F =( 0,0, 3x2 - 3y2 ) 
n = = (-fx , - fy , 1) 
Entao rot F . n = ( 0, 0, 3x2 - 3y2) 
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∫∫3x2−3y2dxdy∫∫3x2−3y2dxdy 
usando a mudança de variável polar 
s=rcosθ;y=rsenθ;0≤θ≤2π;0≤r≤1s=rcosθ;y=rsenθ;0≤θ≤2π;0≤r≤1 
Nao esquecendo do jacobiano na integral teremos: 
∫∫3(r2cos2θ−r2sen2θ)rdrdθ=0∫∫3(r2cos2θ−r2sen2θ)rdrdθ=0 
 
 
Gabarito 
Coment. 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
Calculo o trabalho realizado pelo campo de força F(x,y,z) = ( xx + z2 , yy + x2 , zz + y2 ) quando uma partícula se move sob sua influência ao redor da borda 
da esfera x2 + y2 + z2 = 4 que esta no primeiro octante, na direção anti-horária quando vista por cima, 
 
 
 
16 
 
 
20 
 
 
3/2 
 
 
5/2 
 
 
5 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
Marque a alternativa que indica o resultado da integral dupla A = ∫20∫02 ∫06(4-x2)dydx 
 
 
 
32 
 
 
18 
 
 
24 
 
 
54 
 
 
10 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Ao calcular-se a área da região encerrada pela elípse 4x²+16y²=64, encontra-se o valor de: 
 
 
 
4pi 
 
8pi 
 
 
16pi 
 
 
64pi 
 
9pi 
 
 
 
Explicação: A área da elípse é dada por A=a.b.pi, neste caso a=2 e b=4, pois a eq. da elípse fica ( x²/2²) + (y²/4²)=1 
 
 
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7. 
 
 
Calcule o trabalho realizado pelo campo de força F (x,y,z) = (xx + z2, yy + x2, zz + y2) 
quando uma partícula se move sob sua influência ao redor da borda da esfera de 
raio 2 que esta no primeiro octante, na direção anti-horária quando vista por cima. 
 
 
 
8√ 5 85 
 
 
16 
 
 
12 
 
 
10 
 
 
22 
 
 
 
 
1. 
 
 
Calcule o trabalho realizado pelo campo de força F (x,y,z) = (xx + z2, yy + x2, zz + y2) 
quando uma partícula se move sob sua influência ao redor da borda da esfera de 
raio 2 que esta no primeiro octante, na direção anti-horária quando vista por cima. 
 
 
 
22 
 
 
8√ 5 85 
 
 
10 
 
 
12 
 
 
16 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Calculo o trabalho realizado pelo campo de força F(x,y,z) = ( xx + z2 , yy + x2 , zz + y2 ) quando uma partícula se move sob sua influência ao redor da borda 
da esfera x2 + y2 + z2 = 4 que esta no primeiro octante, na direção anti-horária quando vista por cima, 
 
 
 
5/2 
 
 
20 
 
16 
 
 
5 
 
3/2 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Ao calcular-se a área da região encerrada pela elípse 4x²+16y²=64, encontra-se o valor de: 
 
 
 
16pi 
 
 
64pi 
 
 
9pi 
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8pi 
 
 
4pi 
 
 
 
Explicação: A área da elípse é dada por A=a.b.pi, neste caso a=2 e b=4, pois a eq. da elípse fica ( x²/2²) + (y²/4²)=1 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
Calcule a integral dupla da função f(x,y) = x + 2y, onde D é a região limitada pelas parábolas y = 2x2 e y = 1 + x 2. 
 
 
 
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Nenhuma das respostas anteriores 
 
 
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5. 
 
 
Determine o fluxo do rotacional do campo de vetores F(x,y,z)=(y3,x3,ez)F(x,y,z)=(y3,x3,ez) através da 
superfície S={(x,y,z)∈R3S={(x,y,z)∈R3 tal que x2+y2+z2=2,x2+y2≤1,z≥0}x2+y2+z2=2,x2+y2≤1,z≥0}, com normal exterior. 
Sugestão: Calcular ∫∫Srot(F)dS∫∫Srot(F)dS, aplicando o teorema de Stokes 
∫∫Srot(F)dS=∮∂SF∫∫Srot(F)dS=∮∂SF 
 
 
 
 
-1 
 
 
1212 
 
 
0 
 
 
−12-12 
 
 
1 
 
 
 
Explicação: 
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
http://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
rot F =( 0,0, 3x2 - 3y2 ) 
n = = (-fx , - fy , 1) 
Entao rot F . n = ( 0, 0, 3x2 - 3y2) 
∫∫3x2−3y2dxdy∫∫3x2−3y2dxdy 
usando a mudança de variável polar 
s=rcosθ;y=rsenθ;0≤θ≤2π;0≤r≤1s=rcosθ;y=rsenθ;0≤θ≤2π;0≤r≤1 
Nao esquecendo do jacobiano na integral teremos: 
∫∫3(r2cos2θ−r2sen2θ)rdrdθ=0∫∫3(r2cos2θ−r2sen2θ)rdrdθ=0 
 
 
Gabarito 
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