Prova Calculo IV

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1.
	
		Calcule a integral dupla da função f(x,y) = -y e x onde R = [-1,1]x[0, pi/2] 
	
	
	
	
	8
	
	
	1
	
	
	Nenhuma das respostas anteriores
	
	
	zero
	
	
	(-e + e -1) (pi2/8) 
	
	
	
	 
		
	
		2.
	
		Determine o valor da integral dupla definida por f(x,y) = 2x - y, sobre a região R, onde esta região é delimitada pela figura em vermelho (interior da figura)
. 
	
	
	
	
	zero
	
	
	22
	
	
	33
	
	
	33∕2
	
	
	Nenhuma das respostas anteriores
	
	
	
	 
		
	
		3.
	
		Marque a alternativa que indica o resultado da integral dupla A = ∫42∫24 ∫62dydx∫26dydx 
	
	
	
	
	12
	
	
	8
	
	
	5
	
	
	6
	
	
	7
	
	
	
	 
		
	
		4.
	
		A definição rigorosa da interpretação geometrica da integral dupla utiliza o método e Riemann. Este tem como idéia principal ?
	
	
	
	
	Utilizar a partição regular de ordem n do retângulo R = [a,b] x[c,d] onde a função encontra-se definida, e decompor em subretângulos. Forma-se a soma de Euler de f sobre R (nos n subretângulos) e em seguida aplicasse o limite com n tendendo a infinito.
	
	
	Nenhuma das respostas anteriores
	
	
	Utilizar a partição regular de ordem n do retângulo R = [a,b] x[c,d] onde a função encontra-se definida, e decompor em subretângulos. Forma-se a soma de Riemann de f sobre R (nos n subretângulos) e em seguida aplicasse o limite com n tendendo a infinito.
	
	
	Utilizar a partição nao regular de ordem n do retângulo R = [a,b] x[c,d] onde a função encontra-se definida, e decompor em subretângulos. Forma-se a soma de Riemann de f sobre R (nos n subretângulos) e em seguida aplicasse o limite com n tendendo a infinito.
	
	
	Utilizar a partição nao regular de ordem n do retângulo R = [a,b] x[c,d] onde a função encontra-se definida, e decompor em subretângulos. Forma-se a soma de Euler de f sobre R (nos n subretângulos) e em seguida aplicasse o limite com n tendendo a infinito.
	
	
	
	 
		
	
		5.
	
		Encontre o valor da integral dupla da função f(x,y) = x sen y3 definida na região 0 ≤ x ≤ 1 e x ≤ y ≤ 1 e classifique o tipo de região utilizado.
	
	
	
	
	(-cos 1 - 1) e tipo de região I 
	
	
	(-1 ∕ 6 ) e tipo de região I 
	
	
	(- 6 ) (cos 1 - 1) e tipo de região I I
	
	
	(-1 ∕ 6 ) (cos 1 - 1) e tipo de região I 
	
	
	Nenhuma das respostas anteriores
	
Explicação: 
∫10∫1x∫01∫x1  x sen y3 definida na região 0 ≤ x ≤ 1 e x ≤ y ≤ 1
∫10∫y0xseny3dxdy∫01∫0yxseny3dxdy   = ∫10x2seny32dy=12∫10y2seny3dy=−16(cos1−cos0)∫01x2seny32dy=12∫01y2seny3dy=−16(cos1−cos0) 
−16(cos1−1)−16(cos1−1) 
regiao do tipo I
	
	Gabarito
Coment.
	
	
	
	 
		
	
		6.
	
		Seja a função f(x,y) = 1. Podemos afirmar que a integral dupla da função f(x,y) definida no intervalor 2 ≤ x ≤ 4 e 2 ≤ y ≤ 6,  tem como solução e geometricamente define:
	
	
	
	
	Tem como solução o valor 8 e define geometricamente um área.
	
	
	Tem como solução o valor 8 e não tem definição geometricamente.
	
	
	Tem como solução o valor 8 e define geometricamente um volume.
	
	
	Tem como solução o valor 5 e define geometricamente um volume.
	
	
	Nenhuma das respostas anteriores
	
	
	 
		
	
		1.
	
		Resolvendo a integral tripla a seguir encontramos: 
int0 até 3int de -1 até 2 int_0 até 1(xyz²)dxdydz 
	
	
	
	
	4/27
	
	
	7/4
	
	
	27/4
	
	
	-27/4
	
	
	-7/4
	
	
	
	 
		
	
		2.
	
		Seja f(x,y,z) = ( x^(1/2) * y^(3) ) / z^(2). Calcular o valor da integral tripla da função f(x,y,z) em relação às variáveis x, y e z onde x varia no intervalo [1 , 4] , y varia no intervalo [1 , 2] e z varia no intervalo [1 , 2].
	
	
	
	
	7
	
	
	35/2
	
	
	35/3
	
	
	35/6
	
	
	35/4
	
	
	
	 
		
	
		3.
	
		Calcular o volume do sólido:∫10∫01 ∫1−z0∫01-z ∫20∫02 dxdydz. 
	
	
	
	
	2.5
	
	
	1
	
	
	2
	
	
	1.5
	
	
	3
	
	
	
	 
		
	
		4.
	
		Seja o sólido limitado pelas superfícies x2 + y2 = 1, z + y = 2 e z = 0. Determite a massa do sólido supondo que a densidade é dada por 
	
	
	
	
	ππ u.m 
	
	
	Será (17 ππ ) / 8 u.m 
	
	
	2ππ /3  u.m 
	
	
	2ππ u.m 
	
	
	7 ππ u.m 
	
	
	
	 
		
	
		5.
	
		Maria precisa apresentar a resolução correta da integral dupla da função f(x,y) = xy + x2 em relação as variáveis x e y definida na região R= [0.1] x [0,1], ou seja, ∫10∫10(xy+x2)dxdy∫01∫01(xy+x2)dxdy . Qual o resultado encontrado por Maria.
	
	
	
	
	8/12
	
	
	5/12
	
	
	9/12
	
	
	6/12
	
	
	7/12
	
Explicação: 
Maria precisa apresentar a resolução correta da integral dupla da função f(x,y) = xy + x2 em relação as variáveis x e y definida na região R= [0.1] x [0,1], ou seja, ∫10∫10(xy+x2)dxdy∫01∫01(xy+x2)dxdy . Qual o resultado encontrado por Maria.
∫10∫10(xy+x2)dxdy=∫10(x22y+x33)dy∫01∫01(xy+x2)dxdy=∫01(x22y+x33)dy Passando o limite de x teremos
∫10(x22y+x33)dy=∫10(12y+13)dy=∫01(x22y+x33)dy=∫01(12y+13)dy= 
∫10(12y+13)dy=(12y22+13y)∫01(12y+13)dy=(12y22+13y) Passando os limite de integracao de y teremos
(12y22+13y)=(12122+13)(12y22+13y)=(12122+13) 
(12122+13)=14+13=712(12122+13)=14+13=712 
	
	
	
	 
		
	
		6.
	
		Calcule a integral dupla da função f(x,y) = xy, onde D é a região limitada pela reta y = x - 1 e pela parábola y2 = 2x + 6.
	
	
	
	
	56
	
	
	36
	
	
	30
	
	
	22
	
	
	Nenhuma das respostas anteriores
	
	
	
	 
		
	
		7.
	
		Determine o volume do sólido S que é delimitado pelo parabolóide elíptico x2 + 2y2 + z = 16, os planos x = 2 e y = 2 e os três planos coordenados.
	
	
	
	
	Nenhuma das respostas anteriores
	
	
	40
	
	
	35
	
	
	48
	
	
	49
	
	
	
	 
		
	
		8.
	
		Um engenheiro fez os cálculos do volume do sólido situado abaixo do parabolóide z = 4 - x2 - y2  e acima do plano z = 0. Qual foi o volume encontrado pelo engenheiro supondo que seus cálculos estão corretos.
	
	
	
	
	3π53π5 
	
	
	2 ππ 
	
	
	8π8π 
	
	
	​7π37π3 ​
	
	
	​2π32π3 ​
	
Explicação: 
​O domínio D interior a interseção  de z = 4 - x2 - y2 com o plano z = 0​ entao temos 0 = 4 - x2 - y2  ou   x2 + y2 = 2, ou seja , D é o interior do disco de raio 2. OBS: Esse exercicio pode ser feito por integral tripla também.
V = ∫∫4−x2−y2dxdy=∫2π0∫20(4−r2)rdrdθ∫∫4−x2−y2dxdy=∫02π∫02(4−r2)rdrdθ 
(4r22−r44)|20θ|2π0=8π(4r22−r44)|02θ|02π=8π 
		1.
	
		Determine o volume do sólido que está abaixo do parabolóide z = x2 + y2 e acima da região do plano xy limitada pela reta y = 2x e pela parábola y = x 2.
	
	
	
	
	45
	
	
	216/35
	
	
	23/35
	
	
	1/3
	
	
	Nenhuma das respostas anteriores
	
	Gabarito
Coment.
	
	
	
	 
		
	
		2.
	
		Gisele precisa apresentar o resultado correto da integral dupla da função f(x,y) = 1 em relação às variáveis x, y onde x  está no intervalo 1≤x≤41≤x≤4   e y esta no intervalo 1≤y≤21≤y≤2 . Além disso ela deverá explicar o que representa o cálculo de ∫∫1dxdy∫∫1dxdy no 1≤x≤41≤x≤4   e  1≤y≤21≤y≤2 . O que Gisele apresentou como resultado da integral e sua explicação sobre o o significado da integral ∫∫1dxdy∫∫1dxdy no intevalo dado ?
	
	
	
	
	A integral tem como resultado 4 e representa o volume de uma caixa retangular de base R = [1,5]x[1,2] e altura k = 4
	
	
	A integral tem como resultado 2 e representa o volume de uma caixa retangular de base R = [1,1]x[1,2] e altura k = 2
	
	
	A integral tem como resultado 1 e representa o volume de uma caixa retangular de base R = [1,4]x[1,2] e altura k = 4
	
	
	A integral tem como resultado 3 e representa o volume de uma caixa retangular de base R = [1,4]x[1,2] e altura k = 1
	
	
	A integral tem como resultado 5 e representa o volume de uma caixa retangular de base R = [1,4]x[1,1] e altura k = 6
	
Explicação: 
Gisele precisa apresentar o resultado correto da integral dupla da função f(x,y) = 1 em relação às variáveis x, y onde x varia 1≤x≤41≤x≤4   e y varia no intervalo 1≤y≤21≤y≤2 e especificar para turma o que representa o cálculo de ∫∫1dxdy∫∫1dxdy . O que Gisele apresentou como resultado da integral e sua explicaçãosobre o o significado da integral ∫∫1dxdy∫∫1dxdy :
∫21∫411dxdy=∫21xdy∫12∫141dxdy=∫12xdy Passando os limites de integração de x temos ∫21xdy=∫21(4−1)dy=∫213dy=3∫21dy∫12xdy=∫12(4−1)dy=∫123dy=3∫12dy 
3∫21dy=3y3∫12dy=3y Passando os limites de integração de y teremos  3 ( 2-1) = 3
A integral tem como resultado 3 e representa o volume de uma caixa retangular de base R = [1,4]x[1,2] e altura k = f(x,y) = 1
	
	
	
	 
		
	
		3.
	
		Se g(x) e h(y)  são contínuas em [a,b] e [c,d], respectivamente então podemos afirmar que: ∫∫[a,b]x[c,d]g(x)h(y)dxdy=∫bag(x)dx∫dch(y)dy∫∫[a,b]x[c,d]g(x)h(y)dxdy=∫abg(x)dx∫cdh(y)dy 
Usando a definição de integral dupla defina o volume do sólido acima da região D = [0,1]x[0,1] do plano xy e abaixo do plano x+y+z = 2.
	
	
	
	
	1 u.v
	
	
	5 u.v
	
	
	4 u.v
	
	
	9 u.v
	
	
	10 u.v
	
Explicação: 
Se g(x) e h(y)  são contínuas em [a,b] e [c,d], respectivamente então ∫∫[a,b]x[c,d]g(x)h(y)dxdy=∫bag(x)dx∫dch(y)dy∫∫[a,b]x[c,d]g(x)h(y)dxdy=∫abg(x)dx∫cdh(y)dy 
Usando a definição de integral dupla defina o volume do sólido acima da região D = [0,1]x[0,1] do plano xy e abaixo do plano x+y+z = 2.
Solução: Para encontrar o volume do sólido descrito devemos fazer a integral dupla dentro da região D.
∫∫[a,b]x[c,d]g(x)h(y)dxdy=∫bag(x)dx∫dch(y)dy∫∫[a,b]x[c,d]g(x)h(y)dxdy=∫abg(x)dx∫cdh(y)dy Utilizando a definição dada temos ​∫10∫102−x−ydxdy∫01∫012−x−ydxdy ​
∫102x−x2/2−xydy=∫10(3/2)−ydy=1∫012x−x2/2−xydy=∫01(3/2)−ydy=1 
	
	
	
	 
		
	
		4.
	
		Determine o valor da integral dupla da função f(x,y) = ex2ex2 , ou seja, eu onde  u = x 2, no intevalo 0 <= x <=1 e  0<= y <= x
	
	
	
	
	e
	
	
	Nenhuma das respostas anteriores
	
	
	e - 1
	
	
	 (e−1)2(e−1)2 
	
	
	1/2
	
Explicação: 
∫10∫x0eudydxondeu=x2∫01∫0xeudydxondeu=x2 
∫10yex2dx∫01yex2dx passando os limites de integracao de  y temos  ∫10xex2dx∫01xex2dx 
chame u = x2  e du = 2x dx
∫12eudu=12ex2∫12eudu=12ex2 aplicando os limites de integracao encontra-se=e−12=e−12 
	
	
	
	 
		
	
		5.
	
		Pedro precisa resolver um problema de cálculo e para isso precisa utilizar mudança de variável utilizando coordenadas polares.  Para isto considerou o círculo de raio r e centro na origem. A equação de tal círculo é dada por x²+y²=r². Pedro encontrou em coordenadas polares, o mesmo círculo como sendo:
	
	
	
	
	x=r.cos⁡(θ),y= r.sen(θ) , onde θ∈[0,2π]
	
	
	x=r.cos⁡(θ),y= r.cos(θ) , onde θ∈[0,2π]
	
	
	x=r.sen(θ),y= r.sen(θ) , onde θ∈[0,2π]
	
	
	x=r.tan(θ),y= r.sen(θ) , onde θ∈[0,2π]
	
	
	x=r.cos⁡(θ),y= r.tan(θ) , onde θ∈[0,2π]
	
Explicação: 
Considere o círculo de raio r e centro na origem. A equação de tal círculo é dada por x²+y²=r². Em coordenadas polares, o mesmo círculo é dado por:
x=r.cos⁡(θ),y= r.sen(θ) , onde θ∈[0,2π]
	
	
	
	 
		
	
		6.
	
		Seja o sólido limitado pelas superfícies x2 + y2 = 1, z + y = 2 e z = 0. Determite a massa do sólido supondo que a densidade é dada por 
	
	
	
	
	Será (17 ππ ) / 8 u.m 
	
	
	2ππ /3  u.m 
	
	
	7 ππ u.m 
	
	
	2ππ u.m 
	
	
	ππ u.m 
	
	
	
	 
		
	
		7.
	
		Determine o volume do sólido S que é delimitado pelo parabolóide elíptico x2 + 2y2 + z = 16, os planos x = 2 e y = 2 e os três planos coordenados.
	
	
	
	
	35
	
	
	40
	
	
	Nenhuma das respostas anteriores
	
	
	48
	
	
	49
	
	
	
	 
		
	
		8.
	
		Calcule a integral dupla da função f(x,y) = xy, onde D é a região limitada pela reta y = x - 1 e pela parábola y2 = 2x + 6.
	
	
	
	
	36
	
	
	56
	
	
	22
	
	
	30
	
	
	Nenhuma das respostas anteriores
		1.
	
		Paulo precisa apresentar a integral multipla da função f(x,y) = ∫∫∫ (xy + x²)dxdydz, onde R= [0.1] x [0,1] x [0,1] aos colegas de classe. Qual o resultado encontrado por Paulo ao desenvolver a integral multipla ?
	
	
	
	
	8/12
	
	
	5/12
	
	
	10/12
	
	
	9/12
	
	
	7/12
	
Explicação: 
A integral dupla da função f(x,y) = ∫∫∫ (xy + x²)dxdydz, onde R= [0.1] x [0,1] x [0,1] é igual a :
A primeira integral ficaria (x2 / 2 ) y + (x3 / 3)  com os limites de x de 0 a 1 :  (1/2) y + 1/3
∫∫y2+13dydz=∫12y22+13ydz∫∫y2+13dydz=∫12y22+13ydz Passando o limite de y de 0 a 1 temos
∫∫1212+13dz=(14+13)z∫∫1212+13dz=(14+13)z Passando o limite de z de 0 a 1 temos
(14+13)=712(14+13)=712 
	
	
	
	 
		
	
		2.
	
		Pedro precisa apresentar a integral tripla da função f(x,y,z)=2 em relação às variáveis x, y e z onde os limites de integração são definidos como 1≤x≤41≤x≤4 ,   1≤y≤21≤y≤2 ,  1≤z≤21≤z≤2 . Qual foi a solução encontrada por Pedro ?
	
	
	
	
	6
	
	
	5
	
	
	2
	
	
	4
	
	
	3
	
Explicação: 
Pedro precisa apresentar a integral tripla da função f(x,y,z)=2 em relação às variáveis x, y e z onde os limites de integração são 1≤x≤41≤x≤4 ,   1≤y≤21≤y≤2 ,  1≤z≤21≤z≤2 . Qual foi a solução encontrada por Pedro ?
∫21∫21∫412dxdydz∫12∫12∫142dxdydz 
2∫21∫21x|41dydz=2∫21∫213dydz=6∫21∫21dydz2∫12∫12x|14dydz=2∫12∫123dydz=6∫12∫12dydz 
6∫21∫21dydz=6∫21y|21dz=6∫21(2−1)dz6∫12∫12dydz=6∫12y|12dz=6∫12(2−1)dz 
6∫21(2−1)dz=6∫21dz=6z|21=6(2−1)=66∫12(2−1)dz=​6∫12dz=6z|12=6(2−1)=6 
	
	
	
	 
		
	
		3.
	
		Determine o volume do sólido representado pela integral dupla, onde a função a ser integrada f(x,y) = x2+ y2  esta definida em R = [0,1] x[0,1].
	
	
	
	
	3
	
	
	Nenhuma das respostas anteriores
	
	
	2/3
	
	
	2
	
	
	1/3
	
	
	
	 
		
	
		4.
	
		Encontre o volume do sólido sob o abai da função f (x, y) = 5 e acima do domínio dado pelas inequações
y ≤ X ≤ 3y e 0 ≤ y ≤ 5
	
	
	
	
	120
	
	
	105
	
	
	115
	
	
	125
	
	
	110
	
	
	
	 
		
	
		5.
	
		Determine o valor da integral tripla da função f(x,y,z) = xyz , definida sobre a regiçao
- 1 ≤ x ≤ 2,  0 ≤ y  ≤ 1 e 1 ≤  z ≤ 2.
	
	
	
	
	4
	
	
	8
	
	
	9
	
	
	9/8
	
	
	Nenhuma das resposta anteriores
	
Explicação: 
Determine o valor da integral tripla da função f(x,y,z) = xyz , definida sobre a regiçao
- 1 ≤ x ≤ 2,  0 ≤ 
∫21∫10∫2−1xyzdxdydz=∫21∫10x22yzdydz∫12∫01∫−12xyzdxdydz=∫12∫01x22yzdydz ∫21∫10x22yzdydz=∫21∫102−32yzdydz=∫21∫1032yzdydz∫12∫01x22yzdydz=∫12∫012−32yzdydz=∫12∫0132yzdydz 
32∫21y22zdz=32∫2112zdz32∫12y22zdz=32∫1212zdz 
34∫21zdz=34z22=34(2−12)=9834∫12zdz=34z22=34(2−12)=98 
	
	
	
	 
		
	
		6.
	
		O ponto dado em coordenadas cartesianas (0,1,2) pode ser representado em coordenadas cilíndricas como:
	
	
	
	
	(1, pi/2; -2)
	
	
	(2, pi/2; 1)
	
	
	(2, pi/2; 2)
	
	
	(1, pi/2; 2)
	
	
	(1, 3pi/2; 2)
	
	
	
	 
		
	
		7.
	
		Calcule a integral tripla e marque a única resposta correta: `I = int_0^3int_(-1)^2int_0^1(xyz²)dxdydz
	
	
	
	
	27/4
	
	
	-27/4
	
	
	4/27
	
	
	7/4
	
	
	-7/4
	
Explicação: 
Integral tripla resolvida pelo Método de Fubini.
	
	
	
	 
		
	
		8.
	
		Determine o volume do tetraedro limitado pelos planos x + 2y + z = 2, x = 2y, x = 0 e z = 0.
	
	
	
	
	Volume 1/3 u.v
	
	
	Volume 4 u.v
	
	
	Volume 3 u.v
	
	
	Volume 2 u.v
	
	
	Nenhuma das respostas anteriores
	
		1.
	
		A integral de linha ∫(2x + y) dx − (x − 4xy) dy no circulo x²+y²= 1, percorrido (uma vez) em sentido anti-horário satisfaz as condições do Teorema de Green. Portanto ao aplicar o teorema encontraremos:
	
	
	
	
	0
	
	
	4π
	
	
	-2π
	
	
	-4π
	
	
	2π
	
Explicação: 
P(x,y) = 2x + y e Q(x,y) = - x + 4xy sao funçoes diferenciáveis em R2 e C é o bordo positivamente orientado de S = { (x,y)| x2 +y2  < = 1} entao podemos aplicar o Teorema de Green (satisfaz as condições do Teorema de Green).
∫(2x+y)dx−(x−4xy)dy=∫∫(4y−2)dxdy∫(2x+y)dx−(x−4xy)dy=∫∫(4y−2)dxdy 
aplicando as coordenadas polares  ∫2pi0∫10(4rsenθ−2)drdθ∫02pi∫01(4rsenθ−2)drdθ 
= 4 int10r2dr∫2pi0senθdθ−2∫10rdr∫2pi0dθ=−4pi4 int01r2dr∫02pisenθdθ−2∫01rdr∫02pidθ=−4pi 
	
	
	
	 
		
	
		2.
	
		Utilize o Teorema de Green para calcular a integral de linha da função diferencial y dx + 3x dy, onde a intergral é definida na interseção do cone z = (x2+ y2)1/2com o plano z = 2.
	
	
	
	
	5 pi
	
	
	8 pi
	
	
	4 pi
	
	
	pi
	
	
	Nenhuma das respostas anteriores
	
Explicação: 
Utilize o Teorema de Green para calcular a integral de linha da função diferencial y dx + 3x dy, onde a intergral é definida na interseção do cone z = (x2+ y2)1/2 com o plano z = 2.
∫CPdx+Qdy=∫D∂Q∂x−∂P∂ydA∫CPdx+Qdy=∫D∂Q∂x−∂P∂ydA 
P = y 
Q = 3x
∂Q∂x=3,∂P∂y=1∂Q∂x=3,∂P∂y=1 
∫CPdx+Qdy=∫D∂Q∂x−∂P∂ydA=∫D3−1dA=∫D2dA=∫CPdx+Qdy=∫D∂Q∂x−∂P∂ydA=∫D3−1dA=∫D2dA= 
2 Area D
z = (x2+ y2)1/2 com o plano z = 2.
2= (x2+ y2)1/2 
4= (x2+ y2) é uma circunferência de raio 2
A=πR2=4πA=πR2=4π  mas como é 2 Area D a reposta será 8 ππ 
	
	
	
	 
		
	
		3.
	
		Calcule a integral de linha da forma diferencial x2y dx + z dy + xy dz, ao longo do arco da parábola y = x2, z = 1 do ponto A(-1,1,1) ao ponto B(1,1,1).
	
	
	
	
	2/5
	
	
	4/7
	
	
	7
	
	
	3/5
	
	
	7/3
	
	
	
	 
		
	
		4.
	
		Seja f:R3→Rf:R3→R definida por f(x,y,z)=x+3y2+zf(x,y,z)=x+3y2+z   e  ττ o segmento de reta que une (0,0,0)(0,0,0) e (1,1,1)(1,1,1) . Calcule ∫τfds∫τfds 
Sugestão: Utilize a parametrização deste segmento : r(t)=(t,t,t)r(t)=(t,t,t) , t∈[0,1]t∈[0,1] .
	
	
	
	
	2√323 
	
	
	3√232 
	
	
	4√343 
	
	
	√55 
	
	
	√33 
	
	
	
	 
		
	
		5.
	
		Calcule a integral de linha ʃ F.dr, onde F(x,y,z) = (x,y,z), e C é a curva parametrizada por (sen t, cos t , t), 0 ≤ t ≤ 2 ππ 
	
	
	
	
	Será 4
	
	
	Será 2 ππ 2 
	
	
	Será 3 ππ + 1 
	
	
	Será 3 ππ 
	
	
	Será ππ 
	
Explicação: 
F é contínua em R3 e σ′(t)=(cost,−sent,1)σ′(t)=(cost,−sent,1) é continua em [0,2 π]π] 
Usando a integral de linha ∫CFdr=∫2π0(sent,cost,t).(cost,−sent,1)dt=∫2π0(sentcost−sentcost+t)dt=2π2∫CFdr=∫02π(sent,cost,t).(cost,−sent,1)dt=∫02π(sentcost−sentcost+t)dt=2π2 
	
	
	
	 
		
	
		6.
	
		Determine a integral de linha sendo γγ o segmento de reta da origem A(1,1) a extremidade B(4,2).
∫γ(x+y)dx+(y−x)dy∫γ(x+y)dx+(y-x)dy 
	
	
	
	
	5/4
	
	
	10
	
	
	2/5
	
	
	5
	
	
	11
		1.
	
		Determine a integral dupla da função f(x,y) = y2 sen x2  tendo com limites de integração  y3= x , y3 = -x , x = 0 e x = 8.
	
	
	
	
	- cos 64
	
	
	(cos 64 + 1):3
	
	
	Nenhuma das respostas anteriores
	
	
	cos 64
	
	
	(- cos 64 +1):3
	
	
	
	 
		
	
		2.
	
		Utilize o Teorema de Green para calcular o trabalho realizado pelo campo 
→F(x,y)=−3y5→i+5y2x3→jF→(x,y)=-3y5i→+5y2x3j→ para mover uma partícula ao longo
 da circunferência x2 + y2 = 4, partindo do ponto (2; 0) e retornando a este
 ponto apenas uma vez.
	
	
	
	
	70π70π 
	
	
	160π160π 
	
	
	150π150π 
	
	
	90π90π 
	
	
	180π180π 
	
	
	
	 
		
	
		3.
	
		Usando a técnica da integral dupla, encontre o volume do sólido gerado pela expressão ∫∫ ∫∫ (x2 + y2) dxdy para os intervalos R=[-1,1] x[-2,1]. 
	
	
	
	
	8(u.v.)
	
	
	2(u.v.)
	
	
	17(u.v.)
	
	
	15(u.v.)
	
	
	21(u.v.)
	
	
	
	 
		
	
		4.
	
		Calcule a integral dupla:
∫42∫24 ∫21∫12 (x2x2 + y2y2 ) dydx 
	
	
	
	
	70/9
	
	
	70/13
	
	
	70/3
	
	
	70/15
	
	
	70/11
	
	
	
	 
		
	
		5.
	
		Supondo um campo F = xy i - xy2 j, ao longo do triângulo de vértices A (0,0), B(1,0) e C(1,1). Calcule a integral do campo vetorial ao longo do triângulo.
	
	
	
	
	2/3
	
	
	3/5
	
	
	2
	
	
	1/4
	
	
	3
	
	
	
	 
		
	
		6.
	
		Calcule ∫CxzdS∫CxzdS , onde C é a interseção da esfera  x² + y² + z² = 4 
com o plano x = y.
	
	
	
	
	√66 
	
	
	√88 
	
	
	16
	
	
	0
	
	
	10 
	
	
	 
		
	
		7.
	
		Calcule a integral ∮Cx2ydx−y2xdy∮Cx2ydx-y2xdy em que C é a fronteira da região no primeiro quadrante compreendida pelos eixos coordenados e o círculo x2 + y2 = 16. 
	
	
	
	
	−16π-16π 
	
	
	20π20π 
	
	
	32π32π 
	
	
	18π18π 
	
	
	−32π-32π 
	
	
	
	 
		
	
		8.
	
		Usando à técnica de integração dupla, calcular o volume do sólido gerado pela equação  f(x,y) =  e(x+2y) dxdy, para os intervalos 
R= [0,1]x[0,3]. 
	
	
	
	
	1/2(e6e6 -1) 
	
	
	-1/2(e-1)(e6e6 -1) 
	
	
	(e-1)(e6e6 -1) 
	
	
	1/2(e-1) 
	
	
	1/2(e-1)(e6e6 -1) 
		1.
	
		    
Calcule a integral ∫C(x+2y)dS∫C(x+2y)dS onde C é uma semicircunferência 
centrada na origem de raio igual a 3 e orientada no sentido positivo. 
	
	
	
	
	45
	
	
	25
	
	
	10
	
	
	18
	
	
	36
	
	
	
	 
		
	
		2.
	
		Encontrar o volume do tetraedro: ∫10∫01 ∫1x∫x1 ∫y−x0∫0y-x F(x, y, z)dzdydx. 
Considerar F(x, y, z) = 1. 
	
	
	
	
	1/2
	
	
	7/6
	
	
	2/3
	
	
	1/6
	
	
	5/6
	
	
	
	 
		
	
		3.
	
		Calcule ∫CxzdS∫CxzdS , onde C é a interseção da esfera  x² + y² + z² = 4 
com o plano x = y.
	
	
	
	
	0
	
	
	√88 
	
	
	√66 
	
	
	10 
	
	
	16
	
	
	
	 
		
	
		4.
	
		Supondo um campo F = xy i - xy2 j, ao longo do triângulo de vértices A (0,0), B(1,0) e C(1,1). Calcule a integral do campo vetorial ao longo do triângulo.
	
	
	
	
	1/4
	
	
	3/5
	
	
	2/3
	
	
	2
	
	
	3
	
	
	
	 
		
	
		5.
	
		Calcule a integral dupla:
∫42∫24 ∫21∫12 (x2x2 + y2y2 ) dydx 
	
	
	
	
	70/15
	
	
	70/11
	
	
	70/3
	
	
	70/13
	
	
	70/9
	
	
	
	 
		
	
		6.
	
		Usando à técnica de integração dupla, calcular o volume do sólido gerado pela equação  f(x,y) =  e(x+2y) dxdy, para os intervalos 
R= [0,1]x[0,3]. 
	
	
	
	
	1/2(e-1)(e6e6 -1) 
	
	
	1/2(e-1) 
	
	
	(e-1)(e6e6 -1) 
	
	
	-1/2(e-1)(e6e6 -1) 
	
	
	1/2(e6e6 -1) 
	
	
	
	 
		
	
		7.
	
		Usando a técnica da integral dupla, encontre o volume do sólido gerado pela expressão ∫∫ ∫∫ (x2 + y2) dxdy para os intervalos R=[-1,1] x[-2,1]. 
	
	
	
	
	21(u.v.)
	
	
	15(u.v.)
	
	
	8(u.v.)
	
	
	17(u.v.)
	
	
	2(u.v.)
	
	
	
	 
		
	
		8.
	
		Calcule a integral ∮Cx2ydx−y2xdy∮Cx2ydx-y2xdy em que C é a fronteira da região no primeiro quadrante compreendida pelos eixos coordenados e o círculo x2 + y2 = 16. 
	
	
	
	
	18π18π 
	
	
	32π32π 
	
	
	20π20π 
	
	
	−16π-16π 
	
	
	−32π-32π 
	
		1.
	
		Determine a área da região limitada pelas curvas: x = y3 , x + y = 2 e y = 0.
	
	
	
	
	2
	
	
	3/5
	
	
	3
	
	
	1/2
	
	
	5/4
	
	
	
	 
		
	
		2.
	
		Seja uma superfície parametrizada por 
	
	
	
	
	z = 2 
	
	
	2x + z - 2 = 0 
	
	
	3x + 5z = 1 
	
	
	5x + 4 = 0 
	
	
	3z + x = 1 
	
	
	
	 
		
	
		3.
	
		A área da região limitada pelo círculo de raio r, positivamente orientada e parametrizada pelo caminho λ(t) = (r cost, r sin t) definida em λ: [0, 2π] ⊂ R → R², safisfaz as condições do Teorema de Green. Aplicando o Teorema podemos encontrar:
	
	
	
	
	2πr²
	
	
	πr
	
	
	πr²
	
	
	π²r
	
	
	2πr
	
	
	
	 
		
	
		4.
	
		Seja uma superfície parametrizada por 
	
	
	
	
	O vetor normal será (-2,3,-1) 
	
	
	O vetor normal será (0,0,-1) 
	
	
	O vetor normal será (2,0,1) 
	
	
	O vetor normal será (0,0,0) 
	
	
	O vetor normal será (-2,0,-1) 
	
	
	
	 
		
	
		5.
	
		Determine a integral `int_pi^(2pi) int_0^(pi) (senx+cosy)dxdy
	
	
	
	
	`cos(2pi)-sen(pi) 
	
	
	`pi+senx
	
	
	`2pi
	
	
	`pi
	
	
	0
	
	
	
	 
		
	
		6.
	
		
	
	
	
	
	16/3 u.v
	
	
	24/5 u.v
	
	
	18 u.v
	
	
	9/2 u.v
	
	
	10 u.v
	
		
	
		1.
	
		Calcule a integral dupla da função f(x,y) = exp ( (y-x) / (y+x) ) sobre a região D delimitada pelas retas x + y = 1, x + y = 2 ,  x = 0 e y = 0.
	
	
	
	
	3 e - 1/e
	
	
	Nenhuma das respostas anteriores
	
	
	(3/4) ( e - 1/e)
	
	
	e - 1/e
	
	
	-1/e
	
	
	
	 
		
	
		2.
	
		Em uma indústria existe uma reservatório para armazenamento de um certo produto químico por algum período de tempo. O volume deste reservatório é definido pelo interior da esfera x2 + y2 + z2 = z e o cone z2 = 3 (x2 + y2). Determine o volume do reservatório.
	
	
	
	
	Nenhuma das respostasanteriores
	
	
	7pi
	
	
	7 pi /96
	
	
	7/96
	
	
	pi/96
	
	
	
	 
		
	
		3.
	
		Seja F(x,y,z) = x^(2) + 2y + 3z. Calcular a integral da função F(x,y,z) sobre a curva C definida por r(x,y,z) = -2t (i) + 3t (j) + t (k), onde t varia no intervalo [0 , 1] 
	
	
	
	
	2 * (14)^(1/2)
	
	
	4
	
	
	14 * (2)^(1/2)
	
	
	4 * (2)^(1/2)
	
	
	4 * (14)^(1/2)
	
	
	
	 
		
	
		4.
	
		Calcular ∫c fds em que r é a hélice definida por r(t)=(sent,cost,t), 
t∈[0,2π] e F o campo vetorial definido por F(x,y,z)=(x,y,z). 
	
	
	
	
	π2π2 
	
	
	2π32π3 
	
	
	2π22π2 
	
	
	2π2π 
	
	
	3π23π2 
	
	
	
	 
		
	
		5.
	
		Dado o ponto (1,1,1), em coordenadas cartesianas, a representação deste ponto em coordenadas cilíndricas é apresentada em:
	
	
	
	
	(sqrt(2);pi/4 ; 2)
	
	
	(sqrt(2);pi/4 ; 1)
	
	
	(sqrt(2);pi/4 ; -1)
	
	
	(sqrt(2);2pi/4 ; 1)
	
	
	(sqrt(3);pi/4 ; 1)
	
		1.
	
		Calcule a circulação do campo F (x,y,z) = (y, xz, z2 ) ao redor da curva C fronteira do triânculo cortado do plano x + y + z = 1 pelo primeiro octante, no sentido horário quando vista da origem.
	
	
	
	
	5
	
	
	3 
	
	
	24
	
	
	9
	
	
	-1/2
	
	
	
	 
		
	
		2.
	
		Determine a integral ∫10∫20∫1−z0dydxdz∫01∫02∫01-zdydxdz 
	
	
	
	
	1-z
	
	
	2
	
	
	1
	
	
	2-2z
	
	
	0
	
	
	
	 
		
	
		3.
	
		Calcule a massa da superfície S parte do plano z + x = 2 e dentro do cilindro x2 + y2 = 1 sendo a densidade dada por 
	
	
	
	
	M = [ ππ ]/4 u.m 
	
	
	M = [ ( 2 ) 1/2 ππ ] u.m 
	
	
	M = ππ u.m 
	
	
	M = 3 ππ u.m. 
	
	
	M = [ ( 2 ) 1/2 ππ ]/4  u.m 
	
	
	
	 
		
	
		4.
	
		Calcule o volume do sólido cuja base inferior é a região retangular no plano xy, com x variando de 0 a 3 e y variando de 0 a 2 e cujo topo está na superfície f(x,y) = 4 - y^2.
	
	
	
	
	10
	
	
	20
	
	
	12
	
	
	14
	
	
	16
	
	
	
	 
		
	
		5.
	
		Uma lâmina tem a forma da parte do plano z = x recortada pelo cilindro 
( x - 1)2 + y2 = 1. Determine a massa dessa lâmina se a densidade no
 ponto (x,y,z) é proporcional a distância desse ponto ao plano xy.
 
	
	
	
	
	2π u.m.
	
	
	k u.m.
	
	
	k√3k3 u.m. 
	
	
	k√2k2 ππ u.m. 
	
	
	√22 u.m. 
	
	
	
	 
		
	
		6.
	
		Um corpo move-se ao longo da parábola y=x² do ponto (0,0) ao ponto (2,4). O trabalho total (w) realizado, se o movimento é causado pelo campo de forças F(x,y)=(x²+y²)i+x²yj, sabendo-se que o arco é medido em metros e a força é medida em Newtons, é:
	
	
	
	
	w=540/7N.m
	
	
	w=833/5N.m
	
	
	577/32N.m
	
	
	w=777/33N.m
	
	
	w=456/15 N.m
	
Explicação: 
Parametrizacao de y =x2  será (t, t2) portanto r(t) = (t,t2 ) com t variando de 0 a 2 e a derivada de r(t) = ( 1,2t)
Portanto F(t) ( t2 + t4, t2 .t2)
O trabalho será  aplique o limite de integracao de 0 a 2
∫Fdr=∫(t2+t4)i+t4j)(i+2tj)dt∫Fdr=∫(t2+t4)i+t4j)(i+2tj)dt 
w = ∫Fdr=t33+t55+2t66=45615∫Fdr=t33+t55+2t66=45615 
	
	
	
	 
		
	
		7.
	
		Seja o campo vetorial F(x,y,z) = (x - y, x + y, z). 
Calcule o fluxo de F através de S, orientada com o vetor n exterior a S. 
S: x2 + y2 = a2 com a > 0 e 0 ≤ z ≤ h.
	
	
	
	
	22h
	
	
	8 ah
	
	
	2 a2h
	
	
	8 a2h
	
	
	 a2h
		1.
	
		Calcule o trabalho realizado pelo campo de força F (x,y,z) = (xx + z2, yy + x2, zz + y2) 
quando uma partícula se move sob sua influência ao redor da borda da esfera de 
raio 2 que esta no primeiro octante, na direção anti-horária quando vista por cima.
	
	
	
	
	10
	
	
	22
	
	
	8√585 
	
	
	16
	
	
	12
	
	
	
	 
		
	
		2.
	
		Calculo o trabalho realizado pelo campo de força F(x,y,z) = ( xx + z2 , yy + x2 , zz + y2 ) quando uma partícula se move sob sua influência ao redor da borda da esfera x2 + y2 + z2 = 4 que esta no primeiro octante, na direção anti-horária quando vista por cima,
	
	
	
	
	5/2
	
	
	5
	
	
	3/2
	
	
	16
	
	
	20
	
	
	
	 
		
	
		3.
	
		Ao calcular-se a área da região encerrada pela elípse 4x²+16y²=64, encontra-se o valor de:
	
	
	
	
	64pi
	
	
	16pi
	
	
	8pi
	
	
	9pi
	
	
	4pi
	
Explicação: A área da elípse é dada por A=a.b.pi, neste caso a=2 e b=4, pois a eq. da elípse fica ( x²/2²) + (y²/4²)=1
	
	
	
	 
		
	
		4.
	
		Calcule a integral dupla da função f(x,y) = x + 2y, onde D é a região limitada pelas parábolas y = 2x2 e y = 1 + x 2.
	
	
	
	
	Nenhuma das respostas anteriores
	
	
	32/25
	
	
	1/3
	
	
	32/15
	
	
	36
	
	
	
	 
		
	
		5.
	
		Determine o fluxo do rotacional do campo de vetores F(x,y,z)=(y3,x3,ez)F(x,y,z)=(y3,x3,ez) através da
superfície S={(x,y,z)∈R3S={(x,y,z)∈R3 tal que x2+y2+z2=2,x2+y2≤1,z≥0}x2+y2+z2=2,x2+y2≤1,z≥0} , com normal exterior.
Sugestão: Calcular ∫∫Srot(F)dS∫∫Srot(F)dS , aplicando o teorema de Stokes
∫∫Srot(F)dS=∮∂SF∫∫Srot(F)dS=∮∂SF 
 
	
	
	
	
	-1
	
	
	−12-12 
	
	
	0
	
	
	1
	
	
	1212 
	
Explicação: 
rot F =( 0,0, 3x2 - 3y2 )
n = = (-fx , - fy , 1) 
Entao rot F . n = ( 0, 0, 3x2 - 3y2)
∫∫3x2−3y2dxdy∫∫3x2−3y2dxdy 
usando a mudança de variável polar 
s=rcosθ;y=rsenθ;0≤θ≤2π;0≤r≤1s=rcosθ;y=rsenθ;0≤θ≤2π;0≤r≤1 
Nao esquecendo do jacobiano na integral teremos:
∫∫3(r2cos2θ−r2sen2θ)rdrdθ=0∫∫3(r2cos2θ−r2sen2θ)rdrdθ=0 
	
	Gabarito
Coment.
	
	
	
	 
		
	
		6.
	
		Marque a alternativa que indica o resultado da integral dupla A = ∫20∫02 ∫60(4−x∫06(4-x 2)dydx 
	
	
	
	
	54
	
	
	10
	
	
	24
	
	
	32
	
	
	18
	
	
	
	 
		
	
		7.
	
		Seja f(x,y) = 1 / (x2+ y2). Determine a integral dupla da função f(x,y) definida no intervalo 
0 ≤ x ≤ y e 1 ≤ y ≤ e.
	
	
	
	
	pi / 5
	
	
	pi/4
	
	
	2 pi
	
	
	Nenhuma das respostas anteriores
	
	
	pi
		1.
	
		Determine o fluxo do campo vetorial →F(x,y,z)=z→i+y→i+x→kF→(x,y,z)=zi→+yi→+xk→ 
 sobre a esfera unitária x2 + y2 + z2 = 1.
	
	
	
	
	23π23π 
	
	
	43π43π 
	
	
	2π2π 
	
	
	3π3π 
	
	
	25π25π 
	
	
	
	 
		
	
		2.
	
		Seja  F(x,y,z) = (z,y,x) podemos determinar o fluxo do compo vetorial F sobre a esfera unitaria como:
	
	
	
	
	4pi/ 3
	
	
	pi
	
	
	2 pi
	
	
	5pi/4
	
	
	pi/2
	
Explicação: 
Para calcular o fluxo do campo vetorial sobre F sobre a esfera unitaria devemos utilizar o teorema de Gauss.
esfera unitaria : x2 + y2  + z2 = 1
divergente F = 1
 
	
	
	
	 
		
	
		3.
	
		Seja o campo vetorial F(x,y,z) = (x - y, x + y, z). 
Calcule o fluxo de F através de S, orientada com o vetor n exterior a S. 
S: x2 + y2+z2 = a2 com a > 0.
	
	
	
	
	2 a3
	
	
	3 a3
	
	
	4 a3
	
	
	5 a3
	
	
	3/5 a3
	
	
	
	 
		
	
		4.
	
		Seja S a parte do cilindro x2 + y2  = 1 limitado pelos planos z = 0 e z = x + 1. Determine a integral de superfície S dado por  ʃ  ʃ z dS
	
	
	
	
	ππ 
	
	
	6 ππ 
	
	
	2ππ 
	
	
	5/2 ππ 
	
	
	3 ππ /2 
	
	
	
	 
		
	
		5.
	
		 
Calcule , ∫∫σ→F.→ndS∫∫σF→.n→dS 
onde →F(x,y,z)=xy→i+(y2+exz2)→j+sen(xy)→kF→(x,y,z)=xyi→+(y2+exz2)j→+sen(xy)k→ 
 e σσ é a superfície do sólido Q limitado pelo cilindro parabólico z = 1 - x2 e pelos planos z = 0 , y = 0 e y + z = 2.
	
	
	
	
	1843518435 
	
	
	14351435 
	
	
	435435 
	
	
	1813518135 
	
	
	1837018370 
		1.
	
		Seja  F(x,y,z) = (z,y,x) podemos determinar o fluxo do compo vetorial F sobre a esfera unitaria como:
	
	
	
	
	5pi/4
	
	
	pi/2
	
	
	pi
	
	
	4pi/ 3
	
	
	2 pi
	
Explicação: 
Para calcular o fluxo do campo vetorial sobre F sobre a esfera unitaria devemos utilizar o teorema de Gauss.
esfera unitaria : x2 + y2  + z2 = 1
divergente F = 1
 
	
	
	
	 
		
	
		2.
	
		 
Calcule , ∫∫σ→F.→ndS∫∫σF→.n→dS 
onde →F(x,y,z)=xy→i+(y2+exz2)→j+sen(xy)→kF→(x,y,z)=xyi→+(y2+exz2)j→+sen(xy)k→ 
 e σσ é a superfície do sólido Q limitado pelo cilindro parabólico z = 1 - x2 e pelos planos z = 0 , y = 0 e y + z = 2.
	
	
	
	
	1813518135 
	
	
	1837018370 
	
	
	435435 
	
	
	184351843514351435 
	
	
	 
		
	
		3.
	
		Seja o campo vetorial F(x,y,z) = (x - y, x + y, z). 
Calcule o fluxo de F através de S, orientada com o vetor n exterior a S. 
S: x2 + y2+z2 = a2 com a > 0.
	
	
	
	
	3/5 a3
	
	
	5 a3
	
	
	4 a3
	
	
	2 a3
	
	
	3 a3
	
	
	
	 
		
	
		4.
	
		Determine o fluxo do campo vetorial →F(x,y,z)=z→i+y→i+x→kF→(x,y,z)=zi→+yi→+xk→ 
 sobre a esfera unitária x2 + y2 + z2 = 1.
	
	
	
	
	3π3π 
	
	
	23π23π 
	
	
	2π2π 
	
	
	43π43π 
	
	
	25π25π 
	
	
	
	 
		
	
		5.
	
		Seja S a parte do cilindro x2 + y2  = 1 limitado pelos planos z = 0 e z = x + 1. Determine a integral de superfície S dado por  ʃ  ʃ z dS
	
	
	
	
	ππ 
	
	
	2ππ 
	
	
	6 ππ 
	
	
	3 ππ /2 
	
	
	5/2 ππ 
	
	
	Calcule o volume do sólido no primeiro octante,limitado pelas superficie z = 1 - y2, x = y2+1 e x = - y2 +9
		
	
	76
	
	15
	
	76∕15
	
	45
	
	Nenhuma das respostas anteriores
	
	10a Questão (Ref.:201904263732)
	Acerto: 0,0  / 1,0 
	Na cidade de Carmel existe um reservatório de água. Deseja-se calcular o volume deste reservatório. Sabendo que o reservatório tem o formato de um cilindro de raio R e altura h. Determine o volume do reservatório.
		
	
	Nenhuma das respostas anteriores
	
	R h
	
	pi R
	
	pi R h
	
	pi R2 h 
	
132133
WTPOIUJQ11239
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1