Solicitações Compostas Resistência dos Materiais

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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 2 
ENGENHARIA MECÂNICA 
 
 
 
1. TRANSFORMAÇÃO DE TENSÕES 
 1.1. Estado Plano de Tensões: tensões em uma direção qualquer, tensões principais e de cisalhamento 
máximo, planos principais, círculo de Mohr; 
 1.2. Noções do Estado Geral (ou triplo) de tensões, Círculo de Mohr conhecidas as tensões 
principais; 
 1.3. Teorias de Resistência (critérios de resistência ou de falhas); 
 1.4. Vasos de pressão de parede fina. 
 
 
2. SOLICITAÇÕES COMPOSTAS 
 2.1. Tensões devidas à combinação de flexão e torção; 
 2.2. Problemas envolvendo flexão, torção e tração (ou compressão); 
 2.3. Projeto de Eixos de Transmissão. 
 
 
3. MÉTODOS DE ENERGIA DE DEFORMAÇÃO 
 3.1. Trabalho de deformação elástica devido a tensões normais; 
 3.2. Trabalho de deformação elástica devido a tensões de cisalhamento; 
 3.3. Trabalho para um único esforço aplicado; 
 3.4. Carregamento produzido por impacto; 
 3.5. Teorema de Castigliano; 
 3.6. Estruturas estaticamente indeterminadas (hiperestáticas). 
 
 
4. FLAMBAGEM DE COLUNAS 
 4.1. Fórmula de Euler para colunas bi-rotuladas; 
 4.2. Fórmula de Euler para colunas com outros tipos de apoio: bi-engastada, engastada e articulada, 
engastada-livre; 
 4.3. Fórmulas empíricas; 
 
 
 
2. SOLICITAÇÕES COMPOSTAS 
 
 
Até o momento, vimos métodos para determinar as distribuições de tensão em um elemento submetido a 
uma força axial interna, a uma força de cisalhamento, a um momento fletor ou a um momento de torção. 
Entretanto, na maioria das vezes, a seção transversal de um elemento está sujeita a vários desses tipos de 
cargas simultaneamente, e o resultado é que o método da superposição, se aplicável, pode ser usado para 
determinar a distribuição da tensão resultante provocada pelas cargas. 
 
Para aplicar a superposição, é preciso determinar a distribuição de tensão devido a cada carga e, então, essas 
distribuições são superpostas para determinar a distribuição de tensão resultante. O princípio da 
superposição pode ser usado para essa finalidade contanto que exista uma relação linear entre a tensão e as 
cargas. Além disso, a geometria do elemento não deve sofrer mudança significativa quando as cargas são 
aplicadas. Isso é necessário para assegurar que a tensão produzida por uma carga não esteja relacionada com 
a tensão produzida por qualquer outra carga. 
 
 
 
2.1. Tensões devidas à combinação de flexão e torção 
 
O seguinte procedimento nos dá um modo geral para definir as componentes da tensão normal e da tensão 
de cisalhamento em um ponto de um elemento quando ele é submetido a vários tipos diferentes de cargas 
simultaneamente. Consideramos que o material é homogêneo e se comporta de um modo linear elástico. 
Além disso, o princípio de Saint-Venant exige que o ponto onde a tensão deve ser determinada esteja bem 
distante de quaisquer descontinuidades na seção transversal ou de pontos de carga aplicada. 
 
 
 
2.1.1. Carga interna 
 
Secione o elemento perpendicularmente a seu eixo no ponto onde a tensão deve ser determinada e obtenha 
as componentes internas da força normal e da força de cisalhamento resultantes, bem como as componentes 
dos momentos fletor e de torção. As componentes da força devem agir passando pelo centrai de da seção 
transversal, e as componentes do momento devem ser calculadas em torno dos eixos do centroide, os quais 
representam os eixos principais de inércia para a seção transversal. 
 
 
 
2.1.2. Tensão normal média 
 
 Calcule a componente da tensão associada a cada carga interna. Para cada caso, represente o efeito como 
uma distribuição de tensão que age sobre toda a área da seção transversal ou mostre a tensão sobre um 
elemento do material localizado em um ponto específico na seção transversal. 
 
 
 
2.1.3. Força normal 
 
A força normal interna é desenvolvida por uma distribuição de tensão normal uniforme determinada por σ = 
P/A. 
 
 
 
2.1.4. Força de cisalhamento 
 
A força de cisalhamento interna em um elemento submetido a flexão é desenvolvida por uma distribuição da 
tensão de cisalhamento determinada pela fórmula do cisalhamento, τ = VQ / It. 
 
 
 
2.1.5. Momento fletor 
 
Para elementos retos, o momento fletor interno é desenvolvido por uma distribuição de tensão normal que 
varia linearmente de zero no eixo neutro a máxima no contorno externo do elemento. A distribuição de 
tensão é determinada pela fórmula da flexão, σ = -My / I. Se o elemento for curvo, a distribuição de tensão é 
não linear e é determinada por σ = My / [Ae(R - y)]. 
 
 
 
2.1.6. Momento de torção 
 
Para eixos e tubos circulares, o momento de torção interno é desenvolvido por uma distribuição da tensão de 
cisalhamento que varia linearmente da linha central do eixo até um máximo no contorno externo do eixo. A 
distribuição da tensão de cisalhamento é determinada pela fórmula da torção, τ = Tρ/J. Se o elemento for um 
tubo fechado de parede fina, use σ = T / 2Amt. 
 
 
 
2.1.7. Vaso de pressão de parede fina 
 
Se o vaso de pressão for cilíndrico de parede fina, a pressão interna p provocará um estado de tensão biaxial 
no material de modo que a componente da tensão tangencial é σ1 = pr / t e a componente da tensão 
longitudinal é σ2 = pr / 2t. Se o vaso de pressão for esférico de parede fina, então o estado de tensão biaxial é 
representado por duas componentes equivalentes, cada uma com valor σ2 = pr / 2t. 
 
 
 
2.1.8. Superposição 
 
Uma vez calculadas as componentes da tensão normal e da tensão de cisalhamento para cada carga, use o 
princípio da superposição e determine as componentes da tensão normal e da tensão de cisalhamento 
resultantes. Represente os resultados em um elemento de material localizado no ponto ou mostre os 
resultados como uma distribuição de tensão que age sobre a área da seção transversal do elemento. 
 
 
2.2. Problemas envolvendo flexão, torção e tração (ou compressão) 
 
 
 
1) Uma força de 15.000 N é aplicada à borda do elemento mostrado na Figura (a). Despreze o peso do 
elemento e determine o estado de tensão nos pontos B e C. 
 
 
 
Cargas internas: 
 
O elemento é secionado passando por B e C. Para equilíbrio na seção, é preciso haver uma força axial de 
15.000N agindo no centroide e um momento fletor de 750.000N.mm em torno do eixo do centroide ou 
principal (Figura b). 
 
 
Componentes da tensão: 
 
Força normal: A distribuição da tensão normal uniforme devida à força normal é mostrada na Figura c: 
 
� = �� = 15000100 ∙ 40 = 3,75 �/��� = 3,75��� 
 
 
Momento fletor: A distribuição da tensão normal devida ao momento fletor é mostrada na Figura d. A 
tensão máxima é 
 
��á� = ��� = 750000 ∙ 50� 112 ∙ 40 ∙ 100�� = 11,25 �/��
� = 11,25��� 
 
 
Superposição: Se as distribuições da tensão normais acima forem somadas algebricamente, a distribuição 
da tensão resultante é a mostrada na Figura e. Embora aqui isso não seja necessário, a localização da linha 
de tensão nula pode ser determinada por cálculo proporcional de triângulos. Isto é: 
 7,5� = 15100 − � → � = 33,3�� 
 
 
 
 
Elementos de material em B e C estão submetidos somente a tensão normal ou tensão uniaxial, como 
mostram as figuras f e g. Por consequência: 
 �� = 7,5��� (tração) �& = 15��� (compressão) 
 
 
 
2) O tanque na figura (a) tem raio interno de 600 mm e espessura de 12 mm. Está cheio até em cima 
com água cujo peso específico é γágua = 10 kN/m3. Se o tanque for feito de aço com peso específico γaço = 
78 kN/m3, determine o estado de tensão no ponto A. A parte superior do tanque é aberta. 
 
 
 
Cargas internas: 
 
O diagrama de corpo livre da seção do tanque e da água acima do ponto A é mostrado na Figura b. Observe 
que o peso da água é suportadopela superfície da água imediatamente abaixo da seção e não pelas paredes 
do tanque. Na direção vertical, as paredes simplesmente apoiam o peso do tanque. Esse peso é: 
 
,-ç. = /-ç. ∙ 0-ç. = 78�10� 23 4 61210006
� − 3 4 60010006
�7 (1) = 3,56 8� 
 
 
 
A tensão na direção tangencial é desenvolvida pela pressão da água no nível A. Para obter essa pressão, 
devemos usar a lei de Pascal, segundo a qual a pressão em um ponto localizado a uma profundidade z na 
água é p = γágua * z. Por consequência, a pressão no tanque no nível A é: 
 
9 = /-:;- ∙ < = 10 ∙ 1 = 10 8��� = 108�� 
 
Componentes da tensão: 
 
Tensão tangencial: 
 
�= = 9>? = 10�10
� ∙ @ 6001000A121000 = 500 8�� 
 
Tensão longitudinal: Visto que o peso do tanque é suportado uniformemente pelas paredes, temos: 
 
�� = ,-ç.�-ç. = 3,56�10
�
3 B@ 6121000A� − @ 6001000A�C
= 77,98�� 
 
 
OBSERVAÇÃO: A Equação σ2 = pr / 2t, não se aplica aqui, visto que o tanque é aberto na parte superior e, 
portanto, a água não pode desenvolver uma carga nas paredes na direção longitudinal. Portanto, o ponto A 
está sujeito à tensão biaxial mostrada na Figura c. 
 
 
 
3) O elemento mostrado na Figura (a) tem seção transversal retangular. Determine o estado de tensão 
que a carga produz no ponto C. 
 
 
 
Cargas internas: 
 
As reações dos apoios sobre o elemento foram determinadas e são mostradas na Figura b. Se considerarmos 
o segmento AC da esquerda do elemento (Figura c), as cargas internas resultantes na seção consistem em 
uma força normal, uma força de cisalhamento e um momento fletor: 
 
N = 16,45kN; V = 21,93kN; M = 32,89kN.m 
 
 
 
Componentes da tensão: 
 
Força normal: A distribuição uniforme da tensão normal que age sobre a seção transversal é produzida pela 
força normal (Figura d). No ponto C, 
 
� = �� = 16,45�10
�
0,050 ∙ 0,250 = 1,32��� 
 
 
Força de cisalhamento: aqui, a área A' = 0, visto que o ponto C está localizado na parte superior do 
elemento. Assim, Q = y'A' = 0 e, para o ponto C (figura e), a tensão de cisalhamento vale: 
 EF = 0 
 
 
Momento Fletor: o ponto C está localizado a y = c = 125mm do eixo neutro, portanto, a tensão normal em 
C (figura f) é: 
 
�F = ��� = 32,89�10
� ∙ 0,125
� 112 ∙ 0,050 ∙ 0,250�� = 63,16��� 
 
 
Superposição: A tensão de cisalhamento é nula. A soma das tensões normais determinadas acima dá uma 
tensão de compressão em C com valor de: 
 �F = 1,32 + 63,16 = 64,5��� 
 
 
 
 
 
Este resultado, agindo sobre um elemento em C, é mostrado na Figura g. 
 
 
 
4) A haste maciça mostrada na Figura (a) tem raio de 0,75 cm. Se estiver sujeita à carga mostrada, 
determine o estado de tensão no ponto A. 
 
 
Cargas internas: 
 
 A haste é secionada no ponto A. Pelo diagrama de corpo livre do segmento AB (Figura b), as cargas internas 
resultantes podem ser determinadas pelas seis equações de equilíbrio. Verifique esses resultados. A força 
normal (500 N) e a força de cisalhamento (800 N) devem agir no centroide da seção transversal, e as 
componentes do momento fletor (8.000 N. cm e 7.000 N. cm) são aplicadas em torno dos eixos do centroide 
(principais). Para "visualizar" melhor as distribuições da tensão devidas a cada uma dessas cargas, 
consideraremos as resultantes iguais, mas opostas que agem em AC (Figura c). 
 
 
 
Componentes da tensão: 
 
Força normal: A distribuição da tensão normal é mostrada na Figura d. Para o ponto A, temos: 
 
�H = �� = 5003 ∙ 0,75� = 283 �/��� = 2,83 ��� 
 
 
Força de cisalhamento: A distribuição da tensão de cisalhamento é mostrada na Figura e. Para o ponto A, Q 
é determinada pela área semicircular sombreada. Pela tabela apresentada no final deste livro, temos: 
 
I = J ′ ∙ �′ = 4 ∙ 0,753 ∙ 3 B12 3 ∙ 0,75�C = 0,2831��� 
 
 
EH = 0I�? = 800 ∙ 0,2831�14 ∙ 3 ∙ 0,75K� − 0,75 = 604 �/��
� = 6,04 ��� 
 
 
Momentos fletores. Para a componente de 8.000 N.cm, o ponto A encontra-se no eixo neutro (Figura f), 
portanto, a tensão normal é: 
 �H = 0 
 
 
Para o momento de 7000 N.cm, c = 0,75 cm, portanto, a tensão normal no ponto A (figura g) é: 
 
�H = ��� = 7000 ∙ 0,75�14 ∙ 3 ∙ 0,75K� = 21.126 �/��
� = 211,26 ��� 
 
 
Momento de torção: No ponto A, ρA = c = 0,75 cm (Figura h). Assim, a tensão de cisalhamento é: 
 
EH = M�N = 11200 ∙ 0,75�12 ∙ 3 ∙ 0,75K� = 16,901 �/��
� = 169,01 ��� 
 
 
 
Superposição. Quando os resultados acima são superpostos, vemos que um elemento de material em A está 
sujeito às componentes da tensão normal, bem como da tensão de cisalhamento (Figura i): 
 
 
 
5) O bloco retangular de peso desprezível mostrado na figura (a) está sujeito a uma força vertical de 
40 kN aplicada em seu canto. Determine a distribuição da tensão normal que age sobre uma seção que 
passa por ABCD. 
 
 
 
Cargas internas: 
 
Se considerarmos o equilíbrio do segmento na parte inferior do bloco (Figura b),vemos que a força de 40 kN 
deve agir passando pelo centroide da seção transversal, e duas componentes do momento fletor também 
devem agir em torno dos eixos do centroide ou principais de inércia para a seção. 
 
 
 Componentes da tensão: 
 
Força normal: A distribuição uniforme da tensão normal é mostrada na Figura c: 
 
�H = �� = 40�10
�
0,8 ∙ 0,4 = 125 8�� 
 
 
Momentos fletores: A distribuição da tensão normal para o momento de 8 kN.m é mostrada na Figura d. A 
tensão máxima é: 
 
��á� = ���O�� = 8�10
� ∙ 0,2
� 112 ∙ 0,8 ∙ 0,4�� = 375 8�� 
 
Da mesma forma, para o momento de 16 kN.m, Figura e, a tensão normal máxima é: 
 
��á� = �O���O = 16�10
� ∙ 0,4
� 112 ∙ 0,4 ∙ 0,8�� = 375 8�� 
 
Superposição: A tensão normal em cada ponto do canto pode ser determinada por adição algébrica. 
Considerando que a tensão de tração é positiva, temos: 
 �H = −125 + 375 + 375 = 6258�� 
 �� = −125 − 375 + 375 = −1258�� 
 �& = −125 − 375 − 375 = −8758�� 
 �P = −125 + 375 − 375 = −1258�� 
 
 
Visto que as distribuições da tensão devidas ao momento fletor são lineares, a distribuição da tensão 
resultante também é linear e, portanto, é semelhante à mostrada na Figura f. A linha de tensão nula pode ser 
localizada ao longo de cada lado por triângulos proporcionais. Pela figura, exige-se: 
 0,4 − Q625�10� = Q125�10� → Q = 0,0667 � 
 0,8 − �625�10� = �125�10� → � = 0,133 � 
 
 
 
 
 
2.3. Projeto de Eixos de Transmissão 
 
 
Em um projeto de eixos de transmissão, se a potência for transferida para o eixo ou do eixo por meio de 
engrenagens ou polias dentadas (Fig. 2.1a), as forças aplicadas nos dentes das engrenagens ou polias serão 
equivalentes aos sistemas de força e momento aplicados nos centros das seções transversais correspondentes 
(Fig. 2.1b). Isso significa que o eixo estará submetido a um carregamento transversal, bem como a um 
carregamento torcional. 
 
 
Figura 2.1 
 
 
As tensões de cisalhamento produzidas no eixo por cargas transversais são geralmente muito menores que 
aquelas produzidas pelos torques e serão desprezadas nessa análise. As tensões normais provocadas pelas 
cargas transversais, no entanto, podem ser muito grandes e, conforme você verá agora, sua contribuição para 
a tensão de cisalhamento máxima τmáx deverá ser levada em conta. 
 
Considere a seção transversal do eixo em algum ponto C. Representamos o torque T e os momentos fletores 
My e Mz atuando, respectivamente, em um plano horizontal e em um plano vertical pelos vetores conjugados 
mostrados (Fig. 2.2a). Como qualquer diâmetro da seção é um eixo principal de inércia para a seção, 
podemos substituir My e Mz por sua resultante M (Fig. 2.2b) para calcular as tensões normais σx que atuam 
na seção.Figura 2.2 
 
 
Verificamos então que σx é máximo na extremidade do diâmetro perpendicular ao vetor que representa M 
(Fig. 2.3). Lembrando que os valores das tensões normais nesse ponto são, respectivamente, σ = Mc / I e 
zero, enquanto a tensão de cisalhamento é τ = Tc / J. 
 
 
Figura 2.3 
 
 
Representamos os pontos correspondentes X e Y no círculo de Mohr (Fig. 2.4) e determinamos o valor da 
tensão de cisalhamento máxima. 
 
 
Figura 2.4 
 
 
E�á� = R = S@�2A
� + E� = S4��2� 6
� + 4M�N 6
�
 
 
 
Lembrando que, para uma seção transversal circular ou anular, 2I = J, temos: 
 E�á� = �N = T�� + M� 
 
 
Assim, o valor mínimo admissível para a relação J/c para a seção transversal do eixo é: 
 N� = U√�
� + M�W�á�E-X� 
 
 
em que o numerador no membro da direita da expressão obtida representa o valor máximo de √�� + M� no 
eixo e τadm, a tensão de cisalhamento admissível. Expressando o momento fletor M em termos de suas 
componentes nos dois planos coordenados, temos também: 
 N� = UT�O
� + �Y� + M�W�á�E-X� 
 
As duas últimas equações acima podem ser utilizadas para projetar eixos circulares cheios e vazados. A 
determinação do valor máximo de T�O� + �Y� + M� será facilitada se forem traçados os diagramas de 
momento fletor correspondentes a My e Mz, bem como um terceiro diagrama representando os valores de T 
ao longo do eixo. 
 
EXEMPLO: 
 
6) O eixo de seção cheia AB tem uma rotação de 480 rpm quando transmite 30 kW de potência do 
motor M para as máquinas-ferramentas conectadas às engrenagens G e H; 20 kW são transmitidos 
pela engrenagem G e 10 kW pela engrenagem H. Sabendo que τadm = 50 MPa, determine o menor 
diâmetro admissível para o eixo AB. 
 
 
 
 
Torques que atuam nas engrenagens: Observando que f = 480 rpm = 8 Hz, determinamos o torque que 
atua na engrenagem E: 
 
MZ = �23[ = 30238 = 597 �. � 
 
A força tangencial correspondente que atua na engrenagem é: 
 
\Z = MZ>Z = 5970,16 = 3,73 8� 
 
 
 
 
Uma análise similar das engrenagens C e D resulta em: 
 
M& = 20238 = 398 �. � ∴ \& = 6,63 8� 
 
MP = 10238 = 199 �. � ∴ \P = 2,49 8� 
 
 
 
 
 
Agora substituímos as forças nas engrenagens pelo sistema de força e momento equivalentes. 
 
Diagramas de momento fletor e torque 
 
 
 
 
Seção transversal crítica: Calculando T�O� + �Y� + M� em todas as seções potencialmente críticas, vemos 
que seu valor máximo ocorre à direita de D: 
 
^�O� + �Y� + M �� = T1160� + 373� + 597� = 1357 �. � 
 
 
Diâmetro do eixo: Para τadm = 50 MPa: 
 N� = UT�O
� + �Y� + M�W�á�E-X� = 135750 = 27,14�10_` �� 
 
 
Para um eixo de seção circular cheia de raio c, temos: 
 N� = 32 �� = 27,14�10_` ∴ � = 0,02585 � = 25,85 �� 
 
 
Diâmetro = 2c = 51,7mm