2ª chamada (2010.1)

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Universidade Federal do Rio de Janeiro
Instituto de F´ısica
F´ısica III – 2010/1
Segunda Chamada (SC) – 30/07/2010
Versa˜o: A
Aluno:
Assinatura:
DRE:
Professor:
Turma:
Sec¸a˜o Nota original Iniciais Nota de revisa˜o
Parte objetiva (total)
Parte discursiva: Questa˜o 1
Parte discursiva: Questa˜o 2
Total
INSTRUC¸O˜ES: LEIA COM CUIDADO!
1. Preencha correta, leg´ıvel e totalmente os campos em branco (Aluno, Assinatura, DRE, Professor e Turma)
do cabec¸alho acima. Sem isso, a correc¸a˜o de sua prova podera´ ficar prejudicada!
2. A prova constitui-se de duas partes:
• uma parte objetiva, perfazendo um total de 5,0 pontos, constitu´ıda por dez (10) questo˜es de mu´ltipla
escolha, cada uma das quais valendo 0,5 ponto, sem penalizac¸a˜o alguma;
• uma parte discursiva, perfazendo um total de 5,0 pontos, constitu´ıda por duas (2) questo˜es discursivas
(ou argumentativas ou dissertativas), cada uma das quais valendo 2,5 pontos.
3. A parte objetiva deve ser preenchida a caneta.
4. E´ vedado o uso de qualquer instrumento eletro-eletroˆnico (calculadora, celular, iPod, etc)
Formula´rio
E =
1
4πǫ0
q
r2
rˆ ,
∮
S
E ·nˆ dA = Qint/ǫ0 , C = Q/V , E = E0
K
,
F = qE + qv ×B , B =
∮
C
µ0
4π
Idℓ× rˆ
r2
,
∮
S
B ·nˆ dA = 0 ,
∮
C
B ·dℓ = µ0Ienc + µ0ǫ0 d
dt
ΦE , Eind = − d
dt
ΦB
1
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (10×0,5=5,0 pontos)
1. Seja um triaˆngulo equila´tero, com dois de seus
ve´rtices (1 e 2) portando part´ıculas de carga q1
e q2, respectivamente. E´ poss´ıvel trazer uma ter-
ceira part´ıcula, com carga q3, de modo que a ener-
gia potencial eletrosta´tica total armazenada em
tal triaˆngulo seja zero?
(a) Sim, contanto que q3 = q1q2/(q1 + q2).
(b) Sim, contanto que q3 = −q1q2/(q1 + q2).
(c) Sim, contanto que q3 =
√
q1q2.
(d) Na˜o, pois isto violaria a conservac¸a˜o da
energia.
2. Assinale a opc¸a˜o correta.
(a) Na˜o existem monopolos magne´ticos isola-
dos, ou seja,
∮
S
B·nˆdA = 0.
(b) Num dado instante, uma part´ıcula
carregada em movimento num campo
magne´tico sempre tem sua direc¸a˜o des-
viada.
(c) Quando a forc¸a magne´tica sobre uma
part´ıcula pontual na˜o e´ a forc¸a resul-
tante, ela (a forc¸a magne´tica) pode rea-
lizar trabalho ao longo da trajeto´ria real
da part´ıcula.
(d) A forc¸a magne´tica sobre uma part´ıcula
pontual nunca pode alterar o vetor velo-
cidade da part´ıcula.
3. Em qual das situac¸o˜es abaixo pode-se aplicar a lei
de Gauss para deduzir o campo ele´trico resultante
num ponto arbitra´rio do espac¸o?
(a) Segmento retil´ıneo (finito) uniforme-
mente carregado.
(b) Segmento retil´ıneo (finito) na˜o uniforme-
mente carregado.
(c) Cilindro so´lido de altura finita uniforme-
mente carregado.
(d) Fio retil´ıneo infinito uniformemente car-
regado.
(e) Chapa quadrada uniformemente carre-
gada.
4. Assinale a opc¸a˜o incorreta.
(a) Se a carga ele´trica total dentro de uma su-
perf´ıcie fechada e´ zero, enta˜o o fluxo do
campo ele´trico atrave´s de tal superf´ıcie e´
zero.
(b) Dentro de uma superf´ıcie esfe´rica, ha´ uma
part´ıcula de carga q, ao passo que fora
ha´ uma part´ıcula de carga −q; enta˜o, o
fluxo do campo ele´trico total atrave´s da
superf´ıcie e´ diferente de zero.
(c) Se o campo ele´trico em qualquer ponto de
uma superf´ıcie fechada e´ tangente a ela,
enta˜o a carga total ali dentro e´ zero.
(d) Se o fluxo do campo ele´trico atrave´s de
uma superf´ıcie e´ zero, enta˜o o campo
ele´trico em qualquer ponto dessa su-
perf´ıcie e´ zero.
(e) Se o fluxo do campo ele´trico total atrave´s
de uma superf´ıcie fechada e´ zero, enta˜o
na˜o podem existir part´ıculas carregadas
dentro de tal superf´ıcie.
5. Suponha que, num dado instante, temos duas
part´ıculas pontuais de massas m1, m2, cargas
ele´tricas q1, q2, e velocidades v1, v2, respecti-
vamente, com m1 > m2, q1 = −q2 e v1 = v2.
Estas part´ıculas se movem, sujeitas somente a
um campo magne´tico B = const, em trajeto´rias
planas (na˜o retil´ıneas). Assinale a opc¸a˜o incor-
reta.
(a) Cada part´ıcula segue uma trajeto´ria cir-
cular.
(b) A part´ıcula 1 leva mais tempo para com-
pletar um ciclo completo de sua trajeto´ria
do que a part´ıcula 2.
(c) O raio de curvatura da trajeto´ria da
part´ıcula 2 e´ maior que o da part´ıcula 1.
(d) Os sentidos de percurso (hora´rio ou anti-
hora´rio) da trajeto´ria de cada part´ıcula
sa˜o necessariamente opostos.
2
6. Dois fios r´ıgidos, retil´ıneos, eletricamente neutros,
longos e paralelos, sa˜o percorridos por correntes
estaciona´rias, uniformes, de mesmo sentido. Assi-
nale a opc¸a˜o que indica corretamente se a forc¸a en-
tre eles e´ zero, de atrac¸a˜o ou repulsa˜o e, tambe´m,
se eles tendem a girar.
(a) A forc¸a e´ zero; na˜o tendem a girar.
(b) A forc¸a e´ atrativa; na˜o tendem a girar.
(c) A forc¸a e´ repulsiva; na˜o tendem a girar.
(d) A forc¸a e´ atrativa; tendem a girar.
(e) A forc¸a e´ repulsiva; tendem a girar.
7. Assinale a opc¸a˜o correta.
(a) O fluxo do campo magne´tico so´ pode ser
calculado atrave´s de uma superf´ıcie fe-
chada.
(b) O fluxo do campo ele´trico so´ pode ser cal-
culado atrave´s de uma superf´ıcie fechada.
(c) A lei de Faraday afirma que campos
magne´ticos varia´veis no tempo da˜o ori-
gem a campos ele´tricos na˜o conservativos.
(d) Num circuito condutor, r´ıgido, em
movimento (translacional ou rotacio-
nal), imerso em uma regia˜o de campo
magne´tico constante (estaciona´rio e uni-
forme), jamais pode-se estabelecer uma
corrente ele´trica induzida.
8. Seja um anel circular fino, de raio R, situado no
plano XY , com centro na origem. Em tal anel,
ha´ uma distribuic¸a˜o de carga com densidade li-
near na˜o uniforme dada por λ(θ) = λ0θ, onde λ0
e´ uma constante e θ e´ a medida (em radianos) do
tradicional aˆngulo polar. Qual e´ o potencial no
centro do anel?
(a) πλ0/(2ǫ0).
(b) 0.
(c) λ0/(4πǫ0).
(d) k0λ.
(e) λ0/(2ǫ0).
9. Seja uma part´ıcula pontual, de massa m = 4 kg,
carga q = −2 C, com velocidade v = (2 m/s) xˆ+
(3 m/s) yˆ+(4 m/s) zˆ, sujeita somente a um cam-
po magne´tico B = (4 T) xˆ + (3 T) yˆ + (2 T) zˆ.
Qual e´ a acelerac¸a˜o que ela sofre?
(a) (−6 m/s2) (xˆ− 2yˆ + zˆ).
(b) (−1 m/s2) (xˆ− 2yˆ + zˆ).
(c) (1 m/s
2
) (xˆ − 2yˆ+ zˆ).
(d) (−3 m/s2) (xˆ− 2yˆ + zˆ).
(e) (3 m/s2) (xˆ − 2yˆ+ zˆ).
10. Assinale a opc¸a˜o correta.
(a) Um corpo com carga ele´trica total zero
nunca sofre uma forc¸a ele´trica.
(b) A lei de Gauss para o campo ele´trico so´
vale para campos com simetria.
(c) A lei de forc¸a de Coulomb vale em si-
tuac¸o˜es mais gerais que a lei de Gauss.
(d) Apesar de o campo ele´trico resultante
num dado ponto depender, em geral, da
distribuic¸a˜o de cargas em todo o espac¸o,
o fluxo do campo ele´trico, no va´cuo,
atrave´s de uma superf´ıcie fechada e´ sem-
pre igual a` carga total somente no interior
de tal superf´ıcie, dividida por ǫ0.
3
Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas (2×2,5=5,0 pontos)
1. Um fio retil´ıneo fino, muito longo, com densidade de carga constante (estaciona´ria e uniforme) λ, coincide
com o eixo cartesiano Z. Coaxial com esse fio, circundando-o, temos uma casca cil´ındrica, circular, tambe´m
muito longa, condutora, neutra, de raios interno a e externo b (a < b), em regime eletrosta´tico.
(a) Determine as densidades superficiais de carga σa e σb, nas superf´ıcies interna e externa da casca con-
dutora. [0,5 ponto]
(b) Determine o vetor campo ele´trico nas treˆs regio˜es t´ıpicas do espac¸o: 0 < r < a, a < r < b e b < r <∞.
[1,0 ponto]
(c) Determine o potencial ele´trico nas mesmas treˆs regio˜es acima, tomando-o como zero na superf´ıcie interna
da casca, r = a, ou seja, fazendo V (r = a) = 0. [1,0 ponto]
4
2. Uma barra PQ condutora, de comprimento a e massa M , pode deslizar, sem atrito, ao longo da direc¸a˜o
Z, em contato com um arame de guia, tambe´mcondutor, fixo, postado no plano Y Z, conforme mostra a
figura abaixo. Tal arranjo esta´ sujeito tanto a um campo magne´tico B = Bxˆ (B = const > 0), como a um
campo gravitacional g = −gzˆ (g = const > 0).
(a) Supondo que, num instante gene´rico, a barra esta´ a uma distaˆncia h abaixo da parte superior do arame,
determine o fluxo do campo magne´tico atrave´s da superf´ıcie plana definida pela barra e o arame de guia.
[0,5 ponto]
(b) Supondo que a barra, num instante gene´rico, esta´ caindo com velocidade de mo´dulo v, determine a
forc¸a eletromotriz ao longo do circuito constitu´ıdo pela barra e o arame de guia. [0,5 ponto]
(c) Determine a velocidade terminal, limite, da barra. [1,0 ponto]
(d) Determine o sentido da corrente induzida na barra, justificando sua escolha detalhadamente. [0,5
ponto]
a
⊙
xˆ yˆ
zˆ
P Q
⊙
g
B
E =
1
4πǫ0
Qr
R3
rˆ .
6
Gabarito para Versa˜o A
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (10×0,5=5,0 pontos)
1. Seja um triaˆngulo equila´tero, com dois de seus
ve´rtices (1 e 2) portando part´ıculas de carga q1
e q2, respectivamente. E´ poss´ıvel trazer uma ter-
ceira part´ıcula, com carga q3, de modo que a ener-
gia potencial eletrosta´tica total armazenada em
tal triaˆngulo seja zero?
(a) Sim, contanto que q3 = q1q2/(q1 + q2).
(b) Sim, contanto que q3 = −q1q2/(q1 + q2).
(c) Sim, contanto que q3 =
√
q1q2.
(d) Na˜o, pois isto violaria a conservac¸a˜o da
energia.
2. Assinale a opc¸a˜o correta.
(a) Na˜o existem monopolos magne´ticos isola-
dos, ou seja,
∮
S
B·nˆdA = 0.
(b) Num dado instante, uma part´ıcula
carregada em movimento num campo
magne´tico sempre tem sua direc¸a˜o des-
viada.
(c) Quando a forc¸a magne´tica sobre uma
part´ıcula pontual na˜o e´ a forc¸a resul-
tante, ela (a forc¸a magne´tica) pode rea-
lizar trabalho ao longo da trajeto´ria real
da part´ıcula.
(d) A forc¸a magne´tica sobre uma part´ıcula
pontual nunca pode alterar o vetor velo-
cidade da part´ıcula.
3. Em qual das situac¸o˜es abaixo pode-se aplicar a lei
de Gauss para deduzir o campo ele´trico resultante
num ponto arbitra´rio do espac¸o?
(a) Segmento retil´ıneo (finito) uniforme-
mente carregado.
(b) Segmento retil´ıneo (finito) na˜o uniforme-
mente carregado.
(c) Cilindro so´lido de altura finita uniforme-
mente carregado.
(d) Fio retil´ıneo infinito uniformemente car-
regado.
(e) Chapa quadrada uniformemente carre-
gada.
4. Assinale a opc¸a˜o incorreta.
(a) Se a carga ele´trica total dentro de uma su-
perf´ıcie fechada e´ zero, enta˜o o fluxo do
campo ele´trico atrave´s de tal superf´ıcie e´
zero.
(b) Dentro de uma superf´ıcie esfe´rica, ha´ uma
part´ıcula de carga q, ao passo que fora
ha´ uma part´ıcula de carga −q; enta˜o, o
fluxo do campo ele´trico total atrave´s da
superf´ıcie e´ diferente de zero.
(c) Se o campo ele´trico em qualquer ponto de
uma superf´ıcie fechada e´ tangente a ela,
enta˜o a carga total ali dentro e´ zero.
(d) Se o fluxo do campo ele´trico atrave´s de
uma superf´ıcie e´ zero, enta˜o o campo
ele´trico em qualquer ponto dessa su-
perf´ıcie e´ zero.
(e) Se o fluxo do campo ele´trico total atrave´s
de uma superf´ıcie fechada e´ zero, enta˜o
na˜o podem existir part´ıculas carregadas
dentro de tal superf´ıcie.
5. Suponha que, num dado instante, temos duas
part´ıculas pontuais de massas m1, m2, cargas
ele´tricas q1, q2, e velocidades v1, v2, respecti-
vamente, com m1 > m2, q1 = −q2 e v1 = v2.
Estas part´ıculas se movem, sujeitas somente a
um campo magne´tico B = const, em trajeto´rias
planas (na˜o retil´ıneas). Assinale a opc¸a˜o incor-
reta.
(a) Cada part´ıcula segue uma trajeto´ria cir-
cular.
(b) A part´ıcula 1 leva mais tempo para com-
pletar um ciclo completo de sua trajeto´ria
do que a part´ıcula 2.
(c) O raio de curvatura da trajeto´ria da
part´ıcula 2 e´ maior que o da part´ıcula 1.
(d) Os sentidos de percurso (hora´rio ou anti-
hora´rio) da trajeto´ria de cada part´ıcula
sa˜o necessariamente opostos.
1
6. Dois fios r´ıgidos, retil´ıneos, eletricamente neutros,
longos e paralelos, sa˜o percorridos por correntes
estaciona´rias, uniformes, de mesmo sentido. Assi-
nale a opc¸a˜o que indica corretamente se a forc¸a en-
tre eles e´ zero, de atrac¸a˜o ou repulsa˜o e, tambe´m,
se eles tendem a girar.
(a) A forc¸a e´ zero; na˜o tendem a girar.
(b) A forc¸a e´ atrativa; na˜o tendem a girar.
(c) A forc¸a e´ repulsiva; na˜o tendem a girar.
(d) A forc¸a e´ atrativa; tendem a girar.
(e) A forc¸a e´ repulsiva; tendem a girar.
7. Assinale a opc¸a˜o correta.
(a) O fluxo do campo magne´tico so´ pode ser
calculado atrave´s de uma superf´ıcie fe-
chada.
(b) O fluxo do campo ele´trico so´ pode ser cal-
culado atrave´s de uma superf´ıcie fechada.
(c) A lei de Faraday afirma que campos
magne´ticos varia´veis no tempo da˜o ori-
gem a campos ele´tricos na˜o conservativos.
(d) Num circuito condutor, r´ıgido, em
movimento (translacional ou rotacio-
nal), imerso em uma regia˜o de campo
magne´tico constante (estaciona´rio e uni-
forme), jamais pode-se estabelecer uma
corrente ele´trica induzida.
8. Seja um anel circular fino, de raio R, situado no
plano XY , com centro na origem. Em tal anel,
ha´ uma distribuic¸a˜o de carga com densidade li-
near na˜o uniforme dada por λ(θ) = λ0θ, onde λ0
e´ uma constante e θ e´ a medida (em radianos) do
tradicional aˆngulo polar. Qual e´ o potencial no
centro do anel?
(a) πλ0/(2ǫ0).
(b) 0.
(c) λ0/(4πǫ0).
(d) k0λ.
(e) λ0/(2ǫ0).
9. Seja uma part´ıcula pontual, de massa m = 4 kg,
carga q = −2 C, com velocidade v = (2 m/s) xˆ+
(3 m/s) yˆ+(4 m/s) zˆ, sujeita somente a um cam-
po magne´tico B = (4 T) xˆ + (3 T) yˆ + (2 T) zˆ.
Qual e´ a acelerac¸a˜o que ela sofre?
(a) (−6 m/s2) (xˆ− 2yˆ + zˆ).
(b) (−1 m/s2) (xˆ− 2yˆ + zˆ).
(c) (1 m/s
2
) (xˆ − 2yˆ+ zˆ).
(d) (−3 m/s2) (xˆ− 2yˆ + zˆ).
(e) (3 m/s2) (xˆ − 2yˆ+ zˆ).
10. Assinale a opc¸a˜o correta.
(a) Um corpo com carga ele´trica total zero
nunca sofre uma forc¸a ele´trica.
(b) A lei de Gauss para o campo ele´trico so´
vale para campos com simetria.
(c) A lei de forc¸a de Coulomb vale em si-
tuac¸o˜es mais gerais que a lei de Gauss.
(d) Apesar de o campo ele´trico resultante
num dado ponto depender, em geral, da
distribuic¸a˜o de cargas em todo o espac¸o,
o fluxo do campo ele´trico, no va´cuo,
atrave´s de uma superf´ıcie fechada e´ sem-
pre igual a` carga total somente no interior
de tal superf´ıcie, dividida por ǫ0.
2
Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas (2×2,5=5,0 pontos)
1. Um fio retil´ıneo fino, muito longo, com densidade de carga constante (estaciona´ria e uniforme) λ, coincide
com o eixo cartesiano Z. Coaxial com esse fio, circundando-o, temos uma casca cil´ındrica, circular, tambe´m
muito longa, condutora, neutra, de raios interno a e externo b (a < b), em regime eletrosta´tico.
(a) Determine as densidades superficiais de carga σa e σb, nas superf´ıcies interna e externa da casca con-
dutora. [0,5 ponto]
(b) Determine o vetor campo ele´trico nas treˆs regio˜es t´ıpicas do espac¸o: 0 < r < a, a < r < b e b < r <∞.
[1,0 ponto]
(c) Determine o potencial ele´trico nas mesmas treˆs regio˜es acima, tomando-o como zero na superf´ıcie interna
da casca, r = a, ou seja, fazendo V (r = a) = 0. [1,0 ponto]
Resoluc¸a˜o:
(a) Pela lei de Gauss, a carga total dentro de uma superf´ıcie gaussiana cil´ındrica, circular, de raio r, tal que
a < r < b, coaxial com o fio retil´ıneo carregado, deve ser zero, visto que a mesma se encontra no interior
de um condutor em equil´ıbrio eletrosta´tico, ou seja:
λh+ σa2πah = 0 ;
logo,
σa = − λ
2πa
.
Como consequ¨eˆncia, tendo em mente que a casca cil´ındrica e´ neutra, devemos ter:
σb2πbh+ σa2πah = 0 ;
logo
σb =
λ
2πb
.
�
(b)
• a < r < b:
Conforme ja´ usamos no pro´prio item (a), dentro da casca condutora cil´ındrica, em regimeeletrosta´tico,
temos
E = 0 .
• 0 < r < a:
Aplicando a lei de Gauss, devido a` simetria cil´ındrica, temos:
Er(r)2πrh = λh/ǫ0 ,
o que fornece, enta˜o,
E =
λ
2πǫ0r
rˆ .
• b < r <∞:
Ainda pela lei de Gauss,
E =
λ
2πǫ0r
rˆ .
3
�
(c)
• 0 < r < a:
O potencial pode ser obtido a partir do campo ele´trico por integrac¸a˜o:
V (r) − V (a) = −
∫ r
r′=a
λ
2πǫ0r
rˆ · drrˆ
Como V (a) = 0, por escolha do enunciado, temos, enta˜o,
V (r) = − λ
2πǫ0
ln(r/a) .
• a ≤ r ≤ b:
Por continuidade, temos
V (r) = 0 .
• b ≤ r <∞:
Tambe´m, por continuidade,
V (r) = − λ
2πǫ0
ln(r/b) .
�
2. Uma barra PQ condutora, de comprimento a e massa M , pode deslizar, sem atrito, ao longo da direc¸a˜o
Z, em contato com um arame de guia, tambe´m condutor, fixo, postado no plano Y Z, conforme mostra a
figura abaixo. Tal arranjo esta´ sujeito tanto a um campo magne´tico B = Bxˆ (B = const > 0), como a um
campo gravitacional g = −gzˆ (g = const > 0).
(a) Supondo que, num instante gene´rico, a barra esta´ a uma distaˆncia h abaixo da parte superior do arame,
determine o fluxo do campo magne´tico atrave´s da superf´ıcie plana definida pela barra e o arame de guia.
[0,5 ponto]
(b) Supondo que a barra, num instante gene´rico, esta´ caindo com velocidade de mo´dulo v, determine a
forc¸a eletromotriz ao longo do circuito constitu´ıdo pela barra e o arame de guia. [0,5 ponto]
(c) Determine a velocidade terminal, limite, da barra. [1,0 ponto]
(d) Determine o sentido da corrente induzida na barra, justificando sua escolha detalhadamente. [0,5
ponto]
a
⊙
xˆ yˆ
zˆ
P Q
⊙
g
B
E =
1
4πǫ0
Qr
R3
rˆ .
Resoluc¸a˜o:
4
(a) Por definic¸a˜o de fluxo, temos, escolhendo xˆ como versor normal,
ΦB[S] :=
∫
S
B ·nˆ dA
=
∫
S
Bxˆ·zˆ dA ,
ou seja,
ΦB[S] = Bah .
�
(b) Devido a` lei de Faraday, temos direto:
Eind = − d
dt
ΦB
= −Badh
dt
,
ou seja,
Eind = −Bav .
�
(c) Quando a barra estiver com velocidade constante, terminal, vterm, seu peso e a forc¸a magne´tica sobre
ela se equilibram:
Mg = BaIind
= Ba
|Eind|
R
=
B2a2vterm
R
;
logo,
vterm =
MgR
B2a2
.
Aqui, desprezamos a resisteˆncia do arame de guia e consideramos que a barra deslizante tem resisteˆncia R.
�
(d) Como o fluxo cresce, em mo´dulo, pela lei de Lenz, deve surgir uma corrente induzida de modo que o
campo magne´tico por ela criado, dentro do circuito, seja oposto ao campo externo. Logo, pela regra da
ma˜o direita, a corrente induzida deve ter o sentido hora´rio.
�
5