2ª chamada (2010.1)

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO
INSTITUTO DE FI´SICA
FI´SICA III - 2010/2
SEGUNDA CHAMADA
21/12/2010
PROBLEMA 1 (Casca esfe´rica e part´ıcula pontual) [ 2,5 ponto(s)]
Na Figura 1, uma casca esfe´rica na˜o condutora (com constante diele´trica κ = 1), de raios interno a e externo
b, tem uma densidade de carga volumar ρ = A/r, onde A e´ uma constante e r e´ a distaˆncia desde o centro da
casca. Ale´m disso, uma part´ıcula pontual, de carga q, esta´ localizada no centro. Que valor deve ter A para que
o campo ele´trico na casca (ou seja, a ≤ r ≤ b) tenha mo´dulo constante?
a
b
Figura 1: Problema 1. Casca esfe´rica e part´ıcula pontual.
• Soluc¸a˜o 1
Por simetria esfe´rica e pela lei de Gauss, temos que o campo ele´trico E(r), num ponto r dentro da casca,
so´ tem componente r, que deve obedecer
Er(r)4πr
2 =
q +
∫
r
r′=a(A/r
′)4πr′2dr′
ǫ0
=
q + 2πA(r2 − a2)
ǫ0
.
Logo,
Er(r) =
q − 2πAa2
4πǫ0r2
+
A
2ǫ0
.
Portanto, para que o mo´dulo de E seja constante, devemos ter
q = 2πAa2 ,
ou seja,
A =
q
2πa2
.
PROBLEMA 2 (Treˆs distribuic¸o˜es de mesma carga) [ 2,5 ponto(s)]
Nas situac¸o˜es a seguir, tome sempre o potencial como zero no infinito.
(a) Na Figura 2a, qual e´ o potencial no ponto P devido a` part´ıcula de carga Q a uma distaˆncia R de P? [0,3
1
ponto]
(b) Na Figura 2b, a mesma carga Q foi espalhada uniformemente sobre um arco circular de raio R e aˆngulo
central de 60o. Qual e´ o potencial no ponto P , o centro de curvatura do arco? [0,6 ponto]
(c) Na Figura 2c, a mesma carga Q foi espalhada uniformemente sobre um c´ırculo de raio R. Qual e´ o potencial
no ponto P , o centro do c´ırculo? [0,6 ponto]
(d) Ordene, justificando, as treˆs situac¸o˜es, de acordo com o mo´dulo do campo ele´trico que se estabelece no ponto
P , do maior para o menor. [1,0 ponto]
R
Q
60o
P
(b)
RQ P
(a)
P
R
Q
(c)
Figura 2: Problema 2. Treˆs distribuic¸o˜es de mesma carga.
• Soluc¸a˜o 2
(a) O potencial de uma part´ıcula (pontual) e´ simplesmente
V (P ) =
1
4πǫ0
Q
R
.
(b) Obviamente, por superposic¸a˜o, o potencial continua exatamente o mesmo:
V (P ) =
∫
arco
1
4πǫ0
dq
R
,
ou seja,
V (P ) =
1
4πǫ0
Q
R
.
(c) Continua, de novo, por superposic¸a˜o, tendo o mesmo valor:
V (P ) =
1
4πǫ0
Q
R
.
(d) Agora, temos resultados diferentes. Na figura (a), temos, obviamente,
E(a)(P ) =
1
4πǫ0
|Q|
R2
.
Ja´ na figura (c), por simetria, temos
E(c)(P ) = 0 .
Por fim, na figura (b), so´ sobrara´ a componente ao longo da bissetriz do aˆngulo mostrado; ou seja, sem
necessidade de ca´lculo, temos
0 = E(c) < Eb) < E(a) .
2
PROBLEMA 3 (Tira de corrente) [ 2,5 ponto(s)]
A Figura 3 mostra uma sec¸a˜o reta de uma tira muito longa e fina, de largura w, portando uma corrente I,
uniformemente distribu´ıda para fora da pa´gina. Calcule o mo´dulo, direc¸a˜o e sentido do vetor campo magne´tico
B em um ponto P no plano da tira, a uma distaˆncia L de sua borda. (Sugesta˜o: imagine a tira como constru´ıda
a partir de muitos fios longos, finos e paralelos.)
P
w L
Figura 3: Problema 3. Tira de corrente
• Soluc¸a˜o 3
A tira pode ser pensada como uma superposic¸a˜o de retas (infinitas) de corrente, com espessura infinitesimal
dz, cada uma das quais possuindo corrente de intensidade dI = Idz/w. Como o campo magne´tico de uma
reta de corrente e´ proporcional ‘a sua corrente e inversamente proporcional a` distaˆncia, podemos escrever
dB =
µ0
2π
dI
L+ w − z
ϕˆ .
Enta˜o,
B =
∫
w
z=0
µ0I
2πw
dz
L+ w − z
ϕˆ ,
ou seja,
B =
µ0I
2πw
ln
(
L+ w
L
)
ϕˆ .
PROBLEMA 4 (Fio encurvado) [ 2,5 ponto(s)]
Um fio e´ encurvado em treˆs segmentos circulares de raio R, como mostra a Figura 4. Cada segmento e´ um
quadrante de c´ırculo, ab situado no plano XY , bc no plano Y Z e ca no plano ZX .
(a) Se um campo magne´tico B uniforme aponta no sentido xˆ, qual e´ o mo´dulo da fem induzida no fio quando B
cresce a uma taxa dB/dt = C = const > 0. [2,0 pontos]
(b) Qual e´ o sentido da corrente no segmento bc (b→ c ou c→ b)? [0,5 ponto]
• Soluc¸a˜o 4
(a) O fluxo do campo magne´tico atrave´s da superf´ıcie esfe´rica que o fio encurvado naturalmente define e´
Φ[S] = BπR2/4 .
Logo, a fem sera´
E = −
dB
dt
πR2/4 ,
ou seja,
E = −
πCR2
4
.
3
(b) Como o campo cresce em mo´dulo, pela lei de Lenz, deve surgir uma fem induzida, cuja correspondente
corrente produza um campo magne´tico induzido oposto (tanto quanto poss´ıvel) ao pre´-existente. Isto
significa que a corrente induzida deve, no segmento bc, ser no sentido de c para b:
c→ b .
Y
X
Z
a
b
c
Figura 4: Problema 4. Fio encurvado.
4