Logica Matematica Tautologia

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LÓGICA MATEMÁTICA 
CURSO: SISTEMAS DE INFORMAÇÃO 
1º PERÍODO 
 
Prof.: Hugo Souza 
hugo.souza@cesmac.com.br 
CENTRO UNIVERSITÁRIO – CESMAC 
FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS - FACET 
Objetivo da aula de hoje... 
• Continuaremos os conceitos de Lógica 
Proposicional 
• Conheceremos os conceitos de Implicação 
Lógica 
 
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Sumário 
• Correção do Exercício passado 
• Implicação Lógica 
• Exercícios 
• Iniciar Revisão para a Avaliação 1 – 2014.1 
 
 
 
 
 
 
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Ementa 
• Lógica Proposicional: 
– Sintaxe 
– Semântica 
– Propriedades Semânticas 
– Método para determinação da validade de fórmulas 
• Lógica de Predicados: 
– Sintaxe 
– Semântica 
– Propriedades Semânticas 
– Resolução. 
 
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Aviso! 
• Avaliação 1 
• 02/09/2014 
• Assuntos: 
– Introdução e história de lógica 
– Lógica Proposicional 
• Sintaxe 
• Semântica (Operações Lógicas; Tabela Verdade; 
Tautologia, Contradição e Contingência) 
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Implicação 
• Definição: 
 Dadas as proposições compostas P e Q, diz-se 
que ocorre uma implicação lógica (ou relação 
de implicação) entre P e Q quando a 
proposição condicional P  Q é uma 
tautologia. 
 
• Notação: P  Q 
 
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Implicação 
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- Portanto, dizemos que P  Q quando nas respectivas 
tabelas verdade dessas duas proposições não aparece V 
na última coluna de P e F na última coluna de Q, com V e 
F em uma mesma linha, isto é, não ocorre P e Q com 
valores lógicos simultâneos respectivamente V e F. 
- Em particular, toda proposição implica uma tautologia e 
somente uma contradição implica outra contradição. 
 
Implicação 
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 Exemplos: 
 a) 4 x 5 = 20  (2 + 1)² = 3². 
 Podemos usar o símbolo , pois a proposição 
condicional: 4 x 5 = 20  3²= (2 + 1)² é verdadeira. 
 
 b) Não podemos escrever que 3 > 2  3 > 4, pois a 
proposição condicional: 3 > 2  3 > 4 é falsa. 
Implicação 
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• Observação: 
 
  DIFERENTE  
 
• O símbolo  entre duas proposições dadas indica 
uma relação, isto é, que a proposição condicional 
associada é uma tautologia, enquanto  realiza uma 
operação entre proposições dando origem a uma 
nova proposição p  q (que pode conter valores 
lógicos V ou F). 
Implicação 
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Propriedade Reflexiva: 
P(p,q,r,...)  P(p,q,r,...) 
Propriedade Transitiva: 
SE P(p,q,r,...)  Q(p,q,r,...) E 
Q(p,q,r,...)  R(p,q,r,...), ENTÃO 
P(p,q,r,...)  R(p,q,r,...) 
Implicação 
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p ^ q, p v q, p  q 
 p q p ^ q p v q p  q 
 V V V V V 
V F F V F 
F V F V F 
F F F F V 
Assim, diz-se que p ^ q  p v q 
e p ^ q  p  q 
Implicação 
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p ^ q, p v q, p  q 
 p q p ^ q p v q p  q 
V V V V V 
V F F V F 
F V F V F 
F F F F V 
REGRA DE INFERÊNCIA: p  p v q 
(Adição) 
Implicação 
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p ^ q, p v q, p  q 
 p q p ^ q p v q p  q 
V V V V V 
V F F V F 
F V F V F 
F F F F V 
REGRA DE INFERÊNCIA: p ^ q  p 
(Simplificação) 
Implicação 
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p ^ q, p v q, p  q 
 p q p ^ q p v q p  q 
V V V V V 
V F F V F 
F V F V F 
F F F F V 
REGRA DE INFERÊNCIA: p ^ q  q 
 (Simplificação) 
Implicação 
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(p v q) ^ ~p  q 
(p v q) ^ ~q  p 
REGRA DE INFERÊNCIA: 
SILOGISMO DISJUNTIVO 
Implicação 
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(p  q) ^ p  q 
REGRA MODUS ponens 
(p  q) ^ ~q  ~p 
REGRA MODUS tollens 
Implicação 
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• Teorema: 
- A proposição P(p,q,r,...) IMPLICA a proposição 
Q(p,q,r,...) se e somente se a condicional P  Q é 
tautológica. 
• P(p,q,r,...)  Q(p,q,r,...) se e somente se: 
 P  Q = V (tautológica) 
 
Implicação 
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• P(p,q,r,...)  Q(p,q,r,...) se e somente se: 
 P  Q = V (tautológica). 
• A condicional: 
 (p  q) ^ (q ^ r)  (p  r) é Tautologia. 
 
• Logo, deduz-se a implicação lógica: 
 (p  q) ^ (q ^ r)  p  r 
- (Regra do SILOGISMO HIPOTÉTICO) 
 
Implicação 
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Exemplo: Mostrar que (p ^ q)  p 
p q p ^ q 
V V V 
V F F 
F V F 
F F F 
- Como (p ^ q)  p é uma tautologia, então (p ^ q)  
p, isto é, ocorre a implicação lógica. 
(p ^ q)  p 
V 
V 
V 
V 
Implicação 
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1. As tabelas-verdade das proposições p ^ q, p v q, p  q são: 
p ^ q  p v q e p ^ q  p  q 
- A proposição “p ^ q” é verdadeira (V) 
somente na linha 1 e, nesta linha, as 
proposições “p v q” e “p  q” também 
são verdadeiras (V). Logo, a primeira 
posição implica cada uma das outras 
posições, isto é: 
Implicação 
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 - As mesmas tabelas-verdade também demonstram as 
importantes Regras de Inferência: 
p  p v q e q  p v q (Adição) 
p ^ q  p e p ^ q  q (Simplificação) 
Implicação 
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Regras de Inferência 
Adição disjuntiva (AD) p  p  q 
Simplificação conjuntiva(SIM) p  q  p ou p  q  q 
Modus Ponens(MP) ( p  q )  p  q 
Modus Tollens(MT) ( p  q )  ~q  ~p 
Silogismo Disjuntivo(SD) ( p  q )  ~q  p 
Silogismo Hipotético(SH) ( p  q )  ( q  r )  p  r 
Dilema Construtivo(DC) ( p  q )  ( r  s )  ( p  r )  q  s 
Dilema Destrutivo(DD) ( p  q )  ( r  s )  ( ~q  ~s )  ~p  ~r 
Absorção(ABS) p  q  p  ( p  q ) 
E por hoje... 
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• Vamos ter uma revisão para a Avaliação 1 
• Obrigado! 
• Até a próxima aula!