P5-2016. 2_Gabarito.pdf

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Universidade Federal do Rio de Janeiro
Instituto de Matemática
Disciplina: Álgebra Linear II
Professor: Francesco Noseda, Luiz Carlos Guima-
rães, Mário de Oliveira, Milton Ramirez, Nilson
Bernardes, Paulo Goldfeld
Data: 16 dezembro 2016
Prova de Segunda Chamada
1. Seja
W = { (x, y, z, w) | x+ 5y + 4z = 0,
z + w = 0, x+ 5y + 5z + w = 0 }
um subespaço de R4. A dimensão de W é igual a:
(a) 2
(b) 1
(c) 3
(d) 4
2. Qual dentre as proposições abaixo é VERDA-
DEIRA?
(a) Se o conjunto {~u,~v} é linearmente independente,
então o conjunto {k~u, k~v} também e linearmente
independente, para todo número real k 6= 0.
(b) Se a um conjunto linearmente independente de
três vetores adicionarmos um vetor que não é
múltiplo escalar de nenhum deles, então o con-
junto continua linearmente independente.
(c) Se ~v e ~w são tais que ~v 6= ~w e ~v, ~w 6= ~0, então o
conjunto {~v, ~w} é linearmente independente.
(d) Se ~v 6= ~0, então o conjunto {~v} é linearmente
dependente.
3. Sejam A e B matrizes tais que o produto matricial
AB está definido. Considere as seguintes afirmações:
(I) O elemento cij do produto C = AB é o produto
interno da linha i de A pela coluna j de B.
(II) As colunas do produto AB são combinações
lineares das colunas de B.
Qual das opções abaixo é CORRETA?
(a) (I) é verdadeira e (II) é falsa.
(b) (I) é verdadeira e (II) é verdadeira.
(c) (I) é falsa e (II) é falsa.
(d) (I) é falsa e (II) é verdadeira.
4. Seja A uma matriz real n × n, com n ímpar. Se
AT = −A, então pode-se afirmar que:
(a) detA = 0
(b) O determinante pode ser qualquer número real
(c) detA = −1
(d) detA = 1
5. Seja V um espaço vetorial de dimensão n, então é
VERDADE que:
(a) Todo subconjunto de V com mais do que n ve-
tores é linearmente dependente.
(b) Todo subconjunto de V com mais do que n ve-
toresé gerador.
(c) Nenhum subconjunto de V com menos do que n
vetores é linearmente independente.
(d) Todo subconjunto linearmente independente de
V gera V .
6. Considere as seguintes bases para R2:
ε = {(1, 0), (0, 1)} e β = {(1, 2), (1, 3)}. Dado que o
vetor de coordenadas de ~v na base ε é [a, b]T , qual é
o vetor de coordenadas de ~v na base β?
(a) [3 a− b, b− 2 a]T
(b) [4 a− b, 2 b− 2 a]T
(c) [2 b− 2 a, 4 a− b]T
(d) [b− 2 a, 3 a− b]T
7. Para quais valores de (a, b, c) o sistema linear1 2 34 5 2
7 8 1
 xy
z
 =
 ab
c
 admite pelo menos uma
solução?
(a) a− 2b+ c = 0
(b) a− 2b+ c 6= 0
(c) 11a− 10b+ 3c = 0
(d) 11a− 10b+ 3c 6= 0
8. Qual das matrizes abaixo representa uma transfor-
mação linear T : R3 → R3 cuja imagem é o plano
3x− 2y + z = 0 e cujo núcleo é a reta que passa pela
origem na direção do vetor (1, 1,−1)?
(a)
2 1 33 0 3
0 −3 −3

(b)
3 −2 13 −2 0
1 1 −1

(c)
2 3 01 0 −3
3 3 −3

(d)
 3 3 1−2 −2 1
1 0 −1

9. Calcule a soma das coordenadas do vetor (1, 21) na
base {(1, 1), (10, 5)}
(a) 37
(b) 38
(c) 352
(d) 372
Gabarito Pág. 1
10. Seja C = AB, onde A =
12
3
 e B = [−2 4 7]. O
determinante da matriz C é igual a:
(a) 0
(b) 2
(c) −2
(d) Não é possível calcular o determinante de C.
11. A equação que modela um determinado fenômeno fí-
sico é dada pela função f(x) = ax3 + bx2. Alguns
experimentos foram realizados com os seguintes re-
sultados:
x y
-1 -2
0 3
1 6
Os valores de a, b de forma a obter a melhor aproxi-
mação no sentido dos mínimos quadrados são:
(a) a = 4, b = 2
(b) a = 8, b = 4
(c) a = 1, b = 1
(d) a = 2, b = 2
12. Considere a base β = {x, x + 1} do espaço P1 de
polinômios de grau menor ou igual a 1, e a transfor-
mação linear T (p(x)) = (x − 2)p′(x). A matriz [T ]β
de T com relação à base β é
(a)
[
3 3
−2 −2
]
(b)
[
0 1
1 1
]
(c)
[
1 0
−2 0
]
(d)
[
0 1
0 −2
]
13. Seja A uma matriz com colunas linearmente indepen-
dentes. Qual das matrizes abaixo representa a proje-
ção ortogonal sobre a imagem de A?
(a) A(ATA)−1AT
(b) I −A(ATA)−1AT
(c) (ATA)−1AT
(d) I − (ATA)−1AT
14. Seja T (x, y) = (2y, 3x − 2y). A matriz [T ]β que
representa T com relação à base β = {(1, 1), (1, 2)} é:
(a)
[
3 9
−1 −5
]
(b)
[
3 10
0 −5
]
(c)
[
2 10
0 −5
]
(d)
[
3 10
0 −3
]
15. O sistema linear A~x = ~b 6= ~0 tem solução geral
~x = ~u+ s~v + t~w, s, t ∈ R,
onde A é 3 × 4 e {~v, ~w} é linearmente independente.
Assinale a alternativa FALSA.
(a) A solução geral de A~x = 2~b é
~x = ~u+ 2s~v + 2t~w, s, t ∈ R.
(b) A solução geral de A~x = 2~b é
~x = 2~u+ 2s~v + 2t~w, s, t ∈ R.
(c) A dimensão da imagem de A é 2.
(d) O núcleo de A é o espaço gerado por {~v, ~w}.
Gabarito Pág. 2
Gabarito dos 60 Testes Gerados
Teste 001: 1D 2C 3B 4D 5D 6D 7C 8D 9B 10C 11A 12C 13B 14A 15A
Teste 002: 1C 2B 3B 4C 5A 6D 7D 8A 9A 10C 11D 12C 13A 14D 15A
Teste 003: 1D 2C 3A 4D 5C 6A 7B 8C 9C 10A 11A 12B 13C 14D 15B
Teste 004: 1B 2A 3B 4C 5D 6B 7C 8B 9B 10D 11D 12C 13D 14D 15C
Teste 005: 1D 2A 3D 4D 5A 6C 7B 8C 9A 10D 11B 12B 13A 14C 15C
Teste 006: 1C 2D 3C 4D 5C 6C 7C 8B 9B 10A 11D 12D 13B 14A 15A
Teste 007: 1A 2B 3C 4B 5D 6C 7C 8A 9C 10D 11C 12D 13B 14D 15D
Teste 008: 1A 2A 3B 4D 5A 6C 7A 8D 9B 10C 11B 12D 13D 14B 15A
Teste 009: 1C 2B 3D 4C 5C 6D 7B 8A 9C 10A 11D 12A 13B 14C 15A
Teste 010: 1C 2B 3D 4D 5A 6A 7B 8A 9C 10D 11A 12A 13B 14C 15D
Teste 011: 1A 2A 3D 4B 5C 6A 7B 8B 9B 10D 11A 12D 13A 14D 15D
Teste 012: 1D 2C 3D 4B 5C 6B 7D 8B 9D 10B 11C 12C 13B 14D 15C
Teste 013: 1B 2B 3A 4B 5C 6D 7B 8C 9B 10C 11B 12D 13C 14A 15C
Teste 014: 1A 2B 3C 4C 5D 6B 7D 8D 9A 10D 11C 12D 13A 14A 15B
Teste 015: 1B 2B 3C 4C 5C 6D 7D 8D 9B 10A 11A 12B 13C 14A 15A
Teste 016: 1A 2C 3C 4B 5B 6A 7A 8A 9D 10B 11C 12C 13A 14B 15D
Teste 017: 1D 2B 3D 4D 5C 6C 7B 8A 9C 10C 11D 12D 13A 14C 15B
Teste 018: 1A 2A 3A 4B 5D 6A 7B 8D 9A 10D 11C 12D 13D 14B 15C
Teste 019: 1A 2D 3C 4A 5C 6D 7B 8C 9A 10D 11C 12C 13D 14A 15A
Teste 020: 1D 2B 3A 4B 5A 6B 7C 8B 9B 10A 11C 12C 13A 14D 15A
Teste 021: 1C 2A 3C 4C 5D 6D 7A 8A 9D 10A 11D 12D 13C 14C 15B
Teste 022: 1C 2C 3C 4A 5A 6A 7A 8A 9D 10C 11D 12D 13C 14D 15B
Teste 023: 1A 2D 3C 4A 5C 6A 7A 8B 9D 10C 11B 12C 13A 14D 15D
Teste 024: 1C 2C 3A 4A 5B 6C 7C 8B 9A 10C 11A 12D 13D 14D 15A
Teste 025: 1A 2D 3A 4B 5A 6B 7C 8B 9B 10D 11C 12C 13A 14B 15D
Teste 026: 1A 2A 3B 4B 5A 6C 7D 8A 9B 10A 11D 12B 13B 14D 15C
Teste 027: 1A 2B 3C 4B 5B 6D 7C 8D 9D 10D 11D 12A 13A 14B 15C
Teste 028: 1C 2B 3D 4A 5B 6C 7C 8C 9C 10D 11D 12A 13B 14B 15D
Teste 029: 1C 2C 3B 4A 5D 6A 7C 8A 9B 10D 11B 12B 13A 14C 15C
Teste 030: 1A 2B 3B 4B 5C 6A 7B 8B 9D 10D 11D 12A 13D 14C 15A
Teste 031: 1B 2A 3D 4D 5D 6A 7C 8D 9D 10A 11C 12B 13C 14C 15A
Teste 032: 1C 2A 3D 4A 5D 6C 7B 8B 9A 10B 11C 12C 13D 14A 15B
Teste 033: 1D 2D 3D 4B 5C 6A 7C 8D 9C 10D 11C 12A 13A 14C 15B
Teste 034: 1B 2D 3A 4A 5A 6A 7A 8B 9D 10D 11D 12B 13B 14D 15B
Teste 035: 1B 2D 3D 4C 5B 6A 7C 8D 9C 10C 11B 12B 13B 14A 15A
Teste 036: 1C 2B 3A 4D 5B 6C 7C 8A 9A 10C 11C 12D 13B 14B 15A
Teste 037: 1D 2D 3D 4B 5B 6D 7B 8D 9B 10A 11C 12B 13A 14A 15C
Teste 038: 1D 2B 3C 4C 5D 6A 7B 8D 9D 10D 11C 12B 13C 14A 15A
Teste 039: 1B 2D 3A 4B 5B 6A 7C 8D 9C 10A 11B 12B 13C 14C 15D
Teste 040: 1C 2C 3B 4A 5A 6B 7D 8C 9C 10C 11A 12D 13A 14B 15B
Teste 041: 1C 2A 3D 4D 5D 6D 7D 8B 9C 10A 11A 12B 13A 14B 15A
Teste 042: 1C 2B 3A 4C 5D 6C 7A 8A 9D 10D 11D 12C 13B 14A 15B
Teste 043: 1B 2B 3A 4C 5D 6D 7C 8D 9B 10D 11A 12C 13D 14B 15A
Teste 044: 1A 2B 3B 4D 5C 6D 7C 8D 9D 10D 11B 12C 13A 14C 15A
Teste 045: 1C 2D 3A 4B 5A 6A 7B 8B 9B 10C 11D 12A 13A 14D 15C
Teste 046: 1B 2B 3A 4D 5D 6B 7C 8A 9A 10B 11C 12B 13A 14C 15D
Teste 047: 1A 2C 3B 4B 5C 6B 7C 8A 9B 10B 11D 12C 13C 14D 15D
Teste 048: 1D 2D 3B 4A 5C 6B 7D 8D 9D 10C 11C 12C 13A 14B 15C
Teste 049: 1D 2C 3C 4A 5D 6C 7C 8B 9C 10B 11D 12B 13D 14A 15B
Teste 050: 1D 2A 3D 4A 5C 6A 7D 8C 9D 10A 11B 12D 13A 14B 15D
Teste 051: 1B 2D 3A 4C 5B 6B 7C 8D 9C 10B 11B 12C 13C 14A 15A
Teste 052: 1B 2B 3D 4B 5B 6A7A 8A 9A 10A 11C 12D 13D 14D 15D
Teste 053: 1C 2C 3A 4C 5D 6A 7C 8D 9D 10D 11A 12B 13D 14B 15B
Teste 054: 1D 2C 3D 4B 5D 6C 7C 8A 9A 10D 11C 12C 13A 14A 15B
Teste 055: 1C 2C 3C 4B 5D 6D 7A 8D 9A 10D 11C 12B 13A 14D 15B
Teste 056: 1B 2C 3B 4C 5A 6B 7A 8D 9B 10B 11D 12A 13C 14C 15A
Gabarito Pág. 1
Teste 057: 1C 2B 3D 4D 5A 6D 7B 8D 9B 10D 11B 12C 13C 14A 15B
Teste 058: 1C 2B 3C 4A 5D 6D 7D 8A 9C 10B 11C 12B 13D 14A 15C
Teste 059: 1D 2C 3D 4A 5C 6D 7A 8B 9A 10B 11B 12D 13C 14C 15A
Teste 060: 1C 2A 3A 4A 5C 6A 7C 8B 9B 10C 11A 12B 13C 14D 15D
Gabarito Pág. 2