Aula Sears Cap13 MovimentoPeriodico

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Cap´ıtulo 13 - Movimento Perio´dico
RODRIGO ALVES DIAS
Universidade Federal de Juiz de Fora - UFJF
Livro texto: F´ısica 2 - Termodinaˆmica e Ondas
Autores: Sears e Zemansky
Edic¸a˜o: 12a
Editora: Pearson - Addisson and Wesley
24 de setembro de 2011
Cap´ıtulo 13 - Movimento Perio´dico
Objetivos de Aprendizagem
Ao estudar este cap´ıtulo voceˆ aprendera´:
I Como descrever oscilac¸o˜es em termos da amplitude, per´ıodo, frequ¨eˆncia e
frequ¨eˆncia angular.
I Como fazer ca´lculos em movimento harmoˆnico simples(MHS), um tipo
importante de oscilac¸o˜es.
I Como usar conceitos de energia para analisar MHS.
I Como aplicar os conceitos envolvidos em um MHS a diferentes situac¸o˜es f´ısica.
I Como analisar os movimentos de um peˆndulo simples.
I O que e´ um peˆndulo f´ısico, e como calcular as propriedades de seu movimento.
I O que determina qua˜o rapidamente uma oscilac¸a˜o chega ao fim.
I Como uma forc¸a propulsora aplicada a um oscilador na frequ¨eˆncia certa pode
provocar uma resposta muito intensa, ou ressonaˆncia.
Cap´ıtulo 13 - Movimento Perio´dico
Objetivos de Aprendizagem
Ao estudar este cap´ıtulo voceˆ aprendera´:
I Como descrever oscilac¸o˜es em termos da amplitude, per´ıodo, frequ¨eˆncia e
frequ¨eˆncia angular.
I Como fazer ca´lculos em movimento harmoˆnico simples(MHS), um tipo
importante de oscilac¸o˜es.
I Como usar conceitos de energia para analisar MHS.
I Como aplicar os conceitos envolvidos em um MHS a diferentes situac¸o˜es f´ısica.
I Como analisar os movimentos de um peˆndulo simples.
I O que e´ um peˆndulo f´ısico, e como calcular as propriedades de seu movimento.
I O que determina qua˜o rapidamente uma oscilac¸a˜o chega ao fim.
I Como uma forc¸a propulsora aplicada a um oscilador na frequ¨eˆncia certa pode
provocar uma resposta muito intensa, ou ressonaˆncia.
Cap´ıtulo 13 - Movimento Perio´dico
Objetivos de Aprendizagem
Ao estudar este cap´ıtulo voceˆ aprendera´:
I Como descrever oscilac¸o˜es em termos da amplitude, per´ıodo, frequ¨eˆncia e
frequ¨eˆncia angular.
I Como fazer ca´lculos em movimento harmoˆnico simples(MHS), um tipo
importante de oscilac¸o˜es.
I Como usar conceitos de energia para analisar MHS.
I Como aplicar os conceitos envolvidos em um MHS a diferentes situac¸o˜es f´ısica.
I Como analisar os movimentos de um peˆndulo simples.
I O que e´ um peˆndulo f´ısico, e como calcular as propriedades de seu movimento.
I O que determina qua˜o rapidamente uma oscilac¸a˜o chega ao fim.
I Como uma forc¸a propulsora aplicada a um oscilador na frequ¨eˆncia certa pode
provocar uma resposta muito intensa, ou ressonaˆncia.
Cap´ıtulo 13 - Movimento Perio´dico
Objetivos de Aprendizagem
Ao estudar este cap´ıtulo voceˆ aprendera´:
I Como descrever oscilac¸o˜es em termos da amplitude, per´ıodo, frequ¨eˆncia e
frequ¨eˆncia angular.
I Como fazer ca´lculos em movimento harmoˆnico simples(MHS), um tipo
importante de oscilac¸o˜es.
I Como usar conceitos de energia para analisar MHS.
I Como aplicar os conceitos envolvidos em um MHS a diferentes situac¸o˜es f´ısica.
I Como analisar os movimentos de um peˆndulo simples.
I O que e´ um peˆndulo f´ısico, e como calcular as propriedades de seu movimento.
I O que determina qua˜o rapidamente uma oscilac¸a˜o chega ao fim.
I Como uma forc¸a propulsora aplicada a um oscilador na frequ¨eˆncia certa pode
provocar uma resposta muito intensa, ou ressonaˆncia.
Cap´ıtulo 13 - Movimento Perio´dico
Objetivos de Aprendizagem
Ao estudar este cap´ıtulo voceˆ aprendera´:
I Como descrever oscilac¸o˜es em termos da amplitude, per´ıodo, frequ¨eˆncia e
frequ¨eˆncia angular.
I Como fazer ca´lculos em movimento harmoˆnico simples(MHS), um tipo
importante de oscilac¸o˜es.
I Como usar conceitos de energia para analisar MHS.
I Como aplicar os conceitos envolvidos em um MHS a diferentes situac¸o˜es f´ısica.
I Como analisar os movimentos de um peˆndulo simples.
I O que e´ um peˆndulo f´ısico, e como calcular as propriedades de seu movimento.
I O que determina qua˜o rapidamente uma oscilac¸a˜o chega ao fim.
I Como uma forc¸a propulsora aplicada a um oscilador na frequ¨eˆncia certa pode
provocar uma resposta muito intensa, ou ressonaˆncia.
Cap´ıtulo 13 - Movimento Perio´dico
Objetivos de Aprendizagem
Ao estudar este cap´ıtulo voceˆ aprendera´:
I Como descrever oscilac¸o˜es em termos da amplitude, per´ıodo, frequ¨eˆncia e
frequ¨eˆncia angular.
I Como fazer ca´lculos em movimento harmoˆnico simples(MHS), um tipo
importante de oscilac¸o˜es.
I Como usar conceitos de energia para analisar MHS.
I Como aplicar os conceitos envolvidos em um MHS a diferentes situac¸o˜es f´ısica.
I Como analisar os movimentos de um peˆndulo simples.
I O que e´ um peˆndulo f´ısico, e como calcular as propriedades de seu movimento.
I O que determina qua˜o rapidamente uma oscilac¸a˜o chega ao fim.
I Como uma forc¸a propulsora aplicada a um oscilador na frequ¨eˆncia certa pode
provocar uma resposta muito intensa, ou ressonaˆncia.
Cap´ıtulo 13 - Movimento Perio´dico
Objetivos de Aprendizagem
Ao estudar este cap´ıtulo voceˆ aprendera´:
I Como descrever oscilac¸o˜es em termos da amplitude, per´ıodo, frequ¨eˆncia e
frequ¨eˆncia angular.
I Como fazer ca´lculos em movimento harmoˆnico simples(MHS), um tipo
importante de oscilac¸o˜es.
I Como usar conceitos de energia para analisar MHS.
I Como aplicar os conceitos envolvidos em um MHS a diferentes situac¸o˜es f´ısica.
I Como analisar os movimentos de um peˆndulo simples.
I O que e´ um peˆndulo f´ısico, e como calcular as propriedades de seu movimento.
I O que determina qua˜o rapidamente uma oscilac¸a˜o chega ao fim.
I Como uma forc¸a propulsora aplicada a um oscilador na frequ¨eˆncia certa pode
provocar uma resposta muito intensa, ou ressonaˆncia.
Cap´ıtulo 13 - Movimento Perio´dico
Objetivos de Aprendizagem
Ao estudar este cap´ıtulo voceˆ aprendera´:
I Como descrever oscilac¸o˜es em termos da amplitude, per´ıodo, frequ¨eˆncia e
frequ¨eˆncia angular.
I Como fazer ca´lculos em movimento harmoˆnico simples(MHS), um tipo
importante de oscilac¸o˜es.
I Como usar conceitos de energia para analisar MHS.
I Como aplicar os conceitos envolvidos em um MHS a diferentes situac¸o˜es f´ısica.
I Como analisar os movimentos de um peˆndulo simples.
I O que e´ um peˆndulo f´ısico, e como calcular as propriedades de seu movimento.
I O que determina qua˜o rapidamente uma oscilac¸a˜o chega ao fim.
I Como uma forc¸a propulsora aplicada a um oscilador na frequ¨eˆncia certa pode
provocar uma resposta muito intensa, ou ressonaˆncia.
Cap´ıtulo 13 - Movimento Perio´dico
Introduc¸a˜o
Cap´ıtulo 13 - Movimento Perio´dico
Causas da Oscilac¸a˜o
Causas da Oscilac¸a˜o
I Considere um corpo de massa m preso a uma mola de
massa desprez´ıvel.
I Este corpo esta´ sobre um trilho de ar na qual
apresenta atrito zero.
Cap´ıtulo 13 - Movimento Perio´dico
Causas da Oscilac¸a˜o
Causas da Oscilac¸a˜o
I Considere um corpo de massa m preso a uma mola de
massa desprez´ıvel.
I Este corpo esta´ sobre um trilho de ar na qual
apresenta atrito zero.
~FR = ~N + ~Fp = (N −mg )ˆj = 0
N = mg
Cap´ıtulo 13 - Movimento Perio´dico
Causas da Oscilac¸a˜o
Causas da Oscilac¸a˜o
I Considere um corpo de massa m preso a uma mola de
massa desprez´ıvel.
I Este corpo esta´ sobre um trilho de ar na qual
apresenta atrito zero.
~FR = ~N + ~Fp = (N −mg )ˆj = 0
N = mg
I Se o corpo e´ deslocado para x > 0, a mola exerce
uma forc¸a na direc¸a˜o x no sentido negativo(Fx < 0).
~FR = ~N + ~Fp + ~Fm = (N −mg )ˆj = (max )ˆi + (0)ˆj
N = mg
F xm = max < 0
Cap´ıtulo 13 - Movimento Perio´dico
Causas da Oscilac¸a˜o
I Se o corpo e´ deslocado para x > 0, a mola exerce
uma forc¸a na direc¸a˜o x no sentido negativo(Fx < 0).
~FR = ~N + ~Fp + ~Fm = (N −mg )ˆj = (max )ˆi + (0)ˆj
N = mgF xm = max < 0
I Se o corpo e´ deslocado para x < 0, a mola exerce
uma forc¸a na direc¸a˜o x no sentido positivo(Fx > 0).
~FR = ~N + ~Fp + ~Fm = (N −mg )ˆj = (max )ˆi + (0)ˆj
N = mg
F xm = max > 0
Cap´ıtulo 13 - Movimento Perio´dico
Causas da Oscilac¸a˜o
I Se o corpo e´ deslocado para x > 0, a mola exerce
uma forc¸a na direc¸a˜o x no sentido negativo(Fx < 0).
~FR = ~N + ~Fp + ~Fm = (N −mg )ˆj = (max )ˆi + (0)ˆj
N = mg
F xm = max < 0
I Se o corpo e´ deslocado para x < 0, a mola exerce
uma forc¸a na direc¸a˜o x no sentido positivo(Fx > 0).
~FR = ~N + ~Fp + ~Fm = (N −mg )ˆj = (max )ˆi + (0)ˆj
N = mg
F xm = max > 0
I Em resumo:
I Se x > 0⇒ (Fx < 0) e (ax < 0).
I Se x < 0⇒ (Fx > 0) e (ax > 0).
I A forc¸a da mola e´ uma forc¸a restauradora.
I Sempre tenta fazer o corpo voltar para posic¸a˜o de
equil´ıbrio.
Cap´ıtulo 13 - Movimento Perio´dico
Causas da Oscilac¸a˜o
I Em resumo:
I Se x > 0⇒ (Fx < 0) e (ax < 0).
I Se x < 0⇒ (Fx > 0) e (ax > 0).
I A forc¸a da mola e´ uma forc¸a restauradora.
I Sempre tenta fazer o corpo voltar para posic¸a˜o de
equil´ıbrio.
I Para pequenos deslocamentos de x vemos que:
Fx ∝ −x .
I Lei de Hooke Fx = −kx .
Cap´ıtulo 13 - Movimento Perio´dico
Movimento Harmoˆnico Simples(MHS)
Movimento Harmoˆnico Simples
I Quando uma forc¸a restauradora e´
diretamente proporcional ao deslocamento,
temos um
Movimento Harmoˆnico Simples.
I Da Lei de Hooke podemos escrever que:
Cap´ıtulo 13 - Movimento Perio´dico
Movimento Harmoˆnico Simples(MHS)
Movimento Harmoˆnico Simples
I Quando uma forc¸a restauradora e´
diretamente proporcional ao deslocamento,
temos um
Movimento Harmoˆnico Simples.
I Da Lei de Hooke podemos escrever que:
F xR = Fx = −kx(t)
Cap´ıtulo 13 - Movimento Perio´dico
Movimento Harmoˆnico Simples(MHS)
I Quando uma forc¸a restauradora e´
diretamente proporcional ao deslocamento,
temos um
Movimento Harmoˆnico Simples.
I Da Lei de Hooke podemos escrever que:
F xR = Fx = −kx(t)
F xR = max (t)
Cap´ıtulo 13 - Movimento Perio´dico
Movimento Harmoˆnico Simples(MHS)
I Quando uma forc¸a restauradora e´
diretamente proporcional ao deslocamento,
temos um
Movimento Harmoˆnico Simples.
I Da Lei de Hooke podemos escrever que:
F xR = Fx = −kx(t)
F xR = max (t)
ax (t) = − k
m
x(t) =
dvx (t)
dt
vx (t) =
dx(t)
dt
Cap´ıtulo 13 - Movimento Perio´dico
Movimento Harmoˆnico Simples(MHS)
I Quando uma forc¸a restauradora e´
diretamente proporcional ao deslocamento,
temos um
Movimento Harmoˆnico Simples.
I Da Lei de Hooke podemos escrever que:
F xR = Fx = −kx(t)
F xR = max (t)
ax (t) = − k
m
x(t) =
dvx (t)
dt
vx (t) =
dx(t)
dt
d2x(t)
dt2
= − k
m
x(t)
I Toda equac¸a˜o que a derivada segunda de
uma func¸a˜o for igual ao negativo de uma
constante vezes a propria func¸a˜o. E´ um
oscilador harmoˆnico simples.
Cap´ıtulo 13 - Movimento Perio´dico
Movimento Harmoˆnico Simples(MHS)
I Quando uma forc¸a restauradora e´
diretamente proporcional ao deslocamento,
temos um
Movimento Harmoˆnico Simples.
I Da Lei de Hooke podemos escrever que:
F xR = Fx = −kx(t)
F xR = max (t)
ax (t) = − k
m
x(t) =
dvx (t)
dt
vx (t) =
dx(t)
dt
d2x(t)
dt2
= − k
m
x(t)
I Toda equac¸a˜o que a derivada segunda de
uma func¸a˜o for igual ao negativo de uma
constante vezes a propria func¸a˜o. E´ um
oscilador harmoˆnico simples.
I A forc¸a restauradora pode ser:
Fx = −kx + k1x2 + k2x3 + ...
I O movimento pode ser perio´dico, mais na˜o
harmoˆnico simples.
Cap´ıtulo 13 - Movimento Perio´dico
Movimento Harmoˆnico Simples(MHS)
I Quando uma forc¸a restauradora e´
diretamente proporcional ao deslocamento,
temos um
Movimento Harmoˆnico Simples.
I Da Lei de Hooke podemos escrever que:
F xR = Fx = −kx(t)
F xR = max (t)
ax (t) = − k
m
x(t) =
dvx (t)
dt
vx (t) =
dx(t)
dt
d2x(t)
dt2
= − k
m
x(t)
I Toda equac¸a˜o que a derivada segunda de
uma func¸a˜o for igual ao negativo de uma
constante vezes a propria func¸a˜o. E´ um
oscilador harmoˆnico simples.
I A forc¸a restauradora pode ser:
Fx = −kx + k1x2 + k2x3 + ...
I O movimento pode ser perio´dico, mais na˜o
harmoˆnico simples.
d2x(t)
dt2
= − k
m
x(t) +
k1
m
x2 +
k2
m
x3 + ...
Cap´ıtulo 13 - Movimento Perio´dico
Movimento Harmoˆnico Simples(MHS)
Movimento Circular Uniforme(MCU) e as MHS
I Considere uma part´ıcula que descreve um MCU ou
seja ω = dθ(t)
dt
= Constante.
~r(t) = x(t )ˆi + y(t )ˆj
Cap´ıtulo 13 - Movimento Perio´dico
Movimento Harmoˆnico Simples(MHS)
Movimento Circular Uniforme(MCU) e as MHS
I Considere uma part´ıcula que descreve um MCU ou
seja ω = dθ(t)
dt
= Constante.
~r(t) = x(t )ˆi + y(t )ˆj
~r(t) = R cos θ(t )ˆi + R sin θ(t )ˆj
Cap´ıtulo 13 - Movimento Perio´dico
Movimento Harmoˆnico Simples(MHS)
Movimento Circular Uniforme(MCU) e as MHS
I Considere uma part´ıcula que descreve um MCU ou
seja ω = dθ(t)
dt
= Constante.
~r(t) = x(t )ˆi + y(t )ˆj
~r(t) = R cos θ(t )ˆi + R sin θ(t )ˆj
~v(t) =
d~r(t)
dt
=
dx(t)
dt
iˆ +
dy(t)
dt
jˆ
Cap´ıtulo 13 - Movimento Perio´dico
Movimento Harmoˆnico Simples(MHS)
Movimento Circular Uniforme(MCU) e as MHS
I Considere uma part´ıcula que descreve um MCU ou
seja ω = dθ(t)
dt
= Constante.
~r(t) = x(t )ˆi + y(t )ˆj
~r(t) = R cos θ(t )ˆi + R sin θ(t )ˆj
~v(t) =
d~r(t)
dt
=
dx(t)
dt
iˆ +
dy(t)
dt
jˆ
~v(t) = −R sin θ(t) dθ(t)
dt
iˆ + R cos θ(t)
dθ(t)
dt
jˆ
Cap´ıtulo 13 - Movimento Perio´dico
Movimento Harmoˆnico Simples(MHS)
Movimento Circular Uniforme(MCU) e as MHS
I Considere uma part´ıcula que descreve um MCU ou
seja ω = dθ(t)
dt
= Constante.
~r(t) = x(t )ˆi + y(t )ˆj
~r(t) = R cos θ(t )ˆi + R sin θ(t )ˆj
~v(t) =
d~r(t)
dt
=
dx(t)
dt
iˆ +
dy(t)
dt
jˆ
~v(t) = −R sin θ(t) dθ(t)
dt
iˆ + R cos θ(t)
dθ(t)
dt
jˆ
~v(t) = −Rω sin θ(t )ˆi + Rω cos θ(t )ˆj
Cap´ıtulo 13 - Movimento Perio´dico
Movimento Harmoˆnico Simples(MHS)
Movimento Circular Uniforme(MCU) e as MHS
I Considere uma part´ıcula que descreve um MCU ou
seja ω = dθ(t)
dt
= Constante.
~r(t) = x(t )ˆi + y(t )ˆj
~r(t) = R cos θ(t )ˆi + R sin θ(t )ˆj
~v(t) =
d~r(t)
dt
=
dx(t)
dt
iˆ +
dy(t)
dt
jˆ
~v(t) = −R sin θ(t) dθ(t)
dt
iˆ + R cos θ(t)
dθ(t)
dt
jˆ
~v(t) = −Rω sin θ(t )ˆi + Rω cos θ(t )ˆj
~a(t) =
d~v(t)
dt
=
dvx (t)
dt
iˆ +
dvy (t)
dt
jˆ
Cap´ıtulo 13 - Movimento Perio´dico
Movimento Harmoˆnico Simples(MHS)
Movimento Circular Uniforme(MCU) e as MHS
~r(t) = x(t )ˆi + y(t )ˆj
~r(t) = R cos θ(t )ˆi + R sin θ(t )ˆj
~v(t) =
d~r(t)
dt
=
dx(t)
dt
iˆ +
dy(t)
dt
jˆ
~v(t) = −R sin θ(t) dθ(t)
dt
iˆ + R cos θ(t)
dθ(t)
dt
jˆ
~v(t) = −Rω sin θ(t )ˆi + Rω cos θ(t )ˆj
~a(t) =
d~v(t)
dt
=
dvx (t)
dt
iˆ +
dvy (t)
dt
jˆ
~a(t) =
d2~r(t)
dt2
= −ω2~r(t)(MHS)
Cap´ıtulo 13 - Movimento Perio´dico
Movimento Harmoˆnico Simples(MHS)
Movimento Circular Uniforme(MCU) e as MHS
~r(t) = x(t )ˆi + y(t )ˆj
~r(t) = R cos θ(t )ˆi + R sin θ(t )ˆj
~v(t) =
d~r(t)
dt
=
dx(t)
dt
iˆ +
dy(t)
dt
jˆ
~v(t) = −R sin θ(t) dθ(t)
dt
iˆ + R cos θ(t)
dθ(t)
dt
jˆ
~v(t) = −Rω sin θ(t )ˆi + Rω cos θ(t )ˆj
~a(t) =
d~v(t)
dt
=
dvx (t)
dt
iˆ +
dvy (t)
dt
jˆ
~a(t) =
d2~r(t)
dt2
= −ω2~r(t)(MHS)
d2x(t)
dt2
= −ω2x(t) ; d
2x(t)
dt2
= −ω2x(t)
Cap´ıtulo 13 - Movimento Perio´dico
Movimento Harmoˆnico Simples(MHS)
Movimento Circular Uniforme(MCU) e as MHS
~r(t) = x(t )ˆi + y(t )ˆj
~r(t) = R cos θ(t )ˆi + R sin θ(t )ˆj
~v(t) =
d~r(t)
dt
=
dx(t)
dt
iˆ +
dy(t)
dt
jˆ~v(t) = −R sin θ(t) dθ(t)
dt
iˆ + R cos θ(t)
dθ(t)
dt
jˆ
~v(t) = −Rω sin θ(t )ˆi + Rω cos θ(t )ˆj
~a(t) =
d~v(t)
dt
=
dvx (t)
dt
iˆ +
dvy (t)
dt
jˆ
~a(t) =
d2~r(t)
dt2
= −ω2~r(t)(MHS)
d2x(t)
dt2
= −ω2x(t) ; d
2x(t)
dt2
= −ω2x(t)
I Da Lei de Hooke obtemos:
d2x(t)
dt2
= − k
m
x(t)
Cap´ıtulo 13 - Movimento Perio´dico
Movimento Harmoˆnico Simples(MHS)
Movimento Circular Uniforme(MCU) e as MHS
~r(t) = x(t )ˆi + y(t )ˆj
~r(t) = R cos θ(t )ˆi + R sin θ(t )ˆj
~v(t) =
d~r(t)
dt
=
dx(t)
dt
iˆ +
dy(t)
dt
jˆ
~v(t) = −R sin θ(t) dθ(t)
dt
iˆ + R cos θ(t)
dθ(t)
dt
jˆ
~v(t) = −Rω sin θ(t )ˆi + Rω cos θ(t )ˆj
~a(t) =
d~v(t)
dt
=
dvx (t)
dt
iˆ +
dvy (t)
dt
jˆ
~a(t) =
d2~r(t)
dt2
= −ω2~r(t)(MHS)
d2x(t)
dt2
= −ω2x(t) ; d
2x(t)
dt2
= −ω2x(t)
ω2 =
k
m
→ ω =
√
k
m
I Da Lei de Hooke obtemos:
d2x(t)
dt2
= − k
m
x(t)
Cap´ıtulo 13 - Movimento Perio´dico
Movimento Harmoˆnico Simples(MHS)
Movimento Circular Uniforme(MCU) e as MHS
~r(t) = x(t )ˆi + y(t )ˆj
~r(t) = R cos θ(t )ˆi + R sin θ(t )ˆj
~v(t) =
d~r(t)
dt
=
dx(t)
dt
iˆ +
dy(t)
dt
jˆ
~v(t) = −R sin θ(t) dθ(t)
dt
iˆ + R cos θ(t)
dθ(t)
dt
jˆ
~v(t) = −Rω sin θ(t )ˆi + Rω cos θ(t )ˆj
~a(t) =
d~v(t)
dt
=
dvx (t)
dt
iˆ +
dvy (t)
dt
jˆ
~a(t) =
d2~r(t)
dt2
= −ω2~r(t)(MHS)
d2x(t)
dt2
= −ω2x(t) ; d
2x(t)
dt2
= −ω2x(t)
ω2 =
k
m
→ ω =
√
k
m
T =
1
f
=
2pi
ω
= 2pi
√
m
k
I Da Lei de Hooke obtemos:
d2x(t)
dt2
= − k
m
x(t)
Cap´ıtulo 13 - Movimento Perio´dico
Movimento Harmoˆnico Simples(MHS)
Movimento Circular Uniforme(MCU) e as MHS
~r(t) = x(t )ˆi + y(t )ˆj
~r(t) = R cos θ(t )ˆi + R sin θ(t )ˆj
~v(t) =
d~r(t)
dt
=
dx(t)
dt
iˆ +
dy(t)
dt
jˆ
~v(t) = −R sin θ(t) dθ(t)
dt
iˆ + R cos θ(t)
dθ(t)
dt
jˆ
~v(t) = −Rω sin θ(t )ˆi + Rω cos θ(t )ˆj
~a(t) =
d~v(t)
dt
=
dvx (t)
dt
iˆ +
dvy (t)
dt
jˆ
~a(t) =
d2~r(t)
dt2
= −ω2~r(t)(MHS)
d2x(t)
dt2
= −ω2x(t) ; d
2x(t)
dt2
= −ω2x(t)
ω2 =
k
m
→ ω =
√
k
m
T =
1
f
=
2pi
ω
= 2pi
√
m
k
I Da Lei de Hooke obtemos:
d2x(t)
dt2
= − k
m
x(t)
f =
ω
2pi
=
1
2pi
√
k
m
Cap´ıtulo 13 - Movimento Perio´dico
Movimento Harmoˆnico Simples(MHS)
Movimento Circular Uniforme(MCU) e as MHS
~r(t) = x(t )ˆi + y(t )ˆj
~r(t) = R cos θ(t )ˆi + R sin θ(t )ˆj
~v(t) =
d~r(t)
dt
=
dx(t)
dt
iˆ +
dy(t)
dt
jˆ
~v(t) = −R sin θ(t) dθ(t)
dt
iˆ + R cos θ(t)
dθ(t)
dt
jˆ
~v(t) = −Rω sin θ(t )ˆi + Rω cos θ(t )ˆj
~a(t) =
d~v(t)
dt
=
dvx (t)
dt
iˆ +
dvy (t)
dt
jˆ
~a(t) =
d2~r(t)
dt2
= −ω2~r(t)(MHS)
d2x(t)
dt2
= −ω2x(t) ; d
2x(t)
dt2
= −ω2x(t)
ω2 =
k
m
→ ω =
√
k
m
T =
1
f
=
2pi
ω
= 2pi
√
m
k
I Da Lei de Hooke obtemos:
d2x(t)
dt2
= − k
m
x(t)
f =
ω
2pi
=
1
2pi
√
k
m
Cap´ıtulo 13 - Movimento Perio´dico
Movimento Harmoˆnico Simples(MHS)
Movimento Circular Uniforme(MCU) e as MHS
~r(t) = x(t )ˆi + y(t )ˆj
~r(t) = R cos θ(t )ˆi + R sin θ(t )ˆj
~v(t) =
d~r(t)
dt
=
dx(t)
dt
iˆ +
dy(t)
dt
jˆ
~v(t) = −R sin θ(t) dθ(t)
dt
iˆ + R cos θ(t)
dθ(t)
dt
jˆ
~v(t) = −Rω sin θ(t )ˆi + Rω cos θ(t )ˆj
~a(t) =
d~v(t)
dt
=
dvx (t)
dt
iˆ +
dvy (t)
dt
jˆ
~a(t) =
d2~r(t)
dt2
= −ω2~r(t)(MHS)
d2x(t)
dt2
= −ω2x(t) ; d
2x(t)
dt2
= −ω2x(t)
ω2 =
k
m
→ ω =
√
k
m
T =
1
f
=
2pi
ω
= 2pi
√
m
k
I Da Lei de Hooke obtemos:
d2x(t)
dt2
= − k
m
x(t)
f =
ω
2pi
=
1
2pi
√
k
m
Cap´ıtulo 13 - Movimento Perio´dico
Movimento Harmoˆnico Simples(MHS)
Movimento Circular Uniforme(MCU) e as MHS
~r(t) = x(t )ˆi + y(t )ˆj
~r(t) = R cos θ(t )ˆi + R sin θ(t )ˆj
~v(t) =
d~r(t)
dt
=
dx(t)
dt
iˆ +
dy(t)
dt
jˆ
~v(t) = −R sin θ(t) dθ(t)
dt
iˆ + R cos θ(t)
dθ(t)
dt
jˆ
~v(t) = −Rω sin θ(t )ˆi + Rω cos θ(t )ˆj
~a(t) =
d~v(t)
dt
=
dvx (t)
dt
iˆ +
dvy (t)
dt
jˆ
~a(t) =
d2~r(t)
dt2
= −ω2~r(t)(MHS)
d2x(t)
dt2
= −ω2x(t) ; d
2x(t)
dt2
= −ω2x(t)
ω2 =
k
m
→ ω =
√
k
m
T =
1
f
=
2pi
ω
= 2pi
√
m
k
I Da Lei de Hooke obtemos:
d2x(t)
dt2
= − k
m
x(t)
f =
ω
2pi
=
1
2pi
√
k
m
Cap´ıtulo 13 - Movimento Perio´dico
Movimento Harmoˆnico Simples(MHS)
Movimento Circular Uniforme(MCU) e as MHS
~r(t) = x(t )ˆi + y(t )ˆj
~r(t) = R cos θ(t )ˆi + R sin θ(t )ˆj
~v(t) =
d~r(t)
dt
=
dx(t)
dt
iˆ +
dy(t)
dt
jˆ
~v(t) = −R sin θ(t) dθ(t)
dt
iˆ + R cos θ(t)
dθ(t)
dt
jˆ
~v(t) = −Rω sin θ(t )ˆi + Rω cos θ(t )ˆj
~a(t) =
d~v(t)
dt
=
dvx (t)
dt
iˆ +
dvy (t)
dt
jˆ
~a(t) =
d2~r(t)
dt2
= −ω2~r(t)(MHS)
d2x(t)
dt2
= −ω2x(t) ; d
2x(t)
dt2
= −ω2x(t)
ω2 =
k
m
→ ω =
√
k
m
T =
1
f
=
2pi
ω
= 2pi
√
m
k
I Da Lei de Hooke obtemos:
d2x(t)
dt2
= − k
m
x(t)
f =
ω
2pi
=
1
2pi
√
k
m
Cap´ıtulo 13 - Movimento Perio´dico
Movimento Harmoˆnico Simples(MHS)
Movimento Circular Uniforme(MCU) e as MHS
~r(t) = x(t )ˆi + y(t )ˆj
~r(t) = R cos θ(t )ˆi + R sin θ(t )ˆj
~v(t) =
d~r(t)
dt
=
dx(t)
dt
iˆ +
dy(t)
dt
jˆ
~v(t) = −R sin θ(t) dθ(t)
dt
iˆ + R cos θ(t)
dθ(t)
dt
jˆ
~v(t) = −Rω sin θ(t )ˆi + Rω cos θ(t )ˆj
~a(t) =
d~v(t)
dt
=
dvx (t)
dt
iˆ +
dvy (t)
dt
jˆ
~a(t) =
d2~r(t)
dt2
= −ω2~r(t)(MHS)
d2x(t)
dt2
= −ω2x(t) ; d
2x(t)
dt2
= −ω2x(t)
ω2 =
k
m
→ ω =
√
k
m
T =
1
f
=
2pi
ω
= 2pi
√
m
k
I Da Lei de Hooke obtemos:
d2x(t)
dt2
= − k
m
x(t)
f =
ω
2pi
=
1
2pi
√
k
m
Cap´ıtulo 13 - Movimento Perio´dico
Movimento Harmoˆnico Simples(MHS)
Deslocamento, velocidade e acelerac¸a˜o no MHS
I Da nossa analogia, ω = dθ(t)
dt
= Const,
d2x(t)
dt2
= − k
m
x(t) = −ω2x(t)
Cap´ıtulo 13 - Movimento Perio´dico
Movimento Harmoˆnico Simples(MHS)
Deslocamento, velocidade e acelerac¸a˜o no MHS
I Da nossa analogia, ω = dθ(t)
dt
= Const,
θ(t) = θ0 + ωt
d2x(t)
dt2
= − k
m
x(t) = −ω2x(t)
x(t) = A cos θ(t)
Cap´ıtulo 13 - Movimento Perio´dico
Movimento Harmoˆnico Simples(MHS)
Deslocamento, velocidade e acelerac¸a˜o no MHS
I Da nossa analogia, ω = dθ(t)
dt
= Const,
θ(t) = θ0 + ωt
x(t) = A cos θ(t) = A cos(ωt + θ0)
Cap´ıtulo 13 - Movimento Perio´dico
Movimento Harmoˆnico Simples(MHS)
Deslocamento, velocidade e acelerac¸a˜o no MHS
I Da nossa analogia, ω = dθ(t)
dt
= Const,
θ(t) = θ0 + ωt
x(t) = A cos θ(t) = A cos(ωt + θ0)
x0 = A cos(θ0)
Cap´ıtulo 13 - Movimento Perio´dico
Movimento Harmoˆnico Simples(MHS)
Deslocamento, velocidade e acelerac¸a˜o no MHS
I Da nossa analogia, ω = dθ(t)
dt
= Const,
θ(t) = θ0 + ωt
x(t) = A cos θ(t) = A cos(ωt + θ0)
x0 = A cos(θ0)
vx (t) =
dx
dt
= −ωA sin(ωt + θ0)
Cap´ıtulo 13 - Movimento Perio´dico
Movimento Harmoˆnico Simples(MHS)
Deslocamento, velocidade e acelerac¸a˜o no MHS
I Da nossa analogia, ω = dθ(t)
dt
= Const,
θ(t) = θ0 + ωt
x(t) = A cos θ(t) = A cos(ωt + θ0)
x0 = A cos(θ0)
vx (t) =
dx
dt
= −ωA sin(ωt + θ0)
v0x = −ωA sin(θ0)
Cap´ıtulo 13 - Movimento Perio´dico
Movimento Harmoˆnico Simples(MHS)
Deslocamento, velocidade e acelerac¸a˜o no MHS
θ(t) = θ0 + ωt
x(t) = A cos θ(t) = A cos(ωt + θ0)
x0 = A cos(θ0)
vx (t) =
dx
dt
= −ωA sin(ωt + θ0)
v0x = −ωA sin(θ0)
ax (t) =
d2x(t)dt2
= −ω2A cos(ωt + θ0)
Cap´ıtulo 13 - Movimento Perio´dico
Movimento Harmoˆnico Simples(MHS)
Deslocamento, velocidade e acelerac¸a˜o no MHS
θ(t) = θ0 + ωt
x(t) = A cos θ(t) = A cos(ωt + θ0)
x0 = A cos(θ0)
vx (t) =
dx
dt
= −ωA sin(ωt + θ0)
v0x = −ωA sin(θ0)
ax (t) =
d2x(t)
dt2
= −ω2A cos(ωt + θ0)
v0x
x0
=
−ωA sin(θ0)
A cos(θ0)
= −ω tan(θ0)
Cap´ıtulo 13 - Movimento Perio´dico
Movimento Harmoˆnico Simples(MHS)
Deslocamento, velocidade e acelerac¸a˜o no MHS
θ(t) = θ0 + ωt
x(t) = A cos θ(t) = A cos(ωt + θ0)
x0 = A cos(θ0)
vx (t) =
dx
dt
= −ωA sin(ωt + θ0)
v0x = −ωA sin(θ0)
ax (t) =
d2x(t)
dt2
= −ω2A cos(ωt + θ0)
v0x
x0
=
−ωA sin(θ0)
A cos(θ0)
= −ω tan(θ0)
θ0 = arctan
(
− v0x
ωx0
)
Cap´ıtulo 13 - Movimento Perio´dico
Movimento Harmoˆnico Simples(MHS)
Deslocamento, velocidade e acelerac¸a˜o no MHS
θ(t) = θ0 + ωt
x(t) = A cos θ(t) = A cos(ωt + θ0)
x0 = A cos(θ0)
vx (t) =
dx
dt
= −ωA sin(ωt + θ0)
v0x = −ωA sin(θ0)
ax (t) =
d2x(t)
dt2
= −ω2A cos(ωt + θ0)
v0x
x0
=
−ωA sin(θ0)
A cos(θ0)
= −ω tan(θ0)
θ0 = arctan
(
− v0x
ωx0
)
A =
√
x20 +
v20x
ω2
Cap´ıtulo 13 - Movimento Perio´dico
Energia no Movimento Harmoˆnico Simples
Energia no Movimento Harmoˆnico Simples
I A energia mecaˆnica e´ dada por,
E =
1
2
mv2x +
1
2
kx2 = Constante
Cap´ıtulo 13 - Movimento Perio´dico
Energia no Movimento Harmoˆnico Simples
Energia no Movimento Harmoˆnico Simples
I A energia mecaˆnica e´ dada por,
E =
1
2
mv2x +
1
2
kx2 = Constante
E =
1
2
m[−ωA sin(ωt + φ)]2 + 1
2
k[A cos(ωt + φ)]2
Cap´ıtulo 13 - Movimento Perio´dico
Energia no Movimento Harmoˆnico Simples
Energia no Movimento Harmoˆnico Simples
I A energia mecaˆnica e´ dada por,
E =
1
2
mv2x +
1
2
kx2 = Constante
E =
1
2
m[−ωA sin(ωt + φ)]2 + 1
2
k[A cos(ωt + φ)]2
E =
1
2
mω2A2 sin2(ωt + φ) +
1
2
kA2 cos2(ωt + φ), k = mω2
Cap´ıtulo 13 - Movimento Perio´dico
Energia no Movimento Harmoˆnico Simples
Energia no Movimento Harmoˆnico Simples
I A energia mecaˆnica e´ dada por,
E =
1
2
mv2x +
1
2
kx2 = Constante
E =
1
2
m[−ωA sin(ωt + φ)]2 + 1
2
k[A cos(ωt + φ)]2
E =
1
2
mω2A2 sin2(ωt + φ) +
1
2
kA2 cos2(ωt + φ), k = mω2
E =
1
2
kA2[sin2(ωt + φ) + cos2(ωt + φ)]
Cap´ıtulo 13 - Movimento Perio´dico
Energia no Movimento Harmoˆnico Simples
Energia no Movimento Harmoˆnico Simples
I A energia mecaˆnica e´ dada por,
E =
1
2
mv2x +
1
2
kx2 = Constante
E =
1
2
m[−ωA sin(ωt + φ)]2 + 1
2
k[A cos(ωt + φ)]2
E =
1
2
mω2A2 sin2(ωt + φ) +
1
2
kA2 cos2(ωt + φ), k = mω2
E =
1
2
kA2[sin2(ωt + φ) + cos2(ωt + φ)]
E =
1
2
kA2 = Constante
Cap´ıtulo 13 - Movimento Perio´dico
Aplicac¸o˜es do Movimento Harmoˆnico Simples
MHS na direc¸a˜o vertical
I Considere uma mola pendurada com constante
ela´stica k e tamanho inicial l .
I Quando uma massa m e´ adicionada, a mola ira´ esticar
e encontrar uma nova posic¸a˜o de equil´ıbrio ∆l .
I No equil´ıbrio a ~FR = 0, logo:
Cap´ıtulo 13 - Movimento Perio´dico
Aplicac¸o˜es do Movimento Harmoˆnico Simples
MHS na direc¸a˜o vertical
I Considere uma mola pendurada com constante
ela´stica k e tamanho inicial l .
I Quando uma massa m e´ adicionada, a mola ira´ esticar
e encontrar uma nova posic¸a˜o de equil´ıbrio ∆l .
I No equil´ıbrio a ~FR = 0, logo:
Cap´ıtulo 13 - Movimento Perio´dico
Aplicac¸o˜es do Movimento Harmoˆnico Simples
MHS na direc¸a˜o vertical
I Considere uma mola pendurada com constante
ela´stica k e tamanho inicial l .
I Quando uma massa m e´ adicionada, a mola ira´ esticar
e encontrar uma nova posic¸a˜o de equil´ıbrio ∆l .
I No equil´ıbrio a ~FR = 0, logo:
~FR = (k∆l −mg )ˆj = 0
Cap´ıtulo 13 - Movimento Perio´dico
Aplicac¸o˜es do Movimento Harmoˆnico Simples
MHS na direc¸a˜o vertical
I Considere uma mola pendurada com constante
ela´stica k e tamanho inicial l .
I Quando uma massa m e´ adicionada, a mola ira´ esticar
e encontrar uma nova posic¸a˜o de equil´ıbrio ∆l .
I No equil´ıbrio a ~FR = 0, logo:
~FR = (k∆l −mg )ˆj = 0
∆l =
mg
k
Cap´ıtulo 13 - Movimento Perio´dico
Aplicac¸o˜es do Movimento Harmoˆnico Simples
MHS na direc¸a˜o vertical
I Considere uma mola pendurada com constante
ela´stica k e tamanho inicial l .
I Quando uma massa m e´ adicionada, a mola ira´ esticar
e encontrar uma nova posic¸a˜o de equil´ıbrio ∆l .
I No equil´ıbrio a ~FR = 0, logo:
~FR = (k∆l −mg )ˆj = 0
∆l =
mg
k
I Fora do equil´ıbrio a ~FR = m~a, logo:
~FR = [k(∆l − y)−mg ]ˆj = may jˆ
Cap´ıtulo 13 - Movimento Perio´dico
Aplicac¸o˜es do Movimento Harmoˆnico Simples
MHS na direc¸a˜o vertical
I Considere uma mola pendurada com constante
ela´stica k e tamanho inicial l .
I Quando uma massa m e´ adicionada, a mola ira´ esticar
e encontrar uma nova posic¸a˜o de equil´ıbrio ∆l .
I No equil´ıbrio a ~FR = 0, logo:
~FR = (k∆l −mg )ˆj = 0
∆l =
mg
k
I Fora do equil´ıbrio a ~FR = m~a, logo:
~FR = [k(∆l − y)−mg ]ˆj = may jˆ
ay =
k∆l −mg
m
− k
m
y
Cap´ıtulo 13 - Movimento Perio´dico
Aplicac¸o˜es do Movimento Harmoˆnico Simples
MHS na direc¸a˜o vertical
I Considere uma mola pendurada com constante
ela´stica k e tamanho inicial l .
I Quando uma massa m e´ adicionada, a mola ira´ esticar
e encontrar uma nova posic¸a˜o de equil´ıbrio ∆l .
I No equil´ıbrio a ~FR = 0, logo:
~FR = (k∆l −mg )ˆj = 0
∆l =
mg
k
I Fora do equil´ıbrio a ~FR = m~a, logo:
~FR = [k(∆l − y)−mg ]ˆj = may jˆ
ay =
k∆l −mg
m
− k
m
y
d2y(t)
dt2
= − k
m
y(t) = −ω2y(t) (MHS)
ω =
√
k
m
I O MHS ocorre em uma nova posic¸a˜o de equil´ıbrio.
y(t) = Ay cos(ωt + θ0)
vy (t) = −ωAy sin(ωt + θ0)
θ0 = arctan
(
− v0y
ωy0
)
Ay =
√
y20 +
v20y
ω2
Cap´ıtulo 13 - Movimento Perio´dico
Aplicac¸o˜es do Movimento Harmoˆnico Simples
MHS na direc¸a˜o vertical
I Considere uma mola pendurada com constante
ela´stica k e tamanho inicial l .
I Quando uma massa m e´ adicionada, a mola ira´ esticar
e encontrar uma nova posic¸a˜o de equil´ıbrio ∆l .
I No equil´ıbrio a ~FR = 0, logo:
~FR = (k∆l −mg )ˆj = 0
∆l =
mg
k
I Fora do equil´ıbrio a ~FR = m~a, logo:
~FR = [k(∆l − y)−mg ]ˆj = may jˆ
ay =
k∆l −mg
m
− k
m
y
d2y(t)
dt2
= − k
m
y(t) = −ω2y(t) (MHS)
ω =
√
k
m
I O MHS ocorre em uma nova posic¸a˜o de equil´ıbrio.
y(t) = Ay cos(ωt + θ0)
vy (t) = −ωAy sin(ωt + θ0)
θ0 = arctan
(
− v0y
ωy0
)
Ay =
√
y20 +
v20y
ω2
Cap´ıtulo 13 - Movimento Perio´dico
Aplicac¸o˜es do Movimento Harmoˆnico Simples
MHS angular
I A mola helicoidal exerce um torque restaurador, τz
proporcional ao aˆngulo θ assim:
Cap´ıtulo 13 - Movimento Perio´dico
Aplicac¸o˜es do Movimento Harmoˆnico Simples
MHS angular
I A mola helicoidal exerce um torque restaurador, τz
proporcional ao aˆngulo θ assim:
τz = −κθ(t)
Cap´ıtulo 13 - Movimento Perio´dico
Aplicac¸o˜es do Movimento Harmoˆnico Simples
MHS angular
I A mola helicoidal exerce um torque restaurador, τz
proporcional ao aˆngulo θ assim:
τz = −κθ(t)
Iz
dωz (t)
dt
= −κθ(t)
Cap´ıtulo 13 - Movimento Perio´dico
Aplicac¸o˜es do Movimento Harmoˆnico Simples
MHS angular
I A mola helicoidal exerce um torque restaurador, τz
proporcional ao aˆngulo θ assim:
τz = −κθ(t)
Iz
dωz (t)
dt
= −κθ(t)
Iz
d2θ(t)
dt2
= −κθ(t)
Cap´ıtulo 13 - Movimento Perio´dico
Aplicac¸o˜es do Movimento Harmoˆnico Simples
MHS angular
I A mola helicoidal exerce um torque restaurador, τz
proporcional ao aˆngulo θ assim:
τz = −κθ(t)Iz
dωz (t)
dt
= −κθ(t)
Iz
d2θ(t)
dt2
= −κθ(t)
d2θ(t)
dt2
= − κ
Iz
θ(t) = −ω2θ(t) (MHS)
Cap´ıtulo 13 - Movimento Perio´dico
Aplicac¸o˜es do Movimento Harmoˆnico Simples
MHS angular
I A mola helicoidal exerce um torque restaurador, τz
proporcional ao aˆngulo θ assim:
τz = −κθ(t)
Iz
dωz (t)
dt
= −κθ(t)
Iz
d2θ(t)
dt2
= −κθ(t)
d2θ(t)
dt2
= − κ
Iz
θ(t) = −ω2θ(t) (MHS)
ω =
√
κ
Iz
I κ e´ a constante de torc¸a˜o e Iz e´ o momento de
ine´rcia no eixo z.
Cap´ıtulo 13 - Movimento Perio´dico
Aplicac¸o˜es do Movimento Harmoˆnico Simples
MHS angular
I A mola helicoidal exerce um torque restaurador, τz
proporcional ao aˆngulo θ assim:
τz = −κθ(t)
Iz
dωz (t)
dt
= −κθ(t)
Iz
d2θ(t)
dt2
= −κθ(t)
d2θ(t)
dt2
= − κ
Iz
θ(t) = −ω2θ(t) (MHS)
ω =
√
κ
Iz
I κ e´ a constante de torc¸a˜o e Iz e´ o momento de
ine´rcia no eixo z.
θ(t) = Aθ cos(ωt + φ0)
ωz (t) = −ωAθ sin(ωt + φ0)
φ0 = arctan
(
− ωz0
ωθ0
)
Aθ =
√
θ20 +
ω2z0
ω2
Cap´ıtulo 13 - Movimento Perio´dico
Aplicac¸o˜es do Movimento Harmoˆnico Simples
Vibrac¸a˜o das mole´culas
I A forc¸a de interac¸a˜o de van der Waals entre dois
a´tomos de uma mole´cula diatoˆmica pode ser escrito
por:
Cap´ıtulo 13 - Movimento Perio´dico
Aplicac¸o˜es do Movimento Harmoˆnico Simples
Vibrac¸a˜o das mole´culas
I A forc¸a de interac¸a˜o de van der Waals entre dois
a´tomos de uma mole´cula diatoˆmica pode ser escrito
por:
U(r) = U0
[(
R0
r
)12
− 2
(
R0
r
)6]
I Onde U0 e´ uma constante com unidade de energia e
R0 e´ a distaˆncia de equil´ıbrio entre os a´tomos.
I U(R0) = −U0, U(r →∞) = 0 e U(r → 0) =∞.
I A forc¸a sore um dos a´tomos e´ obtida por:
~F = −∇U(r) assim:
Cap´ıtulo 13 - Movimento Perio´dico
Aplicac¸o˜es do Movimento Harmoˆnico Simples
Vibrac¸a˜o das mole´culas
I A forc¸a de interac¸a˜o de van der Waals entre dois
a´tomos de uma mole´cula diatoˆmica pode ser escrito
por:
U(r) = U0
[(
R0
r
)12
− 2
(
R0
r
)6]
I Onde U0 e´ uma constante com unidade de energia e
R0 e´ a distaˆncia de equil´ıbrio entre os a´tomos.
I U(R0) = −U0, U(r →∞) = 0 e U(r → 0) =∞.
I A forc¸a sore um dos a´tomos e´ obtida por:
~F = −∇U(r) assim:
Cap´ıtulo 13 - Movimento Perio´dico
Aplicac¸o˜es do Movimento Harmoˆnico Simples
Vibrac¸a˜o das mole´culas
I A forc¸a de interac¸a˜o de van der Waals entre dois
a´tomos de uma mole´cula diatoˆmica pode ser escrito
por:
U(r) = U0
[(
R0
r
)12
− 2
(
R0
r
)6]
I Onde U0 e´ uma constante com unidade de energia e
R0 e´ a distaˆncia de equil´ıbrio entre os a´tomos.
I U(R0) = −U0, U(r →∞) = 0 e U(r → 0) =∞.
I A forc¸a sore um dos a´tomos e´ obtida por:
~F = −∇U(r) assim:
Cap´ıtulo 13 - Movimento Perio´dico
Aplicac¸o˜es do Movimento Harmoˆnico Simples
Vibrac¸a˜o das mole´culas
I A forc¸a de interac¸a˜o de van der Waals entre dois
a´tomos de uma mole´cula diatoˆmica pode ser escrito
por:
U(r) = U0
[(
R0
r
)12
− 2
(
R0
r
)6]
I Onde U0 e´ uma constante com unidade de energia e
R0 e´ a distaˆncia de equil´ıbrio entre os a´tomos.
I U(R0) = −U0, U(r →∞) = 0 e U(r → 0) =∞.
I A forc¸a sore um dos a´tomos e´ obtida por:
~F = −∇U(r) assim:
F (r) = −dU(r)
dr
= U0
[(
12R120
r13
)
− 2
(
6R60
r7
)]
F (r) =
12U0
R0
[(
R0
r
)13
− 2
(
R0
r
)7]
Cap´ıtulo 13 - Movimento Perio´dico
Aplicac¸o˜es do Movimento Harmoˆnico Simples
Vibrac¸a˜o das mole´culas
U(r) = U0
[(
R0
r
)12
− 2
(
R0
r
)6]
F (r) =
12U0
R0
[(
R0
r
)13
− 2
(
R0
r
)7]
I Fazendo r = R0 + x e expandindo em se´rie de Taylor
em torno de x = 0 obtemos que:
U(x) ≈ −U0 + kx
2
2
F (x) ≈ −kx
k =
72U0
R20
Cap´ıtulo 13 - Movimento Perio´dico
Aplicac¸o˜es do Movimento Harmoˆnico Simples
Vibrac¸a˜o das mole´culas
U(r) = U0
[(
R0
r
)12
− 2
(
R0
r
)6]
F (r) =
12U0
R0
[(
R0
r
)13
− 2
(
R0
r
)7]
I Fazendo r = R0 + x e expandindo em se´rie de Taylor
em torno de x = 0 obtemos que:
U(x) ≈ −U0 + kx
2
2
F (x) ≈ −kx
k =
72U0
R20
d2x(t)
dt2
≈ − k
m
x(t) = −ω2x(t) (MHS)
ω =
√
k
m
=
√
72U0
mR20
Cap´ıtulo 13 - Movimento Perio´dico
O Peˆndulo Simples
O Peˆndulo Simples
I Um peˆndulo real pode ser, por exemplo, uma crianc¸a
brincando em um balanc¸o.
I Um peˆndulo simples e´ uma massa m pontual presa
por um fio de comprimento L sem massa.
I A forc¸a restauradora e´ a componente da forc¸a peso
dada por:
Cap´ıtulo 13 - Movimento Perio´dico
O Peˆndulo Simples
O Peˆndulo Simples
I Um peˆndulo real pode ser, por exemplo, uma crianc¸a
brincando em um balanc¸o.
I Um peˆndulo simples e´ uma massa m pontual presa
por um fio de comprimento L sem massa.
I A forc¸a restauradora e´ a componente da forc¸a peso
dada por:
Cap´ıtulo 13 - Movimento Perio´dico
O Peˆndulo Simples
O Peˆndulo Simples
I Um peˆndulo real pode ser, por exemplo, uma crianc¸a
brincando em um balanc¸o.
I Um peˆndulo simples e´ uma massa m pontual presa
por um fio de comprimento L sem massa.
I A forc¸a restauradora e´ a componente da forc¸a peso
dada por:
Fx = m
d2x(t)
dt2
= −mg sin θ(t)
Cap´ıtulo 13 - Movimento Perio´dico
O Peˆndulo Simples
O Peˆndulo Simples
I Um peˆndulo real pode ser, por exemplo, uma crianc¸a
brincando em um balanc¸o.
I Um peˆndulo simples e´ uma massa m pontual presa
por um fio de comprimento L sem massa.
I A forc¸a restauradora e´ a componente da forc¸a peso
dada por:
Fx = m
d2x(t)
dt2
= −mg sin θ(t)
dx(t) = Ldθ(t)
Cap´ıtulo 13 - Movimento Perio´dico
O Peˆndulo Simples
O Peˆndulo Simples
I Um peˆndulo real pode ser, por exemplo, uma crianc¸a
brincando em um balanc¸o.
I Um peˆndulo simples e´ uma massa m pontual presa
por um fio de comprimento L sem massa.
I A forc¸a restauradora e´ a componente da forc¸a peso
dada por:
Fx = m
d2x(t)
dt2
= −mg sin θ(t)
dx(t) = Ldθ(t)
d2θ(t)
dt2
= −g
L
sin θ(t)
Cap´ıtulo 13 - Movimento Perio´dico
O Peˆndulo Simples
O Peˆndulo Simples
I Um peˆndulo real pode ser, por exemplo, uma crianc¸a
brincando em um balanc¸o.
I Um peˆndulo simples e´ uma massa m pontual presa
por um fio de comprimento L sem massa.
I A forc¸a restauradora e´ a componente da forc¸a peso
dada por:
Fx = m
d2x(t)
dt2
= −mg sin θ(t)
dx(t) = Ldθ(t)
d2θ(t)
dt2
= −g
L
sin θ(t)
I Para pequenos valores do aˆngulo inicial, θ0 ≤ 100,
sin θ(t) ≈ θ(t) assim,
d2θ(t)
dt2
≈ −g
L
θ(t) = −ω2θ(t)
Cap´ıtulo 13 - Movimento Perio´dico
O Peˆndulo Simples
O Peˆndulo Simples
I Um peˆndulo real pode ser, por exemplo, uma crianc¸a
brincando em um balanc¸o.
I Um peˆndulo simples e´ uma massa m pontual presa
por um fio de comprimento L sem massa.
I A forc¸a restauradora e´ a componente da forc¸a peso
dada por:
Fx = m
d2x(t)
dt2
= −mg sin θ(t)
dx(t) = Ldθ(t)
d2θ(t)
dt2
= −g
L
sin θ(t)
I Para pequenos valores do aˆngulo inicial, θ0 ≤ 100,
sin θ(t) ≈ θ(t) assim,
d2θ(t)
dt2
≈ −g
L
θ(t) = −ω2θ(t)
ω =
√
g
L
T =
2pi
ω
=
1
f
= 2pi
√
L
g
Cap´ıtulo 13 - Movimento Perio´dico
O Peˆndulo Simples
O Peˆndulo Simples
I Um peˆndulo real pode ser, por exemplo, uma crianc¸a
brincando em um balanc¸o.
I Um peˆndulo simples e´ uma massa m pontual presa
por um fio de comprimento L sem massa.
I A forc¸a restauradora e´ a componente da forc¸a peso
dada por:
Fx = m
d2x(t)
dt2
= −mg sin θ(t)
dx(t) = Ldθ(t)
d2θ(t)
dt2
= −g
L
sin θ(t)
I Para pequenos valores do aˆngulo inicial, θ0 ≤ 100,
sin θ(t) ≈ θ(t) assim,
d2θ(t)
dt2
≈ −g
L
θ(t)= −ω2θ(t)
ω =
√
g
L
T =
2pi
ω
=
1
f
= 2pi
√
L
g
T = 2pi
√
L
g
[
1 +
12
22
sin2
(
θ0
2
)
+
12
22
32
42
sin4
(
θ0
2
)
+ ...
]
Cap´ıtulo 13 - Movimento Perio´dico
O Peˆndulo F´ısico
O Peˆndulo F´ısico
I Um peˆndulo f´ısico e´ um corpo r´ıgido(irregular) de
massa m, na qual o centro de gravidade(CG) esta´ a´
uma distaˆncia dcg do ponto de giro.
I No corpo aparecera´ um torque restaurador dado por:
Cap´ıtulo 13 - Movimento Perio´dico
O Peˆndulo F´ısico
O Peˆndulo F´ısico
I Um peˆndulo f´ısico e´ um corpo r´ıgido(irregular) de
massa m, na qual o centro de gravidade(CG) esta´ a´
uma distaˆncia dcg do ponto de giro.
I No corpo aparecera´ um torque restaurador dado por:
Cap´ıtulo 13 - Movimento Perio´dico
O Peˆndulo F´ısico
O Peˆndulo F´ısico
I Um peˆndulo f´ısico e´ um corpo r´ıgido(irregular) de
massa m, na qual o centro de gravidade(CG) esta´ a´
uma distaˆncia dcg do ponto de giro.
I No corpo aparecera´ um torque restaurador dado por:
~τ = ~dcg × (m~g)
Cap´ıtulo 13 - Movimento Perio´dico
O Peˆndulo F´ısico
O Peˆndulo F´ısico
I Um peˆndulo f´ısico e´ um corpo r´ıgido(irregular) de
massa m, na qual o centro de gravidade(CG) esta´ a´
uma distaˆncia dcg do ponto de giro.
I No corpo aparecera´ um torque restaurador dado por:
~τ = ~dcg × (m~g)
~τ = dcg [sin(θ)ˆi − cos(θ)ˆj]× (−mgjˆ)
Cap´ıtulo 13 - Movimento Perio´dico
O Peˆndulo F´ısico
O Peˆndulo F´ısico
I Um peˆndulo f´ısico e´ um corpo r´ıgido(irregular) de
massa m, na qual o centro de gravidade(CG) esta´ a´
uma distaˆncia dcg do ponto de giro.
I No corpo aparecera´ um torque restaurador dado por:
~τ = ~dcg × (m~g)
~τ = dcg [sin(θ)ˆi − cos(θ)ˆj]× (−mgjˆ)
~τ = −mgdcg sin θ(t)kˆ = Iz d
2θ(t)
dt2
kˆ
Cap´ıtulo 13 - Movimento Perio´dico
O Peˆndulo F´ısico
O Peˆndulo F´ısico
I Um peˆndulo f´ısico e´ um corpo r´ıgido(irregular) de
massa m, na qual o centro de gravidade(CG) esta´ a´
uma distaˆncia dcg do ponto de giro.
I No corpo aparecera´ um torque restaurador dado por:
~τ = ~dcg × (m~g)
~τ = dcg [sin(θ)ˆi − cos(θ)ˆj]× (−mgjˆ)
~τ = −mgdcg sin θ(t)kˆ = Iz d
2θ(t)
dt2
kˆ
I Para pequenos valores do aˆngulo inicial, θ0 ≤ 100,
sin θ(t) ≈ θ(t) assim,
d2θ(t)
dt2
≈ −mgdcg
Iz
θ(t)
Cap´ıtulo 13 - Movimento Perio´dico
O Peˆndulo F´ısico
O Peˆndulo F´ısico
~τ = ~dcg × (m~g)
~τ = dcg [sin(θ)ˆi − cos(θ)ˆj]× (−mgjˆ)
~τ = −mgdcg sin θ(t)kˆ = Iz d
2θ(t)
dt2
kˆ
I Para pequenos valores do aˆngulo inicial, θ0 ≤ 100,
sin θ(t) ≈ θ(t) assim,
d2θ(t)
dt2
≈ −mgdcg
Iz
θ(t)
ω =
√
mgdcg
Iz
T =
2pi
ω
=
1
f
= 2pi
√
Iz
mgdcg
Cap´ıtulo 13 - Movimento Perio´dico
Oscilac¸o˜es Amortecidas
Nu´meros Complexos
I Um nu´mero complexo e´ um nu´mero z que pode ser
escrito na forma, Z = x + iy .
I Onde x e y sa˜o nu´meros reais chamados de parte real
e parte imagina´ria de Z .
I A letra i e´ um numero imagina´rio puro, que tem a
propriedade i2 = −1 ou i = √−1.
I Um nu´mero complexo Z e´ representado no plano
complexo como mostrado na figura.
I Forma retangular ou cartesiana:Z = (x , y) = x + iy .
I Forma polar:Z = |Z |(cos θ + i sin θ), onde
|Z | = r =
√
x2 + y2.
I θ, e´ o aˆngulo entre a semi-reta OZ , e o semi-eixo real,
chamado de argumento do nu´mero complexo Z e
denotado por arg(Z).
I Da identidade e iθ = cos θ + i sin θ, a forma polar e´
equivalente a, Z = re iθ.
Cap´ıtulo 13 - Movimento Perio´dico
Oscilac¸o˜es Amortecidas
Nu´meros Complexos
I Um nu´mero complexo e´ um nu´mero z que pode ser
escrito na forma, Z = x + iy .
I Onde x e y sa˜o nu´meros reais chamados de parte real
e parte imagina´ria de Z .
I A letra i e´ um numero imagina´rio puro, que tem a
propriedade i2 = −1 ou i = √−1.
I Um nu´mero complexo Z e´ representado no plano
complexo como mostrado na figura.
I Forma retangular ou cartesiana:Z = (x , y) = x + iy .
I Forma polar:Z = |Z |(cos θ + i sin θ), onde
|Z | = r =
√
x2 + y2.
I θ, e´ o aˆngulo entre a semi-reta OZ , e o semi-eixo real,
chamado de argumento do nu´mero complexo Z e
denotado por arg(Z).
I Da identidade e iθ = cos θ + i sin θ, a forma polar e´
equivalente a, Z = re iθ.
Cap´ıtulo 13 - Movimento Perio´dico
Oscilac¸o˜es Amortecidas
Nu´meros Complexos
I Um nu´mero complexo e´ um nu´mero z que pode ser
escrito na forma, Z = x + iy .
I Onde x e y sa˜o nu´meros reais chamados de parte real
e parte imagina´ria de Z .
I A letra i e´ um numero imagina´rio puro, que tem a
propriedade i2 = −1 ou i = √−1.
I Um nu´mero complexo Z e´ representado no plano
complexo como mostrado na figura.
I Forma retangular ou cartesiana:Z = (x , y) = x + iy .
I Forma polar:Z = |Z |(cos θ + i sin θ), onde
|Z | = r =
√
x2 + y2.
I θ, e´ o aˆngulo entre a semi-reta OZ , e o semi-eixo real,
chamado de argumento do nu´mero complexo Z e
denotado por arg(Z).
I Da identidade e iθ = cos θ + i sin θ, a forma polar e´
equivalente a, Z = re iθ.
Cap´ıtulo 13 - Movimento Perio´dico
Oscilac¸o˜es Amortecidas
Nu´meros Complexos
I Um nu´mero complexo e´ um nu´mero z que pode ser
escrito na forma, Z = x + iy .
I Onde x e y sa˜o nu´meros reais chamados de parte real
e parte imagina´ria de Z .
I A letra i e´ um numero imagina´rio puro, que tem a
propriedade i2 = −1 ou i = √−1.
I Um nu´mero complexo Z e´ representado no plano
complexo como mostrado na figura.
I Forma retangular ou cartesiana:Z = (x , y) = x + iy .
I Forma polar:Z = |Z |(cos θ + i sin θ), onde
|Z | = r =
√
x2 + y2.
I θ, e´ o aˆngulo entre a semi-reta OZ , e o semi-eixo real,
chamado de argumento do nu´mero complexo Z e
denotado por arg(Z).
I Da identidade e iθ = cos θ + i sin θ, a forma polar e´
equivalente a, Z = re iθ.
Cap´ıtulo 13 - Movimento Perio´dico
Oscilac¸o˜es Amortecidas
Nu´meros Complexos
I Um nu´mero complexo e´ um nu´mero z que pode ser
escrito na forma, Z = x + iy .
I Onde x e y sa˜o nu´meros reais chamados de parte real
e parte imagina´ria de Z .
I A letra i e´ um numero imagina´rio puro, que tem a
propriedade i2 = −1 ou i = √−1.
I Um nu´mero complexo Z e´ representado no plano
complexo como mostrado na figura.
I Forma retangular ou cartesiana:Z = (x , y) = x + iy .
I Forma polar:Z = |Z |(cos θ + i sin θ), onde
|Z | = r =
√
x2 + y2.
I θ, e´ o aˆngulo entre a semi-reta OZ , e o semi-eixo real,
chamado de argumento do nu´mero complexo Z e
denotado por arg(Z).
I Da identidade e iθ = cos θ + i sin θ, a forma polar e´
equivalente a, Z = re iθ.
Cap´ıtulo 13 - Movimento Perio´dico
Oscilac¸o˜es Amortecidas
Nu´meros Complexos
I Um nu´mero complexo e´ um nu´mero z que pode ser
escrito na forma, Z = x + iy .
I Onde x e y sa˜o nu´meros reais chamados de parte real
e parte imagina´ria de Z .
I A letra i e´ um numero imagina´rio puro, que tem a
propriedade i2 = −1 ou i = √−1.
I Um nu´mero complexo Z e´ representado no plano
complexo como mostrado na figura.
I Forma retangular ou cartesiana:Z = (x , y) = x + iy .
I Forma polar:Z = |Z |(cos θ + i sin θ), onde
|Z | = r =
√
x2 + y2.
I θ, e´ o aˆngulo entre a semi-reta OZ , e o semi-eixo real,
chamado de argumento do nu´mero complexo Z e
denotado por arg(Z).
I Da identidade e iθ = cos θ + i sin θ, a forma polar e´
equivalente a, Z = re iθ.
Cap´ıtulo 13 - Movimento Perio´dico
Oscilac¸o˜es Amortecidas
Nu´meros Complexos
I Um nu´mero complexo e´ um nu´mero z que pode ser
escrito na forma, Z = x + iy .
I Onde x e y sa˜o nu´meros reais chamados de parte real
e parte imagina´ria de Z .
I A letra i e´ um numero imagina´rio puro, que tem a
propriedade i2 = −1 ou i = √−1.
I Um nu´mero complexo Z e´ representado no plano
complexo como mostrado na figura.
I Forma retangular ou cartesiana:Z= (x , y) = x + iy .
I Forma polar:Z = |Z |(cos θ + i sin θ), onde
|Z | = r =
√
x2 + y2.
I θ, e´ o aˆngulo entre a semi-reta OZ , e o semi-eixo real,
chamado de argumento do nu´mero complexo Z e
denotado por arg(Z).
I Da identidade e iθ = cos θ + i sin θ, a forma polar e´
equivalente a, Z = re iθ.
Cap´ıtulo 13 - Movimento Perio´dico
Oscilac¸o˜es Amortecidas
Nu´meros Complexos
I Um nu´mero complexo e´ um nu´mero z que pode ser
escrito na forma, Z = x + iy .
I Onde x e y sa˜o nu´meros reais chamados de parte real
e parte imagina´ria de Z .
I A letra i e´ um numero imagina´rio puro, que tem a
propriedade i2 = −1 ou i = √−1.
I Um nu´mero complexo Z e´ representado no plano
complexo como mostrado na figura.
I Forma retangular ou cartesiana:Z = (x , y) = x + iy .
I Forma polar:Z = |Z |(cos θ + i sin θ), onde
|Z | = r =
√
x2 + y2.
I θ, e´ o aˆngulo entre a semi-reta OZ , e o semi-eixo real,
chamado de argumento do nu´mero complexo Z e
denotado por arg(Z).
I Da identidade e iθ = cos θ + i sin θ, a forma polar e´
equivalente a, Z = re iθ.
Cap´ıtulo 13 - Movimento Perio´dico
Oscilac¸o˜es Amortecidas
Operac¸o˜es elementares com nu´meros complexos
I Sejam z = a + ib, e w = c + id enta˜o:
I Identidade: z = w , se e somente se
a = c, e b = d .
I Soma: z + w = w + z =
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i .
I Produto: zw = wz = (a + bi)(c + di) =
(ac − bd) + (bc + ad)i .
I Conjugado: z = z∗ = a− bi , onde z
denota o conjugado de z.
I Produto de um Complexo por seu
Conjugado: zz = (a + bi)(a− bi) =
a2 − abi + abi − b2i2 = a2 + b2.
I Mo´dulo: |z| = r = √a2 + b2 = √zz.
I Inverso multiplicativo (para z 6= 0):
1
z
= 1
a+bi
= a−bi
(a+bi)(a−bi) =
a−bi
a2+b2
= z|z|2 .
Cap´ıtulo 13 - Movimento Perio´dico
Oscilac¸o˜es Amortecidas
Operac¸o˜es elementares com nu´meros complexos
I Sejam z = a + ib, e w = c + id enta˜o:
I Identidade: z = w , se e somente se
a = c, e b = d .
I Soma: z + w = w + z =
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i .
I Produto: zw = wz = (a + bi)(c + di) =
(ac − bd) + (bc + ad)i .
I Conjugado: z = z∗ = a− bi , onde z
denota o conjugado de z.
I Produto de um Complexo por seu
Conjugado: zz = (a + bi)(a− bi) =
a2 − abi + abi − b2i2 = a2 + b2.
I Mo´dulo: |z| = r = √a2 + b2 = √zz.
I Inverso multiplicativo (para z 6= 0):
1
z
= 1
a+bi
= a−bi
(a+bi)(a−bi) =
a−bi
a2+b2
= z|z|2 .
Cap´ıtulo 13 - Movimento Perio´dico
Oscilac¸o˜es Amortecidas
Operac¸o˜es elementares com nu´meros complexos
I Sejam z = a + ib, e w = c + id enta˜o:
I Identidade: z = w , se e somente se
a = c, e b = d .
I Soma: z + w = w + z =
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i .
I Produto: zw = wz = (a + bi)(c + di) =
(ac − bd) + (bc + ad)i .
I Conjugado: z = z∗ = a− bi , onde z
denota o conjugado de z.
I Produto de um Complexo por seu
Conjugado: zz = (a + bi)(a− bi) =
a2 − abi + abi − b2i2 = a2 + b2.
I Mo´dulo: |z| = r = √a2 + b2 = √zz.
I Inverso multiplicativo (para z 6= 0):
1
z
= 1
a+bi
= a−bi
(a+bi)(a−bi) =
a−bi
a2+b2
= z|z|2 .
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Operac¸o˜es elementares com nu´meros complexos
I Sejam z = a + ib, e w = c + id enta˜o:
I Identidade: z = w , se e somente se
a = c, e b = d .
I Soma: z + w = w + z =
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i .
I Produto: zw = wz = (a + bi)(c + di) =
(ac − bd) + (bc + ad)i .
I Conjugado: z = z∗ = a− bi , onde z
denota o conjugado de z.
I Produto de um Complexo por seu
Conjugado: zz = (a + bi)(a− bi) =
a2 − abi + abi − b2i2 = a2 + b2.
I Mo´dulo: |z| = r = √a2 + b2 = √zz.
I Inverso multiplicativo (para z 6= 0):
1
z
= 1
a+bi
= a−bi
(a+bi)(a−bi) =
a−bi
a2+b2
= z|z|2 .
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Operac¸o˜es elementares com nu´meros complexos
I Sejam z = a + ib, e w = c + id enta˜o:
I Identidade: z = w , se e somente se
a = c, e b = d .
I Soma: z + w = w + z =
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i .
I Produto: zw = wz = (a + bi)(c + di) =
(ac − bd) + (bc + ad)i .
I Conjugado: z = z∗ = a− bi , onde z
denota o conjugado de z.
I Produto de um Complexo por seu
Conjugado: zz = (a + bi)(a− bi) =
a2 − abi + abi − b2i2 = a2 + b2.
I Mo´dulo: |z| = r = √a2 + b2 = √zz.
I Inverso multiplicativo (para z 6= 0):
1
z
= 1
a+bi
= a−bi
(a+bi)(a−bi) =
a−bi
a2+b2
= z|z|2 .
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Operac¸o˜es elementares com nu´meros complexos
I Sejam z = a + ib, e w = c + id enta˜o:
I Identidade: z = w , se e somente se
a = c, e b = d .
I Soma: z + w = w + z =
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i .
I Produto: zw = wz = (a + bi)(c + di) =
(ac − bd) + (bc + ad)i .
I Conjugado: z = z∗ = a− bi , onde z
denota o conjugado de z.
I Produto de um Complexo por seu
Conjugado: zz = (a + bi)(a− bi) =
a2 − abi + abi − b2i2 = a2 + b2.
I Mo´dulo: |z| = r = √a2 + b2 = √zz.
I Inverso multiplicativo (para z 6= 0):
1
z
= 1
a+bi
= a−bi
(a+bi)(a−bi) =
a−bi
a2+b2
= z|z|2 .
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Oscilac¸o˜es Amortecidas
Operac¸o˜es elementares com nu´meros complexos
I Sejam z = a + ib, e w = c + id enta˜o:
I Identidade: z = w , se e somente se
a = c, e b = d .
I Soma: z + w = w + z =
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i .
I Produto: zw = wz = (a + bi)(c + di) =
(ac − bd) + (bc + ad)i .
I Conjugado: z = z∗ = a− bi , onde z
denota o conjugado de z.
I Produto de um Complexo por seu
Conjugado: zz = (a + bi)(a− bi) =
a2 − abi + abi − b2i2 = a2 + b2.
I Mo´dulo: |z| = r = √a2 + b2 = √zz.
I Inverso multiplicativo (para z 6= 0):
1
z
= 1
a+bi
= a−bi
(a+bi)(a−bi) =
a−bi
a2+b2
= z|z|2 .
Cap´ıtulo 13 - Movimento Perio´dico
Oscilac¸o˜es Amortecidas
Operac¸o˜es elementares com nu´meros complexos
I Sejam z = a + ib, e w = c + id enta˜o:
I Identidade: z = w , se e somente se
a = c, e b = d .
I Soma: z + w = w + z =
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i .
I Produto: zw = wz = (a + bi)(c + di) =
(ac − bd) + (bc + ad)i .
I Conjugado: z = z∗ = a− bi , onde z
denota o conjugado de z.
I Produto de um Complexo por seu
Conjugado: zz = (a + bi)(a− bi) =
a2 − abi + abi − b2i2 = a2 + b2.
I Mo´dulo: |z| = r = √a2 + b2 = √zz.
I Inverso multiplicativo (para z 6= 0):
1
z
= 1
a+bi
= a−bi
(a+bi)(a−bi) =
a−bi
a2+b2
= z|z|2 .
Cap´ıtulo 13 - Movimento Perio´dico
Oscilac¸o˜es Amortecidas
Operac¸o˜es elementares com nu´meros complexos
I Sejam z = a + ib, e w = c + id enta˜o:
I Identidade: z = w , se e somente se
a = c, e b = d .
I Soma: z + w = w + z =
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i .
I Produto: zw = wz = (a + bi)(c + di) =
(ac − bd) + (bc + ad)i .
I Conjugado: z = z∗ = a− bi , onde z
denota o conjugado de z.
I Produto de um Complexo por seu
Conjugado: zz = (a + bi)(a− bi) =
a2 − abi + abi − b2i2 = a2 + b2.
I Mo´dulo: |z| = r = √a2 + b2 = √zz.
I Inverso multiplicativo (para z 6= 0):
1
z
= 1
a+bi
= a−bi
(a+bi)(a−bi) =
a−bi
a2+b2
= z|z|2 .
I Operac¸o˜es na forma polar:
I z = a + bi = r(cosϕ+ i sinϕ) = re iϕ.
I Produto:
zw = r1e iϕ1 r2e iϕ2 = r1r2e i(ϕ1+ϕ2).
I Inverso multiplicativo (z 6= 0):
1
z
= 1
r1e
iϕ1
= e
−i(ϕ1)
r1
.
I Divisa˜o: z
w
= r1e
iϕ1
r2e
iϕ2
= r1
r2
e i(ϕ1−ϕ2).
I Potenciac¸a˜o: zn =
(
r1e iϕ1
)n
= rn1 e
inϕ1 ,
n = 0, 1, 2, 3, . . ..
I Conjugado: z = r1e−iϕ1 .
I A produto de um nu´mero complexo pelo
seu conjugado e´:
I zz = r1e iϕ1 r1e−iϕ1 = r21 e iϕ1−iϕ1 = r21 .
Cap´ıtulo 13 - Movimento Perio´dico
Oscilac¸o˜es Amortecidas
Operac¸o˜es elementares com nu´meros complexos
I Sejam z = a + ib, e w = c + id enta˜o:
I Identidade: z = w , se e somente sea = c, e b = d .
I Soma: z + w = w + z =
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i .
I Produto: zw = wz = (a + bi)(c + di) =
(ac − bd) + (bc + ad)i .
I Conjugado: z = z∗ = a− bi , onde z
denota o conjugado de z.
I Produto de um Complexo por seu
Conjugado: zz = (a + bi)(a− bi) =
a2 − abi + abi − b2i2 = a2 + b2.
I Mo´dulo: |z| = r = √a2 + b2 = √zz.
I Inverso multiplicativo (para z 6= 0):
1
z
= 1
a+bi
= a−bi
(a+bi)(a−bi) =
a−bi
a2+b2
= z|z|2 .
I Operac¸o˜es na forma polar:
I z = a + bi = r(cosϕ+ i sinϕ) = re iϕ.
I Produto:
zw = r1e iϕ1 r2e iϕ2 = r1r2e i(ϕ1+ϕ2).
I Inverso multiplicativo (z 6= 0):
1
z
= 1
r1e
iϕ1
= e
−i(ϕ1)
r1
.
I Divisa˜o: z
w
= r1e
iϕ1
r2e
iϕ2
= r1
r2
e i(ϕ1−ϕ2).
I Potenciac¸a˜o: zn =
(
r1e iϕ1
)n
= rn1 e
inϕ1 ,
n = 0, 1, 2, 3, . . ..
I Conjugado: z = r1e−iϕ1 .
I A produto de um nu´mero complexo pelo
seu conjugado e´:
I zz = r1e iϕ1 r1e−iϕ1 = r21 e iϕ1−iϕ1 = r21 .
Cap´ıtulo 13 - Movimento Perio´dico
Oscilac¸o˜es Amortecidas
Operac¸o˜es elementares com nu´meros complexos
I Sejam z = a + ib, e w = c + id enta˜o:
I Identidade: z = w , se e somente se
a = c, e b = d .
I Soma: z + w = w + z =
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i .
I Produto: zw = wz = (a + bi)(c + di) =
(ac − bd) + (bc + ad)i .
I Conjugado: z = z∗ = a− bi , onde z
denota o conjugado de z.
I Produto de um Complexo por seu
Conjugado: zz = (a + bi)(a− bi) =
a2 − abi + abi − b2i2 = a2 + b2.
I Mo´dulo: |z| = r = √a2 + b2 = √zz.
I Inverso multiplicativo (para z 6= 0):
1
z
= 1
a+bi
= a−bi
(a+bi)(a−bi) =
a−bi
a2+b2
= z|z|2 .
I Operac¸o˜es na forma polar:
I z = a + bi = r(cosϕ+ i sinϕ) = re iϕ.
I Produto:
zw = r1e iϕ1 r2e iϕ2 = r1r2e i(ϕ1+ϕ2).
I Inverso multiplicativo (z 6= 0):
1
z
= 1
r1e
iϕ1
= e
−i(ϕ1)
r1
.
I Divisa˜o: z
w
= r1e
iϕ1
r2e
iϕ2
= r1
r2
e i(ϕ1−ϕ2).
I Potenciac¸a˜o: zn =
(
r1e iϕ1
)n
= rn1 e
inϕ1 ,
n = 0, 1, 2, 3, . . ..
I Conjugado: z = r1e−iϕ1 .
I A produto de um nu´mero complexo pelo
seu conjugado e´:
I zz = r1e iϕ1 r1e−iϕ1 = r21 e iϕ1−iϕ1 = r21 .
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Operac¸o˜es elementares com nu´meros complexos
I Sejam z = a + ib, e w = c + id enta˜o:
I Identidade: z = w , se e somente se
a = c, e b = d .
I Soma: z + w = w + z =
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i .
I Produto: zw = wz = (a + bi)(c + di) =
(ac − bd) + (bc + ad)i .
I Conjugado: z = z∗ = a− bi , onde z
denota o conjugado de z.
I Produto de um Complexo por seu
Conjugado: zz = (a + bi)(a− bi) =
a2 − abi + abi − b2i2 = a2 + b2.
I Mo´dulo: |z| = r = √a2 + b2 = √zz.
I Inverso multiplicativo (para z 6= 0):
1
z
= 1
a+bi
= a−bi
(a+bi)(a−bi) =
a−bi
a2+b2
= z|z|2 .
I Operac¸o˜es na forma polar:
I z = a + bi = r(cosϕ+ i sinϕ) = re iϕ.
I Produto:
zw = r1e iϕ1 r2e iϕ2 = r1r2e i(ϕ1+ϕ2).
I Inverso multiplicativo (z 6= 0):
1
z
= 1
r1e
iϕ1
= e
−i(ϕ1)
r1
.
I Divisa˜o: z
w
= r1e
iϕ1
r2e
iϕ2
= r1
r2
e i(ϕ1−ϕ2).
I Potenciac¸a˜o: zn =
(
r1e iϕ1
)n
= rn1 e
inϕ1 ,
n = 0, 1, 2, 3, . . ..
I Conjugado: z = r1e−iϕ1 .
I A produto de um nu´mero complexo pelo
seu conjugado e´:
I zz = r1e iϕ1 r1e−iϕ1 = r21 e iϕ1−iϕ1 = r21 .
Cap´ıtulo 13 - Movimento Perio´dico
Oscilac¸o˜es Amortecidas
Operac¸o˜es elementares com nu´meros complexos
I Sejam z = a + ib, e w = c + id enta˜o:
I Identidade: z = w , se e somente se
a = c, e b = d .
I Soma: z + w = w + z =
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i .
I Produto: zw = wz = (a + bi)(c + di) =
(ac − bd) + (bc + ad)i .
I Conjugado: z = z∗ = a− bi , onde z
denota o conjugado de z.
I Produto de um Complexo por seu
Conjugado: zz = (a + bi)(a− bi) =
a2 − abi + abi − b2i2 = a2 + b2.
I Mo´dulo: |z| = r = √a2 + b2 = √zz.
I Inverso multiplicativo (para z 6= 0):
1
z
= 1
a+bi
= a−bi
(a+bi)(a−bi) =
a−bi
a2+b2
= z|z|2 .
I Operac¸o˜es na forma polar:
I z = a + bi = r(cosϕ+ i sinϕ) = re iϕ.
I Produto:
zw = r1e iϕ1 r2e iϕ2 = r1r2e i(ϕ1+ϕ2).
I Inverso multiplicativo (z 6= 0):
1
z
= 1
r1e
iϕ1
= e
−i(ϕ1)
r1
.
I Divisa˜o: z
w
= r1e
iϕ1
r2e
iϕ2
= r1
r2
e i(ϕ1−ϕ2).
I Potenciac¸a˜o: zn =
(
r1e iϕ1
)n
= rn1 e
inϕ1 ,
n = 0, 1, 2, 3, . . ..
I Conjugado: z = r1e−iϕ1 .
I A produto de um nu´mero complexo pelo
seu conjugado e´:
I zz = r1e iϕ1 r1e−iϕ1 = r21 e iϕ1−iϕ1 = r21 .
Cap´ıtulo 13 - Movimento Perio´dico
Oscilac¸o˜es Amortecidas
Operac¸o˜es elementares com nu´meros complexos
I Sejam z = a + ib, e w = c + id enta˜o:
I Identidade: z = w , se e somente se
a = c, e b = d .
I Soma: z + w = w + z =
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i .
I Produto: zw = wz = (a + bi)(c + di) =
(ac − bd) + (bc + ad)i .
I Conjugado: z = z∗ = a− bi , onde z
denota o conjugado de z.
I Produto de um Complexo por seu
Conjugado: zz = (a + bi)(a− bi) =
a2 − abi + abi − b2i2 = a2 + b2.
I Mo´dulo: |z| = r = √a2 + b2 = √zz.
I Inverso multiplicativo (para z 6= 0):
1
z
= 1
a+bi
= a−bi
(a+bi)(a−bi) =
a−bi
a2+b2
= z|z|2 .
I Operac¸o˜es na forma polar:
I z = a + bi = r(cosϕ+ i sinϕ) = re iϕ.
I Produto:
zw = r1e iϕ1 r2e iϕ2 = r1r2e i(ϕ1+ϕ2).
I Inverso multiplicativo (z 6= 0):
1
z
= 1
r1e
iϕ1
= e
−i(ϕ1)
r1
.
I Divisa˜o: z
w
= r1e
iϕ1
r2e
iϕ2
= r1
r2
e i(ϕ1−ϕ2).
I Potenciac¸a˜o: zn =
(
r1e iϕ1
)n
= rn1 e
inϕ1 ,
n = 0, 1, 2, 3, . . ..
I Conjugado: z = r1e−iϕ1 .
I A produto de um nu´mero complexo pelo
seu conjugado e´:
I zz = r1e iϕ1 r1e−iϕ1 = r21 e iϕ1−iϕ1 = r21 .
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Operac¸o˜es elementares com nu´meros complexos
I Sejam z = a + ib, e w = c + id enta˜o:
I Identidade: z = w , se e somente se
a = c, e b = d .
I Soma: z + w = w + z =
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i .
I Produto: zw = wz = (a + bi)(c + di) =
(ac − bd) + (bc + ad)i .
I Conjugado: z = z∗ = a− bi , onde z
denota o conjugado de z.
I Produto de um Complexo por seu
Conjugado: zz = (a + bi)(a− bi) =
a2 − abi + abi − b2i2 = a2 + b2.
I Mo´dulo: |z| = r = √a2 + b2 = √zz.
I Inverso multiplicativo (para z 6= 0):
1
z
= 1
a+bi
= a−bi
(a+bi)(a−bi) =
a−bi
a2+b2
= z|z|2 .
I Operac¸o˜es na forma polar:
I z = a + bi = r(cosϕ+ i sinϕ) = re iϕ.
I Produto:
zw = r1e iϕ1 r2e iϕ2 = r1r2e i(ϕ1+ϕ2).
I Inverso multiplicativo (z 6= 0):
1
z
= 1
r1e
iϕ1
= e
−i(ϕ1)
r1
.
I Divisa˜o: z
w
= r1e
iϕ1
r2e
iϕ2
= r1
r2
e i(ϕ1−ϕ2).
I Potenciac¸a˜o: zn =
(
r1e iϕ1
)n
= rn1 e
inϕ1 ,
n = 0, 1, 2, 3, . . ..
I Conjugado: z = r1e−iϕ1 .
I A produto de um nu´mero complexo pelo
seu conjugado e´:
I zz = r1e iϕ1 r1e−iϕ1 = r21 e iϕ1−iϕ1 = r21 .
Cap´ıtulo 13 - Movimento Perio´dico
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Operac¸o˜es elementares com nu´meros complexos
I Sejam z = a + ib, e w = c + id enta˜o:
I Identidade: z = w , se e somente se
a = c, e b = d .
I Soma: z + w = w + z =
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i .
I Produto: zw = wz = (a + bi)(c + di) =
(ac − bd) + (bc + ad)i .
I Conjugado: z = z∗ = a− bi , onde z
denota o conjugado de z.
I Produto de um Complexo por seu
Conjugado: zz = (a + bi)(a− bi) =
a2 − abi + abi − b2i2 = a2 + b2.
I Mo´dulo: |z| = r = √a2 + b2 = √zz.
I Inverso multiplicativo (para z 6= 0):
1
z
= 1
a+bi
= a−bi
(a+bi)(a−bi) =
a−bi
a2+b2
= z|z|2 .
I Operac¸o˜es na forma polar:
I z = a + bi = r(cosϕ+ i sinϕ) = re iϕ.
I Produto:
zw = r1e iϕ1 r2e iϕ2 = r1r2e i(ϕ1+ϕ2).
I Inverso multiplicativo (z 6= 0):
1
z
= 1
r1e
iϕ1
= e
−i(ϕ1)
r1
.
I Divisa˜o: z
w
= r1e
iϕ1
r2e
iϕ2
= r1
r2
e i(ϕ1−ϕ2).
I Potenciac¸a˜o: zn =
(
r1eiϕ1
)n
= rn1 e
inϕ1 ,
n = 0, 1, 2, 3, . . ..
I Conjugado: z = r1e−iϕ1 .
I A produto de um nu´mero complexo pelo
seu conjugado e´:
I zz = r1e iϕ1 r1e−iϕ1 = r21 e iϕ1−iϕ1 = r21 .
Cap´ıtulo 13 - Movimento Perio´dico
Oscilac¸o˜es Amortecidas
Oscilac¸o˜es Amortecidas
I Considere um sistema massa mola na qual
acrescentaremos uma forc¸a de atrito viscosa.
I A forc¸a resultante sera´:
Cap´ıtulo 13 - Movimento Perio´dico
Oscilac¸o˜es Amortecidas
Oscilac¸o˜es Amortecidas
I Considere um sistema massa mola na qual
acrescentaremos uma forc¸a de atrito viscosa.
I A forc¸a resultante sera´:
F xR = Fmola + Fatrito = −kx(t)− bvx (t)
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I Considere um sistema massa mola na qual
acrescentaremos uma forc¸a de atrito viscosa.
I A forc¸a resultante sera´:
F xR = Fmola + Fatrito = −kx(t)− bvx (t)
d2x(t)
dt2
= − k
m
x(t)− b
m
dx(t)
dt
Cap´ıtulo 13 - Movimento Perio´dico
Oscilac¸o˜es Amortecidas
Oscilac¸o˜es Amortecidas
I Considere um sistema massa mola na qual
acrescentaremos uma forc¸a de atrito viscosa.
I A forc¸a resultante sera´:
F xR = Fmola + Fatrito = −kx(t)− bvx (t)
d2x(t)
dt2
= − k
m
x(t)− b
m
dx(t)
dt
d2x(t)
dt2
= −ω20x(t)− 2γ
dx(t)
dt
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I Considere um sistema massa mola na qual
acrescentaremos uma forc¸a de atrito viscosa.
I A forc¸a resultante sera´:
F xR = Fmola + Fatrito = −kx(t)− bvx (t)
d2x(t)
dt2
= − k
m
x(t)− b
m
dx(t)
dt
d2x(t)
dt2
= −ω20x(t)− 2γ
dx(t)
dt
I Onde ω0 =
√
k
m
e γ = b
2m
. Vamos supor que:
x(t) = Aeω1t
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I Considere um sistema massa mola na qual
acrescentaremos uma forc¸a de atrito viscosa.
I A forc¸a resultante sera´:
F xR = Fmola + Fatrito = −kx(t)− bvx (t)
d2x(t)
dt2
= − k
m
x(t)− b
m
dx(t)
dt
d2x(t)
dt2
= −ω20x(t)− 2γ
dx(t)
dt
I Onde ω0 =
√
k
m
e γ = b
2m
. Vamos supor que:
x(t) = Aeω1t
dx(t)
dt
= ω1Ae
ω1t
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I Considere um sistema massa mola na qual
acrescentaremos uma forc¸a de atrito viscosa.
I A forc¸a resultante sera´:
F xR = Fmola + Fatrito = −kx(t)− bvx (t)
d2x(t)
dt2
= − k
m
x(t)− b
m
dx(t)
dt
d2x(t)
dt2
= −ω20x(t)− 2γ
dx(t)
dt
I Onde ω0 =
√
k
m
e γ = b
2m
. Vamos supor que:
x(t) = Aeω1t
dx(t)
dt
= ω1Ae
ω1t
d2x(t)
dt2
= ω21Ae
ω1t
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I Considere um sistema massa mola na qual
acrescentaremos uma forc¸a de atrito viscosa.
I A forc¸a resultante sera´:
F xR = Fmola + Fatrito = −kx(t)− bvx (t)
d2x(t)
dt2
= − k
m
x(t)− b
m
dx(t)
dt
d2x(t)
dt2
= −ω20x(t)− 2γ
dx(t)
dt
I Onde ω0 =
√
k
m
e γ = b
2m
. Vamos supor que:
x(t) = Aeω1t
dx(t)
dt
= ω1Ae
ω1t
d2x(t)
dt2
= ω21Ae
ω1t
d2x(t)
dt2
+ 2γ
dx(t)
dt
+ ω20x(t) = 0
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I Considere um sistema massa mola na qual
acrescentaremos uma forc¸a de atrito viscosa.
I A forc¸a resultante sera´:
F xR = Fmola + Fatrito = −kx(t)− bvx (t)
d2x(t)
dt2
= − k
m
x(t)− b
m
dx(t)
dt
d2x(t)
dt2
= −ω20x(t)− 2γ
dx(t)
dt
I Onde ω0 =
√
k
m
e γ = b
2m
. Vamos supor que:
x(t) = Aeω1t
dx(t)
dt
= ω1Ae
ω1t
d2x(t)
dt2
= ω21Ae
ω1t
d2x(t)
dt2
+ 2γ
dx(t)
dt
+ ω20x(t) = 0
ω21Ae
ω1t + 2γω1Ae
ω1t + ω20Ae
ω1t = 0
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I Considere um sistema massa mola na qual
acrescentaremos uma forc¸a de atrito viscosa.
I A forc¸a resultante sera´:
F xR = Fmola + Fatrito = −kx(t)− bvx (t)
d2x(t)
dt2
= − k
m
x(t)− b
m
dx(t)
dt
d2x(t)
dt2
= −ω20x(t)− 2γ
dx(t)
dt
I Onde ω0 =
√
k
m
e γ = b
2m
. Vamos supor que:
x(t) = Aeω1t
dx(t)
dt
= ω1Ae
ω1t
d2x(t)
dt2
= ω21Ae
ω1t
d2x(t)
dt2
+ 2γ
dx(t)
dt
+ ω20x(t) = 0
ω21Ae
ω1t + 2γω1Ae
ω1t + ω20Ae
ω1t = 0
ω21 + 2γω1 + ω
2
0 = 0
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I Considere um sistema massa mola na qual
acrescentaremos uma forc¸a de atrito viscosa.
I A forc¸a resultante sera´:
F xR = Fmola + Fatrito = −kx(t)− bvx (t)
d2x(t)
dt2
= − k
m
x(t)− b
m
dx(t)
dt
d2x(t)
dt2
= −ω20x(t)− 2γ
dx(t)
dt
I Onde ω0 =
√
k
m
e γ = b
2m
. Vamos supor que:
x(t) = Aeω1t
dx(t)
dt
= ω1Ae
ω1t
d2x(t)
dt2
= ω21Ae
ω1t
d2x(t)
dt2
+ 2γ
dx(t)
dt
+ ω20x(t) = 0
ω21Ae
ω1t + 2γω1Ae
ω1t + ω20Ae
ω1t = 0
ω21 + 2γω1 + ω
2
0 = 0
ω1 = −γ ±
√
γ2 − ω20
Cap´ıtulo 13 - Movimento Perio´dico
Oscilac¸o˜es Amortecidas
Oscilac¸o˜es Amortecidas
ω1 = −γ ±
√
γ2 − ω20
x(t) = Aeω1t
I Amortecimento cr´ıtico:
γ = ω0 ⇒ ω1 = −γ = − b2m ,
x(t) = (A1 + A2t)e
− b
2m
t
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Oscilac¸o˜es Amortecidas
Oscilac¸o˜es Amortecidas
ω1 = −γ ±
√
γ2 − ω20
x(t) = Aeω1t
I Amortecimento cr´ıtico:
γ = ω0 ⇒ ω1 = −γ = − b2m ,
x(t) = (A1 + A2t)e
− b
2m
t
I Sub-amortecimento:
γ < ω0 ⇒ ω1 = − b2m ± i
√
ω20 − γ2,
x(t) = Ae−
b
2m
t cos(
√
ω20 − γ2t + φ0)
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Oscilac¸o˜es Amortecidas
Oscilac¸o˜es Amortecidas
ω1 = −γ ±
√
γ2 − ω20
x(t) = Aeω1t
I Amortecimento cr´ıtico:
γ = ω0 ⇒ ω1 = −γ = − b2m ,
x(t) = (A1 + A2t)e
− b
2m
t
I Sub-amortecimento:
γ < ω0 ⇒ ω1 = − b2m ± i
√
ω20 − γ2,
x(t) = Ae−
b
2m
t cos(
√
ω20 − γ2t + φ0)
I Super-amortecimento:
γ > ω0 ⇒ ω1 = − b2m ±
√
γ2 − ω20 ,
x(t) = e−
b
2m [A1e
+
√
γ2−ω20 t + A2e
−
√
γ2−ω20 t ]
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Oscilac¸o˜es Amortecidas
Oscilac¸o˜es Amortecidas
ω1 = −γ ±
√
γ2 − ω20
x(t) = Aeω1t
I Amortecimento cr´ıtico:
γ = ω0 ⇒ ω1 = −γ = − b2m ,
x(t) = (A1 + A2t)e
− b
2m
t
I Sub-amortecimento:
γ < ω0 ⇒ ω1 = − b2m ± i
√
ω20 − γ2,
x(t) = Ae−
b
2m
t cos(
√
ω20 − γ2t + φ0)
I Super-amortecimento:
γ > ω0 ⇒ ω1 = − b2m ±
√
γ2 − ω20 ,
x(t) = e−
b
2m [A1e
+
√
γ2−ω20 t + A2e
−
√
γ2−ω20 t ]
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Oscilac¸o˜es Amortecidas
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Oscilac¸o˜es Forc¸adas e Ressonaˆncia
I Sejam z = a + ib, e w = c + id enta˜o:
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Oscilac¸o˜es Forc¸adas e Ressonaˆncia
I Sejam z = a + ib, e w = c + id enta˜o:
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Oscilac¸o˜es Forc¸adas e Ressonaˆncia
I Sejam z = a + ib, e w = c + id enta˜o:
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Oscilac¸o˜es Forc¸adas e Ressonaˆncia
I Sejam z = a + ib, e w = c + id enta˜o:
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Oscilac¸o˜es Forc¸adas e Ressonaˆncia
I Sejam z = a + ib, e w = c + id enta˜o:
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Oscilac¸o˜es Forc¸adas e Ressonaˆncia
I Sejam z = a + ib, e w = c + id enta˜o:
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Oscilac¸o˜es Forc¸adas e Ressonaˆncia
I Sejam z = a + ib, e w = c + id enta˜o:
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Oscilac¸o˜es Forc¸adas e Ressonaˆncia
I Sejam z = a + ib, e w = c + id enta˜o:
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Oscilac¸o˜es Forc¸adas e RessonaˆnciaI Sejam z = a + ib, e w = c + id enta˜o: I Operac¸o˜es na forma polar:
	Introdução
	Causas da Oscilação
	Movimento Harmônico Simples(MHS)
	Energia no Movimento Harmônico Simples
	Aplicações do Movimento Harmônico Simples
	O Pêndulo Simples
	O Pêndulo Físico
	Oscilações Amortecidas
	Oscilações Forçadas e Ressonância