2ª aula

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CONSTRUÇÃO DE MÁQUINAS I
ENGENHARIA MECÂNICA
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Revisão de Resistência do Materiais
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No cálculo da tensão admissível pode-se usar tanto a tensão de ruptura como a tensão de escoamento de acordo com o critério de projeto adotado
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Revisão
Comportamento dúctil e frágil
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Critérios de Resistência
No dimensionamento dos elementos de máquinas e estruturas, como os eixos e as vigas, vários são os critérios que podem ser utilizados para o estabelecimento de suas dimensões mínimas, compatíveis com as propriedades mecânicas dos materiais utilizados, obtidas nos ensaios em laboratório
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Critérios de Resistência
Tais critérios surgem quando se busca a resposta à seguinte questão básica: 
- quando ocorrerá a ruína* do material da peça carregada?
*(entende-se como “ruína” a deterioração do material, por ruptura, por plastificação, por ser ultrapassado o limite de proporcionalidade, ou de escoamento etc.., dependendo de seu uso).
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Critérios de Resistência
hipóteses (teorias) 
- a ruína ocorre quando a maior tensão normal presente ultrapassar o valor da tensão normal ocorrente quando da ruína do corpo de prova no ensaio de tração (ou compressão) do material;
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Critérios de Resistência
- a ruína ocorre quando a maior tensão tangencial presente ultrapassar o valor da tensão tangencial ocorrente quando da ruína do corpo de prova no ensaio do material correspondente;
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Critérios de Resistência
- a ruína ocorre quando a maior deformação longitudinal presente ultrapassar o valor da deformação longitudinal ocorrente quando da ruína do corpo de prova no ensaio do material;
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Critérios de Resistência
- a ruína ocorre quando a maior energia específica de distorção presente ultrapassar o valor da energia de distorção por unidade de volume ocorrente quando da ruptura do corpo de prova no ensaio do material
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Critérios de Resistência
Como se vê, não há uma resposta única, válida para qualquer situação: o critério que mais se coaduna com os resultados obtidos em laboratório dependerá do tipo do material e do tipo do carregamento.
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Critérios de Resistência
Teorias das Máximas Tensões
Válido para materiais frágeis (duros, quebradiços, que se rompem nos planos onde a tensão normal é extrema) é o critério da máxima tensão normal, segundo o qual haverá “ruína” quando, em certo ponto do corpo, a tensão principal ultrapassar o valor da tensão de “ruína” no ensaio uniaxial do material
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Critérios de Resistência
Portanto, o dimensionamento deve ser feito atendendo ao Critério de Coulomb:
	
Planos de Clivagem
½ (sx + sy) + √ [½ (sx - sy)] 2 + (txy )2 < slimite .
 
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Critérios de Resistência
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Critérios de Resistência
Para materiais dúteis (macios, flexíveis, que se rompem nos planos onde a tensão tangencial é extrema), é o critério da máxima tensão tangencial 
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Critérios de Resistência
haverá ruína quando, em certo ponto, a tensão máxima de cisalhamento ultrapassar o valor da tensão tangencial atuante (a 45º) no ensaio de tração do material 
(tmáx = ½ slimite). 
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Critérios de Resistência
O dimensionamento deve atender ao Critério de Tresca:
√ [½ (sx - sy)] 2 + (txy )2 < ½ slimite
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Critérios de Resistência
Exemplo 1 – Dimensionar o eixo maciço a ser fabricado em aço 1020 (tensão limite de escoamento sesc = 200MPa), de forma a transmitir um torque T = 10 kN.m, sob um momento fletor M = 15 kN.m., com um coeficiente de segurança 1,6 ao escoamento
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Critérios de Resistência
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Critérios de Resistência
Solução: Para um eixo de seção circular submetido a um torque T e um momento fletor M, o ponto da periferia mais solicitado estará submetido as seguintes tensões (a tensão tangencial devido a Q é desprezível para um eixo maciço)
 s = (M/I) (d/2); t = (T/JP) (d/2); 
sendo JP = d4/32 momento de inércia
 e 		I = ½ JP momento de inércia polar
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Critérios de Resistência
Como se trata de um material dútil (baixo teor de Carbono), utilizaremos o critério da máxima tensão tangencial.
tmáx = √ [½ (sx - sy)] 2 + (txy )2 
 
 tmáx =√[½ (M/I)d/2]2+ [(T/JP )2d/2]2 
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Critérios de Resistência
tmáx = [( M2 + T2 )1/2 / JP] (d/2) 
Interessante notar que o termo (M2 + T2)1/2 representa o módulo do vetor momento total atuante na seção (M + T) (chamado momento “ideal”). 
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Critérios de Resistência
Para o caso em análise, 
Como 
tmáx =(200/2):1,6 = 62,5MPa
 teremos:
 tmáx = 32 ( M2 + T2 )1/2 / pd3
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Critérios de Resistência
d3 = 32 [(10x103)2 + (15x103)2 ]1/2
 π (62,5x106 
d3 = 1,432 x 10-1 m → 
d = 143 mm (Resposta)
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Critérios de Resistência
Exemplo 2 – Para o perfil “I” esquematizado, determinar o coeficiente de segurança para a ruptura do material, supondo tratar-se de aço 1080, de alto teor de carbono, dureza Brinell 248, e resistência à tração de 78 kgf/mm2.
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Critérios de Resistência
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Critérios de Resistência
Solução: O momento de inércia da seção em relação à LN valerá: 
 ILN = [100 x (165)3 / 12] – [95 (150)3/12] 
 ILN = 10,72 x 106 mm2.
Na seção do engastamento teremos:
	Q = 210 kN 
e 
 M = - 210x103 x 0,150 = - 31,5 kNm.
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Critérios de Resistência
Para o ponto A (no topo, onde ocorre a máxima tensão normal de tração e onde a tensão de cisalhamento é nula), teremos:
s = (M/ I)y = (31,5x103 / 10,72x10-6 )x0,083 
s = 243,9 MPa.
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Critérios de Resistência
 Considerando o estado duplo:
(tração Pura) - sP1 = 243,9MPa
 sP2 = 0,000
 tmáx = ½ (243,9)= 121,9MPa 
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Critérios de Resistência
Para o ponto C (na LN, onde ocorre a máxima tensão tangencial e onde a tensão normal é nula), teremos: t = (QMS / b I )
sendo MS = (0,008x0,100x0,079 + 0,005x0,075x0,0375)=77,26x10-6 m3
t = 210x103x77,26x10-6 / 0,005 x 10,72x10-6 = 302,7MPa 
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Critérios de Resistência
Considerando o estado duplo:
(Corte Puro) - sP1 = 302,7MPa
 sP2 = 302,7MPa
 tmáx = 302,7MPa 
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Critérios de Resistência
Para o ponto B (na interface entre a mesa e a alma, onde ocorre uma tensão normal elevada, embora não seja a máxima, estando presente uma tensão tangencial também levada, embora não seja a máxima), teremos: 
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Critérios de Resistência
	s = (M/ I)y = (31,5x103 / 10,72x10-6)x0,075 = 220,4MPa 
	t = (QMS / b I) sendo MS = (0,008x0,100x0,079) = 63,20x10-6 m3
 t = 210x103 x 63,20x10-6 / 0,005 x 10,72x10-6 = 247,6MPa
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Critérios de Resistência
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Critérios de Resistência
Considerando o estado duplo: 
(Tração+Corte) - sP1 = 381,2MPa
 sP2 = -160,8MPa
 tmáx = 271MPa 
Como tg 2qp = txy / ½ (sx - sy) =
= -247,6 / ½ (220,4) = - 2,247;
2qp = - 66,0º; qp1 = - 33,0º; qp2 = 57,0º
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Critérios de Resistência
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Critérios de Resistência
Teorias das Máximas Energias de deformação
Poder-se-á cogitar que a deterioração do material ocorre quando, no ponto considerado, a energia de deformação, por unidade de volume (u), ultrapassar o valor de tal grandeza quando da deterioração do material por ocasiãodo ensaio de tração correspondente (Critério de Saint-Venant).
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Critérios de Resistência
considerando os planos principais (onde não ocorrem tensões tangenciais), em um estado triplo de tensões:
 utotal = U/V = ( ½ ) (s1 e1 + s2 e2 +s3 e3 ), sendo:
e1 = (1/E) [ s1 - n (s2 + s3 )]
e2 = (1/E) [ s2 - n (s3 + s1 )]
 
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Critérios de Resistência
e3 = (1/E) [ s3 - n (s1 + s2 )], que nos leva a:
utotal = [1/2E] [ (s12 +s22+s32 - 2n (s1 s2+s2 s3 + s3 s1)]
.... (9.3)
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Critérios de Resistência
Segundo o critério da máxima energia específica de deformação total não haverá deterioração do material se:
s12 + s22 +s32 - 2n (s1 s2 + s2 s3 + s3 s1) < ( slimite )2 .......................... (9.4)
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Critérios de Resistência
que, no caso do estado duplo de tensões (com s3 = 0) se torna:
 s12 + s22 - 2n (s1 s2) < ( slimite )2 ............... (9.5)
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Critérios de Resistência
Observa-se experimentalmente que os materiais suportam tensões muito mais elevadas do que a ao ensaio uniaxial de tração, quando submetidos a estados hidrostáticos de tensão (quando as 3 tensões principais são todas iguais, ficando os círculos de Mohr reduzidos a um ponto sobre o eixo dos s), não ocorrendo tensão tangencial em qualquer plano (ficando o estado de tensão definido pela grandeza escalar “pressão”, invariante para todas as direções)
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Critérios de Resistência
Tal comportamento fica compreendido quando se leva em conta que a energia total de deformação pode ser desdobrada em duas componentes: a energia para variação de volume e a energia para variação de forma (distorção). Assim é que podemos estabelecer a composição:
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Critérios de Resistência
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Critérios de Resistência
Admite-se que a ação inelástica ocorrerá sempre que a energia de distorção exceder o valor correspondente no ensaio de tração (onde apenas uma das tensões principais não é nula). Este é o chamado critério da máxima energia de distorção (Von Mises).
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Critérios de Resistência
O valor da energia específica de distorção (ud) será computado subtraindo do valor da energia total, a parcela correspondente a energia de variação volumétrica decorrente da tensão média p, fazendo em (9.3) si = p = ( s1 + s2 + s3 )/3, nos dando:
	 uvolume = [(1 – 2n)6E]( s1 + s2 + s3 )2.
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Critérios de Resistência
Efetuando a diferença obtem-se:
 
	udistorção = [(1+n)/6E] [(s1 - s2)2 + (s2 - s3)2 + (s3 - s1)2] ..................... (9.6)
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Critérios de Resistência
Segundo tal critério, não haverá a deterioração do material se:
 [(s1 - s2)2 + (s2 - s3)2 + (s3 - s1)2] < 2(slimite)2 ......................................(9.7)
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Critérios de Resistência
Tratando-se do caso comum de um estado duplo de tensões (com s3 = 0), a equação se torna:
 (s12 + s22 - s1s2) < (slimite)2 . 
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Critérios de Resistência
Sendo s1 = smédio + tmáx e 	s1 = smédio - tmáx, obtemos: 	
 (smédio2 + 3tmáx2 ) < (slimite)2 ......................................................................(9.6)
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Critérios de Resistência
Adotando-se certa margem de segurança, considera-se como tensão admissível:
		sadm = slimite / (Coeficiente de Segurança).
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Critérios de Resistência
Interessante comentar que, no caso do estado de corte puro (ocorrente no ensaio de torção de eixos) teremos: 
		 s1 = tr; s2 = - tr; s3 = 0; que nos dá:
 3tr 2 < (slimite)2 → tr < 0,577 slimite 
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Critérios de Resistência
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Critérios de Resistência
Exemplo 3 – O recipiente cilíndrico de parede fina esquematizado (diâmetro d = 200mm e espessura e = 2,8mm) contém ar comprimido na pressão manométrica de 32 atmosferas e deve ser submetido à uma força F = 10kN para aperto dos parafusos de vedação. 
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Critérios de Resistência
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Critérios de Resistência
Pede-se avaliar o coeficiente de segurança ao escoamento admitindo que o material da chapa seja aço com tensão normal limite de escoamento 250MPa, E = 210GPa e n = 0,300, segundo os quatro critérios de resistência estudados (não considerar os efeitos da proximidade da chapa do fundo do recipiente na seção da base onde os esforços solicitantes são extremos).
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Critérios de Resistência
Solução:
Na seção da base temos: N = p.pD2/4= 3,2x106 x p (0,200)2/ 4=100,5kN; Q = 10,0kN; M = 10x103 x 0,500 = 5,00kN.m; T =10x103x 0,350 = 3,50kN.m.
A = p D x e = 1,759 x 10-3 m2; JP = A x (D/2)2 = 17,59 x 10-6m4; I = ½ JP
 
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Critérios de Resistência
Analisaremos as tensões ocorrentes nos pontos da seção da base (na parte interna, onde atua uma tensão de compressão s3 = - p):
A – onde a tensão longitudinal trativa devido a p se soma a devido a M;
B – onde a tensão tangencial devido ao torque T se soma a devido a Q;
C – onde a tensão longitudinal pode ser compressiva.
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Critérios de Resistência
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Ponto A
sC = pD/2e =
= 3,2 x106x 0,2 / 0,0056 = 114,3MPa
 sL = N/A + (M/I)(D/2) =
= 100,5 x 103 / 1,759x10-3 +
+(5x103 / 8,795x10-6) x 0,100 =
= 57,13 + 56,85 = 114,0 MPa 
 tLC = (T/JP)(D/2) =
=(3,5x103 / 17,59x10-6)x0,100=
= 19,90 MPa
s3 = -p = -3,2MPa
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Ponto B
 sC = pD/2e =
= 3,2 x106x 0,2 / 0,0056 = 114,3MPa
 sL = N/A =
= 100,5 x 103 / 1,759x10-3 =
= 57,13 MPa 
 tLC = (T/JP)(D/2) + x(Q/A) =
=(3,5x103 / 17,59x10-6)x0,100 +
+ 2 (10x103 / 1,759 x 10-3) =
= 19,90 + 11,37 = 31,27MPa 
s3 = -p = -3,2MPa
 
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Ponto C
 sC = pD/2e = 3,2 x106x 0,2 / 0,0056 = 114,3MPa
 sL = N/A - (M/I)(D/2) =
= 100,5 x 103 / 1,759x10-3 -
+(5x103 / 8,795x10-6) x 0,100 =
= 57,13 + 56,85 = 0,28 MPa 
 tLC = (T/JP)(D/2) =
=(3,5x103 / 17,59x10-6)x0,100=
= 19,90 MPa
s3 = -p = -3,2MPa
 
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Ponto A
 smédio = ½ (114,3 + 114,0) = 114,2
R = {[½ (114,3 - 114,0)]2 + 19.92}1/2=
=19,90
 s1 = 114,2 + 19,9 = 134,1MPa
 s2 = 114,2 - 19,9 = 94,3MPa
 s3 = - 3,2MPa
tmáx = ½ (s1 - s3) = 
=1/2 [134,1 – (-3,2)] = 68,65MPa 
t
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Ponto B
 smédio = ½ (114,3 + 57,13) = 85,72
R = {[½ (114,3 – 57,13)]2 + 31,272}1/2=
= 42,37
 s1 = 85,72 + 42,37 = 128,1MPa
 s2 = 85,72 – 42,37 = 43,45MPa
 s3 = - 3,2MPa
tmáx = ½ (s1 - s3) = 
=1/2 [128,1 – (-3,2)] = 65,65MPa 
t
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Ponto C
 smédio = ½ (114,3 + 0,28) = 57,29
R = {[½ (114,3 – 0,28)]2 + 19.92}1/2=
=60,38
 s1 = 57,29 + 60,38 = 117,7MPa
 s2 = 57,29 – 60,38 = - 3,09 MPa
 s3 = - 3,2MPa
tmáx = ½ (s1 - s3) = 
t
=1/2 [117,7 – (-3,2)] = 60,45MPa
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Critérios de Resistência
Ponto A Ponto B Ponto C
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Critérios de Resistência
Dos pontos analisados, é o ponto A o mais crítico, para o qual teremos:
 s1 = 134,1MPa; s2 = 94,3 MPa; s1 = -3,20M Pa; tmáx = 68,65 MPa
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Critérios de Resistência
Pelo critério da máxima tensão normal (Coulomb); C.S. = 250 / 134,1 = 1,86.
Pelo critério da máxima tensão tangencial (Tresca); C.S. = ½ 250 / 68,65 = 1,82.
Pelo critério da máxima energia específica total (Saint-Venant); CS = 1,78
 [(s1)2 + (s2)2 + (s3 )2 - 2n(s1s2 +s2s3 +s3s1)] = (slimite /CS)2 ;
(134,1)2 + (94,3)2 + (-3,2)2 – 2x0,300(134,1x 94,3 + 94,3x(-3,2) + (-3,2)x 134,1=(250/CS)2→ CS = 1,78
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Critérios de Resistência
Pelo critério da máxima energia específica de distorção (Von Mises); C.S. = 2,10. 
[(s1 - s2)2 + (s2 - s3)2 + (s3 - s1)2] = 2(slimite /CS)2 ;
	(134,1 – 94,3)2 + (94,3 + 3,2)2 + (-3,2 + 134,1)2 = 2(250 / C.S.)2 → C.S. = 2,10. 
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Critérios de Resistência
Outras teorias. (Teoria de Mohr)
Observa-se experimentalmente que os materiais frágeis suportam tensões de compressão bem mais elevadas que as de tração (um exemplo clássico é o concreto). 
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Critériosde Resistência
Teoria de Mohr
Traçando-se os círculos de Mohr correspondentes aos ensaios de tração e de compressão do material (bem como o de corte puro, por torção, quando disponível), será lógico admitir (Critério de Mohr) que o estado (duplo) de tensões será seguro para um dado material se o círculo de Mohr correspondente ficar inteiramente dentro da área delimitada pela envoltória dos círculos correspondentes aos dados obtidos nos ensaios.
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Critérios de Resistência
Teoria de Mohr para os critérios de ruptura de materiais frágeis em estado plano de tensões.