Critérios de Resistência em Elementos de Máquinas

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Universidade Paulista
 Projeto de Elementos de Máquinas
Aula 02 
Curso Engenharia Mecânica
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 Critérios. Rankine e Tresca(slide 01/20)
As aulas 02 e 03 apresentam os “critérios de resistência”. Durante o desenvolvimento dos estudos de engenharia diversos critérios foram apresentados e podemos dividir da seguinte forma:
1. Critérios Obsoletos:
Rankine (material frágil)
Tresca
Saint Venant
2. Critérios Usuais na Engenharia:
Mohr
Coulomb
Von Mises
Nadai
Para aplicações em Projetos de Elementos de Máquinas os mais estudados, que serão apresentados neste curso, são: Rankine, Tresca e Von Mises.
Introdução:
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 Critérios. Rankine e Tresca(slide 02/20)
A aplicação dos conceitos teóricos exige a validação através de ensaios e observações do comportamento real na prática.
O dimensionamento dos elementos de máquinas necessitam modelos que atendam os requisitos dos materiais e das condições de carregamento.
A Teoria de Rankine, Tensão Normal Máxima, corresponde a uma das primeiras iniciativas para entender o comportamento dos componentes submetidos aos esforços de trabalho. Portanto, esta teoria contribuiu para os primeiros estudos, que permitiram grande avanço no projeto de elementos de máquinas.
Muito limitada para o uso em componentes de máquina atuais, fica limitada aos estados de tensão normal uniaxial para os materiais frágeis. Pode ser considerada obsoleta.
No caso de materiais dúcteis esta teoria não se aplica em função do comportamento de falha destes materiais.
1.2. Teoria da Tensão Normal Máxima (Teoria de Rankine):
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Características de Falhas dos Materiais no Ensaio à Tração:
Material frágil falha em uma tensão muito próxima a de ruptura. Condição similar aos ensaios de tração, neste caso a Teoria de Rankine pode ser considerada de boa precisão.
Material dúctil falha na tensão de escoamento. A ruptura ocorre com tensões máximas formando um cone em relação ao eixo de simetria da peça. Teoria de Rankine não se aplica neste caso.
 Critérios. Rankine e Tresca(slide 03/20)
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Características de Falhas dos Materiais no Ensaio à Torção:
Materiais frágeis rompem-se em função das tensões de tração decorrentes da torção, sendo dada pela bissetriz do ângulo entre dois planos de máxima tensão fazendo um ângulo de 45º com as direções longitudinais e transversais. 
Materiais dúcteis rompem-se por cisalhamento ao longo do plano de máxima tensão de cisalhamento (geralmente um plano normal) ou plano transversal.
 Critérios. Rankine e Tresca(slide 04/20)
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Representação gráfica da Teoria da Máxima Tensão Normal:
No gráfico temos representado a Teoria de Rankine considerando o estado plano de tensões. Devemos determinar as tensões principais e comparar com a tensão de ruptura ou tensão admissível, a tensão normal máxima (principal) deve ser inferior à admissível.
 Critérios. Rankine e Tresca(slide 05/20)
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Exemplo 1: Aplicação da Teoria da Tensão Normal Máxima
A figura abaixo representa o estado plano de tensões, medido por extensômetros, na superfície do eixo de uma redutora no ponto de maior solicitação.
Considerando que a tensão de ruptura do material do eixo é de 400 MPa, determinar o coeficiente de segurança para esta aplicação com referência na Teoria da Tensão Normal Máxima.
 Critérios. Rankine e Tresca(slide 06/20)
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Determinação das Tensões Principais – Circulo de Mohr 
Uma forma de obter as tensões principais é através do Circulo de Mohr, considerando o estado plano de tensões definido no enunciado. O eixo das abscissas para as tensões normais e eixo das ordenadas para as tensões de cisalhamento, posicionamos os pontos obtidos no estado plano: em x (70,40) em y (10,-40)
 Critérios. Rankine e Tresca(slide 07/20)
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Determinação das Tensões Principais – Equações 
A partir do Circulo de Mohr podemos definir as equações que permitem determinar as tensões principais, que já foram obtidas através do gráfico.
 Critérios. Rankine e Tresca(slide 08/20)
 = +
 = 
Substituindo valores: = 
Obtemos os seguintes valores: 
Portanto o Fator de Segurança será: FS = 400/90 = 4,44
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 Critérios. Rankine e Tresca(slide 09/20)
Quando uma chapa de um material dúctil, como aço carbono, é ensaiada à tração, observa-se que o mecanismo que é realmente responsável pelo escoamento é o deslizamento. Ou seja, cisalhamento ao longo dos planos de tensão cisalhante máxima, a 45º em relação ao eixo do elemento. O escoamento inicial está associado ao aparecimento da primeira linha de deslizamento na superfície do corpo de prova e, conforme a deformação aumenta, mais linhas de deslizamento aparecem até que todo o corpo de prova tenha escoado. Se este deslizamento for considerado o mecanismo real de falha, então a tensão que melhor caracteriza esta falha é a tensão cisalhante nos planos de deslizamento. 
1.2. Teoria da Tensão Cisalhante Máxima (Teoria de Treska):
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 Critérios. Rankine e Tresca(slide 10/20)
A figura a seguir mostra o círculo de Mohr de tensão para este estado de tensão uniaxial, indicando que a tensão cisalhante nos planos de deslizamento tem um valor de /2. 
Teoria de Tresca no Circulo de Mohr
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 Critérios. Rankine e Tresca(slide 11/20)
Deste modo, se for postulado que em um material dúctil sob qualquer estado de tensão (uniaxial, biaxial ou triaxial) a falha ocorre quando a tensão cisalhante em qualquer plano atinge o valor de /2, então o critério de falha para a teoria da tensão cisalhante máxima pode ser enunciado como:
Teoria de Tresca no Equações Básicas
onde σy é o limite de escoamento determinado por um ensaio de tração simples.
Sabendo-se que:
Obtem-se a relação:
 
onde é a tensão principal máxima e é a tensão principal mínima.
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 Critérios. Rankine e Tresca(slide 12/20)
Para o caso de tensão plana, o critério de falha da tensão cisalhante máxima pode ser enunciado em termos das tensões principais que atuam no plano e como se segue:
Representação gráfica da Teoria da Máxima Tensão Normal:
Para um elemento sob tensão plana, o estado de tensão em todos os pontos do corpo pode ser representado por um ponto de tensão (, ), dividido pela tensão de escoamento, no plano - , conforme figura. Quando a relação for superior a “1” diz-se que ocorreu a falha, de acordo com a teoria da tensão cisalhante máxima. 
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 Critérios. Rankine e Tresca(slide 13/20)
Exemplo 2: A figura mostra, esquematicamente, uma turbina de alta rotação que aciona um gerador através de um redutor com engrenagens helicoidais.
O gerador opera com rotação de 50 rad/s (478 rpm) a uma potência de 280 kW. O diâmetro do eixo de acionamento do gerador deve ser dimensionado pelo Critério de Tresca (mais conservativo), utilizando um fator de segurança igual a O material do eixo é o aço de alta resistência ASTM-A242 cuja resistência ao escoamento medida no ensaio de tração vale 350 MPa. Considerando o eixo sujeito a torção pura (máx = TR/J , na qual J = /2) e desprezando qualquer perda no sistema de transmissão, seu diâmetro mínimo, em mm, deve ser
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Representação da Torção Pura no Círculo de Mohr:
 Critérios. Rankine e Tresca(slide 14/20)
Observando a figura temos as seguintes relações
Tensões Principais e Tensão de Cisalhamento Máximo: 
Tensão Equivalente, Tensão de Escoamento e Fator de Segurança:
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Inicialmente determinamos o torque - T
 Critérios. Rankine e Tresca(slide 15/20)
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 Critérios. Rankine e Tresca(slide 16/20)
Portanto, a alternativa correta é a letraD
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 Critérios. Rankine e Tresca(slide 17/20)
EXERCÍCIO 1: A figura representa o desenho esquemático de um eixo que suporta duas polias em V. Para cada polia as trações de correia são paralelas. Para a polia A considere que a tração no tramo frouxo seja 15% da tração do tramo tenso. Um eixo com tensão limite de escoamento de deve ser utilizado, sendo o diâmetro uniforme em toda a extensão. Para tensões estáticas e um coeficiente de segurança de 3,0. determine o diâmetro mínimo a ser utilizado considerando o critério da tensão máxima de cisalhamento (Tresca).
Resposta: d = 17,7 mm, usar d = 18 mm 
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 Critérios. Rankine e Tresca(slide 18/20)
Recomendação para a Solução do Exercício 1:
1. Determine o Torque nas polias (não existe perdas, mesmo torque em A e B)
Na polia B, temos: Temos: 
2. Determine as Forças Resultantes nas polias A e B.
Para a polia A precisamos obter as forças atuantes que de acordo com os dados fornecidos pode ser determinadas da seguinte forma.
As componentes horizontais e verticais são definidas por: 
2. Diagrama de Momentos:
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EXERCÍCIO 2: O pino apresentado na figura abaixo é solicitado por uma carga “F” de 72 000 N e tem diâmetro de 12 mm. As dimensões das peças são a = 12 mm e b = 18 mm. O pino foi fabricado com um aço que possui uma resistência ao escoamento à tração de 500 MPa. ͘
Aplicando o critério de falha de Tresca. Assinale a opção que apresenta o coeficiente de segurança correto contra escoamento por cisalhamento no pino e a informação se a peça falha ou não.
A. 
B. 
C. 
D. 
E. 
 Critérios. Rankine e Tresca(slide 19/20)
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EXEMPLO 3: O pino de “U” mostrado na figura tem 12 mm de diâmetro e as dimensões a = 12 mm e b = 18 mm. Esse pino é usinado de material com limites de escoamento a tração de Sy = 220 MPa e e cisalhamento de Ssy = 220/2 = 110 MPa. Determine se o carregamento suposto da figura “c” causa ou não um fator de segurança diferente daquele da figura “d”. Utilize a teoria da tensão máxima de cisalhamento (Tresca).
 Critérios. Rankine e Tresca(slide 20/20)
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FIM !
Referências principais:
1. Projeto de Engenharia Mecânica
Shigley, Joseph E.; Mischke, Charles R. and Budynas, Richard G.
2. Fundamentos do Projeto de Componentes de Máquinas
Juvinal, Robert C. and Marshek, Kurt M.
3. INEP http://portal.inep.gov.br/educacao-superior/enade/provas-e-gabaritos
Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira
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