08 - Teste Hipoteses Uma Amostra

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Universidade Federal de Santa Catarina 
Centro de Engenharia da Mobilidade – CEM 
Campus Joinville 
 
 
 
Prof. James S. Eger 
 
EMB 5010 
Estatística e probabilidade para engenharia 
Testes de Hipóteses para Uma 
Amostra 
 
 
Centro de Engenharia da Mobilidade EMB 5010 – Estatística 
Distribuições Amostrais e Estimação de Parâmetros 
Introdução 
 Inferência Estatística: 
 Métodos para tomar decisões ou tirar conclusões 
 Exemplos: 
 Utilizar outro processo de montagem eixo-mancal? 
 Alterar a composição de uma liga metálica? 
 Mudar de fornecedor de matéria-prima? 
 A temperatura influencia significativamente no rendimento do 
processo? 
 Et cetera... 
 
 
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Distribuições Amostrais e Estimação de Parâmetros 
Introdução 
 Inferência Estatística: 
 
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Distribuições Amostrais e Estimação de Parâmetros 
Introdução 
 Inferência Estatística: 
 Dividida em duas grandes áreas: 
 Estimação de Parâmetros 
 Testes de Hipóteses 
 
 Teste de Hipóteses - Exemplo: 
 Um engenheiro está analisando o rendimento (ρ) de um processo químico 
quando realizado sob duas temperaturas diferentes: T1 e T2 
 Conjectura: T1 resulta em rendimentos significativamente maiores? 
 Hipótese: ρ médio sob T1 > ρ médio sob T2 
 Não há ênfase na estimação dos rendimentos: 
 Foco nas conclusões sobre a hipótese estabelecida 
 
 
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Testes de Hipóteses 
 Teste de Hipóteses 
 Hipótese estatística: afirmação sobre os parâmetros de uma ou mais 
populações 
 Ou: afirmação acerca da distribuição de probabilidades de uma 
variável aleatória 
 A hipótese é sempre uma afirmação sobre a população, e não sobre 
a amostra 
 
 Exemplo: Propelente utilizado para fornecer energia aos sistemas de 
escapamento de aeronaves: 
 Hipótese: a taxa média de queima do propelente é igual a 50 cm/s 
 H0: µ = 50 cm/s → hipótese nula 
 H1: µ ≠ 50 cm/s → hipótese alternativa 
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Testes de Hipóteses 
 Hipóteses bilaterais e unilaterais: 
 H0: µ = 50 cm/s → hipótese nula 
 Hipótese alternativa bilateral: 
 H1: µ ≠ 50 cm/s 
 Hipótese alternativa unilateral: 
 H1: µ < 50 cm/s 
 H1: µ > 50 cm/s 
 
 Testar uma hipótese envolve: 
 Considerar uma amostra aleatória 
 Computar a estatística de teste a partir dos dados amostrais 
 Tomar uma decisão a respeito da hipótese nula 
 
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Testes de Hipóteses 
 Testes de Hipóteses Estatísticas 
 Suponha que queiramos testar: 
 H0: µ = 50 cm/s → hipótese nula 
 H1: µ ≠ 50 cm/s → hipótese alternativa 
 Amostra: 
 n = 10 
 𝑥 = ... → significativamente próximo ou distante de 50 cm/s ? 
 A média amostral pode assumir muitos valores 
 Vamos definir os limites para aceitação de H0: 
 Se 48,5 ≤ 𝑥 ≤ 51,5 não rejeitaremos H0. 
Rejeita Rejeita 
Falha em 
rejeitar 
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Testes de Hipóteses 
 Decisões no Teste: 
Rejeita Rejeita 
Falha em 
rejeitar 
 Supor que µverdadeira = 50 e 𝑥 caísse na região de rejeição → erro tipo I 
 Supor que µverdadeira ≠ 50 e 𝑥 caísse na região de aceitação → erro tipo II 
Decisão H0 é verdadeira H0 é falsa 
Aceitar H0 Acerto Erro tipo II (β) 
Rejeitar H0 Erro tipo I (α) Acerto 
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Testes de Hipóteses 
 Como a decisão é baseada em variáveis aleatórias, é possível calcular a 
probabilidade de incorrer em cada erro 
 
 Supondo a distribuição real da população: µ = 50 cm/s e σ = 2,5 cm/s 
 P (erro tipo I) = α = ? (quadro) 
 Formas de reduzir α: 
 Alargar a região de aceitação 
 Aumentar o tamanho da amostra (p.ex. n = 16) 
 
 P (erro tipo II) = β → calculada para um valor específico de µ (p.ex. µverdadeira = 52) 
Decisão H0 é verdadeira H0 é falsa 
Aceitar H0 Acerto Erro tipo II (β) 
Rejeitar H0 Erro tipo I (α) Acerto 
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Testes de Hipóteses 
 Exemplo 1) quadro 
 Procedimento: 
1. Considerar a amostra aleatória 
2. Formular as hipóteses 
3. Definir regiões de aceitação e rejeição 
4. Calcular a estatística de teste 
 Variância da população é conhecida (ou n > 40) → Zt (dist. normal) 
 Variância da população é desconhecida → Tt (dist. t-Student) 
5. Tomar a decisão acerca de H0 
 
 Relação entre Testes de Hipóteses e Intervalos de Confiança: quadro 
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Testes de Hipóteses 
 Continua... 
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Testes de Hipóteses 
 Voltando a falar das possíveis decisões e erros dos testes: 
 O erro α pode ser controlado pela seleção apropriada dos valores críticos 
(região de rejeição) 
 Portanto: rejeitar H0 = conclusão forte 
Decisão H0 é verdadeira H0 é falsa 
Aceitar H0 Acerto Erro tipo II (β) 
Rejeitar H0 Erro tipo I (α) Acerto 
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Testes de Hipóteses 
 Ex.: formulação do teste anterior: 
 H0: μ = 50 
 H1: μ ≠ 50 
 α = 0,0574 → aceita H0 
quando 48,5 ≤ 𝑥 ≤ 51,5 
 Supondo que µverdadeira = 52 
 Um erro β será cometido 
quando a média amostral de 
uma distribuição normal com 
μ = 52 e σ = 2,5 cair dentro 
dos limites acima (em vermelho). 
 P(erro β) = quadro... 
 O erro β é calculado para um valor específico de μ: 
P (erro β) 
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Testes de Hipóteses 
 Potência do teste (ou poder do teste): 
 P(rejeitar H0 quando ela é realmente falsa) 
 Habilidade em detectar diferenças 
 Potência do teste = 1 – β 
 
 No teste anterior: 
 β = 0,2643 → Potência do teste = 0,7357 (quando µ = 52) 
 Isso quer dizer: se a média real for mesmo igual a 52, o teste detectará essa 
diferença 73,57% das vezes 
 Formas de aumentar a potência (ou reduzir β): 
 Aumentar α 
 Aumentar n 
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Testes de Hipóteses 
 Relação entre os erros α e β: 
 O erro α pode ser controlado pela seleção dos valores críticos; 
 Mantendo n constante: uma diminuição em α sempre resulta num aumento de β, 
e vice-versa; 
 Mantendo α constante: um aumento de n resulta na redução de β. 
Região de 
Aceitação 
Tamanho da 
amostra 
β quando 
µ = 52 
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Testes de Hipóteses 
 Valor P 
 É o menor nível de significância que conduz à rejeição de H0 
 Ainda: é a probabilidade de a estatística do teste acusar um valor tão ou 
mais distante do esperado, quantoo resultado ocorrido na amostra 
observada, supondo H0 como verdadeira 
 Ex.: quadro 
 
 Abordagem do valor P: muito utilizada em software estatísticos 
 Valor P ≤ α → rejeita H0 
 Valor P > α → aceita H0 
 
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Testes de Hipóteses 
 Exercício: 26) Barbetta, pág. 230 
 Um fabricante de lâmpadas afirma que o tempo médio de vida de uma 
lâmpada é de 2000 horas, com desvio-padrão de 200 horas, com distribuição 
normal. Um comprador retira uma amostra aleatória de 15 lâmpadas. 
Testando-as, obtém uma média de 1950 horas. 
a) Com nível de significância de 5%, há evidência de que a afirmação do 
fabricante é falsa, prejudicando o consumidor? Responda através de 
um teste estatístico. (Zt = -0,968) 
b) Qual o valor P deste teste? (0,166) 
c) Se o tempo de vida médio real fosse de 1950 horas, qual a 
probabilidade de se tomar uma decisão errada no item (a)? (β = 0,751) 
i. Qual o poder do teste realizado nessas condições? (0,249) 
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Testes de Hipóteses 
 Procedimentos semelhantes podem ser realizados para testar hipóteses acerca de 
outros parâmetros: 
 Teste de hipóteses para variância 
 Teste de hipóteses para proporção 
 
 A seguir, estudaremos testes de hipóteses para duas amostras, em que o objetivo 
é estudar a diferença entre os parâmetros de duas populações. 
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MONTGOMERY, D.C., RUNGER, G.C. Estatística aplicada e 
probabilidade para engenheiros. 4ª ed., Editora LTC, Rio de Janeiro, 2009. 
 
BARBETTA, P. A., REIS, M. M. & BORNIA, A. C. Estatística para Cursos 
de Engenharia e Informática. 2ª ed., Editora Atlas, São Paulo, 2009. 
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Referências