EE - 09 Testes de Hipóteses - Solução

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Engenharias - Disciplina: Estatística e experimentos Professor: Valdeon Sozo
 Introdução a estatística
 Análise de dados
 Erros e Probabilidades
 Correlação e regressão
 Análise de variância
 Intervalo de confiança
 Experimentos
 Teste de hipóteses
 Definições
 Tipos de testes de hipóteses
 Aplicações práticas
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Definições
Teste de hipóteses
É um meio de “medir” a probabilidade das diferenças entre os grupos serem ao acaso
É um teste hipóteses, onde:
 Hipótese nula – H0
Não há efeito de um tratamento, não há diferença entre grupos, etc
 Hipótese alternativa – H1
Existe efeito do tratamento, existe diferença...
Hipótese alternativa pode ser:
 Bicaudal ou bilateral: (...é diferente...)
 Unicaudal ou unilateral: (...é maior... ou ... é menor...)
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Formulação da Hipótese Alternativa (H1)
Teste de hipóteses
Possíveis Hipóteses 
Alternativas – H1
H1: μ > μ 0
Onde deseja-se verificar um hipotético aumento do parâmetro em questão.
Chamado de teste unilateral superior (upper-tailed test ).
Ex: Verificar se uma ação resultou em aumento de vendas.
H1: μ < μ0
Onde deseja-se verificar um hipotético decréscimo do parâmetro em questão
Chamado de teste unilateral inferior (lower-tailed test).
Ex: Verificar se uma ação redução de problemas de campo teve êxito.
H1: μ ≠ μ 0
Onde deseja-se verificar a hipotético diferença entre os valores em análise.
Chamado de teste bilateral inferior (two-tailed test).
Ex: Verificar se algum tratamento teve algum efeito, seja benéfico ou danoso.
Obs: μ0 é a referência ou valor com o qual os dados analisados serão comparados.
A hipótese alternativa pode assumir uma de três formas, pois pode-se acreditar que o parâmetro em questão aumentou, 
diminuiu ou mudou.
* Bilateral = bicaudal; 
* Unilateral = unicaudal
Definições
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 Calcula-se a estatística (teste) – mede o desvio dos dados ao 
que esperaríamos se H0 for verdadeira;
 Calcula-se a confiabilidade (valor P) – a probabilidade de obter 
o valor do teste ≥ ao encontrado se H0 for verdadeira;
 Interpretação: dados são consistentes com H0 ou contra H0;
Decisão:
 Aceita-se H0
 Rejeita-se H0 e aceita-se H1
O Valor p é uma referência para a decisão e o 
valor crítico de p é α, geralmente α = 0,05 (ou 
5%) resultando em um grau de confiança de 
95%.
Se p-valor > α, aceita-se H0
Se p-valor < α, rejeita-se H0 e aceita-se H1
Teste de hipóteses
Obs: 
 : Nível de significância estatística adotado.
 De forma geral são utilizados um Grau ou Nível de Confiança = 95% que corresponde a um Nível de Significância  = 5%.
 O grau de confiança é habitualmente escrito como 1 – α
 P-valor: Uma definição alternativa do valor-p é o menor nível de significância em que ainda podemos rejeitar H0.
Definições
Procedimentos:
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Teste de hipóteses
Possíveis erros de decisão:
Definições
Sob a perspectiva da H1:Sob a perspectiva da H0:
H0
Erro Tipo I:
Rejeitar a hipótese H0 quando ela é 
verdadeira.
Erro Tipo II:
Aceitar a hipótese H0 quando deveria 
ser rejeitada.
H0 H1
Erro Tipo I:
Aceitar a hipótese H1 quando deveria 
ser rejeitada.
Erro Tipo II:
Rejeitar a hipótese H1 quando ela é 
verdadeira.
H1
ou
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Teste de hipóteses
Erro Tipo I:
Também chamado de resultado “falso positivo”, pois 
concluímos incorretamente que a hipótese 
alternativa (H1) é verdadeira quando na verdade não 
é.
Erro Tipo II:
Também chamado de resultado “falso negativo” 
(como concluímos incorretamente que a hipótese 
alternativa (H1) é falsa quando na verdade não é)
Sob a perspectiva da H1:
Erro Tipo I:
Rejeitar a hipótese H0 qual ela é verdadeira.
Erro Tipo II:
Não rejeitar a hipótese H0 quando deveria ser 
rejeitada.
Sob a perspectiva da H0:
Possíveis erros de decisão, em outras palavras:
Definições
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Teste de hipóteses
Erros Tipo I e II versus níveis de significância
Definições
Probabilidade de ocorrer o Erro Tipo I
É expresso por α (ou nível de significância adotado no teste)
Probabilidade de ocorrer o Erro Tipo II
É expresso por  e é inversamente proporcional a α
Ex:
α => Probabilidade de concluir que um tratamento é eficaz, quando na verdade não é.
 => Probabilidade de concluir que um tratamento não é eficaz, quando na verdade é.
Obs:
 Nos testes de hipóteses, somente temos a opção de variar valores de α, pois β depende de vários fatores, tais como: o tamanho da 
amostra, o próprio α e a hipótese alternativa (que pode assumir 3 formatos)
 O motivo mais comum para um erro do Tipo II é um pequeno tamanho de amostra.
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Erros Tipo I e II versus níveis de significância
Teste de hipóteses
Testes de significância costumam usar um nível de significância de alpha (α = 0,05 ou 5%) mas em alguns casos faz 
sentido usar outros níveis de significância. Mudar α afeta as probabilidades dos erros Tipo I e Tipo II.
Definições
α e Erro Tipo I (rejeitamos uma hipótese nula verdadeira)
Valores mais baixos de α tornam mais difícil rejeitar a hipótese nula, então escolher 
valores mais baixos de α pode reduzir a probabilidade de erros Tipo I. Porém, quando 
usamos valores mais baixos de α, podemos aumentar a probabilidade de um erro 
Tipo II. 
α e Erro Tipo II (aceitamos uma hipótese nula fala)
Um erro Tipo II é quando não rejeitamos uma hipótese nula falsa. Com valores mais 
altos de α podemos reduzir a probabilidade de um erro Tipo II, pois tornam mais fácil 
rejeitar a hipótese nula.
α
Erros Tipo I
α
Erros Tipo II
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Situações envolvendo erros Tipo I e II: Exemplo
Teste de hipóteses
Qual seria a consequência de um erro Tipo I nesse cenário?
1) A academia fecha a piscina quando ela precisa ser fechada.
2) A academia fecha a piscina quando ela não precisaria ser fechada.
3) A academia não fecha a piscina quando ela precisaria ser fechada.
Os funcionários de uma academia fazem um teste de qualidade de
água diário na piscina. Se o nível de contaminantes for muito alto, eles
fecham temporariamente a piscina para realizar um tratamento da
água. Nós podemos definir as hipóteses para o teste como:
HO: a qualidade da água é aceitável 
H1: a qualidade da água não é aceitável.
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Teste de hipóteses
Os funcionários de uma academia fazem um teste de qualidade de
água diário na piscina. Se o nível de contaminantes for muito alto, eles
fecham temporariamente a piscina para realizar um tratamento da
água. Nós podemos definir as hipóteses para o teste como:
HO: a qualidade da água é aceitável 
H1: a qualidade da água não é aceitável.
Qual seria a consequência de um erro Tipo II nesse cenário?
1) A academia fecha a piscina quando ela precisa ser fechada.
2) A academia fecha a piscina quando ela não precisaria ser fechada.
3) A academia não fecha a piscina quando ela precisaria ser fechada.
Situações envolvendo erros Tipo I e II: Exemplo
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Teste de hipóteses
Os funcionários de uma academia fazem um teste de qualidade de
água diário na piscina. Se o nível de contaminantes for muito alto, eles
fecham temporariamente a piscina para realizar um tratamento da
água. Nós podemos definir as hipóteses para o teste como:
HO: a qualidade da água é aceitável 
H1: a qualidade da água não é aceitável.
Em termos de segurança, qual erro tem consequências mais perigosas nesse cenário?
Tipo I: A consequência aqui é que a piscina é fechada para tratamento quandoisso não seria necessário.
Tipo II: A consequência aqui é que as pessoas irão nadar em água contaminada.
Situações envolvendo erros Tipo I e II: Exemplo
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Teste de hipóteses
Os funcionários de uma academia fazem um teste de qualidade de
água diário na piscina. Se o nível de contaminantes for muito alto, eles
fecham temporariamente a piscina para realizar um tratamento da
água. Nós podemos definir as hipóteses para o teste como:
HO: a qualidade da água é aceitável 
H1: a qualidade da água não é aceitável.
Que nível de significância () deve ser usado para reduzir a probabilidade de um erro perigoso?
 = 1%
 = 5%
 = 10%
Usar um nível de significância maior aumenta a probabilidade de um erro Tipo I, mas 
diminui a probabilidade de um erro Tipo II (que é mais perigoso nesse cenário).
Outra alternativa para reduzir o Erro Tipo II é aumentar o tamanho da amosta!
Situações envolvendo erros Tipo I e II: Exemplo
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A importância da análise de variabilidade:
Definições
Teste de hipóteses
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Amostras dependentes x independentes
 Duas amostras são dependentes quando se originam da mesma unidade de observação, 
como por exemplo, situações de “antes e depois”.
 O emparelhamento é determinado pelo projeto do experimento. Não tem nada a ver 
com os valores ou com os dados, mas sim com a maneira como os valores são obtidos.
 As amostras são dependentes quando existe uma ligação natural entre uma observação 
num conjunto de medições e uma observação particular no outro conjunto de medições.
 A melhor maneira de determinar se os dados são dependentes é identificar o link 
natural entre as duas medições. (Procure o link!)
 Quando as medições são emparelhadas, o emparelhamento deve ser refletido na 
análise. Os dados não podem ser analisados ​​como amostras independentes.
Definições
Teste de hipóteses
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 Introdução a estatística
 Análise de dados
 Erros e Probabilidades
 Correlação e regressão
 Análise de variância
 Intervalo de confiança
 Experimentos
 Teste de hipóteses
 Definições
 Tipos de testes de hipóteses
 Aplicações práticas
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Tipos de testes
Teste de hipóteses
Para testar as hipotéticas diferenças entre médias, utiliza-se o conceito de intervalo de confiança, o qual toma como base o
Teorema do Limite Central.
Os Intervalo de Confiança (IC) para a Média são:
Para calcular este IC seria necessário conhecer o desvio padrão da população (σ) que geralmente é desconhecido. Desta forma,
utiliza-se para os testes de hipóteses a Distribuição t, que utiliza o desvio padrão da amostra (s) em vez do desvio padrão da
população (σ).
Ou para obtenção dos valores da estatística t:
é uma distribuição t de Student (ou simplesmente
distribuição t) com n − 1 graus de liberdade
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Tipos de testes
Teste de hipóteses
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 Introdução a estatística
 Análise de dados
 Erros e Probabilidades
 Correlação e regressão
 Análise de variância
 Intervalo de confiança
 Experimentos
 Teste de hipóteses
 Definições
 Tipos de testes de hipóteses
 Aplicações práticas
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Exercício I
Após ter efetuado uma melhoria em um determinado processo
produtivo você precisa certificar-se se sua alteração esta sendo
estatisticamente significativa.
Usando os dados ao lado, selecione a técnica estatística adequada
para validar se a melhoria implementada realmente surtiu efeito
positivo, ou seja, se a variável resposta realmente teve aumento.
Considere um nível de confiança de 95%.
Aplicações práticas
Teste de hipóteses
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Exercício I: solução (usando suplementos do Excel)
Utilizando o Excel:
Obs: Assume-se que os dados são normalmente distribuídos.
Neste caso, rejeita-se aceita H0 ou seja: a media dos dois estados do processo
(atual e melhorado) não são iguais, o que denota que as melhorias realizadas
FORAM significativas!
Aplicações práticas
Teste de hipóteses
A normalidade dos dados é 
verificada com base na 
diferença dos dados, ou seja, 
Antes x Depois, Anterior x 
Posterior, Antes da Melhoria x 
Depois da melhoria ....
Critério:
Se p-valor > α, aceita-se H0 ----------------------> As médias dos processo seriam iguais
Se p-valor < α, rejeita-se H0 e aceita-se H1 ----> A média do processo melhorado é maior
Hipótese alternativa :
Unicaudal ou unilateral: ou seja, processo melhorado seria melhor que o atual!
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Exercício I: solução (uso de fórmulas do Excel)
Aplicações práticas
Teste de hipóteses
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Exercício I: solução (uso de fórmulas)
Aplicações práticas
Teste de hipóteses
Hipótese alternativa :
Unicaudal ou unilateral: ou seja, processo melhorado seria melhor que o atual!
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Exercício II
Dois grupos independentes mas que realizam atividades equivalentes
tem apresentado resultados diferentes em suas avaliações.
Usando os dados ao lado que ilustram a performance dos grupos por
meio de suas avaliações, selecione a técnica estatística adequada para
averiguar se realmente a performance dos grupos é diferente.
Considere um nível de confiança de 95%.
Aplicações práticas
Teste de hipóteses
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Exercício II: solução (usando suplementos do Excel)
Utilizando o Excel:
Obs: Assume-se que os dados são normalmente distribuídos.
Neste caso, aceita-se H0 ou seja: a media dos dois grupos são iguais, o que não
demonstra a diferença na performance dos grupos observados.
Aplicações práticas
Teste de hipóteses
A normalidade dos dados é 
verificada com base nos dados 
inseridos.
Hipótese alternativa :
Bicaudal ou bilateral: ou seja, os grupos produzem resultados diferentes
Critério: 
Se p-valor > α, aceita-se H0 ------------------> Em média, os dois grupos produzem os mesmos resultados.
Se p-valor < α, rejeita-se H0 e aceita-se H1 ---> Em média, os dois grupos produzem resultados diferentes.
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Exercício II: solução: refletindo sobre a hipótese alternativa!!!
Aplicações práticas
Teste de hipóteses
Porém, deveríamos investigar também sob uma diferente perspectiva! Quando analisamos sob perspectivas de: 
“menor que ou maior que”, nosso “poder” do teste aumenta, ou seja, por meio de testes unilaterais!
H0 aceita, ou seja, os grupos seriam iguais!
H0 rejeitada, ou seja: grupo 2 tem resultados inferiores.
Com teste unilateral:
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Exercício II: solução: refletindo sobre a hipótese alternativa!!!
Aplicações práticas
Teste de hipóteses
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Exercício II: solução: realizando o teste unilateral (uso de fórmulas do Excel)
Aplicações práticas
Teste de hipóteses
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Exercício II: solução unilateral (uso de fórmulas)
Aplicações práticas
Teste de hipóteses
Formulas para dados independentes, mas com n1 = n2.
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Exercício III
Visando aprimorar o nível de atendimento a consumidores, uma das
células de atendimentorecebeu uma melhoria no processo e os
dados de satisfação do consumidor antes e depois da melhoria ser
implementada são ilustrados ao lado. Verifique estatisticamente com
95% de confiança, se a melhoria de fato surtiu efeito na satisfação do
consumidor. Obs: Escala de avaliação: 1 = Péssimo .... 10 = Excelente.
Aplicações práticas
Teste de hipóteses
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Exercício III: solução
Aplicações práticas
Teste de hipóteses
Solução passo a passo:
- Verifique a normalidade dos dados. Analisando pelo teste de Anderson-Darling, observa-se não normalidade dos dados.
- O teste de Wilcoxon é utilizado em situações onde os dados não são normais. A normalidade será averiguada na diferença dos dados ou 
seja, comparando-se "antes x depois". Veja os valores na coluna "Diferença".
- Hipóteses:
H0: A variação da satisfação do consumidor no processo melhorado x processo atual é menor ou igual a zero.
H1: A variação da satisfação do consumidor no processo melhorado x processo atual é maior que zero
- Utilizando a função criada nesta planilha: WilcoxonSigned( ) selecione os dados das duas colunas dos dados. A função após a seleção 
ficará assim =WilcoxonSigned($D$8:$D$48;$E$8:$E$48)
- Decisão: 
Se o valor obtido pela função "WilcoxonSigned" >= 5% aceita-se H0
Se o valor obtido pela função "WilcoxonSigned" < 5% rejeita-se H0 e aceita-se H1
Neste caso: como o valor do Tese de WilcoxonSigned = 0,00073, ou seja, inferior a 5%, aceita-se H1. Isto significa que a melhoria realizada 
no processo de atendimento resultou numa melhor satisfação ao consumidor.
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