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TESTES DE HIPÓTESES 
 
 
5.1 DEFINIÇÕES 
 
(a) Hipóteses estatísticas 
 
São suposições que se faz, acerca dos parâmetros de uma 
população, ao tentar a tomada de decisões. Essas suposições poderão 
ser verdadeiras ou não. 
 
(b) Hipótese nula e alternativa 
 
-Hipótese nula (H0): é qualquer hipótese que será testada. 
-Hipótese alternativa (H1): é qualquer hipótese diferente da hipótese 
nula. 
 
O teste de hipótese coloca a hipótese nula H0 em contraposição à 
alternativa H1. Suponhamos que  seja o parâmetro a ser testado. As 
hipóteses nula e alternativa geralmente são enunciadas como: 
 
(1) H0:  = 0 (2) H0:  = 0 (3) H0:  = 0 
 H1:  < 0 H1:  > 0 H1:   0 
 
(c) Regiões de aceitação e rejeição 
 
-Região de aceitação (R.A.): é a região em que se aceita a 
hipótese nula H0. Pode ser um trecho do eixo das abscissas onde estão 
representados os valores da variável de interesse. 
 
Estatística Básica para os Cursos de Engenharia 147 
-Região de rejeição (R.R.) ou região crítica (R.C.): é a região em 
que se rejeita a hipótese nula H0, sendo complementar à região de 
aceitação. 
(d) Erros dos tipos I e II 
 
Na aplicação de um teste de hipótese, pode-se cometer dois tipos 
de erros, são os erros tipos I e II. 
 
- Erro tipo I: é o erro cometido ao rejeitarmos a hipótese nula, 
sendo ela verdadeira. 
- Erro tipo II: é o erro cometido ao aceitarmos a hipótese nula, 
sendo ela falsa. 
 
(e) Nível de significância 
 
É a probabilidade máxima com a qual se sujeitaria a correr o 
risco de um erro tipo I. Essa probabilidade pode ser representada da 
seguinte maneira 
 
 = P(rejeitar H0 / H0 verdadeira). (5.1) 
 
Na prática é muito comum o uso dos níveis de 0,05 (5%) e 0,01 (1%). 
A probabilidade de cometermos o erro tipo II é dada por 
 
 = P(aceitar H0 / H0 falsa). (5.2) 
 
(f) Testes unilateral e bilateral 
 
- Teste unilateral: quando a R.R. estiver em um dos extremos do 
eixo da variável de interesse. 
- Teste bilateral: quando a R.R. estiver nos dois extremos do eixo 
da variável de interesse. 
 
(g) Curva característica de operação (C.C.O.) 
 
Testes de hipóteses 148 
É a representação gráfica de . Ela é construída marcando-se no 
eixo das abscissas os valores testados do parâmetro , ou de uma 
variável a ele associada, e no eixo das ordenadas a probabilidade de 
aceitar H0, quando ela for falsa. 
Uma C.C.O. está associada a cada teste de hipótese e resume as 
condições fundamentais de funcionamento ou operação do teste. 
Embora em muitos casos comuns não seja indispensável construir a 
C.C.O., ela é sempre útil para a compreensão do teste. 
 
 
5.2 ESQUEMA GERAL DE UM TESTE 
 
Na aplicação de um teste de hipótese deve-se seguir os seguintes 
passos: 
 
(1) Enunciar a hipótese nula H0. 
 
(2) Enunciar a hipótese alternativa H1. 
 
(3) Fixar o nível de significância . 
 
(4) Escolher a distribuição de probabilidade adequada ao teste e 
a 
partir daí determinar a R.R. da hipótese nula H0. 
 
(5) Extrair a amostra aleatória e calcular o valor da estatística 
correspondente. 
 
(6) Conclusão: com base no valor amostral obtido, tomar a 
decisão de rejeitar H0 (se o valor amostral cair na R.R.) ou aceitar H0 
(se o valor amostral cair na R.A.). 
 
 
5.3 TESTE PARA A MÉDIA POPULACIONAL  
 
(1) H0:  = 0. 
Estatística Básica para os Cursos de Engenharia 149 
 
 a)  < 0. 
(2) H1: b)  > 0. 
 c)   0. 
 
(3) Fixar o nível de significância . 
(4) Determinar a região de rejeição. 
 
 
1o CASO: Se o desvio padrão populacional  for conhecido 
 
Figura 5.1 - Região de rejeição para a média  
 
a) b) c) 
 
2o CASO: Se desvio padrão populacional  for desconhecido 
 
Figura 5.2 - Região de rejeição para a média  
 
a) b) c) 
 
 
 
Testes de hipóteses 150 
 
 (5) Calcular a estatística do teste 
 
n
σ
μx
z 0

 , (5.3) 
para o 1o caso e 
n
s
μx
t 0

 , (5.4) 
para o 2o caso. 
 
(6) Conclusões 
 
 a) se z < -z ou t < -t, rejeita-se H0. 
 b) se z > z ou t > t, rejeita-se H0. 
 c) se | z | > z/2 ou | t | > t/2, rejeita-se H0. 
 
Exemplos: 
 
1. Uma população tem desvio padrão conhecido, sendo igual a 5 mm. 
Se uma amostra de 50 elementos, obtida dessa população, tem média 
igual a 46 mm; podemos afirmar que a média dessa população é 
superior a 43 mm, ao nível de significância de 1%? 
 
(1) H0:  = 43 mm. 
 
(2) H1:  > 43 mm. 
 
(3)  = 0,01. 
 
(4) Determinação da R.R. 
Estatística Básica para os Cursos de Engenharia 151 
 
 
 
Pela tabela, obtém-se 
 
 z = 2,33. 
 
 
 
 (5) Cálculo da 
estatística do teste 
 
24,4
50
5
4346
z 

 . 
 
(6) Conclusão: como z > z = 2,33, rejeita-se H0, ou seja, o 
resultado amostral é suficiente para afirmarmos que a média é superior 
a 43 mm no nível de significância considerado. 
 
2. Para o exemplo anterior, calcular o erro tipo II para as seguintes 
hipóteses alternativas: 
 
 
a) H1:  = 40 mm; b) H1:  = 47 mm. 
 
 
Para z = 2,33, tem-se que 
 
50
5
43x
33,2

  x mm 44 6, , 
 
ou seja, a hipótese H0 é aceita para x  44 6, mm. 
 
 
Testes de hipóteses 152 
 
a)  = P(aceitar H0 / H0 falsa) = P(x  44,6 mm /  = 40 mm)? 
 
51,6
50
5
406,44
z 

 , resultando  = P(z  6,51) = 1. 
 
 
 
 
b)  = P(aceitar H0 / H0 falsa) = P(x  44,6 mm /  = 47 mm)? 
 
39,3
50
5
476,44
z 

 , resultando  = P(z  -3,39) = 0,0003. 
 
 
3. Construir a C.C.O. para o exemplo anterior. 
 
 
Calculando diversos valores de , obtemos a tabela abaixo: 
 
 40 41 42 43 44 45 46 47 48 
z 6,51 5,09 3,68 2,26 0,85 -0,57 -1,98 -3,39 -4,81 
 1 1 0,9999 0,9881 0,8023 0,2843 0,0238 0,0003 0 
Estatística Básica para os Cursos de Engenharia153 
4. Um fabricante afirma que a tensão média de ruptura dos cabos 
produzidos por sua companhia não é inferior a 500 kgf. Uma amostra de 
7 cabos foi ensaiada, obtendo-se os resultados (em kgf) 
 
490, 495, 480, 493, 475, 478 e 485. 
 
Testar a afirmação do fabricante, utilizando o nível de 
significância de 5%. 
(1) H0:  = 500 kgf. 
 
(2) H1:  < 500 kgf. 
 
(3)  = 0,05. 
 
(4) Determinação da R.R. 
 
Testes de hipóteses 154 
 
 
 
Para  = n - 1 
 = 7 - 1 = 6, 
obtém-se da tabela: 
-t = -1,94. 
 
 
 
 
 
 
(5) Cálculo da estatística do teste 
 
 
1,485
7
3396
x  kgf , 78,7
17
87,362
s 

 kgf, 
 
resultando 
 
07,5
7
78,7
5001,485
t 

 . 
 
 
(6) Conclusão: como t < -t = -1,94, rejeita-se H0, ou seja, a 
amostra é suficiente para duvidarmos da afirmação do fabricante. 
 
5.4 TESTE PARA A DIFERENÇA ENTRE DUAS MÉDIAS PO- 
 PULACIONAIS 1 E 2 
 
1o CASO: Se os desvios padrões populacionais 1 e 2 forem 
conhecidos 
 
 
Estatística Básica para os Cursos de Engenharia 155 
(1) H0: 1 - 2 = d 0. 
 
 a) 1 - 2 < d 0. 
(2) H1: b) 1 - 2 > d 0. 
 c) 1 - 2  d 0. 
 
(3) Fixar o nível de significância . 
(4) Determinar a R.R. conforme a Figura 5.1. 
(5) Calcular a estatística do teste 
 
z
x x d
n n

 

( )1 2 0
1
2
1
2
2
2
 
 (5.5) 
(6) Conclusões: a) se z < -z , rejeita-se H0. 
 b) se z > z, rejeita-se H0. 
 c) se | z | > z/2, rejeita-se H0. 
 
Exemplo 
 
Uma amostra de 100 válvulas da Companhia A tem média xA = 
1530 h, sendo A = 100 h . Uma outra amostra de 70 válvulas da 
Companhia B, tem xB = 1420 h, sendo B = 80 h. Testar a hipótese de 
que as válvulas da Companhia A em relação a B tem duração média 
superior a 100 h. Utilizar  = 0,01. 
 
 
(1) H0: A - B = 100 h. 
 
(2) H1: A - B > 100 h. 
 
(3)  = 0,01. 
 
Testes de hipóteses 156 
(4) Determinação da R.R. 
 
 
Para  = 0,01, 
a tabela fornece: 
z = 2,33. 
 
 
 
 
(5) Cálculo da estatística z 
 
72,0
70
2
80
100
2
100
100)14201530(
z 


 . 
 
(6) Conclusão: como z < z = 2,33, aceita-se H0, ou seja, a 
diferença não é superior a 100 h. 
 
2o CASO: Se os desvios padrões populacionais 1 e 2 forem 
desconhecidos e supostamente iguais. 
 
(1) H0: 1 - 2 = d 0. 
 
 a) 1 - 2 < d 0. 
(2) H1: b) 1 - 2 > d 0. 
 c) 1 - 2  d 0. 
 
(3) Fixar o nível de significância . 
 
(4) Determinar a R.R. conforme a Fig. 5.2, com  = n1 + n2 - 2. 
 
(5) Calcular a estatística do teste 
 
 
Estatística Básica para os Cursos de Engenharia 157 
t
x x d
s
n np

 







( )1 2 0
2
1 2
1 1
 , (5.6) 
 
onde a variância sp
2
 é calculada pela expressão (3.30). 
 
(6) Conclusões: a) se t < -t , rejeita-se H0. 
 b) se t > t , rejeita-se H0. 
 c) se | t | > t/2 , rejeita-se H0. 
 
 
Exemplo 
 
Dois tipos de soluções químicas foram ensaiados para se 
determinar os pH. Os resultados obtidos foram 
 
 solução A: 7,50 7,54 7,51 7,53 7,50 
 solução B: 7,49 7,50 7,51 7,52 7,50 7,51. 
 
Testar a hipótese de que não existe diferença entre os pH médios das 
duas soluções, supondo que os desvios padrões populacionais são 
iguais. Usar  = 0,05. 
 
(1) H0: A = B ou A - B = 0. 
 
(2) H1: A  B ou A - B  0. 
 
(3)  = 0,05. 
 
(4) Determinação da R.R. 
Testes de hipóteses 158 
 
(5) Cálculo da estatística do teste 
 
516,7
5
58,37
Ax  ; 00033,015
00132,02
A
s 

 ; nA = 5; 
 
505,7
6
03,45
Bx  ; 00011,016
00055,02
B
s 

 ; nB = 6; 
 
 
000208,0
265
00011,0)16(00033,0)15(2
p
s 


 . 
 
 
26,1
6
1
5
1
000208,0
0)505,7516,7(
t 









. 
 
(6) Conclusão: como | t | < t/2 = 2,26, aceita-se H0, ou seja, não 
existe diferença significativa, ao nível de significância de 5%, entre os 
pH das soluções A e B. 
3o CASO: Se os desvios padrões populacionais 1 e 2 forem 
desconhecidos e supostamente diferentes 
 
Estatística Básica para os Cursos de Engenharia 159 
 
(1) H0: 1 - 2 = d 0. 
 
 a) 1 -2 < d 0. 
(2) H1: b) 1 - 2 > d 0. 
 c) 1 - 2  d 0. 
 
(3) Fixar o nível de significância . 
 
(4) Determinar a R.R. conforme a Figura 5.2, com graus de 
liberdade  dado pela expressão (4.28). 
 
(5) Calcular a estatística do teste 
 
 
t
x x d
s
n
s
n

 

( )1 2 0
1
2
1
2
2
2
 (5.7) 
 
(6) Conclusões: a) se t < -t, rejeita-se H0. 
 b) se t > t, rejeita-se H0. 
 c) se | t | > t/2, rejeita-se H0. 
Exemplo 
 
Uma mesma distância foi medida 5 vezes por certo instrumento, 
antes e após sofrer uma calibração. Antes da calibração os resultados 
foram (em metros) 
 
100,8 101,3 100,6 99,5 100,1, 
 
e após a calibração 
 
100,5 100,4 100,5 100,3 100,3. 
Testes de hipóteses 160 
Testar a hipótese de que não existe diferença entre os resultados obtidos 
antes e após a calibração do instrumento. Utilizar o nível de 
significância de 5%. 
 
Sendo 1 a média antes e 2 a média após a calibração, tem-se 
 
(1) H0: 1 = 2 ou 1 - 2 = 0. 
 
(2) H1: 1  2 ou 1 - 2  0. 
 
(3)  = 0,05. 
 
(4) Determinação da R.R. 
 
46,100
5
3,502
1x  m; 473,0
15
892,12
1s 

 m2 e 
0946,0
5
473,0
1
2
1
1
n
s
w  ; 
 
 
40,100
5
0,502
2x  m; 010,0
15
040,02
2s 

 m2; e 
0020,0
5
010,0
2
2
2
2
n
s
w  ; 
 
Estatística Básica para os Cursos de Engenharia 161 
4
15
2
(0,0020)
15
2
(0,0946)
2
0,0020)(0,0946
ν 




 ; tabela: t/2 = 2,78. 
 
 
(5) Cálculo da estatística do teste 
 
 
19,0
5
010,0
5
473,0
0)40,10046,100(
t 


 . 
 
 
(6) Conclusão: como | t | < t/2 = 2,78, aceita-se H0, ou seja, não 
existe diferença significativa entre os resultados das medidas antes e 
após a calibração. 
 
4o CASO: Se os dados são emparelhadosEsse teste deve ser utilizado quando os dados estão relacionados 
dois a dois de acordo com algum critério. 
 
 
(1) H0: 1 - 2 = d 0. 
 
 a) 1 - 2 < d 0. 
(2) H1: b) 1 - 2 > d 0. 
 c) 1- 2  d 0. 
 
(3) Fixar o nível de significância . 
 
(4) Determinar a R.R. conforme a Figura 5.2, com  = n -1. 
 
(5) Calcular a estatística do teste 
Testes de hipóteses 162 
n
s
dd
t 0

 , (5.8) 
onde 
 
s
d d
n
i



( )2
1
 ; d
d
n
i


 ; d x xi i i 1 2 ; 
 
sendo que di representa a i-ésima diferença entre duas observações 
emparelhadas. 
 
(6) Conclusões: a) se t < -t , rejeita-se H0. 
 b) se t > t , rejeita-se H0. 
 c) se | t | > t/2 , rejeita-se H0. 
 
Exemplo 
 
Dois operários determinaram os pesos (em g) das impurezas 
contidas em 6 amostras de certo produto químico, obtendo os resultados 
 
Amostras 1 2 3 4 5 6 
Operário A 10,1 10,4 10,2 10,5 99 10,0 
Operário B 9,8 10,0 10,1 10,0 10,1 9,5 
 
Pode-se concordar com a hipótese de que não existe diferença 
entre as determinações dos dois operários, no nível de significância de 
1%? 
 
As diferenças di são: 0,3; 0,4; 0,1; 0,5; -0,2 e 0,5. 
 
27,0
6
6,1
d  g; 273,0
16
3734,0
s 

 g. 
 
(1) H0: A = B ou A - B = 0. 
Estatística Básica para os Cursos de Engenharia 163 
(2) H1: A  B ou A - B  0. 
 
(3)  = 0,01. 
 
(4) Determinação da R.R. 
 
 
 
Para  = n - 1 = 6 - 1 
 = 5 e /2=0,005, 
 obtém-se na tabela 
 t/2 = 4,03. 
 
 
 
 
(5) Cálculo da estatística do teste 
 
42,2
6
273,0
027,0
t 

 . 
 
(6) Conclusão: como | t | < t/2 = 4,03, aceita-se H0, ou seja, não 
existe diferença significativa entre as determinações no nível de 
significância de 1%. 
 
 
5.5 TESTE PARA A VARIÂNCIA POPULACIONAL 2 
 
(1) H0: 
2
0
2 σσ  . 
 
 a) 
2
0
2 σσ  . 
(2) H1: b) 
2
0
2 σσ  . 
 c) 
2
0
2 σσ  . 
Testes de hipóteses 164 
(3) Fixar o nível de significância . 
 
(4) Determinar a R.R. 
 
 
Figura 5.3 - Região de rejeição para a variância 
 
 
a) b) c) 
 
 
(5) Calcular a estatística do teste 
 


2
2
0
2
1

( )n s
 (5.9) 
 
(6) Conclusões: a) se   
2
1
2  , rejeita-se H0. 
 b) se  
2 2 , rejeita-se H0. 
 c) se   
2
1 2
2  / ou  
2
2
2 / , rejeita-se 
H0. 
 
Exemplo 
 
As chapas de aço produzidas por certa indústria tem uma 
especificação tal que a variância de suas espessuras (em mm) não deve 
ser superior a 0,0009 mm2. Uma amostra de 10 chapas tem espessura 
(em mm): 
 
Estatística Básica para os Cursos de Engenharia 165 
3,15 3,18 3,15 3,12 3,14 3,13 3,17 3,16 3,15 3,16. 
 
 
Testar a hipótese de que a variância está dentro da especificação 
desejada, usando  = 0,05. 
 
(1) H0: 2 = 0,0009 mm2. 
 
(2) H1: 2 > 0,0009 mm2. 
 
(3)  = 0,05. 
 
(4) Determinação da R.R. 
 
 
Para  = 10 - 1 = 9, 
obtém-se da tabela, 
2 = 16,919. 
 
 
 
 (5) Cálculo da estatística do teste 
 
 
151,3
10
51,31
x  mm; 0003211,0
110
00289,02s 

 mm2; 
 
 
2110,3
0009,0
0003211,0)110(2 

 . 
 
 
 
(6) Conclusão: como 919,16
22   , aceita-se H0, ou seja, 
a variância está dentro da especificação desejada. 
 
Testes de hipóteses 166 
 
5.6 TESTE PARA A IGUALDADE DE DUAS VARIÂNCIAS 
 POPULACIONAIS 
2
1σ e 
2
2σ 
 
(1) H0: 
2
2
2
1 σσ  . 
 
 a) 
2
2
2
1 σσ  
(2) H1: b) 
2
2
2
1 σσ  
c) 
2
2
2
1 σσ  
 
(3) Fixar o nível de significância . 
 
(5) Determinar a R.R. 
 
 
Figura 5.4 - Região de rejeição para a igualdade de duas variâncias 
a) b) c) 
 
(5) Calcular a estatística do teste 
 
F
s
s

1
2
2
2
 (5.10) 
 
(6) Conclusões: a) se F < F1-, rejeita-se H0. 
 b) se F > F, rejeita-se H0. 
 
Estatística Básica para os Cursos de Engenharia 167 
 c) se F < F1-/2 ou F > F/2, rejeita-se H0. 
Exemplo 
 
Foram testadas as durabilidades (em km) dos pneus das marcas A 
e B, obtendo-se para 5 pneus de cada marca os resultados 
 
marca A: 30000 32000 28000 26000 31000 
marca B: 25000 30000 20000 21000 23000 
 
 
Existe diferença significativa entre as variâncias das durabilidades dos 
dois pneus, no nível de significância de 10%? 
 
(1) H0: 
2
B
2
A σσ  . 
 
(2) H1: 
2
B
2
A σσ  . 
 
(3)  = 0,10. 
 
(4) Determinação da R.R. 
 
 
 
1 = n1 - 1 = 5 - 1 = 4, 
2 = n2 - 1 = 5 - 1 = 4, 
F/2 = F/2(1,2) = 6,39 
e 
F1-/2 = F1-/2(1,2) = 
1/F/2(2,1) = 1/6,39 = 
0,16. 
 
 
(5) Cálculo da estatística do teste 
 
 
 
Testes de hipóteses 168 
29400
5
147000
x A  km; 5800000
15
232000002
As 

 km2; 
23800
5
119000
x B  km; 15700000
15
628000002
Bs 

 km2; 
 
 
37,0
15700000
5800000
2
B
2
A
s
s
F  . 
 
 
 
(6) Conclusão: como F1-/2 = 0,16 < F < F/2 = 6,39, aceita-se 
H0, ou seja, não existe diferença significativa entre as variâncias, ao 
nível de significância de 10%. 
 
 
 
5.7 TESTE PARA A IGUALDADE DE k (k > 2) VARIÂNCIAS 
 POPULACIONAIS 
2
1σ , 
2
2σ ,  , 
2
kσ 
 
Para amostras de tamanhos diferentes, utiliza-se o teste de 
Bartlett descrito a seguir. 
 
(1) H0: 
2
k
2
2
2
1 σσσ   . 
 
(2) H1: pelo menos uma das variâncias é diferente das demais 
 
 
(3) Fixar o nível de significância . 
 
 
(4) Determinar a R.R. 
 
 
Estatística Básica para os Cursos de Engenharia 169 
A estatística adequada segue uma distribuição do tipo 2 com 
  = k - 1 graus de liberdade. 
Figura 5.5 – Região de rejeição – teste de Bartlett 
 
 
(5) Calcular a estatística do teste 
 














 



k
1i
2
ii
k
1i
2
ii
2
ν slogν
kn
sν
k)log(n
C
2,3026
χ (5.11) 
onde: 
 
nn i
i
k



1
, i = ni - 1,  = k – 1 e 








 
 kn
1
ν
1
1)3(k
1
1C
k
1i i
, 
 
sendo si
2
 e ni (i = 1, 2,  , k) estimativas das variâncias e tamanho 
das amostras, respectivamente. 
 
(6) Conclusão: se   
2 2 , rejeita-se H0. 
 
Exemplo 
 
 
Testes de hipóteses 170 
Três topógrafos mediram um mesmo ângulo, obtendo os 
resultados: 
Topógrafo 1: 151', 152', 154', 152'. 
Topógrafo 2: 153', 154', 155'. 
Topógrafo 3: 151', 156', 152', 157', 157'. 
 
 
Ao nível de significância de 1%, há evidência de que as 
variâncias populacionais sejam iguais? 
 
(1) H0: 
2
3
2
2
2
1 σσσ  . 
 
(2) H1: pelo menos uma das variâncias é diferente das demais. 
 
(3)  = 0,01. 
 
(4) Determinação da R.R. 
 
 
 
Para  = k - 1 = 3 - 1 = 2, 
a tabela fornece 
 
2 9 210 , . 
 
 
 
 
 
 
 (5) Cálculo da estatística do teste 
 
 
'25,215
4
'960
x 0
0
1  ; s1
2 24 75
4 1
158


,
, '( ) ; 
 
 
Estatística Básica para os Cursos de Engenharia 171 
x2
0
045 12
3
15 4 
'
' ; s2
2 22 00
3 1
1 00


,
, '( ) ; 
x3
0
075 23
5
15 4 6 
'
, '; s3
2 233 20
5 1
8 30


,
, '( ) ; 
 
 
1 = n1-1 = 4-1 = 3; 2 = n2-1= 3-1 = 2; 3 = n3-1 = 5-1 = 4; k = 3; 
 
 
n = n1 + n2 + n3 = 4 + 3 + 5 = 12 e 
 
 
1,16
312
1
4
1
2
1
3
1
1)3(3
1
1C 



 





 
 
 
3,084,2723
312
39,94
3)log(12
1,16
2,30262
νχ 

 





 . 
 
 
(6) Conclusão: como 
2
α
2
ν χχ  , aceita-se H0, ou seja, as 
variâncias são iguais ao nível de significância de 1%. 
 
Para amostras de mesmo tamanho n, a hipótese de igualdade das 
variâncias será testada utilizando-se o teste de Cochran, que consiste no 
cálculo da estatística 
 
 


2
i
2
i
s
smax
g (i = 1, 2,  , k). (5.12) 
 
 
Testes de hipóteses 172 
A Tabela 5.1 fornece alguns valores críticos de g (denotados por 
g) em função de n e k, apenas para os níveis de 1% e 5 %. A hipótese 
H0 será rejeitada quando g > g. 
Tabela 5.1 - Valores críticos para o teste de Cochran 
 
n 3 3 4 4 5 5 
k\ 1% 5% 1% 5% 1% 5% 
2 0,9950 0,9750 0,9794 0,9392 0,9586 0,9057 
3 0,9423 0,8709 0,8831 0,7977 0,8335 0,7457 
4 0,8643 0,7679 0,7814 0,6841 0,7212 0,6287 
5 0,7885 0,6838 0,6957 0,5931 0,6329 0,5441 
6 0,7218 0,6161 0,6258 0,5321 0,5635 0,4803 
 
 
5.8 TESTE PARA A PROPORÇÃO POPULACIONAL p 
 
(1) H0: p = p0. 
 
 a) p < p0. 
(2) H1: b) p > p0. 
 c) p  p0. 
 
(3) Fixar o nível de significância . 
 
(4) Determinar a R.R. 
 
Para amostras suficientemente grandes (na prática, n  30), 
conforme a Figura 5.1. 
 
(5) Calcular a estatística do teste 
 
n
)p1(p
pP
z
00
0


 (5.13) 
 
Estatística Básica para os Cursos de Engenharia 173 
(6) Conclusões: a) se z < -z, rejeita-se H0. 
 b) se z > z, rejeita-se H0. 
 c) se | z | > z/2, rejeita-se H0. 
 
Exemplo 
 
Para determinarmos se um certo tipo de tratamento para evitar a 
corrosão é eficiente, 45 tubos de um total de 50 apresentaram resultados 
satisfatórios. Sabe-se que o tratamento é considerado eficiente se pelo 
menos 95% dos tubos apresentarem resultado satisfatório. Qual a 
conclusão, ao nível de significância de 5%? 
 
(1) H0: p = 0,95 (eficiente). 
 
(2) H1: p < 0,95 (ineficiente). 
 
(3)  = 0,05. 
 
(4) Determinação da R.R. 
 
 
 
Para  = 0,05, a 
 tabela fornece 
 -z = -1,64. 
 
 
 
 
 
(5) Cálculo da estatística do teste 
 
9,0
50
45
P  , portanto, 62,1
50
)95,01(95,0
95,09,0
z 


 . 
 
 
Testes de hipóteses 174 
(6) Conclusão: como z > - z = -1,64, aceita-se H0, ou seja, o 
tratamento é eficiente no nível de significância de 5%. 
 
 
5.9 TESTE PARA A DIFERENÇA ENTRE DUAS PROPOR- 
ÇÕES POPULACIONAIS p1 E p2 
 
(1) H0: p1 - p2 = d 0. 
 
 a) p1 - p2 < d 0. 
(2) H1: b) p1 - p2 > d 0. 
 c) p1 - p2  d 0. 
 
(3) Fixar o nível de significância . 
 
(4) Determinar a R.R. 
 
Para amostras suficientemente grandes (na prática, n  30), 
conforme a Figura 5.1. 
 
(5) Calcular a estatística do teste 
 
 
z
P P d
p p
n
p p
n

 



( )
 (  )  (  )
1 2 0
1 1
1
2 2
2
1 1
 (5.14) 
 
para d0  0, e 
 
z
P P
p p
n n


 






1 2
1 2
1
1 1
 ( )
 (5.15) 
 
para d0 = 0. Nas expressões acima, tem-se que 
Estatística Básica para os Cursos de Engenharia 175 
 
 
 p P1 1 , p P2 2 e p
n P n P
n n



1 1 2 2
1 2
 (5.16) 
 (6) Conclusões: a) se z < -z, rejeita-se H0. 
 b) se z > z, rejeita-se H0. 
 c) se | z | > z/2, rejeita-se H0. 
 
Exemplo 
 
Uma indústria automobilística anuncia que os automóveis do 
modelo A supera em venda os do modelo B de 10%. Tomadas duas 
amostras aleatórias independentes encontrou-se que 56 de 200 
consumidores preferem o modelo A e 29 de 150 preferem o modelo B. 
Testar a hipótese ao nível de significância de 6% de que o 
modelo A supera o modelo B em 10% contra a alternativa de que essa 
diferença é menor que 10%. 
 
(1) H0: pA - pB = 0,10. 
 
(2) H1: pA - pB < 0,10. 
 
(3)  = 0,06. 
 
(4) Determinação da R.R. 
 
 
 
Na tabela, 
para  = 0,06, 
obtém-se -z = -1,55. 
 
 
 
 
 
 
Testes de hipóteses 176 
 
 
(5) Cálculo da estatística do teste 
 
280,0
200
56
AA Pp̂  ; 193,0
150
29
BB Pp̂  ; 
29,0
150
193,0807,0
200
720,0280,0
10,0)193,0280,0(
z 




 . 
 
(6) Conclusão: como -z > -z = -1,55, aceita-se H0, ou seja, o 
modelo A supera em venda o modelo B em pelo menos 10%. 
 
 
5.10 TESTE QUI-QUADRADO PARA PROVA DE ADERÊNCIA 
 
Muitas vezes o interesse é saber se determinada distribuição 
amostral pode ser descrita por um certo modelo teórico (binomial, 
exponencial, Poisson, normal, etc). A aderência de uma distribuição 
amostral a um modelo teórico pode ser testada através da estatística qui-
quadrado dada por 
 




k
1i i
2
ii2
ν
e
)e(o
χ , (5.17) 
 
onde 
oi : freqüências observadas; 
ei : freqüências esperadas ou teóricas, de acordo com o modelo 
testado, sendo ei = npi; 
 = k - 1 - m 
k : número de classes ou valores considerados; 
m : número de parâmetros do modelo teórico que devem serestimados. 
 
Estatística Básica para os Cursos de Engenharia 177 
Uma condição para aplicação do teste é que todas as freqüências 
teóricas ou esperadas ei  5. Assim, a seqüência do teste fica sendo: 
 
(1) H0: a aderência ou ajustamento dos dados amostrais ao 
modelo teórico considerado é bom. 
 
(2) H1: o ajustamento não é bom. 
(3) Fixar o nível de significância . 
 
(4) Determinar a R.R. 
 
 
 
 
 
Onde:  = k - 1 - m. 
 
 
 
 
 
(5) Calcular a estatística do teste pela expressão (5.17). 
 
(6) Conclusão: se 
2
α
2
ν χχ  , rejeita-se H0, caso contrário, 
aceita-se H0. 
 
Exemplo 
 
Testar a bondade do ajustamento realizado no exemplo (3) da 
seção 2.18, usando  = 0,05. 
 
No problema citado, foi visto que 
oi ei 
55 41 
126 157 
325 305 
 
Testes de hipóteses 178 
315 300 
130 150 
49 38 
 
 
18,81
k
1i i
2
ii2
ν
e
)e(o
χ 



 
 
A determinação da R.R. deve ser feita com  = k - m - 1 = 6 - 2 - 
1 = 3, onde m = 2, pois, no cálculo de ei foram estimados dois 
parâmetros,  (média) e  (desvio padrão). 
 
 
 
 
Para  = 3, a tabela 
fornece 
2 7 815 , . 
 
 
 
 
 
 
Conclusão: como 
2
α
2
ν χχ  , rejeita-se H0, ou seja, a aderência 
ou ajustamento dos dados amostrais à distribuição normal não é 
considerado bom. 
 
5.11 TESTE DE NORMALIDADE 
 
Dado um conjunto de n observações x1, x2,  , xn, pode-se 
testar a normalidade das mesmas utilizando um método que envolve 
cálculo de correlação. Os passos são os seguintes: 
 
 
Estatística Básica para os Cursos de Engenharia 179 
1. Ordenar as observações originais (ordem crescente) obtendo-
se x ( )1 , x ( )2 ,  , x n( ) e calcular as probabilidades correspondentes 
(1 - 1/2)/n, ( 2 - 1/2)/n,  (n - 1/2)/n. 
2. Determinar os valores de z (variável normal padronizada), 
correspondente a cada uma dessas probabilidades, tal que z i( ) = G
-1[(i 
- 1/2)/n] . 
3. Plotar os pares (z(1), x(1)), (z(2), x(2)),  , (z(n), x(n)), 
examinando se os pontos estão nas proximidades de uma reta, o que 
indica qualitativamente a tendência de normalidade. Quantitativamente, 
pode-se testar a normalidade calculando a correlação entre x(i) e z(i) 
através da expressão 
r
n x z x z
n x x n z z
i i i i
i
n
i
n
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n
i
i
n

































   

   
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
111
2
1 1
2
2
1 1
2
 (5.18) 
 
Se r  r , sendo r o valor crítico ao nível de significância  (ver 
Tabela VII (apêndice), não se deve rejeitar a hipótese de normalidade 
das observações. 
 
Exemplo 
 
Testar a normalidade do seguinte conjunto de dados, ao nível de 
significância de 5%, 
 
8,3 8,8 10,4 10,2 9,4 12,2 11,1 11,2 9,1 10,3 11,1 9,2 
10,0 10,5 10,6. 
 
 
Testes de hipóteses 180 
 Figura 5.7 – Teste de normalidade 
 
x(i) p(i) = (i - 1/2)/n z(i) 
8,3 0,0333 -1,83 
8,8 0,1000 -1,28 
9,1 0,1667 -0,97 
9,2 0,2333 -0,73 
9,4 03000 -0,52 
10 0,3667 -0,34 
10,2 0,4333 -0,17 
10,3 0,5000 0,00 
10,4 0,5667 0,17 
10,5 0,6333 0,34 
10,6 0,7000 0,52 
11,1 0,7667 0,73 
11,1 0,8333 0,97 
11,2 0,9000 1,28 
12,2 0,9667 1,83 
 
 
A Figura 5.7 mostra que existe uma tendência linear para os 
pontos. Para confirmar a normalidade vamos calcular o coeficiente de 
correlação r e compará-lo com o valor crítico. 
 
 
 
Estatística Básica para os Cursos de Engenharia 181 
9884,0
040,152364,1415
r
]0752,1315].[)40,152(7,156115[ 22




. 
 
 
Conclusão: como r = 0,9884 > r = 0,938 ( = 0,05), não 
podemos rejeitar a hipótese de normalidade para os dados. 
 
5.12 PROBLEMAS PROPOSTOS 
 
01. Uma peça ao ser fabricada, foi planejada de tal maneira que uma de 
suas dimensões é 10 cm. A variância do processo produtivo é de 0,0095 
cm2. Se uma amostra de 40 peças fornece essa dimensão média igual a 
10,05 cm, devemos rejeitar a hipótese nula de que  = 10 cm, em favor 
da alternativa   10 cm? Usar  = 0,05. 
 
02. Uma fábrica produz certo tipo de reguladores de pressão. Esses 
reguladores são produzidos para suportar uma pressão de 20 atm. Um 
ensaio é realizado com uma amostra de 7 reguladores de pressão e 
verificou-se que as pressões suportadas são (em atm) 
 
19,5 18,9 19,0 19,1 18,9 19,3 19,0. 
 
Com base no ensaio realizado, podemos concluir que a pressão 
suportada é na realidade menor que 20 atm? Usar  = 0,01. 
 
03. Duas amostras de tubos de aço das marcas A e B foram ensaiadas e 
as resistências médias obtidas foram de 40 kgf/mm2 e 35 kgf/mm2, com 
variâncias de 5,0 e 4,5 (kgf/mm2)2, respectivamente. Sabendo-se que 
foram ensaiados 15 tubos de cada marca, há evidência, ao nível de 1%, 
de que a resistência média dos tubos de marca A seja maior que a de 
marca B? Supor que as variâncias populacionais sejam iguais. 
 
04. Duas máquinas A e B produzem parafusos, e sabe-se que as 
variâncias dos comprimentos dos parafusos produzidos são 25 mm2 e 20 
mm2, respectivamente. Uma amostra de 40 parafusos da máquina A 
apresentou comprimento médio de 30 mm, enquanto que uma amostra 
Testes de hipóteses 182 
de 50 parafusos da máquina B apresentou média de 25 mm. Existe uma 
diferença significativa entre os comprimentos médios dos parafusos 
fabricados pelas duas máquinas, ao nível de 5%? 
 
05. Foram ensaiadas válvulas das marcas A e B, e verificou-se que os 
tempos de vida (em h) foram 
 
marca A: 1500 1450 1480 1520 1510 
 marca B: 1000 1300 1180 1250. 
 
Pode-se concluir, ao nível de significância de 1%, que o tempo médio 
de vida das válvulas de marca A supera o de B em mais de 300 h? Supor 
que os desvios padrões populacionais são diferentes. 
06. Uma amostra de 5 cabos de aço foi ensaiada, ante e após sofrer um 
tratamento para aumentar a sua resistência. Os resultados obtidos foram 
 
antes 50 54 51 50 55 kgf/mm2 
após 60 61 57 54 59 kgf/mm2 
 
Testar a hipótese de que o tratamento é eficiente, no nível de 
significância de 5%. Tratar os dados como emparelhados. 
 
07.Para o problema 02, pode-se concluir, ao nível de significância de 
1%, que a variância populacional é superior a 1 atm2? 
 
08. Para o problema 05, pode-se concluir, ao nível de 5%, que o desvio 
padrão populacional para as lâmpadas da marca A é inferior a 100 h? 
 
09. Para o problema 05, testar a hipótese de igualdade para as variâncias 
das lâmpadas das marcas A e B, ao nível de significância de 2%. 
 
10. Um fabricante afirma que no máximo 3% das peças fabricadas por 
sua indústria são defeituosas. Um comerciante comprou 50 peças e 
verificou que 4 eram defeituosas.Com base nesse resultado, qual a 
conclusão que se pode tirar ao nível de significância de 1%? 
 
Estatística Básica para os Cursos de Engenharia 183 
11. Um operário realizou uma mesma operação com 3 equipamentos 
diferentes, e os tempos gastos (em segundos) foram 
 
equipamento A: 10 11 10 12 15 
 equipamento B: 13 9 15 
 equipamento C: 8 10 15 12 
 
Existe diferença significativa entre as variâncias para os tempos gastos 
pelos três equipamentos, no nível de significância de 5%? 
 
12. Para o problema 11, se os tempos fossem 
 
equipamento A: 11 12 10 11 
equipamento B: 8 9 8 9 
equipamento C: 12 13 14 13 
 
qual seria sua conclusão, no nível de significância de 5%? 
 
13. Um operário informa que não existe diferença entre a % de peças 
defeituosas fabricadas pelas máquinas 1 e 2. Uma amostra de 50 peças 
de cada marca, revelou que 4% da máquina 1 era defeituosa, enquanto 
que 7% da máquina 2 também era defeituosa. Testar a afirmativa do 
operário ao nível de significância de 1%. 
 
14. Para o exemplo 1 da seção 2.18, testar a bondade ou aderência do 
ajustamento ao nível de significância de 1%. 
 
15. Para o exemplo 2 da seção 2.18, testar a bondade ou aderência do 
ajustamento ao nível de significância de 5%. 
 
16. Um pesquisador realizou um certo experimento obtendo os 
seguintes resultados para a variável aleatória estudada: 
 
-1,264 0,160 -0,213 -0,901 0,710 -1,395 0,603 0,887 
-1,712 -1,935. 
 
Testes de hipóteses 184 
Testar a normalidade desses dados ao nível de significância de 
1%, traçando o diagrama correspondente.