Lista1 probabilidade e estatística

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Universidade Federal do Triângulo Mineiro 
Instituto de Ciências Tecnológicas e Exatas 
 
1ª Lista de Exercícios de Probabilidade e Estatística 
 
Conjuntos/Espaços Amostrais/ Probabilidade/ Probabilidade Condicional e 
Teorema de Bayes 
 
1) Suponha que o conjunto fundamental U seja dado por . Sejam os 
conjuntos A e B definidos da seguinte forma: 
 e 
Descreva os seguintes conjuntos: 
 ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ b) ̅ c) ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ d) ̅ 
 
 
2) Um lote contém peças pesando 5, 10, 15,..., 50 gramas. Admitamos que ao menos duas 
peças de cada peso sejam encontradas no lote. Duas peças são retiradas do lote. Sejam 
X o peso da primeira peça escolhida e Y o da segunda. Portanto o par (X,Y) representa 
um resultado simples do experimento. Empregando o plano XY, marque o espaço 
amostral e os seguintes eventos: 
a) {X=Y} 
b) {Y>X} 
c) A segunda peça é duas vezes mais pesada que a primeira. 
d) A primeira peça pesa menos 10 gramas que a segunda peça. 
e) O peso médio de duas peças é menor do que 30 gramas. 
 
3) Sejam A, B, C três eventos associados a um experimento. Exprima em notações de 
conjuntos, as seguintes informações verbais: 
a) Ao menos um dos eventos ocorre. 
b) Exatamente um dos eventos ocorre. 
c) Exatamente dois dos eventos ocorrem. 
d) Não mais de dois eventos ocorrem simultaneamente. 
 
4) Considere a experiência que consiste em pesquisar famílias com três crianças, levando 
em consideração o sexo das mesmas e a ordem de nascimento. Enumerar o espaço 
amostral e os eventos abaixo: 
a) ocorrência de dois filhos do sexo masculino; 
b) ocorrência de pelo menos (no mínimo) um filho do sexo masculino; 
c) ocorrência de no máximo uma criança do sexo feminino. 
 
5) O experimento consiste em lançar dois dados e observar a diferença dos pontos (em 
módulo, ou seja, valor absoluto) das faces superiores. Determine o espaço amostral do 
experimento. 
 
6) O experimento consiste em lançar 4 moedas e observar a diferença (em módulo, ou seja, 
valor absoluto) entre o número de caras obtidas e o número de coroas obtidas nesse 
lançamento. Determine o espaço amostral. 
 
7) Um certo tipo de motor elétrico falha se ocorrer uma das seguintes situações: 
emperramento dos mancais, queima dos enrolamentos, desgaste das escovas. Suponha 
que o emperramento seja duas vezes mais provável do que a queima, esta sendo quatro 
vezes mais provável do que o desgaste das escovas. Qual será a probabilidade de que a 
falha seja devida a cada uma das circunstâncias? 
Resp:
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8) Suponha que A e B sejam eventos tais que ( , ( e ( . 
Exprima cada uma das probabilidades em termos de e . 
a) ( ̅ ̅ b) ( ̅ c) ( ̅ d) ( ̅ ̅ 
Resp:a) 1-zb) y-z 
9) Uma remessa de 1.500 arruelas contém 400 peças defeituosas e 1.100 perfeitas. 
Duzentas arruelas são escolhidas ao acaso (sem reposição) e classificadas. 
a) Qual a probabilidade de que sejam encontradas exatamente 90 peças defeituosas? 
b) Qual a probabilidade de que se encontre ao menos 2 peças defeituosas? 
 
10) Um jogo de cassino consiste no lançamento de dois dados. O apostador ganha se a soma 
dos resultados for 7. Calcule a probabilidade de um apostador ganhar? 
 
11) Suponha que um laboratório de informática da UFTM possua 100 computadores. 
Alguns desses computadores são completos (C), enquanto outros não têm placa de rede 
(SP); e alguns são novos (N), enquanto que outros são usados (U). Qual a probabilidade 
de uma pessoa, que não conhece o laboratório, entrar e escolher um micro que tenha 
placa de rede? 
 
 C SP 
N 42 32 
U 18 8 
 
12) Na sala de aula da disciplina Estatística do curso de Engenharia da Universidade 
“HIPÓTESE” todos os alunos trabalham. Num levantamento sobre o quanto do salário 
é poupado por mês, obteve-se o seguinte resultado: treze homens poupam menos que 
um salário mínimo por mês e trinta e dois poupam mais; vinte e quatro mulheres 
poupam menos de um salário mínimo por mês e oito poupam mais. Se uma pessoa for 
selecionada ao acaso, qual a probabilidade de: 
a) Ser uma aluna; 
b) Ser uma aluna sabendo que a pessoa selecionada poupa menos que um salário mínimo 
por mês; 
c) Ser uma pessoa que poupa menos que um salário mínimo; 
d) Ser um aluno que poupa mais de um salário mínimo por mês. 
 
13) Determinar a probabilidade da jogada de um dado resultar em um número menor que 4 
se: 
a) Não se tem nenhuma informação. (Resp. 50%) 
b) Sabendo que o resultado é um número ímpar. (Resp. 66,67%) 
 
14) Joga-se um dado honesto duas vezes. Determine a probabilidade de se obter 4, 5 ou 6 na 
1ª jogada e 1, 2, 3 ou 4 na 2ª jogada (Resp. 33,33%) 
 
15) Uma peça moldada por injeção é igualmente provável de ser obtida, a partir de qualquer 
uma das oito cavidades de um molde. 
a) Qual é o espaço amostral? 
b) Qual é a probabilidade de a peça ser proveniente da cavidade 1 ou 2? 
c) Qual é a probabilidade de a peça não ser proveniente nem da cavidade 3 nem da 4? 
Resp: a) 1, ..., 8 b) 2/8 c) 6/8 
 
16) A urna “A” contém 3 fichas vermelhas e 2 fichas azuis, e a urna “B” contém duas 
fichas vermelhas e 8 fichas azuis. Joga-se uma moeda honesta. Se a moeda der cara, 
extrai-se uma ficha da urna “A”; se der coroa extrai-se uma ficha da urna “B”. 
Determine a probabilidade de escolha de uma ficha vermelha. (Resp.40%) 
 
17) Suponha que no exercício anterior não se conheça o resultado da jogada e 
conseqüentemente, não se saiba de qual urna deve-se extrair a ficha. Porém se sabe que 
a ficha extraída é vermelha. Qual a probabilidade dela ter sido obtida da urna “B”. 
(Resp. 25%). 
 
18) Considere um lote formado de 20 peças defeituosas e 80 não defeituosas. Se forem 
escolhidas ao acaso duas peças, sem reposição, qual será a probabilidade de que ambas 
sejam defeituosas? E se for com reposição? (Resp. 3,84% ; 4%) 
 
19) Uma determinada peça é fabricada em três unidades de uma indústria (A, B e C). Sabe-
se que A produz o dobro de peças de B, e B e C produziram o mesmo número de peças 
durante um período especificado. Sabe-se também que 2% de peças produzidas por A e 
B são defeituosas, enquanto que 4% daquelas produzidas por C são defeituosas. Qual a 
probabilidade de uma peça ser defeituosa? (Resp. 2,5%) 
 
20) Em certo colégio, 25% dos estudantes foram reprovados em matemática, 15% em 
química e 10% em matemática e química ao mesmo tempo. Um estudante é selecionado 
aleatoriamente: 
a) Se ele foi reprovado em química, qual a probabilidade de ele ter sido reprovado em 
matemática? (Resp.66,67%) 
b) Se ele foi reprovado em matemática, qual a probabilidade de ter sido reprovado em 
química? (Resp. 40%) 
c) Qual a probabilidade dele ter sido reprovado em química ou matemática? (Resp. 30%) 
 
21) Num colégio, 4% dos homens e 1% das mulheres tem mais de 1,75m. Além disso, 60% 
dos estudantes são mulheres. Ora, se um estudante é selecionado e tem mais de 1,75m 
de altura, qual a probabilidade do estudante ser mulher? (Resp. 27,27%) 
 
22) Um lote é formado de 10 artigos bons, 4 com defeitos menores e 2 com defeitos graves. 
Um artigo é escolhido ao acaso. Ache a probabilidade de que: 
a) Ele não tenha defeitos. 
b) Ele não tenha defeitos graves. 
c) Ele, ou seja, perfeito, ou tenha defeitos graves. 
Resp: a) 
 
 
 b) 
 
 
 c) 
 
 
 
23) Se do lote de artigos descrito no problema anterior forem escolhidos dois artigos (sem 
reposição), ache a probabilidade de que: 
a) Ambos sejam perfeitos. 
b) Ambos tenham defeitos graves. 
c) Ao menos um seja perfeito. 
d) No máximo um seja perfeito. 
e) Exatamente um sejaperfeito. 
f) Nenhum deles tenha defeitos graves. 
g) Nenhum deles seja perfeito. 
Resp: a) 
 
 
 b) 
 
 
 c) 
 
 
 d) 
 
 
 e) 
 
 
 f) 
 
 
 g) 
 
 
 
 
24) Um inspetor visita 6 máquinas diferentes durante um dia. A fim de evitar que os 
operários saibam quando eles o irá inspecionar, o inspetor varia a ordenação de suas 
visitas. De quantas maneiras isto poderá ser feito? 
Resp:720 
 
25) Com as seis letras a, b, c, d, e, f quantas palavras-código de 4 letras poderão ser 
formadas se: 
a) Nenhuma letra se puder ser repetida? 
b) Qualquer letra puder ser repetida qualquer número de vezes? 
Resp:a) 360 b) 1296 
 
26) Uma caixa contém etiquetas numeradas 1, 2,..., n. Duas etiquetas são escolhidas ao 
acaso. Determine a probabilidade de que os números das etiquetas sejam inteiros 
consecutivos se: 
a) As etiquetas forem escolhidas sem reposição. 
b) As etiquetas forem escolhidas com reposição. 
Resp: a) 2/n b) 2(n-1)/n
2
 
 
27) Um saco contém três moedas, uma das quais foi cunhada com duas caras, enquanto as 
duas outras moedas são normais e não viciadas. Uma moeda é tirada ao acaso do saco e 
jogada quatro vezes, em seqüência. Se sair cara uma vez, qual será a probabilidade de 
que essa seja a moeda de duas caras? 
 
28) Três componentes, C1, C2 e C3, de um mecanismo são postos em série (em linha reta). 
Suponha que esses componentes sejam dispostos em ordem aleatória. Seja R o evento 
{C2 está à direita de C1}, e seja S o evento {C3 está à direita de C1}. Os eventos R e S 
são independentes? Por que? 
 
29) Um meteorologista acerta 80% dos dias em que chove e 90% dos dias em que faz bom 
tempo. Chove em 10% dos dias. Tendo havido previsão de chuva, qual a probabilidade 
de chover? Resp: 0,4705 
 
30) Sejam A e B dois eventos tais que P(A)=0,4 e P(AUB) =0,7. Seja P(B) =p. Para que 
valores de p, A e B serão mutuamente excludentes ou independentes? Resp: 0,3 e 0,5 
 
31) Uma caixa tem 4 moedas, uma das quais com duas caras. Uma moeda ao acaso foi 
jogada duas vezes, obtendo–se duas caras. Qual é a probabilidade de ser a moeda com 
duas caras? Resp: 4/7 
 
32) Falhas em teclados de computadores ocorrem devido a conexões elétricas imperfeitas 
(12%) ou a defeitos mecânicos (88%). Defeitos mecânicos estão relacionados a teclas 
soltas (27%) ou a montagens impróprias (73%). Defeitos de conexão elétrica são 
causados por fios defeituosos (35%), por conexões impróprias (13%) ou por fios 
deficientemente soldados (52%). 
a) Encontre a probabilidade de uma falha ocorrer devido a teclas soltas. 
b) Encontre a probabilidade de uma falha ocorrer devido a fios impropriamente conectados 
ou deficientemente soldados. 
Resp: a) 0,2376 b) 0,0078 
33) Um lote de 100 chips semicondutores contém 20 itens defeituosos. Dois deles são 
selecionados, ao acaso, sem reposição. 
a) Qual é a probabilidade de que o primeiro chip selecionado seja defeituoso? 
b) Qual é a probabilidade de que o segundo chip selecionado seja defeituoso, dado que o 
primeiro deles foi defeituoso? 
c) Qual é a probabilidade de que ambos sejam defeituosos? 
Resp: a) 20/100 b) 19/99 c) 0,038 
 
34) Duas cores são usadas em um anúncio na internet. Se um visitante do site for de uma 
afiliada, as probabilidades das cores azul ou verde são 0,8 e 0,2, respectivamente. Se um 
visitante do site for de um site de busca, as cores azul e verde são 0,4 e 0,6, 
respectivamente. As proporções de visitantes a partir das afiliadas e de sites de busca 
são 0,3 e 0,7, respectivamente. Qual é a probabilidade de que um visitante seja 
proveniente do site de busca, dado que o anúncio azul foi visto? 
Resp: 0,5