Exercícios Probabilidade

Prévia do material em texto

Prof.Paulo Alessio – Definições, exercícios e algumas figuras foram extraídos do referencial bibliográfico. 
Notas de aulas não comercializáveis. Utilizadas para apoio às aulas. 2012/2 
12 
Exercícios. 
1) Dê um espaço amostral para cada um dos experimentos aleatórios: 
E1 : Uma moeda é lançada. Observamos e registramos o resultado obtido. 
E2 : Artigos produzidos por certa máquina são classificados como defeituosos ou não defeituosos. Um 
artigo é selecionado da linha de produção e classificado. 
E3 : Cilindros de aço produzidos por certa fábrica podem ter até dois tipos de defeitos. Um cilindro é 
escolhido ao acaso na produção. Registramos o número de defeitos. 
E4 : Uma moeda comum é lançada até que a primeira cara seja obtida. Registramos o número de 
lançamentos necessários para isso. 
E5 : O tráfego de automóveis é observado, das 10 às 11 horas de uma quinta-feira, num certo ponto da 
cidade. O número de automóveis que passa nesse horário e nesse ponto é registrado. 
E6 : Um posto de atendimento a saúde é observado durante o período da manhã. O tempo decorrido 
até a chegada do primeiro cliente é registrado. 
2) Determine a probabilidade de cada evento: 
a) pelo menos uma cara aparece no lançamento de 3 moedas; R. 7/8 
b) pelo menos uma cara aparece no lançamento de “n”moedas; R. (2n – 1)/ 2n 
c) duas copas aparecem ao retirarem-se duas cartas de um baralho; R. 1/17 
d) uma carta de copas e uma carta de ouros aparecem ao extraírem-se duas cartas de um 
baralho. R. 13/102 
3) Numa pesquisa sobre a preferência em relação a dois jornais, foram consultadas 470 pessoas e o 
resultado foi o seguinte: 250 delas lêem o jornal A, 180 lêem o jornal B e 60 lêem os jornais A e B. 
Escolhendo um dos entrevistados ao acaso, qual a probabilidade de que ele seja: 
a) leitor dos jornais A e B R. 6/47 
b) leitor do jornal A ou do jornal B? R. 37/47 
4) Três cavalos A, B, C estão numa corrida; A é duas vezes mais provável de ganhar que B e B é duas 
vezes mais do que C. Supondo que não haja empate: 
a) Quais as probabilidades de vitória de cada um, isto é, P(A), P(B) e P(C)? 
b) Qual seria a probabilidade de B ou C ganhar? R. 3/7 
5) Suponha-se que há três revistas A, B e C com as seguintes porcentagens de leitura: A: 9,8% , B: 
22,9% , C: 12,1% , A e B: 5,1% , A e C: 3,7% , B e C: 6,0% , A, B e C: 2,4%. A probabilidade de que 
uma pessoa escolhida ao acaso seja leitor de pelo menos uma revista é: R. 32,4% 
6) Determinar a probabilidade de surgir um ás, ou um dez de ouros ou um dois de espadas, na retirada 
de uma carta única de um baralho, bem embaralhado, de 52 cartas . R. 3/26 
7) Considere um conjunto de 10 frutas em que 3 estão estragadas. Escolhendo aleatoriamente 2 frutas 
desse conjunto, determine a probabilidade de: 
a) ambas não estarem estragadas; R. 7/15 
b) pelo menos uma estar estragada. R. 8/15 
8) No lançamento simultâneo de dois dados, determine a probabilidade dos seguintes eventos: 
a) a soma dos pontos obtidos é menor que 4 R. 1/12 
b) a soma dos pontos é 8 e um dos dados apresenta 6 pontos R. 1/18 
9) Uma urna contém 15 bolas de mesmo raio, enumeradas de 1 a 15. Determine a probabilidade de: 
a) retirar uma bola múltiplo de 3 ou de 4; R. 7/15 
b) retirar uma bola múltiplo de 5 ou de 4. R. 2/5 
10) Os dados compilados pela gerência de um supermercado indicam que 915 dentre 1500 
compradores de domingo gastam mais de $ 10,00 em suas compras. Estime a probabilidade de um 
comprador em qualquer domingo gastar mais de $ 10,00. R. 61% 
11) Uma pesquisa de tráfego levada a efeito das 5 às 6 horas da manhã num trecho de uma estrada 
federal revelou que, de 200 carros que pararam para uma verificação rotineira de segurança, 25 
tinham pneus em más condições. Estime a probabilidade de um carro que pare naquele trecho ter os 
pneus bons. R. 87,5% 
12) Numa urna são misturadas dez bolas numeradas de 1 a 10. 
Duas bolas são retiradas (a , b) sem reposição. Qual a probabilidade de a + b = 10? R. 4/45 
13) Um lote é formado por 10 peças boas, 4 com defeitos e 2 com defeitos graves. Retiram-se duas 
peças ao acaso. Qual a probabilidade de que: 
a) ambas sejam perfeitas; R. 3/8 
b) pelo menos uma seja perfeita; R. 7/8 
c) nenhuma tenha defeito grave; R. 91/120 
d) nenhuma seja perfeita. R. 1/8 
 
Prof.Paulo Alessio – Definições, exercícios e algumas figuras foram extraídos do referencial bibliográfico. 
Notas de aulas não comercializáveis. Utilizadas para apoio às aulas. 2012/2 
13 
14) Uma urna contém 5 bolas brancas e 6 pretas. Três bolas são retiradas.Calcular a probabilidade 
de: 
a) todas pretas; R. 4/33 
b) exatamente uma branca; R. 5/11 
c) ao menos uma preta. R. 31/33 
 
15) Numa escola fez-se uma enquete com duas perguntas: Gosta de Matemática? Gosta de 
Estatística? Os resultados obtidos foram: 86 responderam sim à primeira pergunta; 75 responderam 
sim à segunda; 23 responderam sim às duas perguntas e 42 responderam não às duas perguntas. 
Pede-se: 
a) sorteando, ao acaso, um dos alunos entrevistados, qual a probabilidade de que ele tenha 
respondido sim à primeira pergunta? R. 43/90 
b) sorteando, ao acaso, um dos alunos entrevistados, qual a probabilidade de que ele tenha 
respondido sim à primeira pergunta e não à segunda? R. 7/20 
 
16) De um conjunto de cinco empresas, deseja-se selecionar, aleatoriamente, uma empresa, mas com 
probabilidade proporcional ao número de funcionários. O número de funcionários da Empresa A é 20; 
de B é 15; de C é 7; de D é 5 e de E é 3. Qual é a probabilidade de a Empresa A não ser selecionada? 
 R. 3/5 
 
17) Considere que a probabilidade de ocorrer k defeitos ortográficos em uma página de jornal é dada 
por: 
!.
1
)(
ke
kp = (e ≈ 2,7183). Tomando-se uma página qualquer, calcule a probabilidade de ocorrer 
mais do que dois erros.R. 1 – 5/2e 
 
18) Uma carta é retirada de um baralho. Qual a probabilidade de ser um rei preto, dado que a carta 
retirada foi uma “figura” (valete, damas ou rei)? R. 1/6 
 
19) Numa classe de 60 alunos, 40 estudam só Matemática, 10 estudam só Física e 5 estudam 
Matemática e Física. Determine a probabilidade de um aluno que estuda Matemática, estudar também 
Física. R. 1/9 
 
20) Extraem-se aleatoriamente duas cartas de um baralho comum de 52 cartas. Determine a 
probabilidade de serem ambas ases, considerando que a primeira carta: 
a) é recolocada antes da extração da segunda carta. R. 1/169 
b) não é recolocada antes da extração da segunda carta. R. 1/221 
 
21) Vitor e Bruno lançam um dado comum três vezes. Vitor apostou que o número 5 sairá pelo menos 
uma vez e Bruno que o número 5 não sairá em nenhum dos três lançamentos. Qual deles tem mais 
chance de ganhar a aposta? Justifique. R. Bruno 125/216 
 
22) Considere o circuito abaixo onde cada relé fecha independentemente um do outro com uma 
probabilidade p > 0. 
 
 
 A 
 
 B 
 
Se há corrente de L para R, qual a probabilidade de que o relé A esteja fechado? R. 1/(2-p) 
 
23) Certo artigo, ao sair da linha de produção pode ter no máximo dois defeitos, A e B. Os defeitos 
ocorrem independentemente um do outro com probabilidade 1/10, cada um. Se um artigo é extraído ao 
acaso da linha de produção, qual a probabilidade de: 
a) ter o defeito A, se é defeituoso R. 10/19 
b) ser perfeito R. 81/100 
L 
 
Prof.Paulo Alessio – Definições, exercícios e algumas figuras foram extraídos do referencial bibliográfico. 
Notas de aulas não comercializáveis. Utilizadas para apoio às aulas. 2012/2 
14 
24) As probabilidades de três jogadores marcarem um penalty são respectivamente 2/3, 4/5 e 7/10. 
Se cada um “cobrar” uma única vez, qual a probabilidade de apenas um acertar. R. 
1/6 
25) No circuito a seguir, os relés 1, 2, 3, funcionam independentemente um do outro. A probabilidade 
de que qualquer deles esteja aberto é p. 
 
 
Se não houver corrente de L para R, qual a probabilidade de que o relé 2 esteja aberto? 
R. 1/(3-3p+p2) 
26) Um grupo de 60 pessoas apresenta a seguinte composição : 
Condição Homens Mulheres Total 
Menores 15 17 32 
Adultos 18 10 28 
Total 33 27 60 
Uma pessoa é escolhida ao acaso. Pergunta-se: 
a) qual a probabilidade de ser homem? R. 11/20 
b) qual a probabilidade de ser adulto? R. 7/15 
c) qual a probabilidade de ser menor e ser mulher ? R. 17/60 
d) sabendo-se que a pessoa escolhida é adulto, qual a probabilidade de ser homem? R. 9/14 
e) dado que a escolhida é mulher, qual a probabilidade de ser menor? R. 17/27 
27) Para testar se um sistema especialista responde satisfatoriamente a um usuário, foram feitas cinco 
perguntas, cada uma com quatro alternativas. Se o sistema escolhe as alternativas aleatoriamente, 
qual é a probabilidade de ele responder corretamente a todas as cinco perguntas? 
 R. 1/1024 
28) Um sistema tem quatro componentes que operam independentemente, sendo que cada 
componente tem probabilidade 0,1 de não funcionar. O sistema é ligado da seguinte forma: 
 
Determinar a probabilidade de o sistema funcionar. R. 0,9639 
29) Depois de um longo período de testes, verificou-se que o procedimento A de recuperação de 
informação corre um risco de 2% de não oferecer resposta satisfatória. No procedimento B, o risco cai 
para 1%. O risco de ambos os procedimentos apresentarem resposta insatisfatória é de 0,5%. Qual é a 
probabilidade de pelo menos um dos procedimentos apresentar resposta insatisfatória? 
 R. 2,5% 
30) Uma caixa contém três cartões verdes, quatro amarelos, cinco azuis e três vermelhos. Dois cartões 
são retirados da caixa, ao acaso, um após o outro, sem reposição. Anotam-se suas cores. Calcular a 
probabilidade de que os dois cartões sejam verdes, sabendo-se que são da mesma cor. 
 R. 3/22 ou 13,64% 
31) Três máquinas AAA e 321, , produzem respectivamente 50%, 30% e 20% do total de peças de 
uma fábrica. As porcentagens de produção defeituosas destas máquinas são 3%, 4% e 5%. Suponha 
que uma peça, selecionada aleatoriamente, seja considerada, defeituosa. Encontre a probabilidade de 
ela ter sido produzida pela máquina A1. R. 15/37 
32) Lança-se uma moeda viciada de modo que p(C) = 2/3 e p(K) = 1/3. Se aparecer cara, então 
seleciona-se aleatoriamente um número dentre os de 1 a 9; se aparecer coroa, seleciona-se 
aleatoriamente um número dentre os de 1 a 5. Ache a probabilidade de um número par ser 
selecionado. R. 58/135 
C1 
C2 
C3 C4 
 
Prof.Paulo Alessio – Definições, exercícios e algumas figuras foram extraídos do referencial bibliográfico. 
Notas de aulas não comercializáveis. Utilizadas para apoio às aulas. 2012/2 
15 
33) Uma urna “A” contém 3 bolas vermelhas e 2 bolas verdes e uma urna “B” contém 4 bolas 
vermelhas e 3 bolas verdes. Uma prova consiste em retirar, ao acaso, uma bola da urna “A” e colocá-la 
na urna “B” e, em seguida, retirar uma bola da urna “B”. Qual a probabilidade desta bola ser verde? 
 R. 17/40 
34) Uma rede local de computadores é composta por um servidor e cinco clientes (A, B, C, D, e E). 
Registros anteriores indicam que dos pedidos de determinado tipo de processamento, realizados 
através de uma consulta, cerca de 10% vêm do cliente A, 15% do B, 15% do C, 40% do D e 20% do E. 
Se o pedido não for feito de forma adequada, o processamento apresentará erro. Usualmente, ocorrem 
os seguintes percentuais de pedidos inadequados: 1% do cliente A, 2% do cliente B, 0,5% do cliente 
C, 2% do cliente D e 8% do cliente E. 
a) Qual é a probabilidade de o sistema apresentar erro? R. 2,875% 
b) Qual é a probabilidade de que o processo tenha sido pedido pelo cliente E, sabendo-se que 
apresentou erro? R. 55,65% 
35) A e B são eventos com P(A) = 1/2, P(A U B) = 3/4, P(B) = 5/8. Calcular: 
a) )( BAP I R. 3/8 
b) )(
''
BAP IR. 1/4 
c) P(A – B) R. 1/8 
36) Uma montagem eletrônica é constituída de 3 subsistemas, 1, 2 e 3. A montagem falha se pelo 
menos um dos subsistemas falhar. De ensaios anteriores sabe-se que a probabilidade de que qualquer 
subsistema falhar é 0,1, a probabilidade de que dois quaisquer subsistemas falhem simultaneamente é 
0,01 e a probabilidade de que todos falhem simultaneamente 0,002. Calcule a probabilidade de que a 
montagem venha a falhar. R. 0,272 
37) Sejam A e B eventos. Dados 
4
3
)(
''
=BAP U , 
8
3
)(
''
=BAP I , 
4
1
)(
'
=BAP I , calcule 
P(B). R. 3/8 
38) Seja um dado viciado de modo que a probabilidade de aparecer um número seja proporcional ao 
número dado (por exemplo, o 6 é duas vezes mais provável de aparecer que o 3). Sejam os eventos: A 
= {número par}, B = {número primo} e C = {número ímpar}. Determine: 
a) Probabilidade de que um número ímpar e primo ocorra. R. 8/21 
b) Probabilidade de A ocorra mas B não. R. 10/21 
39) Sejam A, B e C três eventos de um espaço amostral. Exprimir os eventos abaixo usando as 
operações de união, interseção e complementação: 
a) somente A ocorre. R. A ∩ Bc ∩ Cc 
b) A e C ocorrem, mas B não. R. A ∩ C ∩ Bc 
c) A, B e C ocorrem. R. A ∩ B ∩ C 
d) pelo menos um ocorre. R. A U B U C 
e) exatamente um ocorre. R. (A ∩ Bc ∩ Cc) U (Ac ∩ B ∩ Cc) U (Ac ∩ Bc ∩ C) 
f) nenhum ocorre. R. (A U B U C)C ou Ac ∩ Bc ∩ Cc 
g) exatamente dois ocorrem. R. (A ∩ B ∩ Cc) U (A ∩ Bc ∩ C) U (Ac ∩ B ∩ C) 
h) pelo menos dois ocorrem. R. (A ∩ B ∩ Cc) U (A ∩ Bc ∩ C) U (Ac ∩ B ∩ C) U (A ∩ B ∩ C) 
i) no máximo dois ocorrem. R. (A ∩ B ∩ C)C 
40) Um sistema elétrico consiste em quatro componentes, como ilustrado na figura. O sistema funciona 
se ambos os componentes A e B funcionarem e se ou o componente C, ou D, ou ambos funcionarem. 
 
 
Prof.Paulo Alessio – Definições, exercícios e algumas figuras foram extraídos do referencial bibliográfico. 
Notas de aulas não comercializáveis. Utilizadas para apoio às aulas. 2012/2 
16 
Determine a probabilidade de que: 
a) o sistema funcione por completo. R. 0,7776 
b) de que o componente C não funcione, dado que o sistema todo funciona. R. 0,1667 
Assuma que os quatro componentes trabalhem independentemente. 
41) Sendo P(A) = x, P(B) = y e P(A∩B) = z, calcular: 
a) P(Ac U Bc ) R. 1 - z 
b) P(Ac ∩ Bc ) R. 1 – x – y + z 
c) P(Ac ∩ B ) R. y – z 
d) P(Ac U B ) R. 1 – x + z 
42) Suponha que a probabilidade de um evento C seja 0,4 e que a probabilidade condicional do evento 
D dado que C ocorreu seja 0,2. Determine a probabilidade de ocorrência de D e C. 
R. 0,08. (Prova para Auditor-Fiscal da Previdência Social/2002). 
43) Uma empresa fabrica motores a jato em duas fábricas A e B. Um motor é escolhido ao acaso de 
um lote de produção. Nota-se que o motor apresenta defeitos. De observações anteriores a empresa 
sabe que 2% e 3% são as taxas de motores fabricados com algum defeito em A e B, respectivamente. 
Sabendo-se que a fábrica A é responsável por 40% da produção, determine a probabilidade de que o 
motor escolhido tenha sido fabricado em A. R. 0,308 (Prova para Analista do Banco Central/2002). 
44) Uma em cada 10 pessoas de uma população tem uma determinada doença. Das pessoas que têm 
a doença, 80% reagem positivamente ao teste Y, enquanto 20% dos que não têm a doença também 
reagem positivamente. Uma pessoa é selecionada ao acaso na população e o teste Y é aplicado. Qual 
a probabilidade de que a pessoa selecionada não esteja realmente doente, sabendo-se que reagiu 
positivamente ao teste Y? R. 69,2% (Prova para Analista Técnico – Susep/2002). 
45) Uma universidade de grande porte que oferece cursos na área econômica quer determinar a 
associação existente entre o interesse de um estudante na área de finanças e sua habilidade em 
matemática. Neste contexto o corpo técnico da instituição toma uma amostra aleatória de 200 
estudantes e os classifica segundo o quadro abaixo: 
Habilidade em matemática Interesse em 
finanças 
Baixa Média Alta 
 
Totais 
Baixo 60 15 15 90 
Médio 15 40 10 65 
Alto 5 15 25 45 
Totais 80 70 50 200 
Admitindo-se que as frequências relativas do quadro representam probabilidades 
populacionais, determine a probabilidade de que um estudante tenha alto interesse na área de 
finanças, dado que tenha habilidade média em matemática. 
 R. 3/14 (Prova para o Tribunal de Contas do Estado do Espírito Santo/2001) 
46) Referindo-se à tabela seguinte, determinar as probabilidades: a) P(I e A); b) P(II ou B); c) P(A); d) 
P(I ou II); e) P(I e II); f) P(A ou B); g) P(A/I); h) P(III/A). 
Grupo industrial Retorno sobre capital próprio 
 Acima da média (A) Abaixo da média (B) Total 
I 20 40 60 
II 10 10 20 
III 20 10 30 
IV 25 15 40 
Total 75 75 150 
Respostas: a) 0,13; b) 0,57; c) 0,50; d) 0,53; e) 0; f) 1,0; g) 0,33; h) 0,27 
 
47) Do Livro Noções de Probabilidade e Estatística – Marcos Magalhães. 
Pág. 40 exercício 1. 
Pág. 41 exercícios 2, 3, 4 e 5. 
Pág. 48 exercícios 1, 2, 3 e 4. 
Pág. 49 exercícios 5, 6 e 7. (seção 2.2) 
Pág. 49 exercícios 1, 3 e 4. (seção 2.3) 
Pág. 50 exercícios 5, 6 e 7.