Pratica 6 - Estudo do momento de inércia de sistemas discretos pelo método científico

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Física Experimental A
Prática 6
Estudo do momento de inércia de sistemas discretos pelo método científico
Prática experimental 6 desenvolvida no curso Física Experimental A da graduação em Curso da Universidade Federal de São Carlos – UFSCar
Prof. Dr. 
Aluno R.A.: 
Aluno R.A.: 
dia de mês de ano
Resumo
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Objetivos:
O principal objetivo desta prática experimental é medir o momento de inércia de sistemas discretos bem como estimar quais variáveis envolvidas nas medições são mais relevantes para a determinação da incerteza de medições desses momentos de inércia e determinar a relação empírica entre o momento de inércia, a massa e a distribuição de massa através do método científico. 
Fundamento Teórico:
Ao se estudar o movimento de translação de corpos rígidos não se considera individualmente as partículas que o compõe, porque cada uma possui a mesma velocidade v de translação. Com base nessas considerações define-se o momento linear p de um corpo como sendo o produto de sua massa total M (a somatória das massas de todas as partículas) pela sua velocidade v. Pela 2ª lei de Newton, temos:
 						(1)
Para descrever o movimento de rotação de corpos rígidos é utilizado um raciocínio análogo, agora com uma velocidade angular podendo associar então um momento angular L, onde I é seu momento de inercia: 
 							(2)
 						(3)
Onde é o torque e a aceleração angular, de modo geral, o momento de inércia de uma única partícula pode ser descrito por: 
 						(4)
Onde M é a massa da partícula que esta a uma distancia r do eixo de rotação, as potências k e n são números inteiros e C é uma constante adimensional. Esta representação pode ser generalizada para um sistema discreto de n partículas, sendo então o momento de inércia total, It, deste sistema dado por:
				(5)
Um sistema para medição de momentos de inércia sugerido é esquematizado pela Figura 1, onde se pode observar que o sistema girante possui um momento de inércia I, pela massa em queda m e a altura de queda h desta massa. 
Figura 1 - Representação esquemática do sistema experimental para obtenção de momentos de inércia de sistemas discretos
Nesta montagem experimental aplicamos a 2ª Lei de Newton obtendo a equação: 
						(6)
A rotação do sistema girante tem origem na tensão que o fio produz no carretel (que possui diâmetro D), originando um torque neste sistema. Assim tais grandezas são relacionadas da forma:
		 			[..]
				[..]
					(7)
Sendo este o momento de inercia total (It) do sistema discreto, podendo-se determinar o momento de inércia dos corpos Ic de modo:
				(8)
Materiais utilizados
Balança Triplice Escala – Balança JB., Precisão 0,1 [g]; Pesagem mín. 4 [g]; Pesagem máx. 1610 [g];
Paquímetro – KINGTOOLS., Precisão 0,02 [mm]; Medição máx. 150 [mm];
Cronômetro Digital acionado manualmente;
Trena manual;
Sistema experimental para obtenção de momentos de inércia de sistemas discretos (Figura 1);
5 Conjuntos com corpos de diferentes massas;
Massa para suspensão;
Papéis de gráfico di-log e milimetrado.
Procedimento Experimental
Primeiramente foi efetuada a verificação do funcionamento do sistema para determinar momento de inércia (Figura 1) bem como a altura máxima h possível para suspender a massa m e o diâmetro D do carretel, sendo estes 254,70 0,05 [cm] e 69,4 0,1 [g] respectivamente. Posteriormente foi verificado o peso das peças dos 5 conjuntos preenchendo a Tabela 1 com os valores obtidos e calculado o peso total de cada conjunto.
Em seguida atribuiu-se o primeiro estado do sistema sem nenhum conjunto associado, isto é, com o sistema vazio a fim de se verificar o momento de inércia inicial Is, para tal foi medido 3 vezes o tempo t de queda da altura h para a massa m suspensa, anotando os dados obtidos na segunda coluna da Tabela 2, utilizando-se da equação (7) para o calculo do momento de inércia do sistema e sua respectiva incerteza por meio de propagação de incerteza detalhado no Apêndice.
Tendo o valor de Is foi então fixado as peças de cada conjunto nas extremidades das cruzetas do sistema de modo que a distância r das peças ao eixo de rotação foram mantidos iguais, tendo sido adotado r como 14,148 0,002 [cm]. Posteriormente foi levantada a massa m até a altura h novamente e cronometrado o tempo t de queda para este sistema, tomando cuidado para que, ao final do percurso, o sistema girante fosse travado para não romper a corda de suporte. Este procedimento foi repetido para todos os 5 conjuntos e os dados obtidos foram então dispostos na Tabela 2 com suas respectivas incertezas associadas.
Foi então selecionado o conjunto de peças de Ferro (por este ser o de maior massa) e fixado nas extremidades da cruzeta e realizado o mesmo procedimento agora, entretanto, para outros 4 valores diferentes de r. Os dados iniciais obtidos deste conjunto e os dados destas 4 novas situações foram dispostas na Tabela 3.
Nas tabelas 2 e 3 foram calculados os momentos de inércia dos corpos Ic por meio da equação (8). Tendo todos os dados necessários construíram-se os gráficos em papel di-log para Ic x M (Gráfico 1) e Ic x r ( Gráfico 2), aplicando o critério de ajuste da reta mais provável pelo método visual a fim de ser encontrado os coeficientes k e n (inclinações) arredondando para números inteiros. 
Posteriormente foi construído o gráfico em papel milimetrado do momento de inércia das peças Ic (Gráfico 3), aplicando agora o critério de ajuste da reta mais provável pelo MMQ a fim de ser encontrado o valor da constante C e sua respectiva incerteza associada.
Apresentação dos resultados:
Tabela 1: Massas de cada peça dos conjuntos em estudo
	
	Madeira
	Alumínio
	Latão I
	Latão II
	Ferro
	M1 ± μ(M1) [ g ]
	25,6
	±
	0,1
	52,6
	±
	0,1
	81,8
	±
	0,1
	109,6
	±
	0,1
	134,8
	±
	0,1
	M2 ± μ(M2) [ g ]
	24,8
	±
	0,1
	53,1
	±
	0,1
	80,6
	±
	0,1
	109,0
	±
	0,1
	134,0
	±
	0,1
	M3 ± μ(M3) [ g ]
	25,4
	±
	0,1
	53,4
	±
	0,1
	80,0
	±
	0,1
	109,0
	±
	0,1
	134,6
	±
	0,1
	M4 μ(M4) [ g ]
	25,8
	±
	0,1
	53,3
	±
	0,1
	79,1
	±
	0,1
	111,6
	±
	0,1
	133,6
	±
	0,1
	Mi μ(Mi) [ g ]
	101,6
	±
	0,2
	212,4
	±
	0,2
	321,5
	±
	0,2
	439,2
	±
	0,2
	537,0
	±
	0,2
Tabela 2: Dados para a determinação do momento de inércia do sistema (Is) e das peças (Ic) em função da massa do conjunto, onde r é a distância fixa ao eixo de rotação, m a massa suspensa em queda e t o tempo de queda.
	
	Sistema
	Madeira
	Alumínio
	Latão I
	Latão II
	Ferro
	r ± μ(r)
[ cm ]
	0
	±
	0
	14,148
	±
	0,002
	14,148
	±
	0,002
	14,148
	±
	0,002
	14,148
	±
	0,002
	14,148
	±
	0,002
	m ± μ(m)
[ g ]
	69,4
	±
	0,1
	69,4
	±
	0,1
	69,4
	±
	0,1
	69,4
	±
	0,1
	69,4
	±
	0,1
	69,4
	±
	0,1
	t ± μ(t)
[ s ]
	5,436
	±
	0,3
	8,0
	±
	0,3
	10,4
	±
	0,3
	11,8
	±
	0,3
	14,4
	±
	0,3
	15,47
	±
	0,3
	It μ(It)
[ g.m² ]
	1,4
	±
	0,1
	3,1
	±
	0,2
	5,1
	±
	0,3
	6,7
	±
	0,3
	9,9
	±
	0,4
	11,5
	±
	0,4
	Ic μ(Ic)
[ g.m² ]
	0
	±
	0
	1,7
	±
	0,2
	3,7
	±
	0,3
	5,3
	±
	0,3
	8,5
	±
	0,4
	10,1
	±
	0,4
Tabela 3: Dados para a determinação do momento de inércia do sistema (Is) e daspeças (Ic) em função da distância ao eixo de rotação r, mantendo fixa a massa do conjunto, onde me é a massa suspensa em queda et o tempo de queda
	r ± μ(r)
[ cm ]
	14,148
	±
	0,002
	10,648
	±
	0,002
	7,148
	±
	0,002
	5,100
	±
	0,002
	4,190
	±
	0,002
	m ± μ(m)
[ g ]
	69,4
	±
	0,1
	69,4
	±
	0,1
	69,4
	±
	0,1
	69,4
	±
	0,1
	69,4
	±
	0,1
	t ± μ(t)
[ s ]
	15,5
	±
	0,3
	12,5
	±
	0,3
	9,1
	±
	0,3
	8,0
	±
	0,3
	6,8
	±
	0,3
	It μ(It)
[ g.m² ]
	11,5
	±
	0,4
	7,5
	±
	0,4
	4,0
	±
	0,3
	3,0
	±
	0,2
	2,2
	±
	0,2
	Ic μ(Ic)
[g.m² ]
	10,1
	±
	0,4
	6,1
	±
	0,4
	2,6
	±
	0,3
	1,6
	±
	0,2
	0,8
	±
	0,2
Atividades complementares
Tabela 4: Valores teóricos do momento de inercia I para 3 valores distintos de massa utilizando os coeficientes a e b encontrados pelo MMQ
	a ± μ(a) 
	b ± μ(b)
	I ± μ(I) [ g.m² ]
	m [ g ]
	0,019
	±
	0,001
	-0,2
	±
	0,4
	2,7
	±
	0,4
	150
	
	
	
	
	
	
	6,5
	±
	0,4
	350
	
	
	
	
	
	
	10,3
	±
	0,4
	550
Através do MMQ pôde-se encontrar o valor da constante adimensional C como sendo C= 0,970,05.
A concordância entre o valor encontrado no experimento e o valor teórico esperado é de 97% sendo a geometria consistente com o anel cilíndrico.
Conclusão
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Bibliografia
HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. Fundamentos de Física: Mecânica. 8.ed. Rio de Janeiro: LTC - Livros Técnicos e Científicos Editora S.A., 2009. 278 p.
NUSSENZVEIG, H. M. Curso de Física Básica: 1 - Mecânica. 4. ed. São Paulo: Editora Edgard Blucher LTDA, 2002. 338 p.
KITTEL, C.; KNIGHT, W. D.; RUDERMAN, M. A. Curso de Física de Berkeley.4. ed. São Paulo: Editora Edgard Blucher LTDA, 1973. 455 p.
Apêndice
Incertezas:
Para calcular as incertezas do experimento utilizamos da Avaliação do tipo A e da Avaliação do tipo B, sendo que na Avaliação do tipo A consideramos o número de medições, equivalente a 5, obtendo-se o resultado de x1, x2, x3, x4 e x5, estabelecendo que a melhor estimativa para a medição é dada pela média aritmética <x> dos valores obtidos dado pela formula:
 (1.0)
E a contribuição aleatória da incerteza padrão da medição foi identificada com o desvio padrão s da média, dado por:
 (1.1)
A Avaliação do tipo B utilizou-se as informações disponíveis sobre os instrumentos de medição empregados no experimento, atribuindo-se referente a resolução do paquímetro, da trena e da balança utilizado, sendo a incerteza pela Avaliação do tipo B ubp=0,02 [mm]; ubt=0,5 [mm] e ubb=0,1 [g], respectivamente, por possibilitar a visualização da metade do valor da menor medição a incerteza para a trena e pala a balança foram a metade de sua resolução, isto é, a metade do valor da menor divisão da escala.
Foi de grande interesse calcular a incerteza relativa (u(R)) para facilitar o calculo de propagação de incerteza, sendo esta a razão entre a incerteza de medição pelo valor da mesma grandeza, dada assim por:
 (1.2)
Houve-se entretanto a necessidade de combinar as incertezas calculadas, para esta finalidade utilizou-se do conceito de propagação de incerteza, sendo esta determinada por incerteza padrão combinada uc, podendo ser determinada por:
 (1.3)
De forma geral utilizamos a forma resumida da equação (1.3) para funções do tipo determinada por:
 (1.4)
E para funções do tipo determinado pela forma resumida:
 (1.5)
Sendo este empregado no caso da combinação da incerteza de <x>, do Tipo A, associada ao desvio padrão da média (s) e a incerteza do Tipo B ub , onde foi obtido a propagação por meio da formula (1.5) para o caso de apenas dois valores , para p1=p2=1 e a=b=1 e x1=s, x2=ub, resultando em:
 (1.6)
Para a incerteza associada à medição do tempo considerou-se os dados fornecidos pela literatura referente ao tempo de reação do ser humano, sendo esta da ordem de 0,2 [s]. Como no processo temos 2 períodos envolvidos, iniciar contagem e finalizar a contagem, foi propagado esta incerteza de modo que , logo u(t) = 0,3 [s].
A concordância c entre resultados é um valor percentual e quanto mais perto de 100%, maior é o grau de concordância entre o valor obtido pela medição experimental (Xexp) e o valor de referencia (Xteo). A concordância é dada por: 
 		 (1.7)
Construção do gráfico: 
Na construção do gráfico foi utilizado o conceito de ajuste mais provável da reta pelo método visual, que possibilita a determinação dos coeficientes de inclinação e suas incertezas, visualmente, podendo estimar esta incerteza associadaao valor da inclinação calculada a partir das inclinações máximas e mínimas. Para o gráfico di-log, temos que o coeficiente de angulação da reta média visual é dada por: 
 (1.8)
Onde Yf e Yi são os pontos do maior e menor valor obtido no eixo Y, respectivamente, e Xf e Xi similarmente. Para o calculo da incerteza visual associada a este coeficiente foi utilizado a seguinte formula: 
 (1.9)
Onde amáx e amin são os coeficientes de angulação da reta de máxima e de mínima inclinação respectivamente. Para o gráfico linear o mesmo conceito é utilizado, entretanto a formula (1.7) é utilizado na forma: 
 (2.0)
Durante a construção do gráfico linear fez-se necessário calcular o degrau D da escala linear dos eixos x e y do mesmo, para isto foi utilizado a equação: (onde Vmax é o maior valor obtido a ser representado ao longo do comprimento L total do eixo.
 (2.1)
Foi utilizado também o método de mínimos quadrados (MMQ) no gráfico linear a fim de ser encontrada a constante C da equação empírica do momento de inercia, este é o método que estabelece os parâmetros que melhor ajustam a função aos dados, para sua determinação utilizamos as seguintes equações:
 e (2.2)
 e (2.3)
Detalhamento dos Cálculos:
Para a determinação dos momentos de inércia foi utilizado a equação (7) apenas substituindo os valores das variáveis para cada caso exemplificada a seguir. Para maior confiabilidade e agilidade as equações foram utilizadas na ferramenta Microsoft Excel.
Já para a incerteza associada a esta grandeza foi utilizado a formula (1.6) deste apêndice para: 
Temos que I=Ia+Ib, logo: , deste modo temos que Ia e Ib são calculados pela formula (1.4) deste apêndice e dados por: 
Vemos porém que as incertezas relativas para a massa m, o diâmetro D, a gravidade g e a altura h são menores que a incerteza relativa para o tempo em todos os pontos, isto é por esta característica em específico desde experimento podemos calcular a incerteza associada ao momento de inercia I somente pela contribuição propagada pela incerteza referente ao tempo t, isto é: 
Onde sabemos que u(t)=0,3 [s]. Logo, para este mesmo I que calculamos temos que sua incerteza será dada por: 
 [g.m²]
Na utilização da equação (2.1) para a determinação do degrau para o Gráfico 3 foi-se calculado da forma: onde os valores foram arredondados, obrigatoriamente para um valor maior, a fim de se representar todos os valores na área do gráfico, de forma que os dados obtidos fossem representados na faixa de 75-100% da área deste.
Para a inclinação da reta pelo método visual nos gráficos di-log os valores logaritmos foram usados como sendo a distância da origem do eixo ao valor da escala. Um exemplo para a aplicação das fórmulas (1.9) e (2.0) são dados a seguir segundo o Gráfico 2:
 ; e 
=0,23
Já para o MMQ no Gráfico 3 a utilização das formulas seria como no exemplo:
 e 
 e 
Da nossa equação empírica, equação (4) temos então que: onde temos a relação de linearidade do tipo quando variamos r e mantemos m constante; e quando variamos o valor de m sendo r agora constante. Portanto os valores dos coeficientes k e n correspondem ao coeficiente de angulação das retas nos gráficos 1 e 2 respectivamente. 
Para se encontrar o valor de Cu(C) (Constante adimensional) foi traçado a reta MMQ no gráfico a partir dos coeficientes encontrados, tendo a função como , temos que a=Cr², e portanto podemos encontrar o valor de C como sendo 0,970,05. E, portanto, a concordância entre esse valor e o esperado (C=1), sendo a geometria esperada o anel cilíndrico, é dada pela formula (1.7): 
.