Fisexp - Relatorio 3_gravidade em plano inclinado_ Ana Beatriz Rocha

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Movimento de um corpo em um plano inclinado: 
Determinação da aceleração da gravidade 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Física Experimental I 
Professor: Jilder 
Aluna: Ana Beatriz Rocha 
Turma BCMT4 (Qua 13h-15h) 
Laboratório de Física Experimental I Experimento 3 
1. Resumo: 
Obteve-se os resultados para o valor nominal da gravidade através de um 
experimento envolvendo queda livre no plano inclinado, com atrito desprezível. Foram 
usados 8 e 10 blocos por baixo do suporte de uma das extremidades do trilho a fim 
de simular inclinações diferentes. Filmou-se o movimento com uma câmera digital 
calibrada para que fosse possível converter os pixels da imagem para centímetros 
(utilizou-se ImageJ). Em seguida foram realizados cálculos para descobrir os valores 
das incertezas e das demais grandezas, todos os valores e fórmulas foram colocados 
no Qtiplot para a obtenção das grandezas. Usando os valores encontrados para as 
acelerações e para os senos, chegou-se finalmente a um valor nominal para a 
gravidade e comparou-o com o valor de referência para saber se estava dentro do 
critério de compatibilidade. 
 
2. Introdução: 
O filósofo grego Aristóteles explicou, de uma forma mais abrangente, a queda 
dos objetos em direção ao solo. Ele acreditava que os objetos caíam a uma velocidade 
proporcional ao seu peso. Apesar de vago e possuir algumas falhas, foi o que 
despertou o interesse do astrônomo e físico Galileu Galilei, onde seus estudos deram 
origem à Física Moderna conhecida atualmente. 
Galileu realizou experimentos com corpos de diferentes massas, em um plano 
inclinado em queda livre. Ele concluiu empiricamente que independente da massa do 
corpo, a taxa de variação da velocidade (aceleração) era sempre a mesma. 
Infelizmente, grande parte do seu trabalho foi descreditado por contrariar paradigmas 
fortemente estabelecidos em sua época, principalmente o do geocentrismo. 
A Lei da Gravitação Universal Clássica veio de fato surgir com Isaac Newton, 
que utilizou os estudos de Galileu para elaborar suas leis e descobertas. Ele concluiu 
através de estudos matemáticos e experimentais, a existência de uma força atrativa 
em direção ao centro da Terra, chamada de gravidade, e que esta força estava 
presente na Lua e em outros corpos celestes. 
Isaac propôs também as leis do movimento dos corpos – também conhecida 
mecânica newtoniana ou clássica. A Segunda Lei de Newton foi a mais famosa entre 
os físicos até os dias de hoje, ela diz que: “A força ou a resultante de forças que atua 
sobre um corpo de massa m é igual ao produto da massa pela aceleração, tendo a 
aceleração, a mesma direção e o mesmo sentido da força” – ou seja, Fr = m ∗ a. 
Laboratório de Física Experimental I Experimento 3 
Vieram outras fórmulas derivadas a partir dela e uma delas foi 𝑎 =
∆𝑉
∆𝑇
 que foi usada 
neste relatório. Unindo o experimento de Galileu e a mecânica Newtoniana, foi 
possível determinar o valor experimental da gravidade neste trabalho. 
 
 
 
3. Procedimento Experimental: 
Montou-se um sistema de plano inclinado, sendo colocados 8 blocos por baixo 
do trilho de ar em uma de suas extremidades, a fim de incliná-lo. Foi verificado se o 
trilho estava devidamente nivelado e se a superfície estava retilínea e sem atrito (ligou-
se o ar do equipamento). Após todas as verificações necessárias, posicionou-se o 
carrinho na extremidade de maior altura do trilho e o mesmo foi abandonado. O 
mesmo procedimento foi feito utilizando-se 10 blocos. 
Todo o movimento foi filmado por uma câmera posicionada em um tripé – de 
maneira que enquadrasse completamente o sistema. A mesma foi devidamente 
configurada para tamanho de imagem VGA, 30 fotos por segundo e com microfone 
desligado. 
Após a gravação do experimento, o vídeo foi transferido para o computador do 
laboratório e convertido de MP4 para AVI, em seguida, foi aberto no programa ImageJ 
com o objetivo de analisar o posicionamento exato em pixels, com referencial em 
relação ao carrinho. Porém, antes rotacionou-se o vídeo para alinhar o eixo horizontal 
da câmera com o do trilho. Para a realização de tal procedimento, foi necessário 
determinar o ângulo de rotação, para cada situação do experimento, através da 
relação Trigonométrica: 𝑇𝑔𝜎 =
𝑦2−𝑦1
𝑥2−𝑥1
, onde 𝑦2 = 282, 𝑦1 = 333, 𝑥2 = 627 e 𝑥1 = 31. 
Utilizou-se a função arco tangente e encontrou-se 4.91º para valor de 𝜎, o mesmo foi 
inserido na função Rotate do programa. O passo a passo para a rotação foi feito 
No eixo y, a força resultante é 
nula. Já no eixo x, a força resultante 
será a componente Px, já que o corpo 
abandonado. Tem-se que: 𝐹𝑟 = 𝑚 ∗
𝑎 , 𝑃𝑥 = 𝑚 ∗ 𝑎 , 𝑃 ∗ 𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝑚 ∗ 𝑎 ∴ 
𝑚 ∗ 𝑔 ∗ 𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝑚 ∗ 𝑎 ∴ 𝑎 = 𝑔. 𝑠𝑒𝑛𝜃 
 
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igualmente ao da Apostila de Fisexp I da UFRJ – página 85. O mesmo foi efetuado 
para a situação contendo 10 blocos e o valor do ângulo encontrado foi de 5.02º. 
Com o vídeo já alinhado, foi possível calcular a distância e a velocidade para 
cada instante (𝑡), em segundos, no percurso. Havia um pixel correspondente para 
cada instante que a imagem foi capturada, fazendo a correção com uso de uma 
constante de calibração, foi possível converter os pixels para a distância real (𝑥), em 
centímetros, que o carrinho percorreu ao longo do trajeto. A velocidade (𝑉) foi 
encontrada a partir da distância e do tempo. Foi efetuado o cálculo do seno do ângulo 
(𝜃) formado entre o trilho e a mesa, para as situações com 8 e 10 blocos. Todos as 
medidas tiveram suas incertezas calculadas e serão discutidas separadamente no 
tópico seguinte. 
Por fim, construiu-se um gráfico de Velocidade x Tempo e calculou-se o 
coeficiente angular (𝛽) da regressão linear encontrada para descobrir a aceleração (𝛼) 
do sistema. Tendo este dado, foi possível calcular a aceleração da gravidade e 
compará-la com os valores tabelados. 
 
4. Análise de Dados: 
Já que só seriam coletados 12 dados para análise, determinou-se que o melhor 
intervalo de tempo para a coleta de dados seria de 0.12 segundos. Cada instante teve 
seu pixel mostrado no ImageJ, de acordo com a posição do cursor. A incerteza do 
pixel foi escolhida visualmente, entre os pixels nítidos (medida real) e os menos nítidos 
(incerteza). 
A constante de calibração do pixel (𝛾) foi calculada como 𝛾 =
𝐿
𝑃2−𝑃1
, onde 𝑃2 
e 𝑃1 são os pixels referentes à posição inicial e final do carrinho, 𝐿 é o comprimento 
do trilho. 𝐿 = 200 𝑐𝑚, 𝑃1 = (627 ± 1) 𝑝𝑥𝑙 e 𝑃2 = (31 ± 1) 𝑝𝑥𝑙, foi calculado (𝛾 =
0.336 ± 0.001) 𝑐𝑚/𝑝𝑥𝑙 para a situação com 8 blocos. Para a situação de 10 
blocos, 𝑃1 = (15 ± 1)𝑝𝑥𝑙, 𝑃2 = (621 ± 1) 𝑝𝑥𝑙 e 𝛾 = (0.330 ± 0.001). A incerteza de 𝛾 
foi calculada pela formula (𝛿𝛾)2 = (
𝜕𝛾
𝜕𝐿
∗ 𝛿𝐿) ² + (
𝜕𝛾
𝜕∆𝑃
∗ 𝛿∆𝑃)². Considerando 𝛿𝐿 nula, 
temos que 𝛿𝛾 =
𝐿
(𝑃1−𝑃2)²
∗ √(𝛿𝑃1)² + (𝛿𝑃2)², e encontrou-se o valor 𝛿𝛾 = 0.001 para 
ambas as constantes. 
Com a constante calculada, foi possível converter a distância correspondente 
a cada pixel da imagem através da equação 𝑋 = 𝛾 ∗ 𝑃𝑖𝑥𝑒𝑙, onde 𝑋 é a distância em 
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centímetros que o carrinho percorreu. A incerteza de 𝑋 foi calculada através da 
fórmula (𝛿𝑋)2 = (
𝜕𝑋
𝜕𝛾
∗ 𝛿𝛾) ² + (
𝜕𝑥
𝜕𝑃𝑖
∗ 𝛿𝑃𝑖)², então 𝛿𝑋 = √(𝑃𝑖 ∗ 𝛿𝛾)² + (𝛾 ∗ 𝛿𝑃𝑖)². 
A velocidade foi calculada a partir da fórmula 𝑉 = 
∆𝑠
∆𝑡
, portanto 𝑉 = 
𝑋𝑖+1−𝑋𝑖−1
𝑡𝑖+1−𝑡𝑖−1
. A 
incerteza de 𝑉 é calculada a partir (𝛿𝑉)2 = (
𝜕𝑉
𝜕∆𝑡
∗ 𝛿∆𝑡) ² + (
𝜕𝑉
𝜕∆𝑋
∗ 𝛿∆𝑋)
2
, podendo ser 
simplificada como 𝛿𝑉 = (
1
2∗∆𝑡
) ∗ √(𝛿𝑋𝑖+1)
2 + (𝛿𝑋𝑖+1)
2, supondo que 𝛿∆𝑡 é nula. 
Os valores das medições foram inseridos no programa Qtiplot e as fórmulas 
foram aplicadas nas colunas para obtenção dos valores da posição 𝑋, velocidade e 
de suas incertezas. Com os valoresda velocidade, incerteza da velocidade e o tempo, 
criou-se uma curva de pontos e uma regressão linear para ambos os casos. Obteve-
se um coeficiente de ajuste (adjusted 𝑅²) 0.998 para as duas curvas. O Qtiplot forneceu 
o coeficiente angular das retas (nada mais é que a aceleração do sistema) e suas 
incertezas. Obteve-se (88 ± 4) cm/s² para o sistema contendo 8 blocos e (72 ±
 4) cm/s² para o sistema contendo 10 blocos. Os valores abaixo encontram-se 
arredondados e foram transferidos para o Excel por questão de praticidade para fazer 
uma tabela visualmente melhor. 
 
 
 
 
 
 
Velocidade x Tempo
V (cm/s)
0
20
40
60
80
100
120
 
0
20
40
60
80
100
120
t (s) 
1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 2,2
1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 2,2
Vi
LinearAjuste1
Laboratório de Física Experimental I Experimento 3 
 
 
Usou-se da mecânica newtoniana para calcular a aceleração da gravidade. Já 
que o objeto estava em queda livre, a força resultante do sistema foi igual à 
componente horizontal do peso (𝑃𝑥). Se 𝐹𝑟⃗⃗⃗⃗ = 𝑃𝑥⃗⃗⃗⃗ ⃗ e 𝑃𝑥⃗⃗⃗⃗ ⃗ = �⃗� ∗ 𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝑚 ∗ 𝑔 ∗ 𝑠𝑒𝑛𝜃, 
temos que 𝑔 =
𝑎
𝑠𝑒𝑛𝜃
. Sua incerteza é dada por (𝛿𝑔)2 = (
𝜕𝑔
𝜕𝑎
∗ 𝛿𝑎)
2
+ (
𝜕𝑔
𝜕𝑠𝑖𝑛𝜃
∗ 𝛿𝑠𝑖𝑛𝜃)
2
. 
Foi utilizada trigonometria básica para descobrir o valor do seno para os dois 
casos: 𝑠𝑖𝑛𝜃 =
ℎ2−ℎ1
𝐿
. Em relação ao sistema de 8 blocos: ℎ2 = 21.5, ℎ1 = 12.0, portanto 
𝑠𝑖𝑛𝜃 = (0.073 ± 0.001). Para o de 10 blocos: ℎ2 = 23.4, ℎ1 = 11.5, 𝐿 = 130.0, logo 
𝑠𝑖𝑛𝜃 = (0.092 ± 0.001). A sua incerteza foi dada mediante à fórmula (𝛿𝑠𝑖𝑛𝜃)2 =
(
𝜕𝑠𝑖𝑛𝜃
𝜕∆ℎ
∗ 𝛿∆ℎ)
2
+ (
𝜕𝑠𝑖𝑛𝜃
𝜕𝐿
∗ 𝛿𝐿)
2
 e o valor obtido foi 𝛿𝑠𝑖𝑛𝜃 = 0.001 para ambos. 
 
 
 
 
5. Conclusão: 
Encontrou-se o valor, em módulo, para a gravidade (980 ± 53) cm/s² e 
(955 ± 43) cm/s² para o experimento com 8 blocos e 10 blocos, respectivamente. 
Velocidade x Tempo
V (cm/s²)
0
20
40
60
80
100
 
0
20
40
60
80
100
t (s)
3,6 3,8 4 4,2 4,4 4,6 4,8 5
3,6 3,8 4 4,2 4,4 4,6 4,8 5
Vi
LinearAjuste1
Laboratório de Física Experimental I Experimento 3 
Todo experimento possui incertezas associadas como: erro do operador, do 
instrumento ou até mesmo erros aleatórios, então todos estes fatores dificultam o 
alcance do valor esperado. Foi utilizado o critério de compatibilidade para descobrir 
se os valores encontrados estavam aceitáveis em relação ao valor de referência da 
gravidade ((978,7 ± 0,1) 𝑐𝑚/𝑠² para o Rio de Janeiro). Dada a fórmula 
𝐷
𝛿𝐷
< 3, sendo 
𝐷 = |𝑥 − 𝑥0| e 𝛿𝐷 = √𝛿𝑥
2 + 𝛿𝑥0², os valores encontrados foram: 0,024528 e 
0,551161 para o sistema de 8 e 10 blocos, respectivamente. De acordo com este 
critério, os valores encontrados para a gravidade estão na margem de aceitação, 
possuindo boa precisão e acurácia. 
Por fim, juntou-se os valores de 𝑠𝑖𝑛𝜃, 𝛿𝑠𝑖𝑛𝜃, 𝑎 𝑒 𝛿𝑎 de todos os experimentos da 
turma e montou-se mais um gráfico para obter um valor geral para 𝑔. O coeficiente de 
determinação ajustado foi 0.9585, ou seja, não se obteve um resultado tão bom, já 
que os valores foram discrepantes entre si. O valor obtido foi (891 ± 114)𝑐𝑚/𝑠². 
Apesar do valor estar mais baixo que o de referência, está dentro do parâmetro de 
aceitação (considerando o critério de compatibilidade). Concluiu-se que o método é 
eficaz, porém não é recomendado para inclinações muito baixas porque são mais 
propensas a interferências, já que a velocidade da queda do carrinho é menor. 
 
 
 
Laboratório de Física Experimental I Experimento 3 
 
 
 
 
6. Referências: 
[1] Apostila Física Experimental I, IF-UFRJ, 02/2016 
[2] https://pt.wikipedia.org/wiki/Gravidade 
[3] https://www.sofisica.com.br/conteudos/Mecanica/Dinamica/pi.php 
[4] http://www.astronoo.com/pt/biografias/galilei.html 
[5] http://www.astronoo.com/pt/biografias/isaac-newton.html 
Aceleração x seno
a (cm/ s²)
30
40
50
60
70
80
90
100
 
30
40
50
60
70
80
90
100
sen
0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,1
0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,1
a (cm/s)
LinearFit1