Eletromag Aula 5 2014

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Notas de aulas de eletromagnetismo 5a Aula- “Lei de Gauss “ 1 
Neri Alves 
 
Lei de Gauss 
Eletromagnetismo 2013 
Neri Alves 
12/12/2014 - 5a Aula 
Lei de Gauss 
 
A Lei de Gauss relaciona o fluxo de E��� através de uma superfície fechada e a carga 
total encontrada dentro da superfície. 
 
E��� ∙ da�� � E��� ∙ n	da 
Considerando uma carga pontual no ponto P. 
 
E��� ∙ da�� � q4πε�
r	 ∙ da��
|r�|� 
Onde r	 ∙ da�� é a projeção de da�� na direção de r	, e �	∙����|���|� � dΩ sendo Ω o ângulo sólido. 
 
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Inserção. 
 Conceito de ângulo sólido 
 
d� � rdθ 
dθ � d�r 
ou 
∆θ � ∆�� e quando ∆� � � tem-se que ∆θ �
�
� � 1 
Neste caso tem-se ∆θ � 1�? ; 1 o que? Qual a unidade? 
A resposta é ∆θ � 1 rad (1 radiano) 
1 rad. é o ângulo que compreende um arco de comprimento igual ao raio e é adimensional. 
 
Similarmente pode se definir 
dΩ � da′|r�|� 
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da′ � r	 ∙ da�� � da	 cos θ 
dΩ � r	 ∙ da��|r�|� 
da′ é o elemento de área, parte de uma esfera de raio |r�|. qual o ângulo sólido total em uma 
esfera de raio r. 
dΩ � da cos θ|r�|� 
Para a esfera θ � 0 e cos θ � 1 e temos que da�� 'à superfície. Daí da�� ∥ r	 e |r�| � r 
dΩ � dar� 
 
Ω � ) dar* � 4π
r�
r� � 4π 
 
Ω � 4π�? 
Qual a unidade? 
Resp. A unidade é 4π Sr (Estereorradiano). 
Se 
 
 
 
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∆Ω � ∆��� O que teremos quando ∆a � r� 
∆Ω � r
�
r� � 1Sr 
 
Um estereoradiano é o ângulo sólido com vértice no centro de uma esfera que relaciona 
com uma área na superfície com a mesma medida do quadrado do respectivo raio. 
 
Fim da Inserção 
 
Como E��� ∙ da�� � ,-./0
�	∙����
|���|� e acamo de mostrar que d٠�
�	∙����
|���|� então 
E��� ∙ da�� � ,-./0 	dΩe 
) E��� ∙ da��
*
� ) q4πε� 	dΩ1 �
q
4πε�) 	dΩ1 
) E��� ∙ da��
*
� q4πε� 4π �
q
ε� 
 
Então quando a carga q está dentro da superfície temos que 
) E��� ∙ da��
*
� qε� 
E quando a carga q está fora da superfície 
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) E��� ∙ da��
*
� 0 
 
 
Distribuição de Cargas 
Se houver cargas pontuais distribuídas no interior da superfície temos: 
) E��� ∙ da��
*
� 1ε�2q3
4
356
 
 
Se for uma distribuição contínua temos que pegar um elemento de volume ∆V3 que 
contenha ∆q3. 
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Q ≅ 2∆
3
q3 
Seja 
ρ � ∆q∆V 
 
∆q3 � ρ∆V3 
Q ≅ 2 ρ∆V3
3
 
No limite quando ∆V → 0 
Q � lim∆?→� 2 ρ∆V33
� @ ρdV
?A
 
Observação: Esta integral pode ser aplica em todo o volume pois fora Va temos ρ � 0. 
Então 
) E��� ∙ da��
*
� 1ε� @ ρdV? 
 
Onde, alternativamente pode se escrever E��� ∙ da�� � E��� ∙ n	da 
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) E��� ∙ n	da
*
= 1ε� @ ρdV? 
E lembrando-se do teorema da divergência 
 
 
 
Então 
) ∇ ∙ E���dV
?
= 1ε� @ ρdV? 
Daí segue-se, que 
∇ ∙ E��� = ρε� 
Esta é a 2a Eq. De Maxwell da eletrostática. 
Esta é a Lei de Gauss na forma diferencial que relaciona densidade local à derivada 
espacial de E���, e não propriamente a E���. 
A forma 
) E��� ∙ da��
*
= qε� 
É a Lei de Gauss na forma integral. Neste caso encerra-se uma região e não um ponto específico. 
 
Como 
E��� = −∇φ 
Temos que 
∇ ∙ E−∇φF = ρε� 
 
∇ ∙ ∇φ = − G/0 mas ∇ ∙ ∇φ = ∇�φ, é o denominado Laplaciano. 
) ∇ ∙ A���dV
⬚
?
= @ A��� ∙ n	da
⬚
*
 
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B�φ � C ρε� 
Que é denominada de Equação de Poisson. 
 
B� -> é operador de Laplace 
B�φ � ∂
�φ
dx� L
∂�φ
dy� L
∂�φ
dz� 
 
Numa região onde ρ � 0 tem-se 
B�φ � 0	 
Aplicações da Lei de Gauss. 
A solução de problemas pela Lei de Gauss depende. 
• Simetria (a superf´cie escolhida deve acompanhar a simetria e conter o ponto P). 
• Escolha da Superfície. Deve-se atentar para que E��� ∥ da�� ou E��� ' da�� de tal forma que 
E��� ∙ da�� � E ∙ da ou E��� ∙ da�� � 0 e onde E��� ∙ da�� O 0, que eja constante. 
 
 
1. Carga pontual. 
 
 
) E��� ∙ n	da
*
� qPQR�Sε� 
 
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) E��� ∙ da��
*
= ) E
*
⋅ da cos θ 
 
Mas E��� ∥ da�� ou E��� ∥ n	 . Logo cos θ = 1 
Então 
) E��� ∙ da��
*
= ) E
*
⋅ da = U ) ⋅ da =
*
EE4πr�F 
 
Logo 
EE4πr�F = 	qPQR�Sε� 
	e	então 
E = 	 14πε�
qPQR�S
r� 
 
2. Campo de uma esfera Uniformemente Carregada (Fora da esfera) 
 
Exercícios 
1. Provar que o campo elétrico no interior de um condutor é nulo 
2. Considerando uma placa condutora, infinita, de espessura l, em equilíbrio eletrostático que 
possui densidade superficial de carga uniforme σ, responda: a) onde se localizam as cargas; b) 
qual o campo elétrico no interior da placa? c)qual o campo fora da placa? Obs. Use lei de 
Gauss e descreva detalhadamente cada passagem usada na resolução. 
3. Calcule o vetor campo elétrico de um dipolo. Calcule o modulo do campo quando as cargas 
estiverem alinhadas com o ponto P. 
4. – Encontre o campo elétrico dentro e fora de duas placas infinitas e isolantes carregadas com 
densidade de carga superficial 2σ e – σ, separadas por uma distância d. 
5. Duas placas condutoras paralelas, infinitas, de espessura e, estão separadas por uma distância 
d. Se as placas estão em equilíbrio eletrostático e possuírem densidades uniformes +σ e –σ, 
respectivamente, em suas superfícies internas, obtenha, uma expressão para o campo elétrico 
entre as placas. Demonstre que o campo elétrico nas regiões externas é nulo. Obs.:considere 
que no interior de um metal em equilíbrio eletrostático o campo é nulo. 
6. Uma barra circular infinitamente longa , de raio R, contém uma densidade de carga uniforme ρ. 
Use a lei de Gauss para encontrar o campo elétrico radial, para r<R e r>R. Faça o gráfico do 
campo em função da distância. ( ) rrE rrr × . 
7. Uma esfera maciça isolante de raio aé concêntrica com uma casca esférica condutora de raio 
internob e raio externo c, com a<b<c. A esfera possui uma carga uniforme qe a casca esférica 
possui uma carga –q. Determine o módulo do campo elétrico (a) em r = 0; (b) em 0 <r<a; (c) 
em r= a; (d) em a <r<b; (e) em b<r<c; (f) em r>c; Determine a carga na (g) superfície interna e 
(h) na superfície externa da casca. 
8. Considere uma esfera metálica, em equilíbrio eletrostático ( 0=E
r
), de raio R, com uma 
carga q. Determine o campo elétrico em função da densidade de carga e da distância r
r
do 
centro, dentro e fora da esfera. Integre o resultado para obter uma expressão para o potencial 
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eletrostático )(rrϕ , sujeito a restrição 0)( =∞ϕ . Faça o gráfico do campo e potencial elétrico 
para todo r
r
 (dentro e fora da esfera) e comente o resultado. 
9. Considere um cilindro condutor de raio R, de comprimento infinito, com uma densidade de 
carga linear de carga λ. Determine o campo elétrico em função da densidade de carga e da 
distância r do centro, na direção radial, dentro e fora do cilindro, usando a lei de Gauss. 
Integre o resultado para obter uma expressão para o potencial eletrostático φ( rr ), considerando 
como referência que no infinito o potencial da esfera é zero φ( ∞ )=0. (OBS. Atenção para o 
fato de que se trata deum cilindro condutor). 
10. – Encontre o campo elétrico à uma posição z do eixo de um anel de raio a e densidade de carga 
linear λ, situado no plano xy e centrada no eixo z. Cheque também quando z>>s(comprimento 
do anel) e z� 0. 
11. – Duas cascas condutoras concêntricas têm raio a e b(a>b), cargas q e Q e espessuras 
insignificantes. Determine o modulo do campo elétrico (a) para r>a; (b) para a<r<b; (c) para 
r<b. Com Y � 0 no infinito, determine o potencial elétrico para (d)r>a; (e) para r= a; (f) 
paraa<r<b; (g) para r= b; (h) para r<b; (i) para r = 0. (j) Plote UEZF e Y	(Z).