Eletromag Aula 10 2015

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Notas de aulas de eletromagnetismo 10a Aula- “Lei de Faradayrt “ 1 
Prof. Neri Alves 
 
Eletromagnetismo 2015 
Neri Alves 
11/12/2015 - 10a Aula 
 
Lei de indução de Faraday 
Vimos nas últimas aulas que 
∇ × B��⃗ = μ�J⃗ 
Pelo teorema de Stokes podemos escrever que 
� B��⃗ . dl⃗
�
= � ∇ × B��⃗
�
∙ n�da 
e 
� ∇ × B��⃗ ∙ n�da
�
= μ� � J⃗
�
∙ n�da 
Assim 
μ� � J⃗
�
∙ n�da = � B��⃗ . dl⃗
�
 
 
E 
� B��⃗ . dl⃗
�
= μ�I 
Onde 
� = � J⃗
�
∙ n�da 
Esta última expressão é a corrente que atravessa a superfície S determinada pelo contorno C. 
 
Lei de Indução de Faraday 
Neste item vamos tratar das relações entre, B��⃗ e E��⃗ quando temos correntes não estacionárias, ou seja 
correntes dependentes do tempo. 
Na eletrostática temos que 
∇ × ��⃗ = 0 
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e 
∇ � ��⃗ . ��⃗
�
= 0 
Mas, estas equações não se aplicam a campos mais gerais, dependentes do tempo. 
Considere que um circuito fechado (contorno) C1, que determina uma superfície S. Como per exemplo 
uma espira onde passa uma corrente. 
 
ϕ = � B��⃗ ∙ n�da
�
 
 
[ϕ] = Weber (Wb) 
Se B��⃗ é constante no tempo, ϕ também é constante, ou seja, 
��
��
= 0. E neste caso nenhuma corrente é 
observada no circuito. Caso contrário, há (observa) a chamada corrente induzida. Como a Corrente 
depende da resistência do circuito, é mais conveniente expressar os resultados em termos de fem induzida. 
Lei experimental independente 
ε�������� = −
dϕ
dt
 
[ε] → Volts 
 
O sinal negativo é introduzido para representar o sentido da fem induzida comparado com o sentido 
(arbitrário) escolhido para percorrer o circuito. 
O sentido é definido claramente pela lei de Lenz: a fem induzida (ou a corrente) tem um sentido que se 
opõe à mudança que está produzindo a fem . 
Mas por definição temos que: 
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ε�������� = � E��⃗ ∙ dl⃗
�
 
 
ε�������� = � E��⃗ ∙ dl⃗
�
= −
dϕ
dt
 
 
 
� E��⃗ ∙ dl⃗
�
= −
d
dt
� B��⃗ .
�
n�da 
Numa situação de circuito rígido 
� E��⃗ ∙ dl⃗
�
= − �
∂B��⃗
∂t
.
�
n�da 
Aqui, lembra-se que ao passar da derivada para dentro da integral, deve-se se usar as derivadas parciais 
pois o campo pode variar com a posição. Usando o teorema de Stokes, podemos escrever que 
 
Usando o teorema de Stokes 
� E��⃗ . dl⃗
�
= � ∇ × E��⃗
�
∙ n�da 
Logo 
� ∇ × E��⃗
�
∙ n�da = − �
∂B��⃗
∂t
.
�
n�da 
 
∇ × E��⃗ = −
∂B��⃗
∂t
 
Forma diferencial da Lei de Faraday. 
 
 
Potencial Vetorial Magnético 
 
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O Conceito de potencial elétrico simplifica o cálculo de campos eletrostáticos. A introdução de potencial 
elétrico é possível, pois o campo elétrico tem como propriedades que o ∇ × E��⃗ = 0. 
O mesmo argumento não pode ser usado para o campo magnético, pois, neste caso, ∇ × B��⃗ ≠ 0. No 
entanto temos que o seu divergente é zero, ∇ ∙ B��⃗ = 0. Assim, como o divergente de qualquer rotacional é 
zero (propriedade 1.1.2) é razoável supor que a indução magnética possa ser expressa por 
B��⃗ = ∇ × A��⃗ 
Assim 
∇ ∙ �∇ × A��⃗ � = 0 
Mas como o ∇ × B��⃗ = μ�J⃗, então há que se impor a condição de que 
 
∇ × B��⃗ = ∇ ∙ �∇ × A��⃗ � = μ�J⃗ 
Usando a identidade 1.1.4 
∇ ∙ �∇ × A��⃗ � = ∇�∇ ∙ A��⃗ � − ∇�A��⃗ 
Impondo 
∇ ∙ A��⃗ = 0 
 
∇�A��⃗ = μ�J⃗ (O Laplaciano) Não entraremos em detalhes sobre o uso e determinação de A��⃗ . Mas vejamos 
uma breve análise: 
B��⃗ (r⃗�) =
μ�
4π
� J⃗(r⃗�)
�
×
r⃗� − r⃗�
(|r⃗� − r⃗�|)�
dV� 
 
Usando 
∇� �
1
|r⃗� − r⃗�|
�= −
r⃗� − r⃗�
(|r⃗� − r⃗�|)�
 
Onde ∇� indica que a derivação se realiza em relação a r⃗�, temos: 
B��⃗ (r⃗�) = −
μ�
4π
� J⃗(r⃗�)
�
× ∇� �
1
|r⃗� − r⃗�|
�dV� 
 
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Lembrando a identidade vetorial 
∇ × �φ F�⃗ � = φ ∇ × F�⃗ − F�⃗ × ∇ φ 
Onde o último termo corresponde ao integrando da expressão anterior. 
 
Sendo o vetor F�⃗ = J⃗(r⃗�) e a função escalar φ = �
�
|��⃗ �� ��⃗ �|
�, temos 
 
J⃗(r⃗�) × ∇� �
1
|r⃗� − r⃗�|
�= ∇� × �
1
|r⃗� − r⃗�|
�J⃗(r⃗�) + �
1
|r⃗� − r⃗�|
�∇� × J⃗(r⃗�) 
Sendo que o último termo é zero. Pois o gradiente aplica-se a r⃗� e a corrente depende de r⃗�, então. 
B��⃗ (r⃗�) = −
μ�
4π
� �−∇� × �
1
|r⃗� − r⃗�|
�J⃗(r⃗�)�
�
dV� 
Para comparação com B��⃗ e tirando o termo ∇� para fora da integral temos 
B��⃗ (r⃗�) = −∇� × �
μ�
4π
� �
1
|r⃗� − r⃗�|
�J⃗(r⃗�)
�
dV�� 
Então 
A��⃗ (r⃗�) =
μ�
4π
� �
1
|r⃗� − r⃗�|
�J⃗(r⃗�)
�
dV� 
 
Assim argumentamos: podemos escrever 
B��⃗ (r⃗�) = ∇ × A��⃗ (r⃗�) 
Ou seja, o campo magnético B��⃗ em r⃗� pode ser escrito como sendo rotacional de uma função 
vetorial denominada de potencial vetorial magnético, A��⃗ (r⃗�). É mais fácil calcular a indução magnética 
usando esta grandeza, o potencial vetorial magnético, do que pelo uso da Lei de Biot-Savart. O Cálculo 
do potencial vetorial num só ponto não é útil porque a indução magnética é obtida pela derivação. As 
principais aplicações são em estudo de Radiação eletromagnética, na resolução de Equações de Maxwell 
e no estudo de emissão de radiação. 
 
 
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Momento Magnético do circuito 
Quando um circuito (espira) com corrente I é exposta a um campo magnético, há um torque que é dado 
por 
τ = I A��⃗ × B��⃗ 
 A��⃗ → vetor cujas componentes são as áreas projetadas sobre os planos xy, yz e zx. 
 
Onde 
I A��⃗ = m���⃗ 
é denominado de vetor momento magnético. Quando se trata de uma espira no plano, A��⃗ é a própria área 
da espira. E 
m���⃗ = I A��⃗ n� 
O conceito de momento magnético é definido a partir do conceito de potencial vetorial magnético A��⃗ . 
Neste ponto temos que ter muito cuidado pois estamos usando o mesmo termo para grandezas 
diferentes. Outra utilidade de A��⃗ é mostrar que no cálculo de B��⃗ a uma distância muito afastada de um 
circuito tem-se uma expressão similar ao campo elétrico de um dipolo elétrico P��⃗ . 
 
 
E��⃗ (r⃗) =
1
4πε�
�−
��⃗
���⃗ − �′��⃗ ��
� + 3
���⃗ ∙ ��⃗ − �′��⃗ �� 
���⃗ − �′��⃗ ��
� ��⃗ − �′
��⃗ �� 
 
B��⃗ (r⃗�) =
μ�
4π
�−
���⃗
|(�⃗� − �⃗�)|
�
+ 3
[���⃗ ∙ (�⃗� − �⃗�)] 
|(�⃗� − �⃗�)|
�
(�⃗� − �⃗�)� 
 
Onde ���⃗ é o momento de dipolo magnético, em analogia ao dipolo elétrico. 
 
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���⃗ =
1
2
� � �⃗� × �
�
�⃗� 
 
 
O campo magnético distante não depende da forma geométrica, somente do momento magnético. 
 
 
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Propriedades magnéticas da matéria 
 
O campo magnético se modifica quando permeia um meio material? No meio material há correntes 
atômicas que dão origem à campos de indução magnética e podemos representá-los por dipolos 
magnéticos m���⃗ � . Cada corrente atômica (elétron girando em torno do núcleo é um pequeno circuito 
fechado de dimensões atômicas, com momento magnético m���⃗ � ). Assim, num meio material ocorre a 
denominada Magnetização, o que corresponde a um momento de dipolo por unidade de volume. 
Considere que no meio material haja i átomos num volume ∆V.a magnetização é dada por 
M���⃗ = lim
∆�→�
1
∆V
� m���⃗ � 
 
Vamos examinar esta questão. 
Vamos assumir que os átomos estão produzindo correntes no mesmo sentido. 
 
 
Se a distribuição de dipolos for uniforme e cada átomo possuir o mesmo momento de dipolo, as 
correntes de cada espira tendem a se cancelar mutuamente. Não haverá corrente líquida no interior do 
material. Mas na superfície não há o cancelamento, resultando numa corrente J⃗�, na superfície que gera a 
indução magnética. 
 
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Se a distribuição não for uniforme as correntes das espiras não se cancelam mutuamente e 
aparecem correntes de magnetização distribuídas no material. Assim duas equações que relacionam a 
corrente com a magnetização, podem ser deduzidas: 
 
 J⃗� = ∇ × M���⃗ (Volume) 
 ȷ⃗� = M���⃗ × n� (Superfície) 
 
Obs: Estas equações são deduzidas a partir do potencial vetorial A��⃗ . 
 
Equações de Campo 
Vimos que 
 ∇ ∙ B��⃗ = 0 e ∇ × B��⃗ = μ�J⃗ 
E num caso geral 
∇ × B��⃗ = μ��J⃗ + J⃗�� 
Onde, inclui-se nas correntes as componentes 
J⃗ é a corrente de movimento de cargas e 
J⃗� é a corrente de magnetização. 
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Como J⃗� = ∇ × M���⃗ temos que 
∇ × B��⃗ = μ��J⃗ + ∇ × M���⃗ � 
∇ × B��⃗ − μ� ∇ × M���⃗ = μ�J⃗ 
∇ × �B��⃗ − μ� M���⃗ � = μ�J⃗ 
∇ × �
1
μ� 
B��⃗ − M���⃗ � = J⃗ 
 
Onde o termo �
�
�� 
B��⃗ − M���⃗ � é denominado de vetor intensidade magnética ���⃗ , que é um vetor magnético 
auxiliar. Assim 
H��⃗ =
1
μ� 
B��⃗ − M���⃗ 
 
Portanto 
∇ × H��⃗ = J⃗ 
E daí o vetor H��⃗ se relaciona com a densidade de corrente de movimento (transporte de cargas). 
 
Condições de contorno para ���⃗ e ���⃗ 
 Para obter as condições de contorno usaremos inicialmente que ∇ ∙ B��⃗ = 0. Pelo teorema da 
divergência temos 
� ∇ ∙ B��⃗
�
dV = � B��⃗ ∙ n�
�
da 
Então 
� B��⃗ ∙ n�
�
da = 0 
Considere 2 meios em contatos 
 
 
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 ȷ⃗� densidade de correntes superfíciais 
 B��⃗ � e B��⃗ � são uniformes. 
 A superfície lateral não contribui, pois, ℎ → 0. 
 
� B��⃗ ∙ n�
�
da = � B��⃗ � ∙ n��da
�
+ � B��⃗ � ∙ n��da
�
+ � B��⃗ � ∙ n��da
�
 
 
A terceira integral é zero, pois, a altura da superfície do cilindro é considerada igual a zero. 
Assim a expressão pode ser reescrita como: 
 
∮ B��⃗ ∙ n�
�
da = B��⃗ � ∙ n��∆a + B��⃗ � ∙ n��∆a = �B��⃗ � ∙ n�� + B��⃗ � ∙ n���∆a 
 
Como ∆a deve ser diferente de zero para garantir a existência da área em análise, então: 
B��⃗ � ∙ n�� + B��⃗ � ∙ n�� = 0 
B��⃗ � ∙ n�� + B��⃗ � ∙ n�� = 0 
B��⃗ � ∙ n�� + B��⃗ � ∙ n�� = 0 
Sendo n�� = −n�� temos B��⃗ � ∙ n�� − B��⃗ � ∙ n�� = 0 e então 
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B��⃗ � ∙ n�� = B��⃗ � ∙ n�� 
Ou em termos da componente normal 
B�� = B�� 
Ou seja, as componentes normais do vetor indução magnética B��⃗ �, são contínuas em uma superfície que 
separa dois meios. 
 
Consideremos agora a equação 
∇ × H��⃗ = J⃗ 
Pelo teorema de Stokes 
� ∇ × H��⃗ ∙ n�da
�
= � H��⃗ ∙ dl⃗
�
 
E 
� ∇ × H��⃗ ∙ n�da
�
= � J⃗ ∙ n�da
�
 
Onde 
� J⃗ ∙ n�da
�
= I 
Então 
� H��⃗ ∙ dl⃗
�
= I 
 
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∮ H��⃗ ∙ dl⃗� = ∫ H
��⃗
� ∙ dl⃗�� + ∫ H
��⃗
� ∙ dl⃗�� + ∫ H
��⃗
� ∙ dl⃗�� +∫ H
��⃗
� ∙ dl⃗�� 
 
Se considerarmos que a altura do contorno seja zero ( h=0), então os segmentos BC e DA não contribuem 
para ∮ H��⃗ ∙ dl⃗
�
 então ∫ H��⃗ � ∙ dl⃗�� = 0 e ∫ H
��⃗
� ∙ dl⃗�� = 0. Então 
� H��⃗ ∙ dl⃗
�
= � H��⃗ � ∙ dl⃗�
�
+ � H��⃗ � ∙ dl⃗�
�
 
E se H��⃗ é constante em ∆l 
� H��⃗ ∙ dl⃗
�
= H��⃗ � ∙ � dl⃗�
�
+ H��⃗ � ∙ � dl⃗�
�
 
� H��⃗ ∙ dl⃗
�
= H��⃗ � ∙ ∆l⃗� + H��⃗ � ∙ ∆l⃗� 
Onde ∆l⃗� = −∆l⃗� 
Então H��⃗ � ∙ ∆l⃗� − H��⃗ � ∙ ∆l⃗� = �H��⃗ � − H��⃗ �� ∙ ∆l⃗� 
e 
� H��⃗ ∙ dl⃗
�
= �H��⃗ � − H��⃗ �� ∙ ∆l⃗� 
e como 
� H��⃗ ∙ dl⃗
�
= � J⃗ ∙ n�da
�
 
A integral é calculada na interface entre dois meios que na maioria dos casos de interesse tem densidade 
de corrente nula. Assim 
�H��⃗ � − H��⃗ �� ∙ ∆l⃗� = 0 
Ou em termos das componentes tangenciais 
H�� − H�� = 0 
As componentes tangenciais são contínuas quando a densidade de corrente de transporte superficial for 
nula. 
 
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Exercícios 
1. Usando a definição de que ind
C
ldE 

, usando a relação experimental ( lei da indução 
magnética) de que 
dt
d
ind

 , demonstre a forma diferencial da lei de Faraday, 
t
B
E





 
onde E

 e B

são respectivamente o campo elétrico e o magnético. Sugestão:Considere como 
ponto de partida o fluxo magnético num circuito fechado e contorno C1 sendo B

 constante no 
tempo,   S danB

 e use o teorema de Stokes. 
2. Partindo das definições de campo, ∇ ∙ B��⃗ = 0 e ∇ × B��⃗ = μ�J⃗ , e de corrente de magnetização, 
J⃗� = ∇ × M���⃗ , demonstre que H��⃗ =
�
�� 
B��⃗ − M���⃗ . 
3. Sabendo que AB

 e       13
12
12
1
0
2
4
dV
rr
rr
rJrB
V



 




 mostre que o vetor potencial A

 é dado 
por     1
12
10
2
4
dV
rr
rJ
rA
V
 
 




. Relações úteis  Af

 e 









12
2
1
rr
 . 
4. Sabendo que densidade de corrente de magnetização no volume é MJm

 e que o 
JB o

 , demonstre que JH o

 . Explique . 
5. A partir do rotacional do campo H

 (variável no tempo) escreva a condição de contorno para a 
vetor H

, na interface entre dois meios. Discuta em que condição ela é continua 
6. Considerando que 0 B

 escreva a condição de contorno para o vetor indução magnética B

, 
na interface entre dois meios. Discuta em que condição ela é continua.