Cap 4 (Equilíbrio de um Corpo Rígido)

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Departamento de Engenharia Civil
Cap. 4Cap. 4 EQUILÍBRIO DE UM CORPO EQUILÍBRIO DE UM CORPO 
Prof. André Luis ChristoforoProf. André Luis Christoforo
Cap. 4Cap. 4 EQUILÍBRIO DE UM CORPO EQUILÍBRIO DE UM CORPO 
RÍGIDORÍGIDO
Material didático adaptado/modificado das obras de:
- Rodrigues, L. E. M. J. Notas de Aula.
- Hibbeler, R. C. Mecânica Estática. 10 ed. São Paulo: Pearson Education 
do Brasil, 2005, 540p.
- Beer, F. P.; Johnston Jr., E. R. Mecânica Vetorial para Engenheiros: 
Estática. 5.ed. São Paulo: Makron Books, 1991. 980p.
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Equilíbrio de um corpo extenso em 2 dimensões
- Um corpo extenso no plano possui três possibilidades de
movimento, sendo duas translações e uma rotação, assim como
ilustra a figura:
Graus de liberdade:
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Vínculos em estruturas planas:
- Vínculos são elementos estruturais que têm por finalidade conectar a
estrutura a um referencial “indeslocável” ou também, de interligar os
elementos estruturais que a compõe.
- Apoio Fixo:
Retira dois graus de liberdade do corpo extenso no plano, sendo estes duas
translações.
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- Apoio Móvel:
Retira um grau de liberdade do corpo extenso no plano, sendo este uma
translação.
- Engastamento Fixo:
Retira três graus de liberdade do corpo extenso no plano, sendo estes duas
translações e uma rotação.
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- Engastamento Móvel:
Retira dois graus de liberdade do corpo extenso no plano, sendo estes uma
translação e uma rotação.
Elementos estruturais:Elementos estruturais:
- Elemento de barra - Unidimensional:
É caracterizado por apresentar uma dimensão bem maior que as demais.
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- Viga:
Estrutura constituída por elemento de barra e sujeita a um conjunto de forças
não-colineares ao seu eixo, gerando esforços de flexão e(ou) cisalhamento.
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- Treliças:
Estruturas compostas por elementos de barras de geometria triangular e
unidas por rótulas (giro livre), com o carregamento posicionado nos seus nós.
(esforço normal)
Rótulas ou nós são vínculos
internos que impedem apenas duas
translações, não restringindo giro.
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Não é treliça. As uniões das barras são
rígidas, restringindo rotações (existência
de força cortante e momento fletor).
Não é treliça. Existência de força
aplicada ao longo da barra gera esforços
de flexão e cisalhamento.
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- Pórticos planos:
São estruturas compostas por elementos de barra tendo dois ou mais elementos
adjacentes não-colineares, podendo ser a união entre eles rígida ou
perfeitamente flexível.
As forças aplicadas aos pórticos, assim como no caso das vigas, podem gerar
esforços de flexão e(ou) cisalhamento.
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Classificação das vigas:
- Quanto a vinculação, as vigas são classificadas como:
- Isostáticas
- Ipostáticas
-Hiperestáticas
- Vigas isostáticas:
- Possuem a quantidade necessária e suficiente de vínculos para manter - Possuem a quantidade necessária e suficiente de vínculos para manter 
a estrutura em equilíbrio.
- Do ponto de vista algébrico:
-3 Equações de 
-equilíbrio:
0
0
0
X
y
A
F
F
M
 =

=

=
∑
∑
∑
-3 Incógnitas:
10
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- Vigas ipostáticas:
- Possuem quantidade de vínculos inferior à quantidade necessária para 
manter a estrutura em equilíbrio.
- Do ponto de vista algébrico:
-3 Equações de 
-equilíbrio:
0
0
0
X
y
A
F
F
M
 =

=

=
∑
∑
∑ -2 Incógnitas:
- Vigas Hiperestáticas:
- Possuem quantidade de vínculos superior à quantidade necessária para 
manter a estrutura em equilíbrio.
- Do ponto de vista algébrico:
-3 Equações de 
-equilíbrio:
0
0
0
X
y
A
F
F
M
 =

=

=
∑
∑
∑
-4 Incógnitas:
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A viga da figura abaixo é dita uma vez hiperestática, apresentando um
vínculo a mais além da quantidade necessária ao equilíbrio. Este vínculo
em excesso é denominado de “redundante” ao equilíbrio.
As vigas hiperestáticas são foco de estudo da Resistência dos Materiais, e
a quarta equação surge da consideração de deformabilidade do material,
o que não se considera no presente curso.
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Diagrama de Corpo Livre – Analogia Prática/Teórica
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Outros tipos de vínculos
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Exercícios:
1) Para a estrutura mostrada na figura determine as reações nos apoios A e 
C.
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2) Para a estrutura mostrada na figura determine as reações nos apoios A e B.
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3) Para a viga da figura abaixo determine as reações nos apoios A e B.
- Substituindo (III) em (II), tem-se que:
10 0 10VA VAR R kN+ = ⇒ = −
Portanto, a 
solução é:
( )
( )
( )
10
10
10
HA
VA
VB
R kN
R kN
R kN

= ←


= ↓

= ↑
( )
( )
( )
0 10 0 10
0 0
0 2 20 0 10
X HA HA
Y VA VB
A VB VB
F R R kN
F R R
M R R kN
= ⇒ + = ∴ = − Ι
= ⇒ + = ΙΙ
= ⇒ − ⋅ + = ∴ = ΙΙΙ
∑
∑
∑
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4) Para a viga da figura abaixo determine as reações no engaste fixo.
0 5 0 5F R R kN= ⇒ − = ⇒ =∑
Portanto, a solução é:
( )
( )
5
10
20 .
HA
VA
A
R kN
R kN
M kN m
= →

= ↑

=
0 5 0 5
0 10 0 10
0 10 1 10 0 20 .
X HA HA
Y VA VA
A A A
F R R kN
F R R kN
M M M kN m
= ⇒ − = ⇒ =
= ⇒ − = ⇒ =
= ⇒ − + ⋅ + = ⇒ =
∑
∑
∑
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5) Para a viga bi apoiada abaixo determine as reações nos apoios.
( )
L 2
( )
0
L
eqF p x dx= ∫ ( ) 5 (kN/m)p x =
0
5 10eq eqF dx F kN= ⇒ =∫
x
eq
S
x
F
= ( )
2 2
2 2
0
0 0 0
55 5 [ ] 10
2
L
xS p x xdx xdx xdx x= ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ =∫ ∫ ∫
10 1m
10
x = =
0 0
0 10
0 10 1 2 0 5
10
A
A B
B B
A
x H
x V V
A V V
V
F R
F R R
M R R kN
R kN
= ⇒ =
= ⇒ + =
= ⇒ ⋅ − ⋅ = ⇒ =
∴ =
∑
∑
∑
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6) Para a viga bi apoiada abaixo determine as reações nos apoios.
( ) ( ) ( )( ) ( )
0 0 0x p x
p x ax b
x L p x L q
= ⇒ = = Ι
= + 
= ⇒ = = ΙΙ
0b =De (I) se tem:
0 qa L q a
L
⋅ + = ⇒ = ( ) qp x x
L
∴ =Da equação (II) tem-se: 
( )
0
L
eqF p x dx= ∫
0 0
L L
eq
q qF xdx xdx
L L
= =∫ ∫
2 2
02 2 2
L
eq eq
q q q LF x F L
L L
⋅
 = ⇒ = ⋅ = 
( )( )
0
0
L
x
L
eq
p x xdx
S
x
F
p x dx
⋅
= =
∫
∫
2
0 0
L L
x
q qS x xdx x dx
L L
= ⋅ =∫ ∫
3 3 2
03 3 3
L
x
q x q L qLS
L L
  ⋅
= = = 
 
2
2 23
3 3
2
q L
x L x Lq L
⋅
∴ = = ⇒ =
⋅
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( )0 0x HAF R= ⇒ = Ι∑ ( )0 2y VA VB
q LF R R ⋅= ⇒ + = ΙΙ∑
20 0
2 3A VB
q LM L L R⋅= ⇒ ⋅ − ⋅ =∑ ( )
2
0
3 3VB VB
q L q LL R R⋅ ⋅− ⋅ = ⇒ = ΙΙΙ
3 2VA
q L q LR ⋅ ⋅+ =
2 3 6VA VA
q L q L q LR R⋅ ⋅ ⋅= − ⇒ =
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7) Para a viga bi apoiada abaixo determine as reações nos apoios.
0
3,5 ( )
5,5 ( )
HA
VA
VB
R kN
R kN
R kN
=

= ↑

= ↑
( ) ( )1
1
1 / 3 , 0 3 , 0
3 , 0 1, 5
2
F kN M M kN
x m
= ⋅ =


= =

(parte 2 da carga)
( ) ( )
( )
2
2
1 4 / 3 , 0 6 , 0
2
2 3 , 0 2 , 0
3
F k N M M k N
x m

= ⋅ =


= =

(parte 1 da carga)
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Equilíbrio de um corpo extenso em 3 dimensões
- Equações de equilíbrio vetoriais:
- Equações de equilíbrio escalares:
- A VIGA é isostática quando apresenta seis reações de apoio como incógnitas,
visto que são disponíveis 6 equações de equilíbrio explicitadas na forma escalar.
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Vínculos em estruturas Tridimensionais:
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Exercícios:
8) Desenhe e discuta os diagramas de corpo livre para as estruturas a seguir.
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9) Determine as reações nos vínculos da estrutura a seguir.
(2 ) (3 ) 0z x yM B m B m= − ⋅ + ⋅ =∑ (Eq. Redundante – Bx e By já foram determinadas)
(Análise Escalar!!!)
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Substituindo-se o valore de AZ na penúltima equação do slide anterior ou o
valor de TC na antepenúltima equação do slide anterior encontra-se o valor
da força incógnita Bz.
OU
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10) A Barra AB da figura está sujeita à força de 200N. Determine as 
reações na junta esférica A e a tração nos cabos BD e BE .
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(produto vetorial)
A resolução do sistema de equações fornece: