Cap 6 (Atrito)

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Universidade Federal de São CarlosUniversidade Federal de São Carlos
Departamento de Engenharia Civil
Cap. 6Cap. 6 ATRITOATRITO
Prof. André Luis ChristoforoProf. André Luis Christoforo
Cap. 6Cap. 6 ATRITOATRITO
Material didático adaptado/modificado das obras de:
- Hibbeler, R. C. Mecânica Estática. 10 ed. São Paulo: Pearson Education 
do Brasil, 2005, 540p.
- Beer, F. P.; Johnston Jr., E. R. Mecânica Vetorial para Engenheiros: 
Estática. 5.ed. São Paulo: Makron Books, 1991. 980p.
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Tipos de Atrito:
- Atrito Fluido: quando as superfícies de contato estão separadas por uma 
lâmina de fluido (ex. processo de usinagem com fluido de corte).
- Atrito Seco: ocorre entre superfícies de corpos em contato na ausência
de fluidos lubrificantes (ex. lixadeira, ferramentas de corte em geral).
Neste curso serão investigados problemas de equilíbrio (ponto material ou
corpo extenso) envolvendo apenas a condição de atrito seco.
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Características do atrito seco:
- O peso se distribui ao longo da superfície de contato irregular, dando origem
à componente da força normal em um ponto (∆Nn ) e à componente de força
adjacente (atrito) ao ponto (∆Fn).
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(Força de atrito estático máxima)
(Força de atrito cinético)
(Força peso)
(Força de atrito)
x
y
Condições de equilíbrio:
(Força normal)
; mF F P F< < ⇒
; mF F P F= = ⇒
; m kP F F F> = ⇒
(repouso)
(eminência de movimento)
(movimento)
m sF Nµ=
(coeficiente de 
atrito estático)
k kF Nµ=
(coeficiente de 
atrito cinético)
0.75k sµ µ≅
- Valores de µe: variam em função da classe do material envolvido (0 ~ 1).
Contato µe
Metal – metal 0,15 – 0,60
Metal – madeira 0,20 – 0,60
Metal – pedra 0,30 – 0,70
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Metal – pedra 0,30 – 0,70
Madeira – madeira 0,25 – 0,50
Terra-terra 0,20 – 1,00
Pedra – pedra 0,40 – 0,70
Borracha – concreto 0,60 – 0,90
Aço – concreto 0,40 – 0,50
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- Às vezes é conveniente substituir a força normal N e a força de atrito
F por sua resultante R:
(Sem movimento)(Sem atrito) (movimento 
iminente)
ss
sm
s N
N
N
F
µφ
µφ
=
==
 tg
 tg
(movimento)
kk
kk
k N
N
N
F
µφ
µφ
=
==
 tg
 tg
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- Consideremos um bloco de peso W em repouso sobre uma prancha
com ângulo de inclinação θ variável.
(sem movimento)(sem atrito) (movimento 
iminente)
(movimento)
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- A força resultante normal N atua a uma distância x à direita da linha de
ação de W para compensar o efeito de tombamento provocado por P, em
função da altura h.
- A medida que P aumenta, F aumenta proporcionalmente até o limite que
denominamos limite da força de atrito estático.
N
180lb
P
x
y
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Cunhas:
- Cunhas – máquinas simples usadas para suspender cargas pesadas.
- A força necessária para erguer um bloco é consideravelmente menor que 
o peso do bloco.
- A força necessária para erguer um bloco é consideravelmente menor
que o peso do bloco.
- O atrito mantém a cunha no lugar.
- Deseja-se encontrar a força P necessária para erguer o bloco.
(cunha como 
corpo livre)
0xF =∑ 4 equações
4 incógnitas: N1, N2, N3 e P
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(bloco como corpo 
livre)
3 2 3
3 2 3
2 3
2 3 3
2 3 3
2 3
cos(6 ) F (6 ) 0
cos(6 ) (6 ) 0
( cos(6 ) sen(6 )) 0
0
(6 ) cos(6 ) 0
(6 ) cos(6 ) 0
( (6 ) cos(6 )) 0
o o
o o
s s
o o
s s
y
o o
o o
s
o o
s
P F N sen
P N N N sen
P N N
F
N F sen N
N N sen N
N N sen
µ µ
µ µ
µ
µ
− ⋅ − − ⋅ =
− ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ =
− ⋅ − ⋅ ⋅ + =
=
− − ⋅ + ⋅ =
− − ⋅ ⋅ + ⋅ =
− + ⋅ ⋅ + =
∑
0
:0
0
:0
21
21
=+−−
=
=+−
=
∑
∑
NNW
F
NN
F
s
y
s
x
µ
µ
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Exercícios:
1) Uma força de 450 N atua do modo mostrado na figura, sobre um bloco com
peso de 1.350 N posicionado sobre um plano inclinado. Os coeficientes de atrito
entre o bloco e o plano são µs = 0,25 e µk = 0,20. Determine se o bloco está em
equilíbrio e encontre a força de atrito.
:0=∑ xF ( ) 0N .3501 - N 504 53 =− F
N 360−=F
:0=∑ yF ( ) 0N .3501 - 54 =N
N 080.1=N
( ) N 270N .080125.0 === msm FNF µ
(o bloco deslizará plano abaixo)
( )N .0801 20.0=
== NFF kkreal µ
N 216=realF
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2) O suporte móvel pode ser posicionado a qualquer altura sobre o tubo de 7,5
cm de diâmetro. Se o coeficiente de atrito estático entre o tubo e o suporte é
0,25, determine a distância x mínima para a qual a carga W pode ser
suportada. Desconsidere o peso do suporte.
AAsA NNF 25,0== µ
(pontos de contato
pelo momento gerado)
:0=∑ BM
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) 075,32875,1215
075,325,05,715
0cm75,3cm5,7cm15
=+−−
=+−−
=−−−
WWxWW
WWxNN
xWFN
AA
AA
cm30=x
BBsB
AAsA
NNF
NNF
25,0
25,0
==
==
µ
µ
:0=∑ xF 0=− AB NN AB NN =
:0=∑ yF
WN
WNN
WFF
A
BA
BA
=
=−+
=−+
5,0
025,025,0
0
WNN BA 2==
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3) A caixa uniforme da figura abaixo tem massa de 20kg. Se uma força P=80N
for aplicada a caixa, determine se ela permanece em equilíbrio. O coeficiente
de atrito estático é igual a 0,30.
(não deslizará)
Solução :
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4) Quando a caçamba é levantada de um ângulo θ=25o, as máquinas de venda
automática começam a deslizar na plataforma. Determine o coeficiente de
atrito estático entre uma máquina de venda automática e a superfície da
caçamba.
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x
y
(θ=25o: iminência do movimento)
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5) A escada uniforme de 10kg apóia contra a parede lisa em B e a extremidade
em A no plano horizontal para qual o coeficiente de atrito estático é de 0,30 .
Determine o ângulo de inclinação θ da escada e a reação normal em B se a
escada estiver na eminência do deslizamento.
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Na eminência do deslizamento:
Ângulo de inclinação θ:
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6) A viga AB está sujeita a uma carga uniforme de 200N/m e está apoiada em
B pelo poste BC. Se os coeficientes de atrito estático em B e C forem µB=0,20 e
µC=0,50, determine a força P necessária para puxar o poste de debaixo da viga.
Despreze o peso dos elementos e a espessura da viga.
(4 incógnitas)
(3 Eq. de Equilíbrio)
+ uma equação de atrito,
aplicada ao ponto B ou
ao ponto C
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- Hipótese 1Hipótese 1: o poste desliza em B e gira em C:- Hipótese 1Hipótese 1: o poste desliza em B e gira em C:
(desliza em C)
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- Hipótese 2Hipótese 2: o poste desliza em C e gira em B:
Este caso ocorre primeiro, pois o valor da força P encontrada (267N) é inferior 
ao valor da força (320N) do caso anterior.
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7) Os blocos A e B possuem massa de 3kg e 9kg, respectivamente, e estão
conectados a ligações com pesos desprezíveis. Determinar o maior valor da
força vertical P que pode ser aplicada no pino C sem causar qualquer
movimento. O coeficiente de atrito estático entre os blocos e a superfície é de
0,30.
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O movimento do sistema pode ser causado pelo deslizamento inicial do bloco
A ou do bloco B.
- Hipótese 1Hipótese 1: bloco A desliza primeiro:
(verificação)
A hipótese 1 está correta, implicando que o bloco A desliza primeiro que o 
bloco B.
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8) A pedra com massa 500kg é mantida na posição horizontal utilizando-se um
calço em B. Se o coeficiente estático entre as superfícies é 0,3, determine a
força mínima P necessária para remover o calço. O calço é autobloqueante?
Suponha que a pedra não deslize em A.
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- A força mínima P requer que F = µe N nas superfícies de contato com o calço.
- FA < µe NA, pois não existe deslizamento nesse ponto. 
- 5 incógnitas: FA, NA, NB, NC, P- 5 incógnitas: FA, NA, NB, NC, P
- 3 equações de equilíbrio: uma para a pedra e duas para o calço.
-A força mínima necessária para mover o calço deverá ser maior que 1154,9N.
� ΣMA = 0 -4905 . (0,5) + (NBcos 7º ) . (1) + (0,3NB sen 7º ) . (1) = 0
NB = 2383,1N
�ΣFy = 0 (calço) NC – 2383,1 cos 7º - 0,3 . (2383,1 sen 7º) = 0 
NC = 2452,5N
� ΣFx = 0 (calço) 2.383,1 .sen 7º - 0,3 .(2.383,1 cos 7º) + P – 0,3 .NC = 0 
P = 1154,9N
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9 A viga é ajustada na posição horizontal por meio de um calço localizado em
seu apoio direito. Se o coeficiente de atrito estático entre o calço e as duas
superfícies é de 0,25, determine a força horizontal P necessária para empurrar
o calço para a frente. Despreze o peso e as dimensões do calço e a espessura da
viga.
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- Se o deslizamento ocorrer será em ambos os lados das superfícies, assim:
CCC
BBB
NNF
NNF
25,0
25,0
==
==
µ
µ
CCC NNF 25,0== µ
lbNNM BBA 75)2(300)8(0 =∴−∴=∑
lbNsenNsenNF CCCy 80,87752025,0700 =∴−−∴=∑
- A força necessária para mover o calço deverá ser maior que 69,5lb
0 0,25(75) 0,25(87,80)cos20 87,80cos70 0
 69,4
xF P
P lb
∑ = ∴ − − − =
=