Produção de gráficos

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Produção de gráficos
Gráficos representam uma importante forma de interpretar informações sobre fenô-
menos da Física de outras áreas. Traçar um gráfico é uma tarefa relativamente fácil
de fazer. Algumas vezes dispomos de uma equação matemática, outras vezes dispo-
mos de dados discretos nos quais não conhecemos a equação sobre a qual queremos
conhecer uma informação.
Consideremos um sistema simples do segundo grau descrita pela equação:
y(x) = x+ 2 (0.1)
neste sistema dispomos da informação de que se trata de uma equação do primeiro
grau pois o expoente de x corresponde a unidade (portanto sequer precisou ser es-
crito). Sabemos que para conhecer o valor de y em um ponto qualquer precisamos
conhecer então o valor de x no ponto desejado. Dizemos que a variável x corresponde
a variável independente e que y é a variável dependente. Podemos calcular vários
valores de y(x) se conhecemos os valores de x. Assim podemos criar uma tabela com
diferentes valores para o par.
Tabela 1 - função y(x) = x+ 2
x y(x) = x+ 2 (x, y)
1 0 0+2=2 (0, 2)
2 1 3 (1, 3)
3 2 4 (2, 4)
4 3 5 (3, 5)
5 4 6 (4, 6)
Os valores de y(x) nessa tabela são obtidos substituindo os diferentes valores de
x e calculando o correspondente valor de y. Podemos construir um gráfico com os
dados dessa Tabela numa folha de papel milimetrado. Precisamos então escolher em
primeiro lugar o que e como iremos usar ao traçar o gráfico. Uma folha de papel
milimetrado se parece com isso:
Uma primeira escolha consiste na posição do gráfico. Traçamos como a tabela
acima, na posição chamada de retrato, ou como a tabela abaixo, na posição chamada
de paisagem?
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Figura 0.1: Papel milimetrado formato A4 (retrato)
Outra pergunta importante, onde colocamos a variável x e a variável y? Para que
perder tempo traçando gráficos? Que tipo de informação coletaremos de um gráfico?
Teremos alguma vantagem com os gráficos traçados?
É claro que estas perguntas devem ser respondidas para que possamos o traçar
e usar gráficos. Para a tabela colocada podemos escolher qualquer posição retrato
ou paisagem na hora de traçar o gráfico. Vou usar o programa graph versão 4.4.2
disponível como software livre (nos termos da licença GNUGeneral Public Licence) no
endereço http://www.padowan.dk, entre muitos disponíveis na internet, para traçar
esse gráfico com os pontos descritos acima.
O gráfico obtido está mostrado no quadro abaixo.
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Figura 0.2: Papel milimetrado formato A4 (paisagem)
O gráfico da função y(x) = x + 2 foi construído na posição retrato. Podemos
observar na figura que os valores dos x foram escritos na linha horizontal inferior
denominada eixo x que foi devidamente rotulada. Ao traçar gráficos devemos colocar
a variável independente sempre no eixo dos x enquanto que a variável dependente
deverá estar sempre mostrada no eixo dos y que normalmente deve ficar na vertical.
Sempre que possível o gráfico deve ter um formato do tipo 3× 4 para que tenha um
apelo visual mais estético. Preferencialmente os eixos se cruzam numa das origens,
seja x = 0 seja y+0, se for possível. Neste gráfico podemos tirar algumas conclusões
interessantes. Desse gráfico podemos responder algumas perguntas como qual é o
valor de y quando x = 0? Mas não temos a resposta de qual é o valor de x quando
y = 0? Para obtermos a segunda resposta deveríamos ter deslocado o centro do
gráfico um pouco mais para a direita conforme mostrado na figura a seguir.
Observamos no gráfico que os pontos estão alinhados e formam uma reta. Agora
podemos responder a segunda questão. Com a ajuda de uma régua verificamos que
a reta toca o eixo x, portanto onde y = 0 no ponto x = −2, sem maiores delongas.
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Figura 0.3: Gráfico de y(x) = x+ 2
Mas a equação original y(x) = x+ 2 descreve uma reta, o que foi transferido para o
gráfico de forma visual. Espero que este exemplo tenha sido capaz de mostrar uma
forma de traçar gráfico e de encontrar o melhor posicionamento do gráfico.
Pergunto: resolver o problema da localização do gráfico num papel milimetrado
onde as escalas já estão definidas?
Vamos a um segundo gráfico usando o mesmo programa, desta vez para uma função
diferente y(x) = 5x3 + 1 tabulada a seguir.
Tabela 2 - Função y(x) = 5x3 + 1
x y(x) = 5x3 + 1 (x, y)
1 0 1. (0, 1)
2 1 6. (1, 6)
3 2 41. (2, 41)
4 3 136. (3, 136)
5 4 321. (4, 321)
6 5 626. (5, 626)
Claramente verificamos que o valor de y(x) cresce muito rapidamente com a vari-
ação de x e o gráfico obtido pode ser visto na figura a seguir.
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Figura 0.4: Gráfico de y(x) = x+ 2 deslocado
Neste caso a função não é mais uma reta e, portanto, não podemos retirar muitas
informações sobre essa função diretamente do gráfico. Sabemos que ela cresce muito
rapidamente quando x aumenta. Neste caso, o valor a função tende para zero (y(x)→
0) quando x tende para zero (x → 0). Podemos observar que teremos dificuldades
para interpolar a figura entre dois pontos diferentes uma vez que não calculamos
muitos valores para gerar a tabela.
Neste caso, considerando novamente que a variável independente deve ser colocada
na posição horizontal e que a variável dependente deve ser colocada na posição verti-
cal, parece lógico escolhermos a posição retrato para traçar esse gráfico. Isso pode ser
feito no caso do papel milimetrado, mas esse programa não permite grandes variações
e portanto ficaremos com o formato paisagem neste gráfico também.
Um outro exemplo que podemos construir no gráfico é o de uma nova reta dada pela
função y(x) = 2x+ 2. A tabela seguinte contem os dados relativos a esta equação.
Tabela 3 - Função y(x) = 2x+ 2
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Figura 0.5: Gráfico da função y(x) = 5x3 + 1
x y(x) = 2x+ 2 (x, y)
1 0 2, (0, 2)
2 0,5 3, (0,5, 3)
3 1,0 4, (1, 4)
4 1,8 5,6 (1,8, 5,6)
5 2,0 6,0 (2,0, 6,0)
6 2,3 6,6 (2,3, 6,6)
7 3,0 8,0 (3,0, 8,0)
8 3,6 9,2 (3,6, 9,2)
9 4,0 10,0 (4,0, 10,0)
10 4,2 10,4 (4,2, 10,4)
11 5,0 12,0 (5,0, 12,0)
Esses dados podem ser transformados no gráfico a seguir. Podemos observar no
gráfico gerado por esses pontos que apesar de termos valores diversos ao longo do
do eixo x os valores da função y(x) mantem uma tendência bastante fixa na direção
de uma função que descreve uma linha reta, que aliás deveria ser esperada da forma
matemática da função.
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Figura 0.6: Gráfico da função y(x) = 2x+ 2
Podemos observar que este gráfico permite verificar que quando x = 0, 0 temos
um valor de y = 2, 0. É possível verificar ainda, usando uma régua, que o valor da
função quando y = 0, ocorre quando x = −1, 0. Podemos então verificar muitas
outras condições que podem ser retiradas destes dados que foram transferidos em um
gráfico nessa figura. Sabendo que esta função corresponde a uma reta ela terá uma
forma da seguinte fórmula:
y(x) = ax+ b (0.2)
neste caso temos uma equação onde o termo a corresponde à inclinação da reta
enquanto que b corresponde ao termo independente da equação. Portanto, podemos
obter a inclinação da reta através de uma simples proporção:
a = yi+1 − yi
xi+1 − xi (0.3)
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portanto, podemos verificar que:
a = 10− 64− 2 = 2 (0.4)
e, observamos na Figura, que x = 0 corresponde a y = 2 que define o valor de b = 2
na equação 0.2. Neste caso, como tínhamos uma equação inicial de onde tiramos este
gráfico, podemos verificar que os dados retirados deste mesmo gráfico, recuperam
novamente a equação inicial. Este fato nos dá garantias que, dados alguns pontos
colhidos experimentalmente, e que forneçam uma equação de uma reta, podemos
então recuperar a equação que os originou e portanto a equação que descreve o
modelo matemático da lei que descreve o fenômeno físico que eles representem.
Como resolver o gráfico da função que descrita pela função da figura anterior?
Podemos escolher uma reta que passe pela maioria dos pontos que unem esses pontos.
Como se trata de uma linha reta, nossa régua não teria grandes problemas para
encontrar umaforma de juntar a maioria desses pontos.
Vamos então trabalhar um caso simbólico onde temos dados experimentais colhidos
em laboratório e que foram usados para gerar um gráfico. O efeito no laboratório
seria semelhante a um sistema onde teríamos um fenômeno linear descrito por uma
sequência de pontos, com seus respectivos erros experimentais, que nas medições
fogem um pouco da forma linear. Teríamos um gráfico como o do exemplo mostrado
na próxima figura.
Um problema mais complexo agora consiste em encontrar a reta que une esses
pontos. Dá para verificar no gráfico que, apesar dos pontos plotados indicarem a
existência de uma reta, eles podem ser unidos por um grande número diferente de
retas com diversas inclinações. Qual delas é a melhor? Qualquer diferença na escolha
da reta pode fazer algum tipo de diferença na sua inclinação e, portanto na equação
do fenômeno físico que ela descreve. Claramente, a melhor forma de resolver esse
sistema consiste na construção de uma reta escolhida, estatisticamente, para ser o
melhor ajuste ("best fit" em inglês) com os pontos disponíveis, o que resulta numa
reta que aproveita melhor os pontos corrigindo aqueles que estão fora do esperado.
Uma reta para solucionar esse problema foi desenhada na figura que se segue.
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Figura 0.7: Fenômeno linear medido em laboratório
Como proceder na escolha da reta que une esses pontos, quando temos um gráfico
como esse, mas não temos o melhor ajuste calculado por sistema computadorizado?
Qual entre as inúmeras inclinações de reta escolher para unir esses pontos? A forma
mais simples de resolver esse problema consiste em traçar uma reta que une o valor
inferior do erro da primeiro ponto ao valor superior do erro do último ponto. Depois,
traçamos uma reta unindo o valor superior do erro do primeiro ponto ao valor inferior
do erro do último ponto traçado. Assim teremos duas retas que se cortam e, se
traçarmos a reta que passa pela interseção desses pontos dividindo o ângulo formado
pelas duas retas na metade, teremos a melhor estimativa da reta que une todos
esses pontos determinada por uma avaliação gráfica. A partir da equação resultante
podemos retirar todas as informações pertinentes sobre a reta resultante, incluindo
sua inclinação, sua constante, etc.
No caso anterior quando solicitamos que o próprio programa desenvolvesse uma
melhor estimativa da reta capaz de unir os pontos ele então colocou uma reta com a
seguinte equação:
y(x) = 2, 0315x+ 1, 9578 (0.5)
com um R2 = 0, 9976 o que indica uma boa confiabilidade no ajuste obtido desta
análise estatística.
Outro modelo de papel "milimetrado" disponível para a produção de gráficos con-
siste do papel tipo Log-Log, onde as divisões não são marcadas em milímetros, mas
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Figura 0.8: Melhor escolha de pontos
as divisões são ponderadas numa escala em que as grades são traçada nos logaritmos
das medidas.
Um papel log-log é ideal para traçarmos gráficos de funções do tipo em que temos
uma função polinomial. A função:
y = axb (0.6)
por exemplo pode ser traçada num papel milimetrado e dará uma curva. Se apli-
camos logaritmos nela, teremos:
log y = log a+ log xb (0.7)
ou,
log y = log a+ b log x (0.8)
que pode ser escrito:
Y = A+BX (0.9)
onde,
Y = log y; A = log a e X = log x e onde podemos observar a equação de uma reta
descrevendo esse fenômeno.
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Figura 0.9: Modelo de papel Log-Log
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