Resumo de Geometria Analitica

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Resumo de Geometria Analítica – Prof.: Denilson Paulo S Santos 
 
𝑣 ∈ ℜ3; 𝑣 = 𝑣1, 𝑣2, 𝑣3 , 𝑢 = 𝑢1, 𝑢2, 𝑢3 , k ∈ ℜ 
i). 𝐴𝐵 = 𝐵 − 𝐴 
ii). 𝑣 = 𝑣12 + 𝑣22 + 𝑣32 
iii). 𝑣 =
𝑣 
 𝑣 
= 
𝑣1
 𝑣 
,
𝑣2
 𝑣 
,
𝑣3
 𝑣 
 
iv). 𝑣 ∙ 𝑢 = 𝑣𝑖𝑢𝑖
3
𝑖 = 𝑣1𝑢1 + 𝑣2𝑢2 + 𝑣3𝑢3 
v). 𝑣 ∙ 𝑢 = 𝑣 𝑢 𝑐𝑜𝑠𝜃 
vi). 𝑐𝑜𝑠𝜃 =
 𝑣 ∙𝑢 
 𝑣 𝑢 
 
vii). 𝑣 ∙ 𝑢 = 0 ⇔ 𝑣 ⊥ 𝑢 
viii). 𝑣 ∥ 𝑢 ⇔ 𝑣 = 𝑘𝑢 
ix). 𝑣 ∥ 𝑢 ⇔
𝑣1
𝑢1
=
𝑣2
𝑢2
=
𝑣3
𝑢3
 
x). 𝑣 × 𝑢 = 
𝑖 𝑗 𝑘 
𝑣1 𝑣2 𝑣3
𝑢1 𝑢2 𝑢3
 = 𝑣2𝑢3 − 𝑣3𝑢2 𝑖 + 𝑣3𝑢1 − 𝑣1𝑢3 𝑗 + 𝑣1𝑢2 − 𝑣2𝑢1 𝑘 
xi). 𝑛 = 𝑣 × 𝑢 ⇔ 𝑛 ⊥ 𝑣 
𝑛 ⊥ 𝑢 
 
xii). 𝑣 × 𝑢 = 𝑣 𝑢 𝑠𝑒𝑛𝜃 
xiii). 𝑠𝑒𝑛𝜃 =
 𝑣 ×𝑢 
 𝑣 𝑢 
 
xiv). 𝑡𝑔𝜃 =
 𝑣 ×𝑢 
 𝑣 ∙𝑢 
 
xv). 𝑣 ∥ 𝑢 ⇔ 𝑣 × 𝑢 = 0 
xvi). 𝐴𝑝 = 𝑣 × 𝑢 
xvii). 𝐴𝑇 =
 𝑣 ×𝑢 
2
 
xviii). 𝑣 ∙ 𝑢 × 𝑤 = 𝑣 , 𝑢 , 𝑤 
xix). 𝑣 , 𝑢 , 𝑤 = 
𝑣1 𝑣2 𝑣3
𝑢1 𝑢2 𝑢3
𝑤1 𝑤2 𝑤3
 
xx). 𝑣 , 𝑢 , 𝑤 = 0 ⇔ 𝑣 , 𝑢 , 𝑤 𝐶𝑜𝑝𝑙𝑎𝑛𝑎𝑟𝑒𝑠 
xxi). 𝑉𝑝 = 𝑣 , 𝑢 , 𝑤 
xxii). 𝑉𝑇 =
1
6
 𝑣 , 𝑢 , 𝑤 
 
 
Retas – Equações 
xxiii). 𝑟: 𝑃 = 𝐴 + 𝜆𝑣 → 𝑟: 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥0, 𝑦0, 𝑧0 + 𝜆 𝑎, 𝑏, 𝑐 → Eq. Vetorial 
xxiv). 𝑟: 
𝑥 = 𝑥0 + 𝑎𝜆
𝑦 = 𝑦0 + 𝑏𝜆
𝑧 = 𝑧0 + 𝑐𝜆
 → Eq. Paramétrica 
xxv). 𝑟:
𝑥−𝑥0
𝑎
=
𝑦−𝑦0
𝑏
=
𝑧−𝑧0
𝑐
 → Eq. Simétrica 
xxvi). 𝑟: 
𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛
𝑧 = 𝑝𝑥 + 𝑞
 → Eq. Reduzidas 
xxvii). 𝑟//𝑠 ⇔ 𝑣 𝑟//𝑣 𝑠 
xxviii). 𝑟 ⊥ 𝑠 ⇔ 𝑣 𝑟 ⊥ 𝑣 𝑠 
 
Planos - Equações 
xxix). 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 = 0 → Eq. Geral 
xxx). 𝜋: 𝑃 = 𝐴 + 𝜆𝑣 𝑟 + ℎ𝑣 𝑠 → Eq. Vetorial 
𝜋: 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥0 , 𝑦0, 𝑧0 + 𝜆 𝑣𝑟1, 𝑣𝑟2, 𝑣𝑟3 + ℎ 𝑣𝑠1, 𝑣𝑠2, 𝑣𝑠3 
xxxi). 𝑟: 
𝑥 = 𝑥0 + 𝑣𝑟1𝜆 + 𝑣𝑠1ℎ
𝑦 = 𝑦0 + 𝑣𝑟2𝜆 + 𝑣𝑠2ℎ
𝑧 = 𝑧0 + 𝑣𝑟3𝜆 + 𝑣𝑠3ℎ
 → Eq. Paramétrica 
xxxii). 𝜋1//𝜋2 ⇔ 𝑛 1//𝑛 2 
xxxiii). 𝜋1 ⊥ 𝜋2 ⇔ 𝑛 1 ⊥ 𝑛 2 
 
Cônicas 
xxxiv). 𝑥 − ℎ 2 = 2𝑝 𝑦 − 𝑘 → 𝑝𝑎𝑟á𝑏𝑜𝑙𝑎 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑥 
xxxv). 𝑦 − 𝑘 2 = 2𝑝 𝑥 − ℎ → 𝑝𝑎𝑟á𝑏𝑜𝑙𝑎 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑦 
xxxvi). 
 𝑥−ℎ 2
𝑎2
+
 𝑦−𝑘 2
𝑏2
= 1 → 𝑒𝑙𝑖𝑝𝑠𝑒 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑥, onde a > b 
xxxvii). 
 𝑥−ℎ 2
𝑏2
+
 𝑦−𝑘 2
𝑎2
= 1 → 𝑒𝑙𝑖𝑝𝑠𝑒 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑦, onde a > b 
xxxviii). 
 𝑥−ℎ 2
𝑎2
−
 𝑦−𝑘 2
𝑏2
= 1 → ℎ𝑖𝑝é𝑟𝑏𝑜𝑙𝑒 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑥 
xxxix). 
 𝑦−𝑘 2
𝑎2
−
 𝑥−ℎ 2
𝑏2
= 1 → ℎ𝑖𝑝é𝑟𝑏𝑜𝑙𝑒 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑦