Interpolacao_Polinomial_1

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Interpolação polinomial
„ Já sabemos que podemos obter o polinômio que 
interpola os pontos:
(x0,y0), (x1,y1), ... (xn,yn) 
polinômio
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Interpolação polinomial
„ Para obter os coeficientes do polinômio, podemos 
resolver:
„ O que, no entanto, é:
… Trabalhoso.
… Sujeito a erros numéricos.
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Fórmula de Lagrange
„ Tome o seguinte polinômio de grau n:
„ No numerador, temos os produtos (x-xi), com i≠ k.
„ No denominador temos os produtos (xk-xi), com i≠ k.
„ Note que:
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Fórmula de Lagrange
„ Chame f(x0) de f0, f(x1) de f1 ... f(xn) de fn:
Note que podemos escrever Pn(x) como:
… O grau de Pn é, no máximo, n.
… Pn satisfaz: Pn(xk) = f(xk).
Fórmula de Lagrange do Polinômio
de interpolação.
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Exemplo
„ Considere os pontos:
a) Determine o polinômio de interpolação
b) Calcule uma aproximação para f(1)
-1815f(x)
30-1x
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Exemplo (solução)
„ Temos:
Como temos três pontos, necessitamos de um 
polinômio de grau 2. O polinômio de interpolação de 
Lagrange é dado por:
-1815f(x)
30-1x
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Exemplo (solução)
-1815f(x)
30-1x
Logo:
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Exemplo (solução)
-1815f(x)
30-1x
f(x) = P(x) para x0, x1 e x2.
Para x=1, f(1) ≈ P(1) = 3