Polinomios - parte 1

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POLINÔMIOS 
PARTE 1 
DEFINIÇÃO 
•  Polinômio ou função polinomial: soma de dois ou mais monômios 
(formados pelo produto entre números e letras). Forma geral de um 
polinômio: 
 
 
onde an, an-1, an-2, ..., a1 e a0 são coeficientes complexos, n o expoente 
(natural) e x a variável complexa. 
• Termos do polinômio: os monômios anxn, an-1xn-1, an-2xn-2, ..., 
a2x2, a1x e a0, sendo a0 o termo independente, pois não 
multiplica variável alguma; 
• Grau do polinômio: o maior expoente da variável entre os 
termos não nulos que o compõem. Se o grau de um polinômio 
P(x) é n, indica-se gr(P) = n, no caso de an ≠ 0. 
 
VALOR NUMÉRICO DE UM 
POLINÔMIO 
Dado um polinômio p(x), temos que seu valor numérico é tal que x = a é 
um valor que se obtém substituindo x por a, onde a pertence ao conjunto 
dos números reais. Dessa forma, concluímos que o valor numérico de p(a) 
corresponde a p(x) onde x = a. 
EXEMPLO: 
Dado o polinômio p(x) = 4x³ – 9x² + 8x – 10, determine o valor numérico 
de p(3). 
 
RAIZ DE UM POLINÔMIO 
A raiz de um polinômio é denotada pelo valor que a variável 
assume de modo que o valor numérico do polinômio seja igual 
a zero. Na linguagem matemática, seria assim: 
 
 
EXEMPLO: 
Verifique se 1 é a raiz do polinômio: p(x)=x³+2x²-2x-1. 
 
 
OPERAÇÕES COM POLINÔMIO 
•  IGUALDADE DE POLINÔMIOS: para que os polinômios sejam 
iguais, devem ser de mesmo grau e devem ter os coeficientes iguais. 
•  ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO: efetua-se a operação desejada entre os 
termos semelhantes (de mesmo grau), ou seja, conserva-sea parte literal 
desses termos e operam-se os respectivos coeficientes. 
•  MULTIPLICAÇÃO: multiplica-se cada termo de um polinômio por todos os 
termos do outro. Por fim, reduzem-se os termos semelhantes (de mesmo 
grau). 
 
 
 
EXEMPLOS 
•  Determine os valores de a, b, c, d de modo que os polinômios 
sejam iguais. p(x) = ax³+bx²+cx+d e q(x)=x³+2x²+4x-2. 
•  Considere os polinômios A = 2x² + 4x - 1 e B = 5x² - 6x + 8. 
Determine: 
a) A+B b) A - B c) A.B 
OPERAÇÕES COM POLINÔMIO 
•  DIVISÃO DE POLINÔMIOS - método da chave: Efetuar a divisão 
com o dispositivo numérico 
EXEMPLOS: 
a) (6 x4 – 10 x3 + 9 x2 + 9 x – 5):(2 x2 – 4 x + 5) 
 
b) (10x² – 43x + 40):(2x – 5) 
 
OBS: completar o polinômio que estiver incompleto 
 
 
OPERAÇÕES COM POLINÔMIO 
•  DIVISÃO DE POLINÔMIOS - dispositivo prático de briot-fuffini: O 
dispositivo prático de Briot-Ruffini é utilizado para fazer a divisão de um 
polinômio por outro na forma x - a ou x + a. 
 
 
EXEMPLO: 
a) Fazer a divisão de polinômios P(x) por Q(x) quando 
P(x) = 5x3 – 2x2 + 3x – 1 e Q(x) = x – 2. 
b) Dividir o polinômio P(x) = 3x4 + 5x3 – 11x2 + 2x – 3 
por Q(x) = x + 3. 
TEOREMA DO RESTO 
EXEMPLO: Determinr o resto da divisão de P(x) = 3x4 + 5x3 – 11x2 + 2x – 
3 por Q(x) = x + 3. 
 
TEOREMA DE D'ALEMBERT 
EXEMPLO: Verificar se P(x) = 3x4 + 5x3 – 11x2 + 2x – 3 é divisível por 
Q(x) = x - 2. 
 
DIVISIBILIDADE PELO PRODUTO 
•  EXEMPLO: P(x) = x4 + ax3+ bx2– x – 3, determine os valores de a e b para que 
P(x) seja divisível por x2+ 2x – 3.