4 - Tipificação de Respostas Individuais

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EXPERIMENTAÇÃO ZOOTÉCNICA
Profa. Dra. Amanda Liz Pacífico Manfrim Perticarrari
amanda@fcav.unesp.br
CONSIDERAÇÕES INICIAIS
A determinação da área central de 95% sob a
curva normal pode ser resolvida com o recurso
de cálculo integral (MATEMÁTICA II).
� Para o caso específico do peso ao abate de
suínos (�� = 90 kg e � = 12 kg).
a) A definição da função matemática sob a qual se
deseja calcular a área compreendida entre duas
coordenadas quaisquer (função proposta por Gauss)
�� = 1
12 2� �
�
�����
�
� �� � =
1
30,0795
�� �����
�
���
CONSIDERAÇÕES INICIAIS
A determinação da área central de 95% sob a curva
normal pode ser resolvida com o recurso de cálculo
integral (MATEMÁTICA II).
� Para o caso específico do peso ao abate de suínos
(�� = 90 kg e � = 12 kg).
b) Integrar essa função entre essas duas coordenadas: o
valor obtido será a área percentual em relação a área total
sob toda a função (de −∞ a ∞) que corresponderia a 100%
� 1
12 2� �
�
�����
�
� �� �
	�
	�
�� = � 1
30,0795
�� �����
�
��� ��
	�
	�
CONSIDERAÇÕES INICIAIS
Se considerarmos �� = 90 kg (média) e o �� = 100 kg,
por exemplo, a área calculada a partir da integração
seria a área hachurada na figura abaixo e o valor final
corresponderia ao percentual da população ali contida.
CONSIDERAÇÕES INICIAIS
Se considerarmos �� = 90 kg (média) e o �� = 100 kg,
por exemplo, a área calculada a partir da integração
seria a área hachurada na figura abaixo e o valor final
corresponderia ao percentual da população ali contida.
� 1
30,0795
�� �����
�
�		 ��
�
�
= � 1
30,0795
�� �����
�
�		 ��
���
��
CONSIDERAÇÕES INICIAIS
Para calcularmos o limite corretamente, sem ter
que fazer cálculos de integrais, utilizamos a tabela
de áreas sob a curva normal de uma variável �
caracterizada pela média zero e o desvio padrão 1
(Tabela A1)
� Esta tabela apresenta as áreas compreendidas entre o
ponto central da distribuição, média zero, e qualquer
valor de �.
� A primeira coluna contém os valores inteiros e
decimais da variável � e a cada coluna seguinte, o seu
valor centesimal.
MODELO NORMAL
�Definição: Dizemos que uma variável aleatória contínua
� tem distribuição Normal com parâmetros � e ��, se
sua função densidade é dada por:
� � � 1� 2� �
�
��� 
��
 , para		 � ∞ � � � ∞.
�Notação: �~� �,	��
MODELO NORMAL
�A densidade é representada pela figura abaixo:
Algumas propriedades:
a) � � é simétrica em relação a �.
b) � � ⟶ 0 quando � ⟶ �∞.
c)max
�
� � � �.
Densidade Normal
MODELO NORMAL
�Cálculo da Probabilidade
� � � � � � � � 1� 2� �
�
��� 
��
�
�
		��.
�Média
�� � �
�Variância
�� � ��
MODELO NORMAL
� Se uma distribuição de valores de � com média �� e o
desvio padrão � tiver uma constante � somada (ou
diminuída) a cada observação, a média do novo conjunto
será �� � �, mas o desvio padrão permanece o mesmo �.
Variável
� � � 2 � � �
2 2�2=4 2��=1
4 4�2=6 4��=3
6 6�2=8 6��=5
Média �� 4 4�2=6 4��=3
Desvio � 2 2 2
MODELO NORMAL
� Se uma distribuição de valores de � com média �� e o
desvio padrão � tiver uma de suas observações
multiplicada (ou dividida) por uma constante �, a média
dos valores obtidos será ��� (ou �	 
 ) e o desvio padrão
s� (ou � 
⁄ ) Variável
� 3� �
�
2 3 ∙ 2 
 6 2 ⁄ 
 
 1
4 3 ∙ 4 
 12 4 ⁄ 
 
 2
6 3 ∙ 6 
 18 6 ⁄ 
 
 3
Média �� 4 3 ∙ 4 
 12 4 ⁄ 
 
 2
Desvio � 2 3 ∙ 2 
 6 2 ⁄ 
 
 1
� Se a variável �, peso ao abate, apresentou uma média
de 90kg e um desvio padrão de 12kg, a transformação
�
� = � − �� = � − 90
garantirá uma nova média zero e um desvio ainda de
12, assim�~� 0, 12
� Se após a transformação anterior dividíssemos todas
as observações assim obtidas por � = 12, então a nova
distribuição manteria a média zero e um desvio ��
��
= 1,
�~� 0, 1 ,
� =
� − ��
�
=
� − 90
12
sendo, portanto a mesma distribuição com áreas já
registrada na tabela z.
MODELO NORMAL
�Para evitar a multiplicação desnecessária de tabelas para
cada par de valores �, �� , utiliza-se uma transformação
que conduz sempre ao cálculo de probabilidades com
uma variável de parâmetros 0, 1 , isto é, média zero e
variância 1.
�Considere �~� �, �� é defina uma nova variável
$ � � � �� .
�Assim, $~� 0, 1 .
MODELO NORMAL
�Os valores para determinar � 0 � $ � % , % & 0 são
apresentados na tabela abaixo.
MODELO NORMAL
� Exemplo: Para �~� �, 
 , temos:
� 2 
 � 
 � � �
2 � �
�
� � �
�
� � �
�
� �
2 � �
�
� � �
� � �
�
� � 0 � � � 1 � 0,3413.
Correspondendo a área sombreada no gráfico.
MODELO NORMAL
� Exercício: Para �~� �, 
 , obter � 0 
 � 
 � :
� 0 
 � 
 � � �
0 � �
�
� � �
�
� � �
�
� �
0 � �
�
� � �
� � �
�
� � 0 � � � �
�
� 0,2486.
Correspondendo a área sombreada no gráfico.
MODELO NORMAL
� Podemos, ainda, calcular as probabilidades de intervalos com
extremos negativos, utilizando os correspondentes intervalos
na parte positiva.
�Outro recurso importante é a utilização do complementar, por
exemplo:
� � ' 3 � � ���
�
' ���
�
� � $ ' 
�
� 0,5 � � 0 � 	 
�
� � 0,5 � 0,1293 � 0,3707.
MODELO NORMAL
�A tabela também pode ser utilizada no sentido inverso, isto é,
dada uma certa probabilidade, desejamos obter o valor que a
originou.
� Exemplo: Quanto vale � tal que � 0 
 	 
 � � 0,4.
� Procurando no corpo da tabela, a probabilidade que mais se
aproxima de 0,4 é 0,3997; correspondendo a 1,28 que será o
valor de �.
� Assim,
� 0 
 	 
 1,28 � 0,4.
MODELO NORMAL
� Exemplo: Quanto vale � tal que � 0 
 	 
 � � 0,4.
� Procurando no corpo da tabela, a probabilidade que mais se
aproxima de 0,4 é 0,3997; correspondendo a 1,28 que será o
valor de �.
� Assim, � 0 
 	 
 1,28 � 0,4.
� Lembrando que � � ���	
� , então neste caso temos:
� � ��
��
� �	 ⇒ � � � ∙ �� � ��
APLICAÇÕES PRÁTICAS
01. Uma granja avícola caracterizada por uma produção
média diária de 3.000 ovos, pensando em média 55g e com
desvio padrão de 12g, vende seus produtos segundo os
respectivos pesos.
Uma panificadora deseja reservar diariamente 30
dúzias de ovos industriais (com peso inferior a 38g), por
serem mais baratos, para a fabricação de pães e bolos. Será
que a granja poderá atender este pedido?
SOLUÇÃO APLICAÇÃO PRÁTICA 1
� Considere a variável
� � peso de ovos de uma granja avícola em g
� Sabe-se que
�� � 55 g e � � 12g
SOLUÇÃO APLICAÇÃO PRÁTICA 1
Vamos calcular a probabilidade do peso dos ovos dessa 
granja avícola ser inferior a 38 g � � 
 ��
� � 
 38 � � � 
����
�
� � 
 38 � � � 
���		
��
� � 
 38 � � � 
��
��
� � 
 38 ≅ � � 
 �1,42
� � 
 38 � 0,5 � � 0 � � 
 1,42
� � 
 20 � 0,5 � 0,4222 � 0,0778.
Portanto a probabilidade de se encontrar ovos mais leves que 
38g na granja é de 7,78%
SOLUÇÃO APLICAÇÃO PRÁTICA 1
Sabendo que a granja produz 3.000 ovos por dia, 
quantos ovos comerciais essa granja de capacidade de 
produzir?
3.000		 �� �			100%
							 				 �� �			7,78%
assim,
� � 	
3.000	 � 7,78
100
�
23.340
100
� 233,4
Logo, essa granja tem capacidade de produzir de 233 a 234 ovos 
industriais, ou seja, de 233 a 234 ovos mais leves que 38g.
Portanto a granja NÃO poderá atender o pedido da 
panificadora, que exige 360 ovos comerciais diariamente. 
APLICAÇÕES PRÁTICAS
02. Se um abatedouro de suínos se interessar por animais
com peso mínimo de 90 kg, qual a porcentagem de
indivíduos que estará apta para o abate quando a média do
lote for 95 kg e o desvio padrão 15 kg?
SOLUÇÃOAPLICAÇÃO PRÁTICA 2
� Considere a variável
� � peso de suínos em kg
� Sabe-se que
�� � 95 kg e � � 15 kg
SOLUÇÃO APLICAÇÃO PRÁTICA 2
Vamos calcular a probabilidade do peso dos suínos serem 
superiores a 90 kg � � ! "#
� � � 90 � � � �
����
�
� � � 90 � � � �
�����
��
� � � 90 � � � �
��
��
� � � 38 ≅ � � � �0,33
� � � 38 � 0,5 � � 0 � � � 0,33
� � � 20 � 0,5 � 0,1293 � 0,6293.
Portanto a probabilidade do peso dos suínos serem superiores a 90kg, ou
seja, a porcentagem de indivíduos que estará apta para o abate é de 62,93%
EXERCÍCIOS
E1. Doentes, sofrendo de certa moléstia, são submetidos a um
tratamento intensivo cujo tempo de cura foi modelado por uma
densidade Normal, com média 15 e desvio padrão 2 (em dias).
Considere �: tempo de cura, assim �~� 15, 4 .
a) Qual a proporção desses pacientes que demora mais de 17 dias
para se recuperar? � � 17
b) Qual a probabilidade de um paciente, escolhido ao acaso,
apresentar tempo de cura inferior a 20 dias? � � 
 20
c) Qual o tempo máximo necessário para a recuperação de 25%
dos pacientes?
SOLUÇÃO DO EXERCÍCIO
a) Qual a proporção desses pacientes que demora mais de
17 dias para se recuperar � � $ %& ?
� � $ 17 � �
����
 $
�����
� � $ 17 � � 	 $ 1
� � $ 17 � 	0,5 � � 0 � 	 
 1
� � $ 17 � 0,5 � 0,3413 � 0,1587. 
Portanto, a proporção desses pacientes que demora mais de 
17 dias para se recuperar é de 15,87%
SOLUÇÃO DO EXERCÍCIO
b) Qual a probabilidade de um paciente, escolhido ao acaso,
apresentar tempo de cura inferior a 20 dias � � 
 '# ?
� � 
 20 � �
����
 
�����
� � 
 20 � � 	 
 2,5
� � 
 20 � 0,5 � � 0 � 	 
 2,5
� � 
 20 � 0,9938.
Portanto a probabilidade de um paciente, escolhido 
ao acaso, apresentar tempo de cura inferior a 20 
dias é de 99,38% 
SOLUÇÃO DO EXERCÍCIO
c) Qual o tempo máximo necessário para a recuperação de 25%
dos pacientes?
A proporção de cura para o conjunto de pacientes é interpretada como
a probabilidade para um único paciente, genericamente escolhido.
Assim, precisamos obter um valor ! tal que: � � 
 ! � 0,25, então:
�
���	
�
���	
�
� � � 
���	
�
� 0,25.
Com o uso da tabela, obtemos:
���	
�
� �0,67 ⟹ ! � 13,33.
Assim, 25% dos pacientes ficarão curados antes de, aproximadamente, 14 dias.
EXERCÍCIOS
E2. Se em um criatório o peso ao nascer de bezerros
machos da raça Gir foi modelado por uma densidade
Normal, com média de 23kg e o desvio padrão 3 kg, entre
quais valores de peso ao nascer estará 95% dos bezerros
ali nascidos?
Considere �: peso ao nascer de bezerros machos da
raça Gir, assim �~� 23, 3 .
SOLUÇÃO DO EXERCÍCIO
Neste exercício, desejamos saber quanto vale � tal que � �� � � � � 
 0,95.
Desta maneira devemos calcular:
� � �� � � � 0 
�,��
�
 0,475		 ⇒ 		�� 
 1,96 
Sabendo que � � �
���
�
�
����
�
. Então:
 
����
�
 �1,96		 ⇒ 	� 
 �1,96 ∙ 3 � 23 
 17,12
� � 0 � � � � 
�,��
�
 0,475		 ⇒ 		� 
 1,96
Sabendo que � � ���
�
�
����
�
. Então:
����
�
 1,96		 ⇒ 	� 
 1,96 ∙ 3 � 23 
 28,88
Portanto o peso ao nascer estará 95% dos bezerros ali nascidos será de
��, �� � � kg, ou seja, entre 17,12 a 28,88 kg.
SOLUÇÃO DO EXERCÍCIO
E3. Em uma turma do oitavo ano, a altura dos alunos apresenta distribuição
normal com média 162 cm e desvio padrão de 6cm. Qual a probabilidade de um
aluno sorteado aleatoriamente ter mais de 170 cm.
Resposta. Considere X: altura dos alunos em uma turma do oitavo ano (cm)
� � � 170 � �
�����
��
�
��	����
��
� � � 170 � � � �
�
� � � � 1,33
� � � 170 � 0,5 � � 0 ! � � 1,33 � 0,5 � 0,4082 � 0,0918
� � � 170 � 9,18%
Portanto a probabilidade de um aluno sorteado aleatoriamente ter mais de 170
cm é de 9,18%