Aula 4

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Condução – Outras configurações 
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A condução de calor pode acontecer em configurações diferentes da cartesiana 
(paredes planas), de acordo com a necessidade do sistema em estudo. 
 
1 Cilindros vazados 
 
Exemplo: isolamento térmico em tubulações onde circulam fluidos e em fornos 
cilíndricos com o objetivo de reduzir as perdas de calor. 
Premissas: 
- material homogêneo; 
- temperaturas das superfícies interna e externa constantes; 
- comprimento suficiente para que possam ser desprezados os efeitos das 
extremidades. 
 
Voltando à lei de Fourier em sua forma diferencial: 
�� = −�����	 										(1) 
 
Observe que em uma tubulação o calor é perdido através da parede da tubulação 
onde escoa o fluido em todas as direções ao longo do raio do cilindro. 
 
Figura 1 – Configuração da perda de calor em cilindros vazados 
 
Como o gradiente de temperatura acontece na direção radial, deve-se usar 
coordenadas cilíndricas para caracterizá-lo. As coordenadas cilíndricas são muito 
importantes para simplificar os estudos sobre integração múltipla, desenvolvidas na 
base de um cilindro circular, cujas coordenadas são: z, r e q (veja detalhes na figura 
2 ). 
 
Figura 2 – Coordenadas cilíndricas 
Condução – Outras configurações 
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Considerando um cilindro vazado, sua área superficial lateral é obtida por: 
 
Figura 3 – Área superficial de um cilindro vazado 
 
� = 2���										(2) 
 
 
Voltando em (1), separando as variáveis e realizando a integração do raio interno, ri, 
onde a temperatura é Ti, ao raio externo, re, onde a temperatura é Te (veja figura 4), 
sendo Ti>Te: 
 
Figura 4 – Dados para integração 
��� = −� ∙ 2��� ∙ ���� ��� = −� ∙ 2����� 	�� � ������� = −� ∙ 2����� 	� ������ ln(��) − ln(��) = −�2����� (�� − ��) �� ������ = �2����� (�� − ��) 
 
Mas interessa ao nosso estudo o cálculo da taxa de transferência de calor: 
��� = �2���� ����� (�� − ��)									(3) 
Trabalhando com resistência térmica, que é a conduta mais adequada quando há 
associação de paredes: 
��� = ∆�#$#%&'#$#%& = (�� − ��)(��(�� ��⁄ ) �2��* +
										(4) 
 
 
Figura 5 - Resistências 
∆�#$#%& = (�� − ��) 
 '#$#%& = ��(�� ��⁄ ) �2��* 
 
Para paredes compostas, o cálculo é realizado como para paredes planas compostas 
em série ou em paralelo. 
 
Condução – Outras configurações 
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a) Paredes compostas em série: 
 
Figura 6 – Paredes compostas em série e configuração cilíndrica ∆�#$#%& = (�- − �.) 
'#$#%& = (��(�/ �-⁄ ) �-2��0 + + (��(�2 �/⁄ ) �/2��0 + + (��(�. �2⁄ ) �22��0 + 
 
Lembrando que: ��3#- = ��4#/									��3#/ = ��4#2										��3#2 = ��4#. ��3# = ��4# + 5675668�9 
 
b) Paredes compostas em paralelo: 
 
Figura 7 - Paredes compostas em paralelo e configuração cilíndrica ∆�#$#%& = (�- − �.) 1'�: = 1'�/ + 1'�2 = �/2��	��;�2 �/* < + �22��(1 − 	)��;�2 �/* < 
'#$#%& = (��(�/ �-⁄ ) �-2��0 + + '�: + (��(�. �2⁄ ) �22��0 + 
 
Lembrando que x corresponde ao percentual da composição física dos 
revestimentos com condutividade k2 e k3. 
 
2 Esferas 
 
Exemplo: isolamento térmico em fornos esféricos com o objetivo de reduzir as 
perdas de calor. 
Premissas: 
- material homogêneo; 
- temperaturas das superfícies interna e externa constantes. 
 
Condução – Outras configurações 
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Voltando à lei de Fourier em sua forma diferencial: 
�� = −�����	 										(1) 
 
Observe que em uma esfera o calor é perdido através da sua parede em todas as 
direções ao longo do raio da esfera, isto é, através de toda a superfície externa da 
esfera. 
Figura 8 – Configuração da perda de calor em esferas 
 
Como o gradiente de temperatura acontece na direção radial, deve-se usar 
coordenadas esféricas para caracterizá-lo. As coordenadas esféricas são muito 
importantes para simplificar os estudos sobre integração múltipla, desenvolvidas na 
base de uma esfera, cujas coordenadas são: r, φ e θ. 
 
Figura 9 – Coordenadas esféricas 
 
Considerando uma esfera oca, que se assemelha a um forno esférico, sua área 
superficial não tem uma expressão facilmente dedutível e foi descoberta por 
Arquimedes, sendo obtida por: 
 
Figura 10 – Área superficial de uma esfera 
Condução – Outras configurações 
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Voltando em (1), separando as variáveis e realizando a integração do raio interno, ri, 
onde a temperatura é Ti, ao raio externo, re, onde a temperatura é Te (veja figura 
11), sendo Ti>Te: 
 
Figura 11 – Dados para integração 
��� = −� ∙ 4��/ ∙ ���� ���/ = −�4���� 	�� � ���/���� = −�4���� 	� ������ − 1r> − �− 1��� = −�4���� (�� − ��) 1�� − 1r> = �4���� (�� − ��) 
 
Mas interessa ao nosso estudo o cálculo da taxa de transferência de calor: 
��� = �4��1�� − 1r> (�� − ��)										(5) 
Trabalhando com resistência térmica, que é a conduta mais adequada quando há 
associação de paredes: 
��� = ∆�#$#%&'#$#%& = (�� − ��)@�1�� − 1r> �4�0 A
										(6) 
 
 
Figura 12 - Resistências 
∆�#$#%& = (�� − ��) 
 
'#$#%& = �1�� − 1r> �4�0 
 
Para paredes compostas, o cálculo é realizado como para paredes planas compostas 
em série ou em paralelo. 
 
a) Paredes compostas em série: 
 
Figura 13– Paredes compostas em série e configuração esférica 
 
Condução – Outras configurações 
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∆�#$#%& = (�- − �.) 
'#$#%& = '�- + '�/ + '�2 =
CDD
DDE�1�- − 1r/ �-4�F GHH
HHI +
CDD
DDE�1�/ − 1r2 �/4�F GHH
HHI +
CDD
DDE�1�2 − 1r. �24�F GHH
HHI 
 
Lembrando que: ��3#- = ��4#/									��3#/ = ��4#2										��3#2 = ��4#. ��3# = ��4# + 5675668�9 
 
b) Paredes compostas em paralelo: 
 
Figura 14 - Paredes compostas em paralelo e configuração esférica ∆�#$#%& = (�- − �.) 1'�: = 1'�/ + 1'�2 = �/4�	�1�/ − 1r2 +
�24�(1 − 	)�1�/ − 1r2 
'#$#%& =
CDD
DDE�1�- − 1r/ �-4�F GHH
HHI + '�: +
CDD
DDE�1�2 − 1r. �.4�F GHH
HHI 
 
Lembrando que x corresponde ao percentual da composição física dos 
revestimentos com condutividade k2 e k3.