Lista de Exercicios - Derivadas Parciais

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MTM 1020 Cálculo B Turma 13 Lista 3 Derivadas parciais
Trabalho. (valor 2.0). Resolver o exercício 4. Entregar até a primeira
avaliação.
1.Determine as derivadas parciais @f
@x
; @f
@y
das seguintes funções f onde
estão de…nidas.
a) f(x; y) = eax cos (bx+ y), onde a; b 2 R e
b 6= 0.
b) f(x; y) = ln
�
x+
p
x2 + y2
�
c) f(x; y) =
p
x2 � y2
d) f(x; y) = esen(
y
x)
e) f(x; y) = exy ln (x2 + y2)
f) f(x; y) = cos(yexy) senx
2. Mostre que a função
u = ln
1
r
onde r =
p
x2 + y2 satisfaz a equação de Laplace
@2u
@x2
+
@2u
@y2
= 0
3. Mostre que a função
u(x; t) = sen (at+ ') sen (x)
satisfaz a equação das vibrações da corda
@u
@t2
= a2
@2u
@x2
onde a; ' são constantes.
1
2
4. Mostre que a função
u(x; t) = e(�
�
KT )
1
2 x cos
�
2�t
T
� �
KT
x
�
;
onde K; T são constantes, satisfaz a equação da condução do calor.
@u
@t
= K
@2u
@x2
x > 0; t é o tempo.
5. Determine @h
@u
; @h
@v
; @
2h
@u2
; @
2h
@v2
; @
2h
@u@v
onde
h(u; v) = f(x(u; v); y(u; v))
nos seguintes casos:
a) f(x; y) = x
2+y2
x2�y2 ; x(u; v) = e
�u�v, y(u; v) = euv
b) f(x; y) = Arctan
�
x
y
�
,x(u; v) = u sen v, y(u; v) = u cos v.
6. Considere um retângulo com lados x e y variando com o tempo. O
lado x aumenta com uma velocidade 5m=s e outro lado diminue com uma
velocidade de 4m=s. Pedem-se
a) Com que velocidade a variarão o perímetro e a área deste retângulo.
b) Mesma questão quando os lados atingirem x = 20; y = 30:
7. Dois barcos que sairam ao mesmo tempo do ponto A vão um rumo ao
norte com velocidade constante 20km=h e outro rumo leste com velocidade
constante 40km=h. Com que velocidade aumenta a distância entre eles.