Lista de exercicios Derivadas Parciais

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Lista de Exercícios – Capítulo 14 – Derivadas Parciais 
Professora: Maria Marta Ribeiro C. Gomes 
Parte 1: FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 
1) Determine o domínio e a imagem da função f ( x,y ) =
 
22
64 yx −− . 
 Resposta: x² + y² ≤ 8² ( círculo ) logo, { }80:Im ≤≤∈= zRzf ou Imf = [ 0; 8 ]. 
Parte 2: DERIVADAS PARCIAIS 
1 ) Calcule 
x
z
∂
∂
 e 
y
z
∂
∂
 para a função z = f(x,y) = 443 ++ yx 
 Resposta: 
x
h
∂
∂ = 
2
3 4
3
2 4
x
x y
=
+ +
 
y
h
∂
∂ = 
3
3 4
2
4
y
x y
=
+ +
 
4) Determine as derivadas parciais de 1ª ordem da função: 
a) f(x,t) = �� ln(t) 
 
b) z = (2x+3y)10 
c) z = tan(xy) 
d) f(x,y) = 
���
���
 
e) w = senαcosβ 
f) f(r,s) = r ln(r²+s²) 
g) u = tew/t 
h) f(x,y,z) = x sen(y-z) 
i) w = ln(x+2y+3z) 
 
 Respostas: a) fx = 
��	
��
��
 e fy = 
��
�
 b) fx = 20(2x+3y)
9
 e fy = 30(2x+3y)
9
 c) fx = y sec²(xy) e fy = x sec²(xy) 
 d) fx = 
�
�����
 e fy = 
�
�
�����
 e) wα = cosαcosβ e wβ = -senαsenβ f) fr = ln(r²+s²)+ 
��
�����
 e fs = 
��
�����
 
 g) ft = e
w/t
 (1-w/t) e fw = e
w/ 
 h) fx = sen(y-z), fy = x cos(y-z) e fz =-xcos(y-z) i) fx = 
�
��
����
, fy = 
��
����
 e fz =	
�
��
����
 
 5) Determine as derivadas parciais indicadas: 
 a) f(x,y)= ln(x+��� � ��) ; fx(3,4) b) f(x,y,z)= 
�
�����
 ; fy(2,1,-1) 
 Respostas: a) fx(3,4) = 
�
�
 b) fy(2,1,-1) = 
�
�
 
 7) Determine as derivadas parciais de 2ª ordem: 
 a) f(x,y) = x³y5+2x4y b) f(x,y) = x4y²-2xy5 
 Respostas: a) fxy e fyx = 15x²y
4
 + 8x³ b) fxy e fyx = 8x³y – 10y
4
 
 8) Seja f(x,y) = ln��� � �� mostre que fxy = fyx.