Lista de exercícios de cálculo I - Derivadas parciais

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Quinta lista de Cálculo 1
Questão 1 Nos exerćıcios abaixo, encontre
dy
dx
por derivação impĺıcita.
(a) x2 + y2 = 16.
(b) x3 + y3 = 8xy.
(c)
1
x
+
1
y
= 1.
(d)
√
x+
√
y = 4.
(e) x2y2 = x2 + y2.
(f) x2 =
x+ 2y
x− 2y
.
(g) 3
√
x+ 3
√
xy = 4y2.
(h)
√
xy + 2x+
√
y.
(i)
y√
x− y
= 2 + x2.
(k) tg−1(x2y) = x+ xy2
(j) y = cos(x− y).
(l) sec2(x) + cossec2(y) = 4.
(m) xsen(y) + cotg(x− y) = tg2(x).
(n) cossec(x− y) + sec(x+ y) = x
(o) θ = arcsen(
x
2
).
(p) f(x) = x · arccos(1/x).
(q) f(x) = arctg(2x).
(s) f(t) = arcsec(5t) + arccossec(5t).
(t) f(x) = arctg
(
2x
1− x2
)
.
(u) f(x) = x2arccos(x).
(v) h(t) = arccos(2e3t).
(w) tg(x− y) = y
1 + x2
.
(x) g(t) = arcsen(
√
1− t2).
(y) y = arctg
(
1− x
1 + x
)
.
(z) f(x) = arccotg
(
t− 1
t+ 1
)
.
2
Questão 2 Encontre a reta tangente a curva no ponto dado, cuja função é definida implicitamente
pelas seguinte equações:
(a) 16x4 + y4 = 32 no ponto (1, 2).
(b) 9x3 − y3 = 1 no ponto (1, 2).
(c) 3
√
xy = 14x+ y no ponto (2,−32).
(d) ysen(2x) = xcos(2y), ponto (π/2, π/4).
(e) sen(x+ y) = 2x− 2y, ponto (π, π).
(f) x2 + xy + y2 = 3, ponto (1, 1).
(g) x2 + 2xy − y2 + x = 2, ponto (1, 2).
(h) x2 + y2 = (2x2 + 2y2 − x)2, ponto (0, 1/2).
Questão 3 Suponha que f : [1, 6] → R seja uma função diferenciável que satisfaça f(1) = 2 e tal
que −1 < f ′(x) < 3, estime o menor e o maior valor que f(6) pode assumir.
Questão 4 Dada f(x) = xp(1− x)q, onde p e q são inteiros positivos maiores do que 1, prove cada
uma das seguintes afirmações: (a) se p for par, f terá um valor mı́nimo relativo em 0. (b) Se q for
par, f terá um valor mı́nimo relativo em 1. (c) f terá um valor máximo relativo em
p
p+ q
, se p ou
q forem pares ou ı́mpares.
Questão 5 A função f é diferenciável e crescente no intervalo I. Prove que (a) se g(x) = −f(x),
então g será decrescente em I; (b) se h(x) =
1
f(x)
e f(x) > 0 em I, então h será decrescente em I.
Questão 6 Use derivada para demonstrar as identidades: tg−1(x) + cotg−1(x) =
π
2
e sen2(x) +
cos2(x) = 1.
Questão 7 Mostre que a equação x3− 15x+ c = 0 possui no máximo uma ráız no intervalo [−2, 2].
Questão 8 Mostre que a equação x4 + 4x+ c = 0 possui no máximo duas ráızes reais.
Questão 9 Use o teorema do valor intermediário para demonstrar que todo polinômio de grau n
possui no máximo n ráızes.
Questão 10 Para a circunferência x2 + y2 = r2, mostre que a reta tangente em todo ponto (x1, y1)
da curva é perpendicular á reta que passa pelo ponto (x1, x1) e pelo centro da circunferência.