TEXTO 01 - LIMITE E CONTINUIDADE

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Texto 01. Cálculo II 
Curso de Engenharia Prof. José Norberto Reinprecht 
 
LIMITE E CONTINUIDADE 
 
Um pouco de história... 
 
O conceito de limite de uma função é a principal ferramenta que diferencia o 
cálculo da álgebra e da trigonometria. 
O próprio Isaac NEWTON (1642-1727) - considerado o criador do Cálculo 
Diferencial e Integral - não tinha uma idéia muito clara do conceito de limite. Muitos 
anos mais tarde, que Augustin-Louis CAUCHY (1789 – 1857) – matemático francês - 
elaborou o conceito de limite em bases mais sólidas, em termos de épsilons e deltas. 
Portanto, o conceito de limite já era utilizado por Newton, muito antes de 
Cauchy, ter dado uma definição mais rigorosa e precisa que atualmente conhecemos. 
Neste texto, trataremos este assunto de um modo mais intuitivo, da mesma 
forma como este conceito se desenvolveu historicamente. 
Intuitivamente, a idéia de limite é verificar próximo de que valor 
L
 está a 
função ƒ(x) quando os valores de 
x
 estão próximos de um valor 
a
. 
Esta noção intuitiva de “próximo de” não é um conceito matemático claro e 
preciso. Assim, considerando as seguintes situações: “ Mogi das Cruzes, que dista 
50 quilômetros de São Paulo, está próximo de São Paulo ? , “ a Lua, que está a uma 
distância de 380.000 quilômetros, aproximadamente, da Terra, está próximo da 
Terra? ”. As respostas a essas perguntas dependem do que se entende por “próximo 
de”. 
No cálculo e suas aplicações, em geral, estamos interessados nos valores de 
uma função ƒ(x) quando os valores de 
x
 estiverem próximos de um número 
a
, mas, 
não necessariamente iguais a 
a
. 
Na vida real aparecem um grande número de exemplos em que trabalhamos 
com situações-limites. 
“Determinar a eficiência de um novo motor em condições ideais”; ou, “a 
temperatura na qual cessam a agitação de todas as moléculas”, o chamado zero-
absoluto”. Estes são exemplos de situações na qual podemos se aproximar de um 
determinado valor, mas que jamais o atingiremos. 
1. LIMITE 
 
1.1 Introdução 
 Para introduzirmos o conceito de limite, consideremos a função 
2
4
)(
2
x
x
xf
 e 
vamos supor que estamos interessando no seu comportamento quando 
x
 se 
aproxima de 
2
, embora a função não possa assumir esse valor. 
 Podemos obter uma idéia desse comportamento, analisando as tabelas abaixo, 
para valores cada vez mais próximo de 
2
, pela direita (isto é, valores maiores que 
2
) 
e pela esquerda (ou seja, valores menores que 
2
). 
 
 Tabela de valores de 
x
, se aproximando de 
2
, pela esquerda. 
 x 0 1 1,5 1,9 1,99 1,999 ... x 2 
ƒ(x) 2 3 3,5 3,9 3,99 3,999 ... ƒ(x) 4 
 
 Tabela de valores de 
x
, se aproximando de 
2
, pela direita. 
 x 4 3 2,5 2,1 2,01 2,001 ... x 2 
ƒ(x) 6 5 4,5 4,01 4,01 4,001 ... ƒ(x) 4 
 
 Observarmos que quando os valores de 
x
, se aproximam de 
2
, pela 
esquerda, os valores de ƒ(x) se aproximam de 
4
. 
Podemos descrever esta situação escrevendo 
4)(lim
2
xf
x
, chamado limite 
lateral a esquerda. 
 Analogamente, quando os valores de 
x
, se aproximam de 
2
, pela direita, os 
de ƒ(x) também se aproximam de 
4
. Da mesma forma, podemos escrever 
4)(lim
2
xf
x
, denominado limite lateral a direita. 
 Nessas condições, como os dois limites laterais são iguais, dizemos que a 
função admite limite para 
x
 tendendo a 
2
, o seu valor é igual a 
4
, e indicamos por 
 
4)(lim
2
xf
x
 ou 
4
2
4
lim
2
2 x
x
x
 
 Mas, 
2
)2)(2(
2
4
)(
2
x
xx
x
x
xf
, e como 
2x
 podemos efetuar a 
simplificação dessa expressão acima, e obtemos 
2)( xxf
. 
 Logo, a função 
2
4
)(
2
x
x
xf
, pode ser escrita na forma 
 
2/,2)( xpxxf
. 
 E portanto, o gráfico de 
2
4
)(
2
x
x
xf
 é uma reta com um “buraco” no ponto 
quando 
x
 é igual a 
2
, conforme a figura abaixo. 
 
 
 
 Observe que, 
)2(f
não existe ( isto é, a função não está definida para 
2x
) 
e 
4)(lim
2
xf
x
 ( ou seja, o limite existe e o seu valor é igual a 
4
). 
 “ A função não precisa estar definida no ponto, para que exista o valor do limite 
nesse ponto ”. 
 
 De um modo intuitivo, podemos dizer que: 
 
“ Se a função ƒ(x) se aproxima de um número 
L
, quando 
x
 se aproxima de 
um número 
a
 , tanto pela esquerda quanto pela direita, então o limite de ƒ(x) 
quando 
x
 tende para 
a
 é igual a 
L
, e denotamos por 
Lxf
ax
)(lim
. ” 
 
 
1.2 ALGUMAS OBSERVAÇÕES IMPORTANTES 
 
1. O limite de ƒ(x) é 
L
 quando 
x
 tende para 
a
, significa dizer que, o valor de ƒ(x) pode 
ser tornar tão próximo de 
L
 quanto quisermos, bastando escolher o valor de 
x
, 
conveniente, próximo de 
a
, e 
ax
. 
 
2. Dizer que o limite de uma função ƒ(x) existe, e o seu valor é 
L
, significa dizer que, 
quando 
x
 tender para 
a
 , pela esquerda, ou pela direita, ƒ(x) tende para 
L
. 
 
 
3. Se obtivermos os valores 
1L
 quando 
x
 tender para 
a
 pela esquerda, e 
2L
 (
21 LL
) 
quando 
x
 tender para 
a
 pela direita, então não existe o valor do limite da função ƒ(x) 
quando 
x
 tender 
a
. 
 
4. O valor da função no ponto 
a
 não tem qualquer influência na existência ou não, do 
limite. 
 
 Observe os exemplos a seguir: 
 
 Exemplo 1. 
 Considere a função 
2,6
2,
2
4
)(
2
xse
xse
x
x
xf
 
 
 Para 
2x
, temos 
2
4
)(
2
x
x
xf
, cujo gráfico é uma reta que apresenta um 
“buraco” no ponto 
2x
, como vimos no exemplo da introdução de limite. 
 Graficamente, temos 
 
 
 Note que, 
6)2(f
 , 
4)(lim
2
xf
x
 e 

6
4
2
)2()(lim fxf
x 
 
 “ A função pode estar definida no ponto, existir o valor do limite nesse ponto, e 
no entanto o valor do limite não ser igual ao valor da função”. 
 
 Exemplo 2. 
 Considere a função 
1,2
1,1
)(
xsex
xsex
xf
 
 Para 
1x
, temos 
1)( xxf
 e 
1x
, temos 
xxf 2)(
. 
 Assim, o gráfico de ƒ(x) , para todo 
x
 real, são duas semi-retas, conforme a 
figura abaixo. 
 
 
 Analisando o gráfico vemos que: 
 
 Para 
x
 se aproximando de 
1
, pela esquerda, ƒ(x) se aproxima de 
1
. Nesse 
caso, temos que 
1)(lim
1
xf
x
 . 
 Para para 
x
 se aproximando de 
1
, pela direita, ƒ(x) se aproxima de 
2
, ou 
seja, 
2)(lim
1
xf
x
. 
 Como os limites laterais são diferentes, então não existe 
)(lim
1
xf
x
. 
 Mas, 
2)1(f
, isto é, a função está definida para 
1x
. 
 
 “ A função pode estar definida no ponto, e não existir o valor do limite nesse 
ponto”. 
 
 
 Exemplo 3. 
 Considere a função 
1,12
1,4
)(
2
xsex
xsex
xf
 
 
 Para 
1x
 , temos 
24)( xxf
 , e para 
1x
, temos12)( xxf
. 
 Dessa forma, o gráfico da função ƒ(x) é formado por parte de uma parábola, 
para os valores de 
x
 menores que 
1
, e de uma semi-reta para os valores ,de 
x
 
maiores ou iguais a 
1
, conforme a figura abaixo. 
 
 
 Observe que, 
 
 
3)1(f
 , 
3)(lim
1
xf
x
 e 

3
3
2
)1()(lim fxf
x 
 
 “ A função está definida no ponto, existe o valor do limite nesse ponto, e o valor 
do limite é igual ao valor da função”. 
 
 
Exemplo 4. 
 
 Considere a função 
0,1
0,1
)(
xse
xse
xf
 
 
 A função ƒ(x) não está definida para 
0x
. 
 Graficamente, temos 
 
 
 “ A função não está definida no ponto, e também não existe o valor do limite 
nesse ponto ”. 
 
 
1.3 TEOREMA DA SUBSTITUIÇÃO 
 
O cálculo de limites de algumas funções se baseiam no teorema a seguir: 
 
Teorema. 
 Sejam 
a
 um número real e as funções funções 
)()( xgxf
, para todo 
ax
. 
 Se existe o limite de 
)(xf
quando 
x
 tende para 
a
, então 
)(lim)(lim xgxf
axax
 
 
 O teorema afirma que, se duas funções coincidem em todos os pontos, exceto 
possivelmente, num único ponto 
ax
, então seus limites nesse ponto 
ax
, são 
iguais. 
 
Exemplo. 
 
 Calcule 
2
4
lim
2
2 x
x
x
 
 
 Solução. 
 
 A função 
2
4
)(
2
x
x
xf
, está definida para todo 
x
 real, 
2x
. 
 Podemos escrever, 
2,2
2
)2)(2(
2
4
)(
2
xparax
x
xx
x
x
xf
. 
 
 Agora, consideremos a função, 
2)( xxg
, que está definida para todo 
x
 
real. 
 Assim, as funções 
2,2)( xparaxxf
 e 
2)( xxg
 , são idênticas 
para todo 
x
 real, exceto no para 
2x
. 
 Graficamente, as funções 
)(xf
e 
)(xg
 estão representadas abaixo: 
 
 
 Na prática, para calcularmos 
2
4
lim
2
2 x
x
x
, inicialmente, substituímos a variável 
x
 pela tendência 
2
, obtendo-se 
 
0
0
22
42
2
4
lim
22
2 x
x
x
 
 O termo 
0
0
 é um dos muitos termos que na teoria dos limites recebe o nome de 
indeterminação. 
 A expressão indeterminado, não significa dizer que o limite não existe. Apenas 
significa dizer que não é possível obter o seu valor, através da simples substituição da 
variável pelo seu valor de tendência. 
 O cálculo desse limite pode ser obtido efetuando as seguintes etapas: 
 

)(
2
2 2
4
lim
xf
x x
x
 = 

numeradorofatorando
x x
xx
2
)2)(2(
lim
2
 = 
422)2(lim
2
)(
2,2
2 

porx
dosubstituinxg
xpoisx
fatorondosimplifica
x
x
 
 
 
1.4 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
 
 Calcule os limites: 
 1. 
3
9
lim
2
3 x
x
x
 
 Solução. 
 Efetuando a substituição direta, temos: 
 
0
0
3
9
lim
2
3 x
x
x
( indeterminado ) 
 1º modo. 
 Fatorando o numerador, que é uma diferença de dois quadrados. 
 
633)3(lim
3
)3)(3(
lim
3
9
lim
33
2
3
x
x
xx
x
x
xxx
 
 
 2º modo. 
 Como 
3x
 é raiz do polinômio numerador, então êsse polinômio é divisível 
por 
 3)3( xx
raiz
. 
 Efetuando a divisão do polinômio por 
3x
, através do dispositivo de Briot-
Ruffini, temos: 
 
031|3
901|
3
_________________________________

x
 
 01|3
31|
1
_________________________________ 
 
633)3(lim
1
3
lim
3
9
lim
33
2
3
x
x
x
x
xxx
 
 2. 
6
63
lim
2
23
2 xx
xxx
x
 
 
 Solução. 
 Efetuando a substituição direta, temos 
 
0
0
6
63
lim
2
23
2 xx
xxx
x
 (indeterminado) 
 Como 
2x
 é raiz do polinômio numerador e também do denominador, então 
ambos os polinômios são divisíveis por 

raiz
x 2
. Efetuando essas divisões através 
dispositivo de Briot-Ruffini, temos: 
 
0331|2
6311|
33
_________________________________
2

xx
 
031|2
611|
3
_________________________________

x
 
 
6
63
lim
2
23
2 xx
xxx
x 5
13
32
32.32
3
33
lim
22
2 x
xx
x
 
 
3. 
9
6
lim
2
2
3 x
xx
x
 
 
 Solução. 
 
 Efetuando a substituição direta, temos 
 
9
6
lim
2
2
3 x
xx
x
 
0
0
9)3(
6)3()3(
2
2 (indeterminado) 
 
 Como 
3x
 é raiz do polinômio numerador e também do denominador, então 
ambos os polinômios são divisíveis por 

raiz
xx 3)3(
. Efetuando essas 
divisões através dispositivo de Briot-Ruffini, temos 
 
021|3
611|
2
_________________________________

x
 
031|3
901|
3
_________________________________

x
 
 
 
9
6
lim
2
2
3 x
xx
x
 
3
2
lim
3 x
x
x
 
33
23
 
6
5
 
6
5
 
 
 4. 
1
1
lim
4
1 x
x
x
 
 
 Solução. 
 Efetuando a substituição direta, temos: 
 
0
0
1
1
lim
4
1 x
x
x
 (indeterminado) 
 1º modo. 
 Fatorando o numerador, que é uma diferença de dois quadrados. 
 
1
)1)(1)(1(
lim
1
)1)(1(
lim
1
1
lim
2
1
22
1
4
1 x
xxx
x
xx
x
x
xxx
 
 
4])1)(1([lim 2
1
xx
x
 
 
 2ºmodo. 
 Como 
1x
 é raiz do polinômio numerador, então êsse polinômio é divisível por 

raiz
x 1
. Efetuando essa divisão, através dispositivo de Briot-Ruffini, temos: 
 
01111|1
10001|
1
_________________________________
23

xxx
 
 01|1
11|
1
_______________________ 
 
4)1(lim
1
1
lim
1
1
lim 23
1
23
1
4
1
xxx
xxx
x
x
xxx
 
 
5. 
h
xhx
h
22
0
)(
lim
 
 
 Solução. 
 Efetuando a substituição direta, temos: 
 
0
0
0
)(
lim
2222
0
xx
h
xhx
h
 (indeterminado) 
 Devemos fator a diferença de dois quadrados que aparece no numerador da 
função racional. 
 
h
xhxxhx
h
xhx
hh
)()(
lim
)(
lim
0
22
0
 
 
 
h
hxh
h
)2(
lim
0
xxxhx
h
32)2(lim
0
 
 
6. 
842
20249
lim
23
23
2 xxx
xxx
x
 
 Solução. 
 Efetuando a substituição direta, temos: 
 
0
0
842
20249
lim
23
23
2 xxx
xxx
x
 (indeterminado) 
 Como 
2x
 é raiz do polinômio numerador e também do denominador, então 
ambos os polinômios são divisíveis por 

raiz
xx 2)2(
. 
 Efetuando essas divisões, através dispositivo de Briot-Ruffini, temos: 
 
01071|2202491|
107
_________________________________
2

xx
 
0401|2
8421|
4
_________________________________
2

x
 
 Assim, 
 
4
107
lim
842
20249
lim
2
2
223
23
2 x
xx
xxx
xxx
xx
 
 Efetuando a substituição por 
2x
, temos 
 
0
0
4
107
lim
2
2
2 x
xx
x
 (indeterminado) 
Logo, 
2x
 ainda é raiz do polinômio numerador e também do denominador. 
Efetuando, novamente, a divisão do numerador e do denominador por 
2x
, 
temos: 
 
051|2
1071|
5
_________________________________

x
 
021|2
401|
2
_________________________________

x
 
Assim, 
 
4
3
2
5
lim
4
107
lim
22
2
2 x
x
x
xx
xx
 
 
7. 
4
2
lim
4 x
x
x
 
 Solução. 
 Efetuando a substituição direta, temos: 
 
0
0
4
2
lim
4 x
x
x
 (indeterminado) 
No caso do limite de função irracional, devemos racionalizar a função, ou seja, 
nesse caso multiplicarmos ambos os termos da fração por 
2x
 . 
Desse modo, temos: 
 
)2()4(
2)(
lim
)2(
)2(
)4(
)2(
lim
4
2
lim
22
444 xx
x
x
x
x
x
x
x
xxx
 
 
4
1
2
1
lim
)2()4(
4
lim
44 xxx
x
xx
 
 
8. Calcule 
)(lim
1
xf
x
, se existir, onde 
1,24
1,13
)(
2
xsex
xsex
xf
 
 Solução. 
 Devemos calcular os limites laterais para 
1x
. 
 
2)24(lim)(lim
11
xxf
xx
 ( limite lateral à esquerda de 1) 
 
2)13(lim)(lim 2
11
xxf
xx
 ( limite lateral à direita de 1) 
 Como, 
2)(lim)(lim
11
xfxf
xx
 . 
 Portanto, 
2)(lim
1
xf
x
 
 
 9. Calcule 
)(lim
2
xg
x
, se existir, onde 
2,|1|
2,5
)(
2
3
xsex
xsex
xg
 
 Solução. 
 Devemos calcular os limites laterais para 
2x
. 
 
385)2(5)5(lim)(lim 33
22
xxg
xx
 ( limite lateral à esquerda de -2) 
 
3|3||41||)2(1||1|lim)(lim 22
22
xxg
xx
(limite lateral à direita de -2) 
 Como, 
)(lim)(lim
22
xgxg
xx
 
 Logo, não existe, 
2)(lim
2
xg
x
 
 
10. Calcule 
)(lim
0
xf
x
, se existir, onde 
0,0
0,
1)1(
)(
2
xse
xse
x
x
xf
 
 Solução. 
 No cálculo de 
)(lim
0
xf
x
estamos interessado no comportamento da função ƒ(x) 
para valores de 
x
 próximos de 
0
, mas diferente de 
0
. Neste caso, nas 
proximidades de 
0
, tanto a direita quanto a esquerda, a função é dada por 
x
x
xf
1)1(
)(
2. 
 Logo, 
x
x
xf
xx
1)1(
lim)(lim
2
00
 
 Efetuando a substituição direta, temos 
 
0
01)1(
lim
2
0 x
x
x
 ( indeterminado ) 
 Neste caso, desenvolvendo o produto notável
2)1( x
, temos 
 
2)2(lim
)2(
lim
2
lim
121
lim
00
2
0
2
0
x
x
xx
x
xx
x
xx
xxxx
 
 Portanto, 
2)(lim
0
xf
x
 
 
1.5 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
Nos exercícios de 1 a 20, calcule os limites. 
 1. 
854
5
lim
23
2
1 xxx
xx
x
 2. 
32
2
lim
3
2 x
x
x
 
 3. 
2
32
lim
5
2 x
x
x
 4. 
x
x
x 3
27
lim
3
3
 
 5. 
xx
xx
x 2
3
0
lim
 6. 
1
1
lim
5
1 x
x
x
 
 7. 
23
12
lim
3
2
1 xx
xx
x
 8. 
65
474
lim
3
23
1 xx
xxx
x
 
 9. 
35
23
lim
23
3
1 xxx
xx
x
 10. 
158
65
lim
2
2
3 xx
xx
x
 
11. 
45
23
lim
2
2
1 xx
xx
x
 12. 
375
23
lim
23
3
1 xxx
xx
x
 
13. 
2
23
lim
2
2 x
xx
x
 14. 
32
2795
lim
2
234
1 xx
xxxx
x
 
15. 
24269
6116
lim
23
23
2 xxx
xxx
x
 16. 
3
6
lim
2
3 x
xx
x
 
17. 
1
1
lim
1 x
x
x
 18. 
3
9
lim
9 x
x
x
 
19. 
2
2
lim
2 x
x
x
 20. 
h
xhx
h 0
lim
 
 
Nos exercícios de 21 a 24, calcule (se existir) os limites: 
21. 
)(lim
1
xf
x
, sendo 
1,53
1,1
)(
xsex
xsex
xf
 
22. 
)(lim
1
xf
x
, sendo 
1,26
1,12
)(
2
2
xsex
xsexx
xf
 
23. 
)(lim
0
xf
x
, sendo 
0,2
0,21
)(
3
2
xsex
xsex
xf
 
24. 
)(lim
2
xf
x
, sendo 
2,1
2,
2
4
)(
2
xse
xse
x
x
xf
 
 
Nos exercícios de 25 a 34, calcule o limite envolvendo infinito: 
25. 
)752(lim 23 xx
x
 26. 
)
21
3(lim
2xxx
 
27. 
3
423
lim
3
35
x
xx
x
 28. 
12
54
lim
3
3
x
x
x
 
29. 
1
2
lim
3t
t
t
 30. 
13
25
lim
34
23
xxx
xxx
x
 
31. 
2
25
1
53
lim
tt
tt
t
 32. 
12
427
lim
2
2
x
xx
x
 
 
Nos exercícios de 33 a 36, calcule (se existir) os limites laterais: 
33. 
4
3
lim
2
2 xx
 34. 
3
1
lim
3 xx
 
35. 
xx 1
5
lim
1
 36. 
2
3 )3(
1
lim
xx
 
2. CONTINUIDADE 
 
2.1. INTRODUÇÃO 
 
 Em matemática, a expressão “contínuo” é utilizada com o mesmo significado da 
linguagem cotidiana, como, “em que não há interrupção”. 
 Os fenômenos contínuos desempenham um papel importante em nossas vidas. 
O tempo é “contínuo” não salta de minuto a minuto, por exemplo, de 12 horas para 12 
horas e 1 minuto ou para 12 horas e 1 segundo, deixando lapsos de tempo de 1 
minuto e 1 segundo, respectivamente. 
Assim, quando deixamos um objeto cair do alto de uma torre de 50 metros, seu 
movimento é contínuo. O objeto passa por todas as altitudes entre 50 metros e 0 
metros antes de atingir o solo. 
 Ao aumento do volume de água num reservatório, enquanto está sendo enchido 
é também contínuo. 
 Intuitivamente, dizer que uma função é contínua em 
cx
, significa que não há 
interrupção do gráfico em 
c
, ouseja, não há “buracos”, “saltos” ou “lacunas” no gráfico 
da função em 
c
. 
 Informalmente, função contínua é aquela cujo gráfico pode ser traçado sem 
“levantarmos” o lápis do papel. 
 Apesar da simplicidade deste conceito, sua definição precisa escapou aos 
matemáticos durante muitos anos. Somente, em princípios do século XIX é que se 
formulou finalmente uma definição precisa. 
 
2.2. DEFINIÇÃO 
 
 Uma função ƒ é contínua em um número 
c, se satisfaz as seguintes condições: 
i) ƒ (c) existe 
ii) 
)(lim xf
cx
 existe 
iii) 
)()(lim cfxf
cx
 
Se uma ou mais dessas condições não se verificar, dizemos que ƒ é 
descontínua, ou tem uma descontinuidade em 
c
. 
Ao utilizarmos esta definição para mostrar que uma função ƒ é contínua em 
c
, 
basta verificarmos a condição (iii) , por que se 
)()(lim cfxf
cx
, então 
)(cf
 deve 
estar definida e também o 
)(lim xf
cx
 deve existir, ou seja as duas primeiras 
condições estão satisfeitas automaticamente. 
 
Exemplo 1. 
Verifique se a função 
1,0
1,
1
1
)(
2
xse
xse
x
x
xf
 é contínua em 
1x
 
Solução. 
 
a) 
0)1(f
 (existe) 
b) 
)(lim
1
xf
x 0
0
1
1
lim
2
1 x
x
x
 
 
2)1(lim
1
)1()1(
lim
1
1
lim
11
2
1
x
x
xx
x
x
xxx
 (existe) 
c) 
)(lim
1
xf
x
)1(f
 
Portanto, 
)(xf
 é descontínua em 
1x
 . 
 
 
Exemplo 2. 
Verifique se a função 
2,12
2,1
)(
2
xsex
xsex
xf
 é contínua em 
2x
. 
Solução. 
a) 
512)2( 2f
 (existe) 
b) 
)(lim
2
xf
x
 
 
5)12(lim)(lim
22
xxf
xx
 
 
512)1(lim)(lim 22
22
xxf
xx
 
c) 
)(lim
2
xf
x
5)2(f
 
Portanto, 
)(xf
 é contínua em 
2x
 . 
 
Respostas: 
 1. 
8
3
 2. 
10
 3. 
80
 4. 
27
 5. 
1
 
 6. 
5
 7. 
3
1
 8. 
4
1
 9. 
4
3
 10. 
2
1
 
11. 
3
1
 12. 
2
3
 13. 
1
 14. 
0
 15. 
2
1
 
16. 
5
 17. 
2
 18. 
6
 19. 
22
1
 20. 
x2
1
 
21. 
2
 22. 
4
 
23. 
)(lim
0
xfexistenão
x
1)(lim2)(lim
00
xfexfpois
xx
 
24. 
4
 25. 26. 
3
 27. 28. 
2
 
29. 
0
 30. 
0
 31. 32. 
2
7
 33. 
34. 35. 36.