Introdução à matemática financeira

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Matemática Financeira: Introdução 
Prof. Marco Arbex 
marco.arbex@live.estacio.br 
 O que estuda a matemática financeira? 
• A matemática financeira estuda o valor do dinheiro no tempo 
 
– Exemplo: “Alguém na sala me empresta R$ 500,00 hoje? 
Eu devolvo os R$ 500,00 daqui a três meses”. 
 
• AO LONGO DO TEMPO, O VALOR DO DINHEIRO MUDA: 
– OPORTUNIDADE DE APLICÁ-LO 
– RISCO 
– PERDA DO PODER DE COMPRA 
Objetivo da matemática financeira 
“O objetivo da matemática financeira é analisar operações 
de caráter financeiro que envolvam entradas e saídas de 
caixa (dinheiro) ocorridas em momentos distintos” 
(MENDONÇA et al, 2007). 
 
• Você precisa de uma geladeira nova, mas não tem o 
dinheiro para pagar à vista. O que você faz? 
• Seu salário mensal é maior do que seus gastos. O que 
fazer com esse dinheiro extra? 
 
Custo de oportunidade 
• Por trás de decisões como as do slide anterior, existe um 
conceito fundamental chamado “custo de oportunidade”. 
• Este conceito mostra que toda decisão implica em uma 
renúncia (ao escolher algo, você está deixando de escolher 
outra coisa). 
 
TESTE: Considere a seguinte situação: 
- Você tem uma moto para vender hoje pelo valor de R$ 
5.000,00. Seu amigo oferece para comprá-la por R$ 
5.100,00, desde que você espere um mês. 
 
Sob a ótica financeira, o que você deve considerar para tomar 
essa decisão? 
Algumas definições 
• Principal, Capital Inicial ou Valor Presente: quantia tomada 
emprestada ou investida e sobre a qual incidirão juros. 
 
• Juros: remuneração recebida por quem aplicou ou 
remuneração paga por quem tomou dinheiro emprestado. Os 
juros são sempre expressos em unidades monetárias. 
– EX: você aplicou R$ 100 na poupança e, ao final de um 
certo tempo, resgatou este investimento por R$ 110, os 
juros recebidos foram R$ 10. 
 
• Montante, Valor de Resgate ou Valor Futuro: Chamamos de 
montante à soma do principal mais juros. No exemplo acima, o 
montante recebido pelo aplicador foi R$ 110, ou seja, a soma 
do principal de R$ 100 com os juros de R$ 10. 
Algumas definições 
• Taxa de Juros: Relação entre os juros recebidos/pagos em um 
determinado período de tempo e o capital que os originou. 
– EX: se um investidor aplicou R$ 100 em uma aplicação e 
recebeu juros de R$ 10 ao final de um ano, a taxa de juros 
deste investimento foi 10% ao ano. 
– OBS: a taxa de juros está sempre relacionada a um período, 
seja ele o dia, o mês, o ano, etc. A taxa de juros pode ser 
expressa em notação percentual (10% ao ano, por exemplo) 
ou em notação decimal (0,10 ao ano, por exemplo). 
 
• Regimes de capitalização: os juros podem ser capitalizados 
no regime de juros simples ou no regime de juros compostos. 
O que determina a taxa de juros? 
Considerando que o dinheiro (capital) é um recurso escasso e que a 
maioria das pessoas prefere consumir seus bens no presente e não 
no futuro, deseja-se uma recompensa por não consumir hoje. É 
nesse contexto que os juros ganham relevância. O valor da taxa de 
juros depende de (Assaf Neto, 2003): 
 
• Risco envolvido na operação, devido à incerteza com relação ao 
futuro. 
• Perda do poder de compra devido à inflação 
• Os juros devem gerar um lucro (ou ganho) ao proprietário do 
capital como forma de compensar a sua privação por 
determinado período de tempo. Este ganho é estabelecido 
basicamente em função do “custo de oportunidade”. 
 
Algumas definições 
• Juros Simples: no regime de juros simples, os juros incidem 
exclusivamente sobre o principal. 
 
• Juros Compostos: no regime de juros compostos, ao final de 
cada período de capitalização, os juros se incorporam ao 
principal e passam a render juros também. 
 
• Período de Capitalização: período no qual ocorre a incidência 
dos juros sobre o principal. 
– 10% ao ano: supõe-se que a capitalização é anual 
– 10% ao ano, capitalizados mensalmente: os juros são 
capitalizados mensalmente, totalizando 10% ao ano. 
Algumas definições 
• Taxa Efetiva: Taxa cujo período de capitalização é igual à 
unidade de tempo na qual está expresso o período da operação. 
– EX: 12% ao ano capitalizados anualmente. 
 
• Taxa Nominal: Taxa expressa em uma unidade de tempo 
diferente da unidade de tempo dos períodos de capitalização. 
– EX: 12% ao ano capitalizados mensalmente. 
 
• Taxas Proporcionais: Taxas de juros são proporcionais quando 
ao serem aplicadas a um mesmo principal durante um mesmo 
prazo, com juros simples, produzem um mesmo montante. 
– IMPORTANTE: O conceito de taxas proporcionais está ligado 
ao regime de juros simples. 
– EX: 1% ao mês e 12% ao ano. 
Algumas definições 
• Taxas Equivalentes: Duas ou mais taxas de juros são 
equivalentes quando ao serem aplicadas a um mesmo 
principal durante um mesmo prazo de tempo no regime de 
juros compostos, produzem um mesmo montante. 
– IMPORTANTE: O conceito de taxas equivalentes está 
estreitamente ligado ao regime de juros compostos. 
– EX: VEREMOS POSTERIORMENTE! 
 
 O diagrama de fluxo de caixa 
Tempo 
Para representar o dinheiro no tempo, utilizamos um digrama 
chamado de “fluxo de caixa”: 
 
 
 
(+) Entradas de capital 
(-) Saídas de capital 
Elementos do diagrama de fluxo de caixa 
• Valor presente (PV): valor inicial ou principal (colocado no 
momento inicial “n=0”). 
 
• Valor futuro (FV): valor do montante acumulado ao longo de “n” 
períodos de capitalização com taxa de juros “i”. 
 
• Tempo (n): número de períodos de capitalização dos juros 
(expresso em meses, anos, semestres, dias, etc.) 
 
• Taxa de juros (i): taxa de juros por período de capitalização, 
expressa em porcentagem (ou valor decimal) e sempre 
mencionando a unidade de tempo considerada. 
 
• Prestações (PMT): indica o valor de cada prestação que ocorre 
ao longo dos períodos (prestações iguais distribuídas em 
intervalos regulares de tempo) 
 
 Ilustrando o uso do DFC 
 Exemplos: 
 
1) Um investidor aplicou hoje $100,00 por um mês, planejando 
resgatar $108,00. Desenhe o diagrama de fluxo de caixa da 
operação. 
2) Você contraiu um empréstimo no valor de $ 300,00 que será 
quitado mediante um pagamento de R$ 340,00, daqui a seis 
meses. Desenhe o diagrama de fluxo de caixa da operação. 
3) Represente o diagrama de fluxo de caixa de uma aplicação no 
valor de $ 500,00 que será resgatado em três parcelas iguais, 
mensais, no valor de $200,00. 
 
 Séries antecipadas e postecipadas 
• O fato de um pagamento ocorrer com ou sem entrada muda 
significativamente a análise do fluxo de caixa 
 
 
• IMPORTANTE: 
– Quando não é mencionado que há pagamento 
antecipado (com entrada), automaticamente supomos 
que o pagamento se dá ao final do período. 
Séries antecipadas e postecipadas 
Pagamento 
antecipado (com 
entrada) 
Pagamento 
postecipado 
(sem entrada) 
- O fato de um pagamento ocorrer com ou sem entrada muda a 
análise do fluxo de caixa 
 
- IMPORTANTE: Quando não é mencionado que há pagamento 
antecipado (com entrada), automaticamente supomos que o 
pagamento se dá ao final do período. 
 Representação do diagrama com 
 dois valores na mesma data 
0 1 
$ 100,00 
$ 60,00 $ 60,00 
Primeira forma de apresentação 
n 
 Representação do diagrama com 
 dois valores na mesma data 
0 1 
$ 40,00 
$ 60,00 
Segunda forma de apresentação 
FLUXO DE CAIXA LÍQUIDO 
n