Funções de vairas variaves e derivadas parciais

Prévia do material em texto

MCII- N1 Funções de várias variáveis Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 1 
 1 
1 
 FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 
 Funções de mais de 1 variável 
 
 Um número muito grande de fenômenos 
necessitam, para seu compreendimento, de várias 
variáveis independentes para descrevê-lo. Por 
exemplo: 
 
 Exemplo 1 - A área de um terreno 
retangular: 
 
 A área depende do comprimento x e da 
largura y. Assim: 
A(x,y)=x.y 
 
 Exemplo 2 - A temperatura de uma chapa 
metálica, depende, em geral, dos pontos (x,y) sobre a 
placa; assim T=T(x,y), ou seja a temperatura é uma 
função nas variáveis x e y. 
 
 Para estudarmos as funções de mais de uma 
variável, inicialmente, necessitamos do conceito de 
algumas definições: 
 
 DEFINIÇÃO 1 - Se a cada par (x,y) de 
valores de duas variáveis x e y independentes, 
tomados de um certo domínio D, corresponde um 
valor bem determinado da variável z, diz-se que z é 
uma função de duas variáveis independentes x e y 
definida no domínio D. Designa-se uma função de 
duas variáveis pela notação: 
 
z=f(x,y) ou z = F(x,y) 
 
 DEFINIÇÃO 2 - Chama-se domínio de 
definição ou domínio de existência da função z = 
f(x,y) ao conjunto de pares (x,y) dos valores de x e y 
para os quais esta função é definida. 
 A interpretação geométrica do domínio de 
existência de uma função de 2 variáveis é feita 
representando cada par de valores x e y por um 
ponto P(x,y) do plano OXY; assim o conjunto de 
pontos formados no plano será o domínio da função. 
A este conjunto chama-se de domínio de definição 
da função. Em particular, este domínio pode ocupar 
o plano OXY completamente. Os domínios de 
definição que considerarmos são constituídos por 
partes de plano delimitados por certas curvas. A 
curva que delimita o domínio de definição chama-se 
fronteira deste domínio. Os pontos do domínio que 
não pertencem à fronteira são chamados pontos 
interiores do domínio. Todo domínio constituído de 
pontos interiores chama-se domínio aberto. Um 
domínio completado pela sua fronteira diz-se 
domínio fechado. O domínio diz-se limitado se 
existe uma constante C tal que a distância de P de 
qualquer ponto deste domínio à origem das 
coordenadas O é inferior a C, ou: 
OM C 
Exemplo 3 - Dê o domínio natural de 
definição da função: 
z = 2x - y 
 Solução: Esta expressão é definida para 
todos pontos (x,y)  R2. Consequentemente, o 
domínio coincide com o plano OXY inteiro. 
 
 Exemplo 4 - Encontre o domínio natural de 
definição de: 
z x y  1 2 2
 
 
 Solução: Nesse caso devemos impor que: 
 
1 0 12 2 2 2     x y x y
 
 Observe que o conjunto dos pontos P(x,y) 
cujas coordenadas verificam esta desigualdade é a 
parte do plano delimitado pelo círculo de raio 1 e 
centro nas coordenadas (0,0) (origem das 
coordenadas). Ou seja, o interior deste círculo e a sua 
circunferência (a sua fronteira). 
 Y 
 
 
 
 
 -1 1 X 
 
 
 
 Exemplo 5 - z = Log(x+y) 
 
 Solução: Neste caso devemos impor a 
condição de existência: 
x y y x    0
 
 Assim, o domínio natural de definição desta 
função é o semi-plano colocado por cima da reta y = -
x. Veja que os pontos da reta não pertencem ao 
domínio. 
 
 Y 
 
 
 
 y = - x X 
 
 
Neste caso os pontos da fornteira (reta y=-x) 
não estão incluídos no domínio. 
 
 Exemplo 6 - S Superfície S de um triângulo 
é dada por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
MCII- N1 Funções de várias variáveis Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 2 
 2 
2 
S=x.y/2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O Domínio é definido por x > 0 e y > 0: 
 
 Note que o domínio de definição da função 
considerada não se identifica com o domínio natural 
de definição da expressão analítica que a define, o 
domínio natural da expressão x.y/2 , que é o plano 
OXY completo. 
 
 DEFINIÇÃO 3: Se todo o sistema 
ordenado de valores das variáveis x,y,z,...,u,t 
corresponde um valor bem determinado da variável 
w, diz-se que a variável w é uma função das 
variáveis independentes x,y,z,...,u,t. Denota-se por: 
w=F(x,y,z,...,u,t) ou w = f(x,y,z,...,u,t) 
 Define-se o domínio de definição de uma 
função de n variáveis do mesmo modo que no caso 
de uma função de 2 variáveis. 
 
 Representação Geométrica de uma 
Função de duas variáveis: 
 
 Seja f(x,y) uma fuinção definida em um 
domínio D do plano OXY e seja OXYZ um sistema 
de coordenadas cartesianas no espaço. Em cada 
ponto x,y do domínio G eleva-se uma perpendicular 
ao plano OXY sobre o qual traça-se um segmento 
igual ao valor de z=f(x,y). Obtemos então um ponto 
cujas coordenadas são (x,y,z) ou (x,y,(f(x,y)) . 
 O lugar geométrico dos pontos cujas 
coordenadas verificam a relação z=f(x,y) chama-se o 
gráfico de uma função de duas variáveis. O gráfico 
de uma função de duas variáveis é, pois, uma 
superfície cuja projeção no plano OXY é o domínio 
de definição desta função.Cada perpendicular ao 
plano OXY corta a superfície z = f(x,y) no máximo 
em 1 só ponto. 
 
Exemplo 7 - Esboce o gráfico da função:
z x y 2 2
 
 
 Solução: Observe que o Domínio coincide 
com o plano OXY. 
 
 Para fazermos o traçado gráfico é útil 
esboçarmos as curvas de nível: adota-se valores para 
z e traçamos no plano OXY as diversas curvas. Em 
seguida elevamos ao valor z devido: 
 
 
 Assim fica mais fácil o traçado da 
superfície. Veja que neste exemplos as curvas de 
nível são circunferências concêntricas em (0,0). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MCII- N1 Funções de várias variáveis Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 3 
 3 
3 
 EXERCÍCIOS 
 
 1) Encontre o Domínio das expressões; faça 
um esboço da região no plano (x,y). Caso coincida 
com o plano OXY, dê como solução o conjunto R
2
. 
 
 a) F(x,y)=x+2y 
 b) G(x,y)=tg(x+y) 
 c) 
F x y
x y
( , ) 

1
 
 d) 
G x y x y( , )  
 
 e) 
f x y x y( , )  2
 
 f)
z x y  2 2 16
 
 g) 
z
x y


1
 
 h) 
z
x y
 
1 1
 
 I) z e xy 
 j) 
z x y cos( )
 
 k) 
z x y sec( )
 
 l) 
z ec x y cos ( )2
 
 m)
z x y log( )
 
 n) 
z x y  log( )2 16
 
 o) 
z x x y  log( )3 2
 
 p)
z y x  log( )2 36
 
 q) 
z x y  log( / )2 2 4 1
 
 
 
 2) Nos exemplos de funções abaixo, são 
dadas as superfícies de níveis em forma gráfica e seu 
gráfico. Determine as equações das superfícies de 
nível. 
 
 
 a) 
z
x y


1
2 2
 
 
 
 
 
 
 
 
 Superfícies de Nível: 
 
 b) 
z y x  2 1
 
 
 
 
 Superfícies de nível: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MCII- N1 Funções de várias variáveis Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 4 
 4 
4 
 Limites de Funções de Várias variáveis 
 
 DEFINIÇÃO 1: Chamamos de vizinhança 
de um dado ponto P0(x0,y0) de raio r ao conjunto de 
todos os pontos P(x,y) que satisfazem à 
desigualdade: 
( ) ( )x x y y r   0
2
0
2
 
 Isto é, o conjunto de todos os pontos 
situados no interior de um círculo de raio r e centro 
em P0(x0,y0). Por consequência, quando dissermos 
que a função f(x,y) tem uma certa propriedade em 
uma vizinhançado ponto P0(x0,y0), isso significará 
que existe um círculo de centro no ponto P0 em 
todos os pontos do qual tal propriedade é verificada. 
 Seja a função f(x,y) definida num domínio 
G do plano OXY: 
 
 
 y 
 G 
 
 P(x0,y0) 
 
 
 x 
 0 
 
 DEFINIÇÃO 2 : Diz-se que o número A é 
o limite da função f(x,y) quando o ponto P(x,y) 
tende para o ponto P0(xo,yo) se para todo > 0 existir 
um r > 0 tal que para todos os pontos P(x,y) que 
verificam a desigualdade PP0 < r, a desigualdade : 
f x y A( , )  
 
 
 é satisfeita.. 
 
 Se o número A é o limite da função f(x,y) 
quando P(x,y)P0(x0,y0), denotamos por: 
lim ( , )
x x
y y
f x y A



0
0
 
 DEFINIÇÃO 3: Seja P0 (x0,y0) um ponto 
pertencente ao domínio de uma certa função f(x,y) . 
Diz-se que a função z=f(x,y) é contínua no ponto 
P0(x0,y0) se a igualdade: 
lim ( , ) ( , )
x x
y y
f x y f x y



0
0
0 0
 
 é verificada quando o ponto tende 
arbitrariamente para o ponto P0(x0,y0). 
 Se a condição não é preenchida num dado 
ponto N(x0,y0) este ponto chama-se ponto de 
descontinuidade da função f(x,y) 
 
 Teorema 1: Seja f uma função definida em 
todos os pontos de uma vizinhança de centro (x0,y0), 
com possível exceção de (x0,y0) e 
lim ( , )
( , ) ( , )x y x y
f x y L


0 0
;Então se S é qualquer 
conjunto de R
2
 com centro em (x0,y0), então 
lim ( , )
( , ) ( , )x y x y
f x y L


0 0
sempre. 
 Teorema 2: Se a função f tem limites 
diferentes quando (x,y) tende a (x0,y0), através de 
dois conjuntos distintos de pontos com (x0,y0) como 
um ponto de acumulação (Ou seja toda vizinhança do 
domínio contém uma infinidade de pontos de um 
conjunto S), então 
lim ( , )
( , ) ( , )x y x y
f x y


0 0
. 
Exemplo 1: 
Dada :
f x y
xy
x y
( , ) 
2 2
 encontre 
lim ( , )
( , ) ( , )x y
f x y
 0 0
. 
 Veja que se considerarmos o conjunto S1 
como todos os pontos do eixo x: 
lim ( , ) lim ( , )
( , ) ( , )x y x
f x y f x
 
 
0 0 0
0
 
lim
( , ) ( , )x y x 

0 0
2
0
0
0
 
 Seja S2 o conjunto dos pontos sobre a reata 
y=x: 
lim ( , ) lim ( , )
( , ) ( , )x y x
f x y f x x
 
 
0 0 0
 
lim
x
x
x x 

0
2
2 2
1
2
 
 Logo tal limite não existe. 
 Teorema 3: 
 Se duas funções f e g são contínuas em 
(x0,y0) então: 
 I) f+g é contínua em (x0,y0). 
 II) f-g é contínua em (x0,y0). 
 III) f.g é contínua em (x0,y0). 
 IV) f/g é contínua em (x0,y0) desde que 
g(x0,y0)  0 . 
 Teorema 4: Uma função polinomial de duas 
variáveis é contínua em todo ponto de seu domínio.
 Teorema 5: Uma função racional de duas 
variáveis é contínua em todo ponto de seu domínio. 
 Exercícios: 
 1) Discuta a continuidade das funções dadas: 
 a) 
f x y
xy
x y
x y
( , )
( , ) ( , )
 






2 2
0 00 se 
 se (x,y) (0,0)
 
 b) 
f x y
x y
x y
x y
( , )
( , ) ( , )








2 2
0 00 se 
 se (x,y) (0,0)
 
 2) Determine a região de continuidade de f, 
indicando o gráfico e sombreando a região 
determinada. 
MCII- N1 Funções de várias variáveis Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 5 
 5 
5 
 a) 
f x y
y
x y
( , ) 
 2 2 25
 
 b) 
f x y
x
x y
( , ) 
 9 4 362 2
 
 c) 
f x y
x
x y
( , ) 
 4 9 362 2
 
 d) 
f x y
x y
x y
( , ) 

 
2 2
2 29
 
 
2) Descreva o domínio de f e encontre os 
valores funcionais indicados: 
a) 
f x y x y f f( , ) ; ( , ), ( , )   2 2 5 5 22
 
b) 
f x y
y
x
f f( , ) ; ( , ); ( , )
 2
31 2 0
 
c) 
f u v
uv
u v
f f( , ) ; ( , ), ( , )
 2
01 01
 
d) 
f r s r e f fr s( , ) ; ( , ), ( , )/   1 11 3 3
 
e) 
f x y z x y z f( , , ) ; ( , , )    25 1 2 22 2 2
 
f) 
f x y z tgx y z f( , , ) sen ; ( , , )  2 44 6
 
 
3) Esboce os gráficos de f (com a ajuda das SN): 
a)
f x y x y( , )   1 2 2
 
b)
f x y x y( , )   4 42 2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 c) 
)cos(),( 22 yxyxf 
 
 
 
 
 
 
 
 
- 2
0
2
- 2
0
2
- 1
- 0 . 5
0
0 . 5
1
- 2
0
2
 
 
- 2
- 1
0
1
2
- 2 - 1 0
1 2
- 2 0
- 1 0
0
- 2 0
- 1 0
0
 
 
8
122
),(



yx
yx
yxf
 
 Visto de cima 
 
 
 
 
 
- 2
0
2
- 2
0
2
- 2
- 1
0
1
2
- 2
- 1
0
1
2
- 2 0 2
- 2
0
2 - 2
- 1
0
1
2
- 2
0
2
MCII- N1 Funções de várias variáveis Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 6 
 6 
6 
 
 Derivadas Parciais 
 
 Discutiremos a diferenciação de funções de 
valores reais de n variáveis. 
 
 DEFINIÇÃO 1: Seja f uma função de duas 
variáveis x e y . A derivada parcial de f em relação 
a x é denotada por D1 f ou 

f
x
tal que seu valor 
funcional em um ponto qualquer no domínio de f 
seja dado por: 


f
x x
f x x y f x y
x


 
lim
( , ) ( , )


0
 
 
Se esse limite existir. Analogamente a 
derivada parcial de f em relação a y é a função 
denotada por D2 f ou 

f
y
tal que seu valor funcional 
em um ponto qualquer no domínio de f seja dado 
por: 


f
y y
f x y y f x y
y


 
lim
( , ) ( , )


0
 
se esse limite existir. 
 
Exemplo 1) 
 Dada 
f x y x y y( , )  2 4 3
 
 Encontre: a) 


f
x
 b) 


f
y
 
 a) 

f
x
xy 2 4
 
 b) 


f
y
x y y 4 32 3 2
 
Exemplo 2) Seja:
f x y xy( , ) cos( ) 2
 
 Encontre: a) 


f
x
( , )1 1
 b) 


f
y
( , )0 0
 
 
a) 


f
x
y sen xy
sen sen
( , )
( )
( )
( , )

 
   

1 1
1 1 1
2 2
1 1
 
b)


f
y
yxsen xy
( , )
( )
( , )
0 0
2 02
0 0
  
 
Derivadas Parciais de ordem superior 
 
 Se f é uma função de duas variáveis (x,y) e, 
então 




f
x
f
y
,
 (ou fx e fy) são também funções de 
duas variáveis ; podemos então considerar suas 
derivadas parciais primeiras, que são as derivadas 
parciais segundas de f, denotadas como se segue: 
 
 








f
x
f f
x
f
x
f
x
x
x x xx
  





 
2
2
 
 







 
f
y
f f
y
f
x
f
y x
x
x y xy
  





 
2 
 







 
f
x
f f
x
f
y
f
x y
y
y
x
yx  





 
2 
 








f
y
f f
y
f
y
f
y
y
y
y
yy  





 
2
2
 
 
 Teorema Seja f uma função de duas 
variáveis x e y. Se f, fx, fy, fxy e fyx são contínuas em 
uma região abertaR, então em toda R:fxy=fyx ou: 

 

 
2 2f
x y
f
y x

 
 
 
 
Exercícios: 
 
 A) Dadas as funções abaixo encontre: 
 a) 


f
x
 b) 


f
y
 
 
1) F(x,y)=x.y+2x 
2) F(x,y)=x
2
-y
2
 
3) F(x,y)=cos(x.y+x) 
4) F(x,y)=sen(xy) 
5) F(x,y)=e
x+y
 
6) G(x,y)=ln(x+y) 
7) T(x,y)=cos(x).e
y
 
8) G(x,y)=tag(x/y) 
9) F(x,y)= cos(x)cos(y) 
10) F(x,y)=tgx+tgy 
11) F(x,y)=lnx+e
y
-2x 
12) 
F x y x y( , )   6 3 7
 
13) 
F x y xy x y( , )   3 6 2
 
14) 
f x y x y( , )  2 2
 
15) 
f x y x y xy y( , )   2 23 2
 
16)
f x y xy x sen y ex( , ) cos( ) ( )   
 
 
 B) Encontre as derivadas parciais das 
funções indicadas nos nos pontos dados: 
 
 1) a) 

f
x
(-1,1) b) 


f
y
(2,0) 
 F(x,y)=2x
3
y-3xy
2
 
 
 2) a) 

f
x
(0,1) b) 


f
y
(1,0) 
 F(x,y)=5x
4
y+4xy
3
 
 
 3) 1) a) 

f
x
(,0) b) 


f
y
(0,) 
 F(x,y)=cos(xy) 
 
MCII- N1 Funções de várias variáveis Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 7 
 7 
7 
 C) Dada a função u encontre as derivadas 
parciais em relação a x e a y: 
u x y ux
u
y 
2 2 ; ;


 
 
D) A lei dos gases ideais pode ser 
enunciada como: PV=nkT, em que n é o número de 
moles do gás, V é o volume , T a temperatura, P é a 
pressão e k uma constante (constante de 
Boltzmann). Mostre que: 
 






V
T
T
P
P
V
 1
 
 
D. Uma função f de x e y é uma função 
harmônica se: 
 




2
2
2
2 1
f
x
f
y
 
 
 Prove que a função dada é harmônica: 
 
1) 
f x y x y( , ) ln 2 2
 
2) 
f x y arctg
y
x
( , ) 
 
3) 
f x y x y x y( , ) cos senh sen cosh 
 
4) 
f x y e y e xx y( , ) cos cos  
 
E. Na eletrostática, as componentes do 
campo elétrico 
E
, Ex,Ey e Ez são dadas por: 
 

E
V
x
x
V
y
y
V
z
z   






  
 
 Onde V=V(x,y,z) é o potencial 
eletrostático. Seja: 
V
kQ
r
kQ
x y z
 
 2 2 2
 
 Determine as componentes do campo 
elétrico. 
 
F. Para uma dada função V, se satisfaz a 
equação de Laplace, então: 
 






2
2
2
2
2
2 0
V
x
V
y
V
z
  
 
 
 Verifique se para o potencial V dado por : 
V
kQ
x y z

 2 2 2
 
satisfaz a equação de Laplace. 
 
G. Podemos localizar um ponto no espaço 
através das coordenadas cartesianas (x,y,z) ou: 
 
 G1. Esféricas - P(r,,), onde: 
 
 z 
 
 P(r, ,) 
  r 
 
 
 y 
 
 x , 
 
 Relações: P(r, ,) P(x,y,z) 
 
 
x r sen cos 
 
y r sen sen 
 
z r cos
 
 
Encontre: 
 
a) 






x
r
x x
, ,
 
b) 






y
r
y y
, ,
 
c) 






z
r
z z
, ,
 
 
Relações: P(x,y,z) )P(r, ,) 
 
r x y z  2 2 2
 
  arctg
y
x
 
 

arctg
x y
z
2 2 
Determine: 
 
d) 






r
x
r
y
r
z
, ,
 
e) 





x y z
, ,
 
f) 





x y z
, ,
 
 
 
 
 
 
G2. Cilíndricas - P(,,z), onde: 
MCII- N1 Funções de várias variáveis Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 8 
 8 
8 
 
 z 
 
 P(,,z) 
 
 
 y 
   
 
 x 
 
 Relações: P(,,z)  P(x,y,z): 
 
 
x   cos
 
 
y   sen
 
 
z z
 
 
 Encontre: 
 
a) 






x x x
z
, e 
 
b) 






y y y
z
, e 
 
c) 






z z z
z
, e 
 
 
 Relações: P(x,y,z)  P(,,z): 
 
 
  x y2 2
 
 
  arctg
y
x
 
 z=z 
 
 Encontre: 
 
d) 





x y z
, e 
 
e) 





x y z
, e 
 
f) 






z
x
z
y
z
z
, e 
 
 
H. Em um dia claro, a intensidade da luz 
solar (em velas-pé) às t horas após o nascente e à 
profundidade oceânica de x metros pode ser 
aproximada por: 
 
I x t I e t Dkx( , ) sen ( / ) 0
3 
 
 Em que I0 é a intensidade ao meio dia, D é 
a extensão do dia (em horas) e k é uma constante 
positiva. Se I0=1.000, D = 12 e k =0,10, calcule : 
 
a) 


I
t
x t( , ) 5 6
 
b) 


I
x
x t( , ) 5 6
 
 
I. A análise de certos circuitos elétricos 
envolve a equação: 
 
I
V
R L

2 2 2
 
 Aqui: I é a corrente, V a voltagem, R a 
resistência, L a indutância e  uma constante 
positiva. 
 Encontre: 
a) 

I
R
 b) 

I
L
 
 
J. A maioria dos computadores tem apenas 
um processador que pode ser utilizado para cálculos. 
Os supercomputadores modernos, no entanto, têm 
entre 2 e vários milhares de processadores. Um 
supercomputador multiprocessador é comparado a 
um computador uniprocessador em termos de 
speedup. A speedup S é o número de vezes mais 
rápido que um cálculo pode ser feito com um 
multiprocessador, do que com um uniprocessador. A 
lei de Amdahl é uma fórmula usada para determinar 
S: 
 
S p q
p
q p q
( , )
( )

 1
 
 Aqui:p é o número de processadores; q é a 
fração do cálculo que pode ser realizada utilizando 
todos os processadores disponíveis em paralelo - isto 
é, usando-os de maneira que os dados sejam 
processados concomitantemente por unidades 
separadas. A situação ideal, paralelismo completo, 
ocorre quando q=1. 
 
a) Encontre a taxa de variação de S com 
respeito a q (


S
q
). 
b) Determine 


S
p
 quando q=1. 
 
K. Verifique que 
 

 
2 2f
x y
f
y x

 para as 
funções: 
 
k1) 
f x y xy x y x y( , )    4 2 3 22 4 3
 
MCII- N1 Funções de várias variáveis Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 9 
 9 
9 
k2) 
f x y
x
x y
( , ) 

2 
k3) 
f x y x e y xy( , ) cos  3 2 2
 
k4) 
f x y y e
x y
x( , )  2 2 3
2 1
 
k5) 
f x y z x
y
z
( , , ) cosh 2
 (fxz,,fyz,,fxy) 
k6) 
w x y z x y z( , , )   2 2 2
 
 
L. A equação da onda em uma dimensão é 
dada por: 
 

 

2
2 2
2
2
1
0
x c t
 
 
 Seja: 
  ( , ) ( )x t ei kx t 0
 
 Aqui , k e  são constantes. 
 Encontre a relação entre k,  e c. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MCII- N1 Funções de várias variáveis Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 1010 
10 
 Crescimento e Diferencial total: 
 
 Por definição, o crescimento total de uma 
função z = f(x,y) é dado por: 
 
  z f x x y y f x y   ( , ) ( , )
 
 
 y z 
 
 
 (x+x,y+y) 
 
 (x,y) 
 f(x+x,y+y) z 
 
 
 f(x,y) 
 x 
 
 
 
 
 Suponhamos que as derivadas parciais da 
função f(x,y) no ponto considerado existam e são 
contínuas. É possível exprimir z com o auxílio das 
derivadas parciais ( Piskounov Vol. I pg.284). 
Chega-se a: 
    z
f x y
x
x
f x y
y
y x y   




 
( , ) ( , )
1 2
 
 A expressão 
 1 2 x y
 é infinitamente 
pequena e tendem para zero rapidamente quando x 
e y tendem a zero. 
 
 DEFINIÇÃO 1: Diz-se que a função 
z=f(x,y) é diferenciável no ponto (x,y) se o 
crescimento total z nesse ponto puder ser posto 
sob a forma de uma soma composta de dois termos: 
sendo o primeiro uma expressão linear em x e y e 
o segundo um infinitamente pequeno de ordem 
superior. A parte linear do crescimento é chamada 
de diferencial total e denotada por dz ou df. 
 Então: 
 
  z dz x y   1 2
 {1} 
 
 Pode-se escrever a igualdade aproximada 
por: 
 
z dz {2} 
 E o diferencial total da função f(x,y) é 
escrito por: 
dz
f
x
dx
f
y
dy 




 {3} 
 Por conseguinte, se a função f(x,y) tem 
derivadas parciais contínuas ela é diferenciável no 
ponto (x,y) e o seu diferencial total é igual a soma 
dos produtos das derivadas parciais pelos 
diferenciais das variáveis independentes 
correspondentes. 
 
 Exemplo 1 - Calcular o diferencial total e o 
crescimento total da função z=xy no ponto (2,3), se 
x=0,1 e y=0,2: 
 
 
  z x x y y xy   ( )( )
 
    z y x x y y x  
 
 A diferencial dz é dada por: 
dz
f
x
dx
f
y
dy 




 
 Onde: 




f
x
y
f
y
x ;
 ; substituindo os 
valores de x,y e x=dx; y=dy teremos: 
 z=3.0,1+2.0,2+0,1.0,2=0,72; 
 dz= 3.0,1+2.0,2=0,7. 
 
 Exemplo 2 - Uma lata de metal fechada, na 
forma de um cilindro circular reto, deve possuir 
altura do lado interno igual a 6cm, raio interno de 
2cm e espessura de 0,1 cm. Se o custo do metal a ser 
usado é 10 centavos por cm 
3
, encontre o custo 
aproximado (por diferenciação) na fabricação da lata. 
 
 O volume de um cilindro circular reto é: 
V r h  2 
; r : raio da base e h : altura. 
 O volume exato de metal na lata é dado pela 
diferença de diois cilindros circulares retos para os 
quais r=2,1;h=6,2 e r=2 e h=6. V deveria nos dar 
o volume exato do material, porém queremos um 
valor aproximado. Então: 
 
V dz
V
r
dr
V
h
dh  




 
 Como:





V
r
rh
V
h
r 2 2;
; teremos: 
 dV rhdr r dh 2 2  
 Como r=2,h=6,dr=0,1 e dh=0,2 teremos: 
 dV=3,2cm3 = V. O custo do cm3 é de 10 
centavos, então o custo do volume será de 100,53 
centavos , aproximadamente; ou R$ 1,0053. 
 
 Exercícios: 
 
1) Se f(x,y)=3x2 + 2xy - y2 e 
 x=0,03 e y=-0,02 encontre: 
 a) Oincremento de f em (1,4). 
 b) A diferencial total de f em (1,4). 
 
 2) Se f(x,y,z) = xy + ln (y/z), x=0,02; 
y=0,04 e z=-0,03 encontre: 
 a) O incremento de f em (4,1,5). 
 b) A diferencial total de f em (4,1,5). 
 
MCII- N1 Funções de várias variáveis Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 11 
 11 
11 
 3) Nos exercícios abaixo demonstre que f é 
diferenciável em todos os pontos de seu domínio 
fazendo o seguinte: 
 (a) Encontre f(x0,y0) para a função dada; 
 (b) Encontre 1 e 2 tal que a equação 
{1} seja válida; 
 (c) Mostre que 1 e 2 tendem a 0 
quando (x, y)  (0,0). 
 
 a) f(x,y) = x
2 
y - 2xy 
 b) f(x,y)= 2x
2
 + 3y
2
 
 
 4) Use a diferencial total para mostrar que o 
erro máximo no cálculo da área de um triângulo 
retângulo , cujos catetos têm como medida 6 cm e 8 
cm, respectivamente, com um erro possível de 0,1 
cm para cada medida. Encontre também a 
porcentagem aproximada do erro. 
 
 5) A lei do gás ideal de Clapeyron: 
PV=nRT é usada para encontrar P quando se 
conhece T e V. Se há um erro de 0,3% na medida de 
T e 0,8 % na medida de V encontre a porcentagem 
máxima de erro em P, supondo V = 0,1 l (litros)e T 
= 300 K. (R =0,082 atm.l/mol.K e n = 2 (2 moles). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MCII- N1 Funções de várias variáveis Prof. Dr. Cláudio S. Sartori 12 
 12 
12 
 
 A Regra da Cadeia 
 
 Considere agora a regra da cadeia para uma 
função de duas variáveis, onde cada uma dessas 
variáveis é função de duas variáveis: 
 
 TEOREMA: Se u é uma função diferencial 
de x e y, definida por u=f(x,y) e x = F(r,s) ; y = 
G(r,s) ;







x
r
x
s
y
r
y
s
, , ,
 todas existem, então u é 
uma função de r e s e: 
 










u
s
u
x
x
s
u
y
y
s ( )( ) ( )( )
 
 










u
r
u
x
x
r
u
y
y
r ( )( ) ( )( )
 
 
 Teorema: 
 
 Se u = u (x,y) e x=x(t); y = y(t) então u=u(t) 
e: 
 
du u dx u dy
dt x dt y dt
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Exercícios: 
 
 1) Nos exercícios abaixo, encontre a 
derivada parcial pelos dois métodos: 
 
 a) Pela regra da cadeia. 










u
r
u
x
x
r
u
y
y
r ( )( ) ( )( )
; 










u
s
u
x
x
s
u
y
y
s ( )( ) ( )( )
 
 b) Faça as substituições de x e y antes de 
derivar. 
 
 1.1) 
u x y x r s y r s us
u
r     
2 2 3 2; ; ; ;


 
 1.2) 
 
u e x r t y rsent
y
x u
r
u
t  ; cos ; ; ;2 4




 
 
 1.3) u x xy y x y
x r s y r s ur
u
s
    
   
3 2 3
2 3
2 2 ;
; ; ;


 
 
4) Encontre as derivadas parciais 





u
s
u
r
u
t
; ;
 pela 
regra da cadeia: 
 
 a) 
 
u arcsen x y x r e y sen rss   ( ); ; ( )3 2
 
 
 
 b) 
u xe x arctg rst y rs rty    ; ( ); ln( )3 5
 
 
c) 
u x y z
x rsen
y rsen sen z r ur
u u
  

 
2 2 2 ;
cos ;
; cos ; ; ;
 
   




 
 
 d) 
u x yz x y re z rers
s s    2 ; ; ;
 
 
 
 2) Uma caixa vai ser fabricada com madeira 
de 2/3 cm de espessura. O comprimento interno deve 
ter 60 cm de espessura, a largura interna 30 cm e a 
altura 40 cm. Use a diferencial total para encontrar a 
quantidade aproximada de madeira que será utilizada 
na fabricação da caixa