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1 Recife, 2016 BIOESTATÍSTICA Profa. Larissa Santana Barreto Universidade Federal Rural de Pernambuco - UFRPE Departamento de Estatística e Informática 2 Sumário Variáveis Aleatórias Função de probabilidade e Função de distribuição Esperança matemática, Variância e Desvio-padrão Distribuição discreta Distribuição contínua 3 Seja E um experimento e S o espaço associado ao experimento. Uma função X, que associe a cada elemento s ∈ S um número real X(s) é denominada variável aleatória (v.a). Note que uma v.a. assumirá sempre valores numéricos R S X s1 s2 ... sn X(s1) X(s2) ... X(sn) Variável Aleatória 4 Variável Aleatória Observações: Como X é uma função, devemos lembrar que: 1. Cada elemento s de S corresponderá a exatamente um valor; 2. Diferentes valores s S, podem levar a um mesmo valor de X; 3. Nenhum elemento s S poderá ficar sem valor de X. 5 Exemplo 6 Exemplo Experimento (E): Em uma linha de produção selecionar três peças e observar se é perfeita ou defeituosa S= {(PPP), (DDD), (PPD), (DPP), (PDP), (PDD), (DPD), (DDP)}. X: número de peças defeituosas nas três retiradas X={0,1,2,3} X=0 →corresponde ao evento (PPP). X=1 →corresponde aos eventos (PPD), (DPP) , (PDP). X=2 →corresponde ao evento (PDD), (DPD), (DDP). X=3 →corresponde ao evento (DDD). 7 Exemplo Determine os possíveis valores das variáveis aleatórias Um sistema de irrigação com 100 conexões; X: número de conexões soldadas não conformes. Um grupo de 100 vacas é testado segundo a presença de determinada bactéria no sangue, que diminui a produção de leite. Z: o número de vacas que carregam a bactéria. Uma grupo de 50 gatos contém 5 que não estão vacinados. Gatos são selecionadas sucessivamente, sem reposição, até que um gato não vacinado seja obtido. Y: número de gatos selecionados. 8 Variável Aleatória Discreta Uma variável aleatória pode ser discreta ou contínua. Dizemos que uma v.a é discreta quando seus possíveis valores podem ser dispostos em uma lista (finita ou infinita) ou seja se X assume valores inteiros a variável é donominada discreta. Exemplos: Número de cachorros em um canil. Número de funcionários de uma empresa. Número de bacterias detectados por um exame. 9 Variável Aleatória Contínua Dizemos que uma v.a é contínua quando ela pode assumir qualquer valor em um dado intervalo Exemplos: Tempo até a cura de uma doença Cotação do dólar Altura de cavalos Concentração de CO2 na água 10 Função de Probabilidade Seja X uma variável aleatória discreta. A cada possível resultado xi associaremos um número pi = P(X = xi), denominado probabilidade da variável aleatória X assumir o valor xi, satisfazendo as seguintes condições: 1. 0 ≤ p(xi ) ≤ 1 1.ΣP(xi) = 1. A função P é denominada função de probabilidade. 11 Exemplo 12 Exemplo Experimento (E): Em uma linha de produção selecionar três peças e observar se é perfeita ou defeituosa S= {(PPP), (DDD), (PPD), (DPP), (PDP), (PDD), (DPD), (DDP)}. X: número de peças defeituosas nas três retiradas Rx={0,1,2,3} X=0 →evento (PPP)com P(X=0)= 1/8 X=1 →eventos (PPD), (DPP) e (PDP)com P(X=1)= 3/8 X=2 →corresponde ao evento (PDD), (DPD), (DDP) com P(X=2)= 3/8 X=3 →corresponde ao evento (DDD)com P(X=3)= 1/8 13 Dada uma variável aleatória discreta X, definimos F(x) a função de distribuição acumulada ou, simplesmente, função de distribuição (f.d) de X, dada por: Função de Distribuição 14 Exemplo Exemplo: Considerando o exemplo do lançamento de duas moedas, denote a função de distribuição da variável aleatória X. Solução: Seja X = número de caras obtidas no lançamento de 2 moedas. Denotamos a função de probabilidade de X por Por conseguinte, a função de distribuição acumulada de X é dada por xi 0 1 2 P(X = xi) 1/4 1/2 1/4 xi 0 1 2 F(xi) = P(X xi) 1/4 3/4 1 15 Considerações A distribuição de probabilidades permite a definição de um modelo matemático apropriado a cada situação. Os modelos para v.a’s discretas que estudaremos serão os Modelos Binomial e Poisson. No caso de v.a’s contínuas a distribuição de probabilidades dá lugar à função densidade de probabilidade que depende de conceitos matemáticos um pouco mais complexos (integrais). Lidaremos com o modelo para v.a's contínuas denominado modelo Normal, o qual é apropriado a diversas situações nas mais diferentes áreas. 16 Um par de dados é lançado. Seja X a variável aleatória que associa a cada ponto (d1, d2) de S a soma desses números, isto é, X(d1, d2) = d1 + d2. Determine a função de probabilidade de X. Solução: O espaço amostral S é formado de 36 pares ordenados, S = {(1,1), (1,2), ..., (5,6), (6,6)}. Então, a variável aleatória X = d1 + d2 assume os seguintes valores X = {2, 3, 4, ..., 12}. Exemplo (v.a discreta) 17 Por conseguinte, a função de probabilidade de X é obtida, calculando-se: P (X = 2) = P(d1=1,d2=1) = 1/6 1/6 = 1/36 P (X = 3) = P(d1=1,d2=2) + P(d1=2,d2=1) = 1/36 + 1/36 = 2/36 . . . P (X = 12) = P(d1=6,d2=6) = 1/36 Logo, a função de probabilidade de X será representada por xi 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 P(X = xi) 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36 Exemplo (v.a discreta) 18 Valor Esperado de uma v.a Discreta Seja X uma variável aleatória discreta com possíveis valores x1, x2, . . . ,xn . Seja p(xi) = P (X = xi ), i = 1, 2, ..., n. Então, o valor esperado ou média da variável aleatória X é definido por: n i ii xpxXE 1 )()( 19 Exemplo (v.a discreta) Considere o exemplo do lançamento de duas moedas, onde a variável aleatória X = número de caras obtidas no lançamento de 2 moedas. Relembrando que a função de probabilidade é: obtemos a E(X) por xi 0 1 2 P(X = xi) 1/4 1/2 1/4 1 4 1 2 2 1 1 4 1 0)()(3 1 i i i xpxXE 20 Propriedades da Esperança Seja X uma v.a e c = constante, então: O valor esperado (média) de uma constante é a própria constante: E(c) = c Multiplicando-se c por uma variável aleatória X, sua média fica multiplicada por esta constante: E(cX) = cE(X) Somando ou subtraindo c de uma variável aleatória X, sua média fica somada ou subtraída desta constante : E(X c) = E(X) c 21 Sejam X e Y duas variáveis aleatórias, o valor esperado da soma/subtração de variáveis aleatórias equivale a soma/subtração dos valores esperados de X e Y: E(X Y) = E(X) E(Y) Lembre-se que toda função de uma v.a X, também é uma variável aleatória. Logo, podemos falar na esperança de , entre outras. Assim, Se X é discreta X2, 2X + 1 1 22 )()( i ii xpxXE Propriedades da Esperança 22 Exemplo (v.a discreta) Um hospital veterinário mantém extensos registros dos atendimentos diários dos pacientes. Com os dados coletados construiu a seguinte distribuição de probabilidade da variável aleatória X = número de pacientes atendidos por hora: a) Calcule o número esperado de pacientes atendidos por hora. b) Calcule a probabilidade de se atender mais que 2 pacientes por hora. c) Calcule a probabilidade de se atender no máximo um paciente por hora. d) Calcule a probabilidade de se atender exatamente um paciente por hora. xi 0 1 2 3 4 5 p(xi) 0,05 0,15 0,42 0,20 0,08 0,10 23 Exemplo (v.a discreta) Considere uma variável aleatória X com a seguinte função de probabilidade: a) Determine o valor da constante "C" que torna legítima a função de probabilidade acima. b) Calcule a P(X>1), P(X≥3), P(X≤4), P(5/2<X≤5). P X k c k c k ( ) , , , para 3, 5 , para 4 1 2 2 24 Variância de uma v.a Definição: Seja X uma variável aleatória (discreta ou contínua) com esperança dada por E(X). A variância de X é definida por Obs: A variância nos dá a dispersão dos valores da variável em relação ao valor esperado. Notação: Desvio Padrão: É definido como a raiz quadrada positiva da variância, isto é, 22 )()()( XEXEXVar 2)( XVar )()( XVarXDP 25 Propriedades da Variância Sejam X uma v.a. e c = constante, então A variância de uma constante é zero: Multiplicando-se c por uma v.a X, sua variância fica multiplicada pelo quadrado da constante: Somando-se ou subtraindo-se uma constante à variável aleatória, sua variância não se altera: 0)( cVar )()( 2 XVarccXVar )()( XVarXcVar 26 Departamento de Estatística, UFPE Exemplo (v.a discreta) Considere a variável aleatória discreta X: Calcule a Var(X) Xi 0 1 2 p(xi) 1/4 1/2 1/4 3 1 ,1 4 1 .2 2 1 .1 4 1 .0)()( i ii xpxXE 3 1 22222 , 2 3 4 1 .2 2 1 .1 4 1 .0)()( i ii xpxXE 2 1 2 23 1 2 3 )1( 2 3 )]([)()( 222 XEXEXVar
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