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PROCESSO DOS ESFORÇOS Profa. Dra. Rosilene de Fátima Vieira 2015 Processo dos Esforços Aplicado à pórticos... Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 2 Processo dos esforços Quando se tem um pórtico uma vez hiperestático... Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 3 Processo dos esforços Para uma estrutura uma vez hiperestática retirar apenas um vínculo incógnito: Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 4 Estruturas isostáticas fundamentais possíveis... Processo dos esforços Escolheu-se retirar o momento fletor do apoio engastado que passa a ser chamada de incógnita hiperestática X1... Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 5 ≡ Processo dos esforços Princípio de Superposição de Efeitos: Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 6 (r) = ( r’) = (0) + X1(1) Processo dos esforços (r) = ( r’) = (0) + X1(1) Obs → O problema (0) fica com todo carregamento Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 7 Obs → O problema (0) fica com todo carregamento externo... → O problema (1) fica com o carregamento unitário... Processo dos esforços Sistema de equação de compatibilidade de deslocamento: Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 8 ∆1,real = ∆10 + X1⋅δ11 = 0 X1 = - ∆10 δ11 d o s e s f o r ç o s Diagrama de momento fletor para problema(0) P r o c e s s o d o s Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 9 d o s e s f o r ç o s Diagrama de momento fletor para problema(1) P r o c e s s o d o s Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 10 Processo dos esforços Os deslocamentos são calculados através do PTV aplicado aos corpos deformáveis pelo processo da carga unitária... Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 11 ∆10 e δ11 Processo dos esforços ∆10 = 1 EI ∙�M1 ∙ M0 dx Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 12 Processo dos esforços Linha 1 * Coluna IV G F Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 13 G F Processo dos esforços δ11 = 1EI ∙�M1 ∙ M1 dx Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 14 δ11 = EI ∙�M1 ∙ M1 dx Processo dos esforços δ11 = 1EI ∙� M1 4 0 ∙ M1 dx Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 15 Linha 0*Coluna II + Linha 0*Coluna I F F F F Processo dos esforços Equação de compatibilidade de deslocamento: X = - ∆10 Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 16 X1 = - ∆10 δ11 Processo dos esforços Para obter os esforços finais do pórtico utiliza-se o momento fletor(incógnita hiperestática) encontrada... Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 17 Processo dos esforços Quando se tem um pórtico duas vezes hiperestático... Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 18 Processo dos esforços Para uma estrutura duas vezes hiperestática retirar dois vínculos incógnitos: Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 19 Estruturas isostáticas fundamentais possíveis... Processo dos esforços Escolheu-se retirar o momento fletor do apoio engastado que passa a ser chamada de incógnita hiperestática X1 e a força horizontal no apoio fixo que passa a ser chamada de incógnita hiperestática X2... Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 20 ≡ Processo dos esforços Princípio de Superposição de Efeitos: Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 21 Processo dos esforços Princípio de Superposição de Efeitos: Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 22 (r) = ( r’) = (0) + X1(1) + X2(2) Processo dos esforços (r) = ( r’) = (0) + X1(1) + X2(2) Obs → O problema (0) fica com todo carregamento Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 23 Obs → O problema (0) fica com todo carregamento externo... → O problema (1) e (2) fica com o carregamento unitário... Processo dos esforços Sistema de equação de compatibilidade de deslocamento: Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 24 δ11 X1 + δ12 X2 = ∆1,real - ∆10 δ21 X1 + δ22 X2 = ∆2,real - ∆20 d o s e s f o r ç o s Diagrama de momento fletor para problema(0) P r o c e s s o d o s Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 25 d o s e s f o r ç o s Diagrama de momento fletor para problema(1) P r o c e s s o d o s Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 26 d o s e s f o r ç o s Diagrama de momento fletor para problema(2) P r o c e s s o d o s Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 27 Processo dos esforços Os deslocamentos são calculados através do PTV aplicado aos corpos deformáveis pelo processo da carga unitária... Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 28 ∆10, ∆20, δ11, δ12, δ21 e δ22 Processo dos esforços ∆10 = 1 EI ∙�M1 ∙ M0 dx Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 29 Processo dos esforços Linha 1 * Coluna II + Linha 1 * Coluna IV G F G F Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 30 G F G F Multiplicação da Barra CD do problema (1) com a Barra CD do problema (0): Processo dos esforços Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 31 Processo dos esforços Linha 1 * Coluna I + Linha 8 * Coluna I G F G F Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 32 G F G F Multiplicação da Barra CD do problema (2) com a Barra CD do problema (0): Processo dos esforços Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 33 Processo dos esforços Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 34 Linha 0 * Coluna II + Linha 0 * Coluna I F F F F Multiplicação da Barra CD do problema (1) com a Barra CD do problema (1) + Multiplicação da Barra AC do problema (1) com a Barra AC do problema (1): Processo dos esforços Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 35 Processo dos esforços Linha 1 * Coluna I + Linha 1 * Coluna I Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 36 Linha 1 * Coluna I + Linha 1 * Coluna I G F G F Multiplicação da Barra CD do problema (1) com a Barra CD do problema (2) + Multiplicação da Barra AC do problema (1) com a Barra AC do problema (2): δ12 = δ21 = 1 EI ∙ �L 1 2 ∙F∙G� + 1 2EI ∙ �L 1 2 ∙F∙G� Processo dos esforços Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 37 Processo dos esforços Linha 0 * Coluna I + Linha 0 * Coluna II + Linha 0 * Coluna II Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 38 Linha 0 * Coluna I + Linha 0 * Coluna II + Linha 0 * Coluna II F F F F F F Multiplicação da Barra CD do problema (2) com a Barra CD do problema (2) + Multiplicação da Barra AC do problema (2) com a Barra AC do problema (2) + Multiplicação da Barra DE do problema (2) com a Barra DE do problema (2): Processo dos esforços Equação de compatibilidade de deslocamento: δ11 X1 + δ12 X2 = ∆1,real - ∆10 Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 39 δ11 X1 + δ12 X2 = ∆1,real - ∆10 δ21 X1 + δ22 X2 = ∆2,real - ∆20 Processo dos esforços Para obter os esforços finais do pórtico utiliza-se o momento fletor (incógnita hiperestática X1) e força horizontal (incógnita hiperestática X2) encontradas... Ou pode-se utilizar o Princípio de Superposição de Efeitos... Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira de Efeitos... 40 Processo dos esforços Generalizando... Caso se tenha uma estruturas “n” vezes hiperestática, adota-se “n” incógnitas hiperestáticas X1, X2, ..., Xn definindo uma Estrutura Isostática Fundamental... Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 41 Estrutura Isostática Fundamental... A aplicação conveniente do Princípio de Superposição de Efeitos conduz à equação de superposição: (r) = ( r’) = (0) + X1(1) + X2(2) +...+ Xn(n) Processo dos esforços Sistemade equações de compatibilidade de deslocamentos... ∆1,real = ∆10 + δ11 X1 + δ12 X2 +...+ δ1n Xn ∆ = ∆ + δ X + δ X +...+ δ X Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 42 ∆2,real = ∆20 + δ21 X1 + δ22 X2 +...+ δ2n Xn ⋅ ⋅ ⋅ ∆n,real = ∆n0 + δn1 X1 + δn2 X2 +...+ δnn Xn Processo dos esforços O sistema de equações de compatibilidade de deslocamentos usando a notação matricial pode ser escrito: �δij�∙ Xi =�∆i,real-∆i0� Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 43 � � � � Obs → i indica a incógnita hiperestática j indica qual o problema Processo dos esforços Exemplo GH=2 δ11 X1 + δ12 X2 = ∆1,real - ∆10 δ21 X1 + δ22 X2 = ∆2,real - ∆20 � δ11 δ12 δ21 δ22 � �X1X2�= ∆1,real-∆10 ∆2,real-∆20 � Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 44 � δ21 δ22 � �X2� ∆2,real-∆20� Obs 1 → Os deslocamentos δij são denominados coeficientes de flexibilidade e [δij] é a matriz de flexibilidade. Obs 2 → A matriz é simétrica δij = δji, portanto δ12 = δ21 Processo dos esforços Exemplo 1 – Traçar os diagramas de esforço normal, esforço cortante e momento fletor. GH=? Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 1 GH=? GH=1 Processo dos esforços Para uma estrutura uma vez hiperestática retirar apenas um vínculo incógnito: Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 2 Estruturas isostáticas fundamentais possíveis... Processo dos esforços Escolheu-se retirar o momento fletor do apoio engastado que passa a ser chamada de incógnita hiperestática X1... Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 3 ≡ Processo dos esforços Princípio de Superposição de Efeitos: Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 4 (r) = ( r’) = (0) + X1(1) Processo dos esforços (r) = ( r’) = (0) + X1(1) Obs → O problema (0) fica com todo carregamento Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 5 Obs → O problema (0) fica com todo carregamento externo... → O problema (1) fica com o carregamento unitário... Processo dos esforços Sistema de equação de compatibilidade de deslocamento: Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 6 ∆1,real = ∆10 + X1⋅δ11 = 0 X1 = - ∆10 δ11 d o s e s f o r ç o s Diagrama de momento fletor para problema(0) P r o c e s s o d o s Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 7 d o s e s f o r ç o s Diagrama de momento fletor para problema(1) P r o c e s s o d o s Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 8 Processo dos esforços Os deslocamentos são calculados através do PTV aplicado aos corpos deformáveis pelo processo da carga unitária... Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 9 ∆10 e δ11 Processo dos esforços ∆10 = 1 EI ·�M1 · M0 dx Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 10 Processo dos esforços Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 11 Linha 1 * Coluna IV G F Processo dos esforços Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 12 Processo dos esforços δ11 = 1EI ·�M1 · M1 dx Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 13 δ11 = EI ·�M1 · M1 dx Processo dos esforços δ11 = 1EI ·� M1 4 0 · M1 dx Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 14 Linha 0*Coluna II + Linha 0*Coluna I F F F F Processo dos esforços Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 15 Processo dos esforços Equação de compatibilidade de deslocamento: X1 = - ∆10 δ11 Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 16 Obs → O sinal negativo significa que o sentido adotado inicialmente para a incógnita esta errado... Processo dos esforços Para obter os esforços finais do pórtico utiliza-se o momento fletor(incógnita hiperestática) encontrada... Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 17 Processo dos esforços Esforços finais Reações de apoio e Esforço normal Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 18 Processo dos esforços Esforços finais Esforço cortante Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 19 Processo dos esforços Esforços finais Momento fletor Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 20 Processo dos esforços Exemplo 2 – Traçar os diagramas de esforço normal, esforço cortante e momento fletor. GH=? Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 1 GH=? GH=2 Processo dos esforços Para uma estrutura duas vezes hiperestática retirar dois vínculos incógnitos: Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 2 Estruturas isostáticas fundamentais possíveis... Processo dos esforços Escolheu-se retirar o momento fletor do apoio engastado que passa a ser chamada de incógnita hiperestática X1 e a força horizontal no apoio fixo que passa a ser chamada de incógnita hiperestática X2... Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 3 ≡ Processo dos esforços Princípio de Superposição de Efeitos: Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 4 Processo dos esforços Princípio de Superposição de Efeitos: Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 5 (r) = ( r’) = (0) + X1(1) + X2(2) Processo dos esforços (r) = ( r’) = (0) + X1(1) + X2(2) Obs → O problema (0) fica com todo carregamento Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 6 Obs → O problema (0) fica com todo carregamento externo... → O problema (1) e (2) fica com o carregamento unitário... Processo dos esforços Sistema de equação de compatibilidade de deslocamento: Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 7 δ11 X1 + δ12 X2 = ∆1,real - ∆10 δ21 X1 + δ22 X2 = ∆2,real - ∆20 d o s e s f o r ç o s Diagrama de momento fletor para problema(0) P r o c e s s o d o s Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 8 d o s e s f o r ç o s Diagrama de momento fletor para problema(1) P r o c e s s o d o s Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 9 d o s e s f o r ç o s Diagrama de momento fletor para problema(2) P r o c e s s o d o s Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 10 Processo dos esforços Os deslocamentos são calculados através do PTV aplicado aos corpos deformáveis pelo processo da carga unitária... Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 11 ∆10, ∆20, δ11, δ12, δ21 e δ22 Processo dos esforços ∆10 = 1 EI ·�M1 · M0 dx Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 12 Processo dos esforços Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 13 Linha 1 * Coluna II + Linha 1 * Coluna IV G F G F Processo dos esforços Multiplicação da Barra CD do problema (1) com a Barra CD do problema (0): Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 14 Obs 1 → O sinal negativo indica diagramas desenhados em lados contrários; Obs 2 → A multiplicação das demais barras é igual a zero. Processo dos esforços Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 15 Processo dos esforços Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 16 Linha 1 * Coluna I + Linha 8 * Coluna I G F G F Processo dos esforços Multiplicação da Barra CD do problema (2) com a Barra CD do problema (0): Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 17 Obs 1 → O sinal negativo indica diagramas desenhados em lados contrários; Obs 2 → A multiplicação das demais barras é igual a zero. Processo dos esforços Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 18 Processo dos esforços Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 19 Linha 0 * Coluna II + Linha 0 * Coluna I F F F F Processo dos esforços Multiplicação da Barra CD do problema (1) com a Barra CD do problema (1) + Multiplicação da Barra AC do problema (1) com a Barra AC do problema (1): Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 20 Obs 1 → A multiplicação das demais barras é igual a zero. Processo dos esforços Profa. Dra.Rosilene de F. Vieira 21 Processo dos esforços Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 22 Linha 1 * Coluna I + Linha 1 * Coluna I G F G F Processo dos esforços Multiplicação da Barra CD do problema (1) com a Barra CD do problema (2) + Multiplicação da Barra AC do problema (1) com a Barra AC do problema (2): δ12 = δ21 = 1 EI · �L 1 2 ·F·G� + 1 2EI · �L 1 2 ·F·G� Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 23 Obs 1 → A multiplicação das demais barras é igual a zero. Processo dos esforços Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 24 Processo dos esforços Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 25 Linha 0 * Coluna I + Linha 0 * Coluna II + Linha 0 * Coluna II F F F F F F Processo dos esforços Multiplicação da Barra CD do problema (2) com a Barra CD do problema (2) + Multiplicação da Barra AC do problema (2) com a Barra AC do problema (2) + Multiplicação da Barra DE do problema (2) com a Barra DE do problema (2): Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 26 Obs 1 → A multiplicação das demais barras é igual a zero. Processo dos esforços Equação de compatibilidade de deslocamento: δ11 X1 + δ12 X2 = ∆1,real - ∆10 δ21 X1 + δ22 X2 = ∆2,real - ∆20 Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 27 Processo dos esforços Equação de compatibilidade de deslocamento: Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 28 Obs → O sinal negativo significa que o sentido adotado inicialmente para a incógnita esta errado... Processo dos esforços Para obter os esforços finais do pórtico utiliza-se o momento fletor (incógnita hiperestática X1) e força horizontal (incógnita hiperestática X2) encontradas... Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 29 Processo dos esforços Esforços finais Reações de apoio e Esforço normal Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 30 Processo dos esforços Esforços finais Esforço cortante Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 31 Processo dos esforços Esforços finais Momento fletor Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira 32 09/02/2017 UNIP Universidade Paulista : DisciplinaOnline Sistemas de conteúdo online para Alunos. http://online.unip.br/disciplina/detalhes/3829 1/1 No processo dos esforços para se obter as estruturas isostáticas fundamentais possíveis quantos vínculos devem ser retirados da estrutura hiperestática: A Equivalente ao número de apoio engastado; B Equivalente ao número de apoios fixos; C Equivalente ao número de apoios móveis; D Equivalente ao grau de hiperestaticidade da estrutura; E Nenhuma das anteriores. 09/02/2017 UNIP Universidade Paulista : DisciplinaOnline Sistemas de conteúdo online para Alunos. http://online.unip.br/disciplina/detalhes/3829 1/1 Os vínculos retirados da estrutura hiperestática para transformá la numa estrutura isostática fundamental no processo dos esforços passa a chamarse: A Incógnitas isostáticas; B Parâmetro dos esforços; C Incógnitas hiperestáticas; D Parâmetro fundamental; E Nenhuma das anteriores. 09/02/2017 UNIP Universidade Paulista : DisciplinaOnline Sistemas de conteúdo online para Alunos. http://online.unip.br/disciplina/detalhes/3829 1/1 Para a superposição dos efeitos no processo dos esforços é feito a divisão de um problema zero e os demais problemas equivalente ao grau de hiperestaticidade da estrutura. O problema zero representa: A A estrutura isostática fundamental sem as incógnitas hiperestáticas, mas com o carregamento externo; B A estrutura isostática fundamental com as incógnitas hiperestáticas, mas com o carregamento externo; C A estrutura isostática fundamental sem as incógnitas hiperestáticas e sem o carregamento externo; D A estrutura isostática fundamental com as incógnitas hiperestáticas e sem o carregamento externo; E Nenhuma das anteriores. 09/02/2017 UNIP Universidade Paulista : DisciplinaOnline Sistemas de conteúdo online para Alunos. http://online.unip.br/disciplina/detalhes/3829 1/1 No processo dos esforços após encontrado as incógnitas hiperestáticas através das equação de compatibilidade de deslocamento como deve se proceder para obter os esforços finais das estruturas hiperestáticas: I Para obter os esforços finais da estrutura hiperestática podese utilizar as incógnitas hiperestáticas encontradas aplicadas na estrutura isostática fundamental com o carregamento externo; II Para obter os esforços finais da estrutura hiperestática podese utilizar o principio de superposição dos efeitos para o esforço procurado. III Para obter os esforços finais da estrutura hiperestática podese utilizar as incógnitas hiperestáticas encontradas aplicadas na estrutura isostática fundamental sem o carregamento externo; IV Para obter os esforços finais da estrutura hiperestática podese utilizar o principio de superposição dos efeitos para o esforço procurado sem o carregamento externo; A Apenas a I esta correta; B Apenas a I e II estão corretas; C A II, III e IV estão incorretas; D Apenas a II e IV estão incorretas; E Nenhuma das anteriores; 09/02/2017 UNIP Universidade Paulista : DisciplinaOnline Sistemas de conteúdo online para Alunos. http://online.unip.br/disciplina/detalhes/3829 1/1 No processo dos esforços os deslocamento devido aos vínculos incógnito é designado por ij. Esses deslocamentos podem ser representado através de uma matriz [ij]. Como se chama essa matriz: A Matriz de esforço; B Matriz de deslocamento; C Matriz de rigidez; D Matriz de flexibilidade; E Nenhuma das anteriores. 09/02/2017 UNIP Universidade Paulista : DisciplinaOnline Sistemas de conteúdo online para Alunos. http://online.unip.br/disciplina/detalhes/3829 1/1 Seja o pórtico abaixo: Adotando como incógnita hiperestática o momento fletor no engaste no sentido horário, qual o valor de 10 e 11, respectivamente: A 50/EI e +4/3EI; B +4/3EI e 50/EI; C 4/3EI e 50/EI; D +50/EI e +4/3EI; E Nenhuma das anteriores. 09/02/2017 UNIP Universidade Paulista : DisciplinaOnline Sistemas de conteúdo online para Alunos. http://online.unip.br/disciplina/detalhes/3829 1/1 Seja o pórtico abaixo: Adotando como incógnita hiperestática o momento fletor no engaste no sentido horário, qual o valor da incógnita hiperestática: A 27,5kN.m; B 37,5kN.m; C 47,5kN.m; D 57,5kN.m; E Nenhuma das anteriores. 09/02/2017 UNIP Universidade Paulista : DisciplinaOnline Sistemas de conteúdo online para Alunos. http://online.unip.br/disciplina/detalhes/3829 1/1 Seja o pórtico abaixo: Adotando como incógnita hiperestática o momento fletor no engaste no sentido antihorário e o reação horizontal para direita no apoio fixo, qual o valor de A +54/EI e 9/EI; B +9/EI e +54/EI; C 9/EI e +45EI; D +54/EI e +9/EI; E Nenhuma das anteriores;
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