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Disciplina: Teoria das Estruturas II Aula 2: Método das Forças Apresentação A partir desta aula começaremos a sedimentar e ampliar os conceitos da estática das estruturas, analisando sistemas hiperestáticos por meio dos métodos clássicos (forças e deslocamentos), para introduzir o estudo de análise matricial de estruturas. Nesta aula apresentaremos o Método das Forças (um dos clássicos) utilizado para análise de estruturas hiperestáticas. Objetivos Reconhecer um dos métodos clássicos para análise de estruturas hiperestáticas, o Método das Forças. Calcular uma estrutura hiperestática aplicando o Método das Forças; Estabelecer os diagramas solicitantes de uma estrutura hiperestática, usando o Método das Forças. Teoria das estruturas I – Relembrando alguns conceitos básicos Antes de mais nada, vamos relembrar... Estruturas hiperestáticas são aquelas em que o número de reações de apoio é superior ao de equações da estática , portanto, essas equações somente são insu�cientes para a determinação das reações de apoio. (� X = 0; � Y = 0 e � M = 0) A determinação das reações de apoio que atuam nessas estruturas são, geralmente, calculadas pelo Método das Forças ou pelo Método dos Deslocamentos: • No Método das Forças, as variáveis são os esforços; • No método dos deslocamentos, as deformações. O grau de hiperestaticidade de uma estrutura é determinado pelo número de reações de apoio excedentes àquelas necessárias para o seu equilíbrio. Relembrando, como calcular o grau de hiperestaticidade, a �m de descobrir se a estrutura é restringida? Usando umas das fórmulas existentes na literatura. A fórmula a seguir, foi tirada do autor Sussekind (s/d): G = G + G G = I – E – R G = 3 x N Onde: G ➔ grau hiperestático das estrututas; G ➔ grau hiperestático externo; G ➔ grau hiperestático interno; I ➔ o número de reações de apoio (incógnita) da estrutura; E ➔ as equações fundamentais da estática R ➔ as rótulas existentes na estrutura, ou seja, o número de momentos liberados; 3 ➔ o número de esforços liberados (V, H e M ) no corte; N ➔ o número de cortes. e i e i e i ( Fx = 0; Fy = 0; M = 0)∑ ∑ ∑ ⇩ Observação: G = 0 ➔ estruturas isostáticas; G > 0 ➔ estruturas hiperestáticas; G < 0 ➔ estruturas hipostáticas (sem equilíbrio). Método das forças A metodologia utilizada pelo Método das Forças (também conhecido como Método da Flexibilidade e Método dos Esforços) para analisar uma estrutura hiperestática, é: 1 Usar uma estrutura auxiliar isostática (não haverá nenhuma alteração do ponto de vista estático, se mantemos os mesmos vínculos), chamada de Sistema Principal, que é obtida da estrutura original (hiperestática) pela eliminação de vínculos; 2 Somar uma série de soluções básicas (chamadas de estados) que satisfazem às condições de equilíbrio. Essa eliminação de vínculos pode ser impedimentos de apoio ou vínculos de continuidade interna, e os deslocamentos e as rotações são sempre calculados nas direções dos vínculos eliminados. A Figura 1 demostra a passagem do pórtico I (hiperestático) para o pórtico II (isostático), observa-se que não houve nenhuma alteração no ponto de vista estático. Rompeu-se a quantidade de vínculos (os engastes) que se transformou em apoio de 1º e 2º gêneros, introduzindo no local os esforços X1, X2 e X3. Figura 1 – Pórtico I (hiperestático) e pórtico II (isostático, chamado de Sistema Principal) Nenhuma alteração ocorreu ao adotar a estrutura isostática (pórtico II), foram aplicados os esforços quanto ao grau de hiperestaticidade. Assim, a determinação de X1, X2 e X3 implicará na resolução da estrutura. Quando rompido um vínculo é aplicado um esforço. No sistema principal serão liberadas deformações que não existem e assim a solução exige que os deslocamentos provocados pelos hiperestáticos sejam nulos. No caso acima, temos: Rotação para X2 e X3; Translação para X1. Com uma equação para cada descolamento nulo, o problema será resolver o sistema nxn. Será utilizado o princípio da superposição dos efeitos, separando o carregamento externo e os hiperestáticos. O primeiro índice é o local e o segundo a causa: ➔ translação de X1; ➔ rotação de X2; ➔ rotação de X3. δ10 + δ11 X1 + δ12 X2 + δ13 X3 = 0 δ20 + δ21 X1 + δ22 X2 + δ23 X3 = 0 δ30 + δ31 X1 + δ32 X2 + δ33 X3 = 0 A solução do sistema fornece o valor de Xi. Na hora de escolher um sistema principal isostático há in�nitos, e o mais lógico é procurar um sistema que forneça diagramas de momento �etores mais simples possíveis. Essa metodologia de solução de uma estrutura hiperestática pelo Método das Forças será explicada detalhadamente pelos exercícios a seguir. Nos exemplos a seguir, a nomenclatura de Momento de Inércia será a letra J. Exercício 1 Obter os diagramas solicitantes e as reações de apoio da viga abaixo, conforme mostra a Figura 2. Dados: Seção da viga: 40 cm x 80 cm (b x h); E = 1 x 10 kN/m .8 2 Figura 2 – Viga com carregamento distribuído de 30 kN/m 1º Passo: Calcular o grau hiperestático (g) da viga G = I – E – R G = 3 – 2 – 0 = 1 ➔ estrutura hiperistática que desejamos resolver (X1). e e Logo o sistema será: δ10 + δ11 X1 = 0 2º Passo: Sistema Principal (S.P.) Rompemos uma quantidade de vínculos tal (no caso, 1) que transformasse a estrutura hiperestática em isostática. Para preservar a compatibilidade estática, introduzimos os esforços (no caso, X1, X2, X3,...) existentes nos vínculos rompidos, que continuam sendo as incógnitas do problema, e cuja determinação implicará na resolução da estrutura. Arbitramos um valor qualquer para cada um dos hiperestáticos (X1, X2, X3,...), por simplicidade, arbitramos valores unitários (=1). Para esse exemplo temos três modelos de sistema principal (estrutura isostática), como pode ser visto na Figura 3. Lembrando que na hora de escolher um sistema principal o mais lógico é procurar um sistema isostático que forneça diagramas de momento �etores mais simples possíveis. Figura 3 – Exemplos de três tipos de sistema principal (isostático). Para o nosso exercício vamos adotar o primeiro exemplo, colocando x no balanço direito, conforme a Figura 4. Figura 4 – Esse será o nosso Sistema Principal. 3º Passo: Calcular o comprimento elástico das barras Para usar a Tabela de Kurt Beyer (estruturas compostas por barras retas com inércia constante) devemos calcular o comprimento elástico das barras. A deformação devido ao trabalho à �exão vale:δ δ = ∫ dxMM̄̄̄̄EJ Sendo J uma inércia arbitrária, chamada de inércia de comparação (usualmente é arbitrada igual à menor das inércias das barras), temos: c E δ = ∑ ( ∫ MM)dxJ c J cJ barra ∫ barra Chamamos de comprimento elástico (L’) da barra i, que é o comprimento �ctício de uma barra de inércia J , que nos dá a mesma deformação da barra de comprimento Li e inércia J . Usamos a fórmula indicada por Sussekind (s/d) para calcular L’: c i L' = L JcJ Onde: L’ = comprimento elástico; L = comprimento da barra; Jc = menor momento de inércia de toda a estrutura; J = momento de inércia da barra que está estudando. Calcula-se o momento de inércia das barras. As barras possuem as mesmas seções, logo elas têm as mesmas inércias. J = bh /12 = 0,0170667m Calcula-se o comprimento elástico (L’) de cada barra: 3 4 Barra 1 ➔ L’ = 3*0,0170667/0,0170667 = 3m Barra 2 ➔ L’ = 5*0,0170667/0,0170667 = 5m 4º Passo: Estado 0 (só carga) Calcular as reações de apoio e desenhar o diagrama de momento �etor (M0) com as cargas externas. 5º Passo: Estado 1 (só X1) Calcular as reações de apoio e desenhar o diagrama de momento �etor (M1) com a carga de 1kN no X1 (no hiperestático). 6º Passo: Calculando dos E J Faz-se a multiplicação dos dois momentos �etores, de cada barra. Usamos a Tabela de Kurt Beyer e vemos a equação da multiplicação dos dois momentos. Multiplicar o momento �etor do Estado 1 com o momento �etor do Estado 0: c δ δ10 E = x J c δ10 M1 M0 Barra 1: L’ de 3m com par. 2º grau (-375 kNm) x triângulo (5kNm).Olhando a tabela, temos: Triângulo com triângulo e ql /8 com triângulo. Na segunda coluna com a segunda linha encontraremos a primeira equação, e na segunda coluna com a quinta. Encontraremos a segunda equação, logo temos: 2 L'MM + L'Mm 13 1 3 M̄̄̄ Onde: L’ = 3 m (comprimento da barra 1) M = -375 kNm (momento �etor da parábola 2º grau) M = 5 kNm (momento �etor do triangulo) M = 33,75 kNm (momento �etor do ql /8) Substituindo os valores, temos: 2 x 3 x (−375) x 5 + x 3 x 5 x 33, 75 = − 1706, 25 13 1 3 2: L’ de 5m com par. 2º grau (-375 kNm) x triângulo (5kNm). Olhando a tabela, temos: Parábola do 2º grau com triângulo. Na segunda coluna com a oitava linha encontraremos a equação: L'M 14 M̄̄̄ Onde: L’ = 5m (comprimento da barra 2); M = -375kNm (momento �etor da parábola 2º grau); M = 5kNm (momento �etor do triângulo). Substituindo os valores, temos: x 5 x (−375) x 5 = − 2343, 7514 E = −4050J c δ10 Multiplicar o momento �etor do Estado 1 com o momento �etor do Estado 1: δ11 E = x J c δ11 M1 M1 Como existe essa �gura na tabela, não precisamos fazer por barras. Usamos direto (barra 1 + barra 2). Ao olharmos a tabela, encontramos na última coluna com a última linha a equação: L'M 13 M̄̄̄ Onde: L’ = 8m (comprimento de toda a viga); M = 5kNm (momento �etor do triângulo); M = 5kNm (momento �etor do triângulo). Substituindo os valores, temos: x 8 x 5 x 5 = 66, 671 3 7º Passo: Sistema Montar o sistema para acha r X1. Se deu positivo, signi�ca que o sentido de X1 está correto, para cima. Voltamos à estrutura hiperestática e colocamos o valor que achamos em X1 (60,75 kN), conforme mostra a Figura 5. δ10 + δ11 X1 = 0 −4050 + 66, 67 X1 = 0 X1 = 60, 75kN Figura 5 – Viga com o valor de X1 Calculamos as reações de apoio e desenhamos os diagramas solicitantes (diagramas �nais), conforme a Figura 6. Figura 6 – Reação de apoio após achar X1 Figura 7 – Diagrama de esforços cortantes Figura 8 – Diagrama de momento fletor Exercício 2 Obter os diagramas solicitantes e as reações de apoio do pórtico abaixo, conforme mostra a Figura 9. Dados: Valores de inércia: Nos pilares J = 1 e na viga J = 2. E = 1 x 108 kN/m2 Figura 9 – Pórtico com carregamento distribuído de 20kN/m 1º Passo: Calcular o grau hiperestático (g) da viga G = I – E – R => G = 5 – 3 – 0 = 2 ➔ estrutura duas vezes hiperistática, desejamos resolver (X1 e X2). Logo, nosso sistema será: 2º Passo: Sistema Principal (S.P.) Escolher uma estrutura isostática. Indicar X1 e X2, conforme a Figura 10. e e δ10 + δ11 X1 + δ12 X2 = 0 δ20 + δ21 X1 + δ22 X2 = 0 Figura 10 – Sistema Principal. Uma estrutura isostática com X1 e X2 3º Passo: Calcular o comprimento elástico das barras O comprimento elástico das barras: L' = L JcJ Onde: L’ = comprimento elástico; L = comprimento da barra; Jc = menor momento de inércia de toda a estrutura; J = momento de inércia da barra em estudo. 4º Passo: Estado 0 (só carga) Cargas externas, conforme pode ser visto na Figura 11. Figura 11 – Diagrama de momento fletor (M0), com o Sistema Principal 5º Passo: Estado 1 (só X1) Carga de 1kN no X1 (no hiperestático), Figura 12. Figura 12 – Diagrama de momento fletor (M1), com a carga de 1kN no X1 6º Passo: Estado 2 (só X2) Carga de 1kN no X2 (no hiperestático), Figura 13. Figura 13 – Diagrama de momento fletor (M2), com a carga de 1kN no X2 7º Passo: Calcular as E J : Usamos a Tabela de Kurt Beyer. c δ δ10 = x δ10 M1 M0 Barra 1: L’ de 3 m com retângulo (-360 kNm) x retângulo (6kNm). L' MM = 3 X 6 X (−360) = − 6480 Barra 2: L’ de 3 m com par. 2º grau (-360 kNm) x triângulo (6kNm). L' M = X 3 X 6 X(−360) = − 162014 M̄̄̄ 1 4 Barra 3 = 0 = −8100δ10 δ11 = x δ11 M1 M1 Barra 1: L’ de 3 m com retângulo (6kNm) x retângulo (6kNm). L' MM = 3 x 6 x 6 = 180 Barra 2: L’ de 3 m com triângulo (6kNm) x triângulo (6kNm). L'M = x 3 x 6 x 6 = 3613 M̄̄̄ 1 3 = 144δ11 δ12 = δ21 = = x δ12 δ21 M1 M2 Barra 1: L’ de 3 m com triângulo (-3kNm) x retângulo (6kNm). L' M = x 3 x (−3) x 6 = − 271 2 M̄̄̄ 1 2 Barra 2: L’ de 3 m com triângulo (6kNm) x retângulo (-3kNm). L' M = x 3 x (−3) x 6 = − 271 2 M̄̄̄ 1 2 Barra 3 = 0 = = −54δ12 δ21 = 2700δ20 Barra 1: L’ de 3m com triângulo (-3kNm) x triângulo (-3kNm). L' M = x 3 x(−3) x(−3) = 913 M̄̄̄ 1 3 Barra 2: L’ de 3m com retângulo (-3kNm) x retângulo (-3kNm). L' M = 3 x(−3) x(−3) = 27M̄̄̄ Barra 3: L’ de 3m com triângulo (3kNm) x triângulo (3kNm). L' M = x 3 x 3 x 3 = 913 M̄̄̄ 1 3 = 45δ22 8º Passo: Sistema Montar o sistema para achar X1 e X2. -8100 + 144 X1 - 54 X2 = 0 2700 - 54 X1 + 45 X2 = 0 Resolvendo: X1 = 60,36kN X2 = 13,64kN Se deu positivo, signi�ca que o sentido de X1 e X2 estão corretos. δ10 + δ11 X1 + δ12 X2 = 0 δ20 + δ21 X1 + δ22 X2 = 0 Voltamos à estrutura hiperestática e colocamos os valores de X1 e X2, conforme a Figura 14. Figura 14 – Estrutura original (hiperestática) com os valores de X1 e X2 Agora calculamos as reações de apoio (Figura 15) e desenhamos os diagramas solicitantes. Figura 15 – Estrutura original (hiperestática) com as reações de apoios Diagrama solicitantes: Figura 16 – Diagrama de Esforços Normais (DEN) na estrutura original (hiperestática) Figura 17 – Diagrama de Esforços Cortantes (DEC) na estrutura original (hiperestática) Figura 18 – Diagrama de Momento Fletor (DMF) na estrutura original (hiperestática) Saiba Mais Continue esse estudo analisando outros Exercícios Resolvidos <galeria/aula2/anexo/doc1.pdf> . Atividade 1. Calcular pelo Método das Forças as estruturas hiperestáticas abaixo. Desenhar os diagramas de esforços internos. EI = 100000MPa. http://estacio.webaula.com.br/cursos/go0078/galeria/aula2/anexo/doc1.pdf 2. Recalcular todas as estruturas vistas nesta aula com outro Sistema Principal (S.P.). Notas Deformação1 É a alteração da forma de uma estrutura devido ao seu carregamento. Calcular deslocamentos2 Seja calcular determinado deslocamento ∆, por exemplo, o deslocamento vertical no ponto C, em uma estrutura isostática sujeita a um sistema de cargas qualquer. (Fonte: http://cadtec.dees.ufmg.br/nucleoead/forum/arquivos/apostila_ptv.pdf <http://cadtec.dees.ufmg.br/nucleoead/forum/arquivos/apostila_ptv.pdf> ) Referências MARTHA, Luiz Fernando. Análise de estruturas. cap. 7. Rio de Janeiro: Elsevier, s/d. McCORMAC, Jack C. Análise estrutural. cap. 11 a 13. Rio de Janeiro: LTC, s/d. SUSSEKIND, J. C. Curso de análise estrutural. v. 2. cap. 1. Rio de Janeiro: Globo, s/d. Próxima aula Calcular as reações de apoio em estruturas hiperestáticas (temperatura e recalque no apoio); Traçar os diagramas solicitantes em estruturas hiperestáticas (temperatura e recalque no apoio).Explore mais Aprimore seus conheceimentos. Acesse: MARTHA, Luiz Fernando. Exemplo de solução pelo Método das Forças. Disponível em:http://webserver2.tecgraf.puc- rio.br/ftp_pub/lfm/civ1127roteiroMF.pdf <http://webserver2.tecgraf.puc-rio.br/ftp_pub/lfm/civ1127roteiroMF.pdf> . Acesso em: 04 dez. 2018. MELLO, Talles. Método das forças (�exibilidade ou compatibilidade). Disponível em:http://www.tallesmello.com.br/wp- content/uploads/2017/03/Metodo-das-Forças.pdf <http://www.tallesmello.com.br/wp-content/uploads/2017/03/Metodo- das-Forças.pdf> . Acesso em: 04 dez. 2018. UNIVERSIDADE Federal de Santa Maria. Método das forças. Disponível em:http://coral.ufsm.br/decc/ECC1002/Downloads/_Cap_5_Metodo_das_forcas.pdf <http://coral.ufsm.br/decc/ECC1002/Downloads/_Cap_5_Metodo_das_forcas.pdf> . Acesso em: 04 dez. 2018. Vídeos CANAL Rafael Ensina. Viga hiperestática - Método das forças. Disponível em: https://www.youtube.com/watch? http://cadtec.dees.ufmg.br/nucleoead/forum/arquivos/apostila_ptv.pdf http://webserver2.tecgraf.puc-rio.br/ftp_pub/lfm/civ1127roteiroMF.pdf http://www.tallesmello.com.br/wp-content/uploads/2017/03/Metodo-das-For%C3%A7as.pdf http://coral.ufsm.br/decc/ECC1002/Downloads/_Cap_5_Metodo_das_forcas.pdfhttps://www.youtube.com/watch?v=OInBFZ0J76k g p ç p p y v=OInBFZ0J76k <https://www.youtube.com/watch?v=OInBFZ0J76k> . Acesso em: 04 dez. 2018. Passo a passo de como usar o Ftool: GUIA do engenheiro. Aprenda usar o FTOOL em 10 minutos! Disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=5qmz4Zvdx5g <https://www.youtube.com/watch?v=5qmz4Zvdx5g> . Acesso em: 04 dez. 2018. https://www.youtube.com/watch?v=OInBFZ0J76k https://www.youtube.com/watch?v=5qmz4Zvdx5g
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