CAP 8 MODELAGEM DE MAQUINAS SINCRONAS

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VII - 1
Capítulo 88
Modelagem de Máquinas Síncronas
1. OBJETIVO
Este capítulo descreve a modelagem das máquinas síncronas a ser
utilizada em estudos de fluxo de carga e de curto circuito nos sistemas elétri-
cos. Não é objetivo deste texto estudar detalhadamente às máquinas síncronas
e sim estudar a modelagem dessas máquinas, tanto em regime permanente
quanto em curto circuito.
O comportamento da máquina síncrona em regime permanente, em
especial, a sua curva de capacidade, tem significativa importância para a reali-
zação dos estudos de fluxo de potência ou 'load flow'.
Nos estudos de curto circuito, o comportamento da máquina síncrona
tanto em regime permanente quanto no período transitório precisam ser co-
nhecidos. A forma de onda e a intensidade da corrente de curto circuito estão
intimamente relacionados aos parâmetros da máquina síncrona como a rea-
tância subtransitória, transitória e as respectivas constantes de tempo.
2. INTRODUÇÃO
Nos sistemas elétricos existentes no mundo, a geração de energia
elétrica é quase que totalmente efetuada por geradores síncronos acionados
por turbinas à gás, à vapor ou hidráulicas.
A capacidade da máquina síncrona de absorver e fornecer potência
reativa variando a sua corrente de campo é o grande atrativo para se utilizar
os motores síncronos, uma vez que usualmente para motores de pequena e
média potência, eles tem custo muito mais elevado que os motores de indução
Capítulo 8 - Modelagem de Máquinas Síncronas
VIII - 2
correspondentes. Motores síncronos sem carga mecânica no eixo, denomina-
dos compensadores síncronos, são especialmente projetados para absorver e
fornecer potência reativa aos sistemas elétricos ao qual estão conectados.
A máquina síncrona é uma máquina elétrica cuja velocidade mecânica
em regime permanente está relacionada a freqüência elétrica das tensões e
correntes que circulam em regime permanente no seu enrolamento de armadu-
ra, pela seguinte equação:
Polos
f
w
.120
= [1]
onde:
w - velocidade mecânica da máquina síncrona em rpm
f - freqüência elétrica em Hz
Polos - número de polos da máquina síncrona
As duas principais partes da máquina síncrona são estruturas cons-
truídas com chapas de material ferromagnético, uma delas estacionária, de-
nominada de estator e outra móvel, denominada rotor. A Figura 1 mostra o
estator de uma máquina síncrona que consiste essencialmente de um cilindro
com uma abertura central por onde gira o rotor mostrado na Figura 2 . Nas ra-
nhuras do estator estão distribuídos os enrolamentos de armadura, onde são
induzidas as tensões geradas pelo campo magnético indutor. O rotor é a parte
móvel da máquina síncrona, montada num eixo. O campo magnético indutor é
produzido no rotor pelo enrolamento de campo.
Figura 1 - Estator de uma máquina síncrona
Capítulo 8 - Modelagem de Máquinas Síncronas
VIII - 3
Figura 2 - Rotor de uma máquina síncrona
O enrolamento de campo é alimentado por corrente contínua, forne-
cida pela excitatriz. A excitatriz pode ser estática ou rotativa e normalmente
corresponde a uma potência da ordem de 1% da potência nominal da máquina
síncrona.
Nas máquinas síncronas mais antigas as excitatrizes eram constituídas
por geradores de corrente contínua, que através de escovas de carvão e anéis
coletores supriam o enrolamento de campo de corrente cc. Com a evolução da
eletrônica de potência, as fontes de corrente alternada rotativas externas ou
montada sobre o eixo da máquina passaram a ser empregadas sendo retifica-
das através de conversores controlados ou não. Para os geradores síncronos
de grande porte a excitatriz é usualmente auto excitada, isto é alimentada a
partir de um transformador ( denominado transformador de excitação) conecta-
do ao próprio sistema elétrico suprido pela máquina.
No rotor das máquinas síncronas, além do enrolamento de campo
existe ainda os enrolamentos amortecedores. Estes enrolamentos consistem
essencialmente de barras de cobre curto circuitada dispostas em ranhuras na
face polar, formando uma gaiola. Os enrolamentos amortecedores tem a fun-
ção de atenuar as oscilações mecânicas do rotor, geralmente provocadas por
desequilíbrio entre a potência ativa gerada e a consumida. Nos motores sín-
cronos os enrolamentos amortecedores são responsáveis pela produção do
torque de partida funcionando como a gaiola do motor de indução. Os enrola-
mentos amortecedores tem ainda um papel importante na redução dos har-
mônicos de fluxo na máquina. Na Figura 3 estão mostrados os dois tipos exis-
Capítulo 8 - Modelagem de Máquinas Síncronas
VIII - 4
tentes de enrolamentos amortecedores, os conectados e os desconectados.
Os enrolamentos amortecedores conectados tem suas barras de cobre curto
circuitadas envolvendo todas as faces polares como uma grande malha. No
caso dos desconectados, cada face polar tem sua barras de cobre curto cir-
cuitadas porém isolada da barras de cobre das demais faces polares.
Figura 3 - Enrolamento amortecedores
O enrolamento de armadura das máquinas síncronas consiste de bobi-
nas com N espiras distribuídas em ranhuras estreitas na periferia interna do
estator. A Figura 4 apresenta bobinas típicas de enrolamentos da máquina
síncrona e a Figura 5 apresenta uma ranhura aberta típica. Os enrolamentos
de armadura, usados em armaduras estacionárias, são normalmente trifásicos
constituídos de enrolamentos imbricados devido à menores conexões termi-
nais (cabeças de bobinas) requeridas entre bobinas.
Figura 4 - Tipos de bobinas de enrolamentos de máquinas síncronas
Capítulo 8 - Modelagem de Máquinas Síncronas
VIII - 5
Figura 5 - Ranhura aberta do estator
De acordo com o tipo construtivo do rotor, as máquinas síncronas se
classificam em máquinas de polos lisos e máquinas de polos salientes. As má-
quinas de polos lisos ou de rotor cilíndrico são máquinas de alta velocidade
usualmente com 2 ou 4 polos e são encontradas nos geradores acionados por
turbinas à gás ou a vapor. As máquinas síncronas de polos salientes são má-
quinas de grande número de polos e baixa velocidade, são empregadas em
geradores síncronos acionados por turbinas hidráulicas. A Figura 6 apresenta
as diferenças dimensionais entre os dois rotores, o rotor de polos lisos tem um
comprimento acentuado em relação ao seu raio, enquanto que o rotor de polos
salientes tem um raio mais acentuado que o seu comprimento.
Figura 6 - Comparação entre rotores de polos lisos e salientes
Nas máquinas síncronas em regime permanente o rotor gira a veloci-
dade constante sobre mancais, e é acionado no caso dos geradores síncronos
por uma fonte de potência mecânica acoplada ao seu eixo (turbinas ou máqui-
nas primárias).
Capítulo 8 - Modelagem de Máquinas Síncronas
VIII - 6
3. MODELO DA MÁQUINA SÍNCRONA DE EM REGIME PER-
MANENTE
Para a máquina síncrona de em regime permanente, o enrolamento de
campo distribuído ao longo da periferia do rotor e alimentado por uma corrente
contínua ( iF ), produz uma distribuição radial de indução magnética ao longo
da periferia do rotor que varia em função do ângulo espacial como pode ser
visualizado na Figura 7 que mostra a vista transversal de uma máquina síncro-
na de dois polos.
Figura 7 - Vista transversal de uma máquina síncrona de dois polos.
O fluxo magnético ( jF ) gerado no entreferro em regime permanente é
praticamente senoidal, expresso por:
.senwtöö mF = [2]
O rotor girando na velocidade síncrona, faz com que a forma de onda
do fluxo enlace os lados das bobinas do enrolamento de armadura, induzindo
uma tensão resultante que é também senoidal e que pode ser determinadacom auxílio da Lei de Faraday e de Lenz, isto é:
( )
)90-sen(wtw.N.ö
dt
.senwtNöd
dt
dë
e 0m.
m
=-=-= [3]
Capítulo 8 - Modelagem de Máquinas Síncronas
VIII - 7
O valor eficaz ta tensão resultante induzida é EF ,
dada por:
FF 4,44.f.N.öE = [4]
Com a circulação de corrente no enrolamento de armadura ( Ia ), é pro-
duzida uma nova força magnetomotriz no entreferro, usualmente conhecida
por reação de armadura. A circulação destas correntes de armadura, polifási-
cas equilibradas em enrolamentos dispostos defasados de 1200 elétricos na
periferia do estator produz um campo magnético de intensidade constante que
gira na velocidade síncrona, denominado campo girante. O campo magnético
resultante na máquina síncrona é a soma das duas componentes produzidas
pela corrente de campo e pela reação de armadura .
 O modelo utilizado para representar o comportamento em regime
permanente de uma máquina síncrona de rotor cilíndrico em condições polifá-
sicas equilibradas, é usualmente obtido considerando o efeito do fluxo de rea-
ção de armadura representado por uma reatância indutiva. Para uma máqui-
na de rotor cilíndrico não saturada, o fluxo de entreferro resultante na máquina
pode ser considerado como a soma fasorial dos fluxos componentes criados
pelas fmm de campo e da reação de armadura, respectivamente, como mos-
trado pelos fasores jf , jar e jr, como mostra a Figura 8.
Figura 8 - Diagrama fasorial dos fluxos na máquina síncrona
 
 Do ponto de vista dos enrolamentos de armadura , estes fluxos se ma-
nifestam como forças eletromotrizes geradas. A tensão de entreferro resultante
Er pode ser considerada como fasor soma da tensão de excitação Ef gerada
Capítulo 8 - Modelagem de Máquinas Síncronas
VIII - 8
pelo fluxo do campo e a tensão Ear gerada pelo fluxo de reação de armadura.
As forças eletromotrizes componentes Ef e Ear são proporcionais às correntes
de campo e armadura , respectivamente, e cada uma se atrasa em relação ao
fluxo que a produz de 90o. O fluxo de reação de armadura jar está em fase com
a corrente de armadura Ia e consequentemente a fem de reação de armadura
Ear se atrasa em relação a corrente de armadura de 90
o. De forma analítica,
pode-se escrever que raf E.IjXE =- j , onde xj é a constante de proporciona-
lidade , que relaciona os valores eficazes de Ear e Ia. O efeito da reação de
armadura, portanto é simplesmente o de uma reatância indutiva xj represen-
tando a tensão componente gerada pelo fluxo espacial fundamental criado
pela reação de armadura. Esta reatância é chamada reatância de magnetiza-
ção ou reatância da reação de armadura .
 A tensão de entreferro difere da tensão terminal pelas quedas de ten-
são na resistência de armadura e na reatância de dispersão da armadura, e
Vt é a tensão terminal. Os circuitos equivalentes utilizados para modelar uma
máquina de rotor cilíndrico em regime permanente estão mostrados na Figura
9 e na Figura 10. O circuito equivalente destacando a tensão de entreferro é
apresentado na Figura 9, e o circuito equivalente mais compacto na Figura 10.
 
Figura 9 - Circuito equivalente da tensão de entreferro
 
Figura 10 - Circuito equivalente reduzido para a máquina de polos lisos
Capítulo 8 - Modelagem de Máquinas Síncronas
VIII - 9
 No circuito equivalente da máquina síncrona de polos lisos mostrado
na Figura 10, a máquina é representada pela tensão de excitação Ef em série
com uma impedância simples. A reatância desta impedância é chamada impe-
dância síncrona e corresponde a soma das reatâncias de magnetização e dis-
persão.
 Utilizando o modelo de máquina síncrona da Figura 9, considerando a
máquina operando como gerador síncrono pode-se obter a seguinte equação:
 
 talaraf V.IjX.IjXR.IE.IjXE a +++=+= jj [5]
 
 e para o circuito equivalente reduzido da Figura 10:
 
 a.IjXR.IVE sa tf +++= [6]
 
 Uma das importantes características da máquina síncrona é a de poder
operar tanto absorvendo, quanto fornecendo reativo ao sistema elétrico ao
qual está conectado bastando para isto variar a sua corrente de campo. Uma
máquina síncrona operando com uma elevada corrente de campo é dita sobre-
excitada, nessas condições ela opera fornecendo reativo e com a tensão Ef em
módulo maior que a tensão terminal da máquina. De forma similar, uma máqui-
na síncrona é dita subexcitada quando ela opera absorvendo reativo, com uma
corrente de campo baixa ou até mesmo negativa. Nesta condição de operação
a tensão Ef em módulo é menor que a tensão terminal da máquina. Utilizando a
equação [6] pode-se obter o diagrama fasorial de um gerador síncrono sobre-
excitado e subexcitado como pode ser visto na Figura 11 e na Figura 12.
 
jjf
Ef
Vt
jXs.Ia
R.Ia
Ia
qq
Figura 11 - Diagrama fasorial do gerador síncrono sobreecitado
Capítulo 8 - Modelagem de Máquinas Síncronas
VIII - 10
 
jjf
Ef
Vt
jXs.Ia
R.Ia
qq
Ia
Figura 12 - Diagrama fasorial do gerador síncrono subexcitado
 No caso da máquina síncrona operando como motor, a corrente é as-
sumida saindo da máquina, revendo a equação [6], obtém-se:
 
 a.IjXR.IEV sa f t ++= [7]
 
 A partir da equação [7] podemos obter os diagramas fasoriais de um
motor síncrono subexcitado e sobreexcitado como está mostrado na Figura 13
e na Figura 14, respectivamente.
 
jjf
Ef
Vt
jXs.Ia
R.Ia
Ia qq
Figura 13 - Diagrama fasorial de um motor síncrono subexcitado
 
jjf
Ef
Vt
F
jXs.Ia
F
R.Ia
I
Ia qq
F
Ia
Figura 14 - Diagrama fasorial de um motor síncrono sobreexcitado
Capítulo 8 - Modelagem de Máquinas Síncronas
VIII - 11
 Diferentemente da máquina de pólos lisos, onde o fluxo produzido por
uma onda de f.m.m. é independente do alinhamento espacial da onda em re-
lação ao pólos de campo, na máquina de pólos salientes, como mostra a
Figura 7, tem uma direção preferencial de magnetização determinada pela sa-
liência dos pólos de rotor. A permeância ao longo do eixo polar, ou direto, é
significativamente maior do que ao longo do eixo interpolar, ou em quadratura.
 Os efeitos dos pólos salientes podem ser levados em conta decom-
pondo a corrente de armadura Ia em duas componentes, uma em quadratura e
outra em fase em relação ao fluxo magnético, como mostrado no diagrama fa-
sorial da Figura 15, para uma máquina funcionando a fator de potência induti-
vo.
 
Figura 15 - Diagrama fasorial de uma máquina de polos salientes
 
 Assim uma grandeza de eixo direto é uma grandeza cujo efeito mag-
netizante está centrado nos eixos dos pólos de campo. Uma grandeza de eixo
em quadratura é uma grandeza cujo efeito magnético está centrado no espa-
ço interpolar. A cada uma das correntes componentes Id e Iq está associada
uma queda de tensão na resistência síncrona componente, j.Id.Xd e j.Iq.Xq
respectivamente. As reatâncias Xd e Xq são respectivamente as reatâncias
síncronas de eixo direto e de eixo em quadratura. As reatâncias síncronas
levam em conta os efeitos indutivos de todos os fluxos geradores de freqüên-
cias fundamental, criados pelas correntes de armadura, incluindo os fluxos
dispersos da armadura e de reação de armadura. Assim, os efeitos indutivos
das ondas de fluxo de reação de armadura nos eixos diretos e em quadratura
podem ser levados em conta por reatâncias magnetizantes de eixo direto e
Capítulo 8 - Modelagem de Máquinas Síncronas
VIII - 12
em quadratura Xjd e Xjq respectivamente de modo similar à reatância mag-
netizante Xj. Portanto:
 dld XXX j+=[8]
 
 qlq XXX j+= [9]
 
onde Xl é a reatância de dispersão da armadura e é considerada a mesma
para correntes de eixo direto e em quadratura. A reatância Xq é menor do que
a reatância Xd devido a maior relutância do entreferro no eixo em quadratura.
Usualmente, Xq está entre 0,6 e 0,7 de Xd.
Da mesma forma que a máquina síncrona de polos lisos podemos es-
crever as seguintes para a máquina síncrona de polos salientes:
 tqqddaf V.IjX.IjXR.IE +++= [10]
4. CARACTERÍSTICA DE CIRCUITO ABERTO
A característica de circuito aberto da máquina síncrona é a curva que
apresenta a relação entre a tensão terminal da máquina síncrona em função
da corrente de excitação quando a máquina está girando na velocidade nomi-
nal com o enrolamento de armadura em aberto. A característica de circuito
aberto ( CCA ) da máquina síncrona representa a relação entre a componente
espacial fundamental do fluxo de entreferro e a fmm do circuito magnético,
quando o enrolamento de campo é a única fonte de fmm.
A Figura 16 mostra a montagem experimental utilizada para obter a ca-
racterística de circuito aberto. A máquina síncrona é acionada na sua veloci-
dade mecânica nominal e a corrente de campo é ajustada de forma a obter-se
tensão terminal nominal com os terminais de armadura em aberto. A potência
mecânica necessária para mover a máquina síncrona na sua velocidade nomi-
nal durante o ensaio de circuito aberto corresponde as perdas rotacionais em
vazio. Nas perdas rotacionais estão incluídas as perdas referentes ao atrito,
ventilação e perdas no ferro. As perdas por atrito e ventilação podem ser me-
Capítulo 8 - Modelagem de Máquinas Síncronas
VIII - 13
didas separadamente medindo-se a potência necessária para girar a máquina
síncrona na sua velocidade nominal sem corrente no enrolamento de campo.
A
EXCITATRIZ
V
V
V
w
 MÁQ. SÍNCRONA
Figura 16 - Ensaio em vazio numa máquina síncrona
A característica de circuito aberto assim como outras características da
máquina síncrona são usualmente expressas em por unidade, sendo usual
neste caso se adotar como corrente de campo nominal, aquela que produz
tensão terminal nominal com a máquina em vazio. A CCA não apresenta gran-
des variações de acordo com o tamanho da máquina uma vez que ela está
diretamente relacionada ao entreferro.
5. CARACTERÍSTICA DE CURTO CIRCUITO
A característica de curto circuito é a curva que relaciona a corrente de
armadura de uma máquina síncrona com a sua corrente de campo quando a
máquina é acionada em velocidade nominal com o enrolamento de armadura
curto circuitado. A Figura 17 mostra a montagem geral para obter a CCC.
A
EXCITATRIZ
 
w
 MÁQ. SÍNCRONA 
A
A
A
Figura 17 - Ensaio de curto circuito
Capítulo 8 - Modelagem de Máquinas Síncronas
VIII - 14
Com os terminais de armadura curto circuitados, a corrente de campo
é gradualmente aumentada até que a corrente atinja um valor máximo de 1.5
vezes a corrente nominal. Com o enrolamento de armadura curto circuitado:
VT = 0 e:
jXs).Ia(RaEf += [11]
como Ra @ 0, a defasagem entre Ef e Ia é praticamente 90º. Assim a reação de
armadura na obtenção da ccc tem um fortíssimo efeito desmagnetizante, pois
a corrente de armadura está aproximadamente em linha em linha com os polos
do campo e em oposição ao fluxo de campo ff . Em outras palavras a máquina
síncrona está operando não saturada. A corrente de armadura é praticamente
diretamente proporcional a corrente de campo, na faixa de zero até bem acima
da corrente a de armadura. O diagrama fasorial de um gerador síncrono na
condição de operação para obter a CCC é mostrada na Figura 18.
Ff
F
Ef
Ra.Ia
jxs.Ia
Ia
A
Er
Figura 18 – Diagrama fasorial do gerador síncrono para a ccc
A reatância síncrona não saturada pode ser encontrada a partir dos
dados da característica de curto circuito e da característica de circuito aberto.
A Figura 19 mostra a ccc e a cca para uma mesma máquina síncrona. Assu-
Capítulo 8 - Modelagem de Máquinas Síncronas
VIII - 15
mindo a resistência de armadura desprezível, a reatância síncrona não satura-
da é obtida dividindo-se a tensão terminal medida na linha de entreferro pela
corrente de armadura obtida na ccc para uma mesma corrente de campo if ,
então:
accc
fle
snsat
I
E
X = [12]
A reatância síncrona saturada pode ser obtida dividindo-se o valor da
tensão terminal nominal na cca pela corrente de armadura na ccc obtidos para
uma mesma corrente de campo. Assim,
accc
fcca
ssat
I
E
X = [13]
na Figura 19 para ifo .
Finalmente, define-se relação de curto circuito RCC como sendo a ra-
zão entre o valor de corrente de campo que produz tensão terminal nominal na
cca pela corrente de campo que produz corrente de armadura nominal na ccc,
Na Figura 19 a RCC é dada por:
f1
fo
i
i
RCC = [14]
Vt
If
Ia
ccccca
le
Vto
Iao
Ifo if1
Ia1
Figura 19 - Características de curto e de circuito aberto
Capítulo 8 - Modelagem de Máquinas Síncronas
VIII - 16
Analisando a Figura 19 pode ser visto que em pu a RCC é o inverso da
reatância síncrona saturada:
1
X
1
I
I
i
i
RCC ssat
acc
acc
f1
f0
inom
vnom
===
satXs
1
RCC = [15]
Uma máquina síncrona com alta relação de curto circuito é uma má-
quina mais pesada tem menor entreferro, e uma maior capacidade de transfe-
rência de potência. Devido aos novos sistemas de excitação de respostas
muito velozes a tendência mundial e de redução da RCC de novas máquinas.
6. POTÊNCIA ATIVA E REATIVA FORNECIDA POR UMA MÁ-
QUINA SÍNCRONA
Quando a máquina síncrona está conectada a uma barra infinita sua
velocidade e sua tensão terminal são fixas e inalteradas, ficando apenas a cor-
rente de campo e o torque mecânico no eixo que podem ser controladas. A
variação da corrente de campo If referida como sistema de controle da excita-
ção é utilizado tanto para geradores como para motores permite suprir ou ab-
sorver uma quantidade variável de potência reativa. Se uma máquina síncrona
gira na sua velocidade síncrona, o único meio de variar a potência ativa é
através do controle do torque imposto ao eixo ou pela máquina primária no
caso de geradores ou pela carga mecânica no caso de motores.
Considerando um gerador de polos lisos com resistência desprezível,
suprindo potência num certo angulo de carga d entre a tensão terminal Vt e a
fem de excitação interna Ef, a potência complexa suprida a rede é dada por:
( )jsenècosè.Ia.VtVt.IajQPS * +==+=
Como .senèIa.VtQ = , pode ser observado que Q é positivo para fatores de
potência atrasados desde que o angulo q seja numericamente positivo. Man-
Capítulo 8 - Modelagem de Máquinas Síncronas
VIII - 17
tendo a potência ativa constante ( .cosèIa.VtP = ), o produto .cosèIa deve
permanecer constante. Ao variarmos a corrente de campo If, nestas condições
a fem interna Ef varia proporcionalmente sempre mantendo .cosèIa constante
como pode ser visto na Figura 20.
dd
Ef
Vt
qq
Ia
E’f
I’a
dd’
Figura 20 - Controle da potência reativa
A potência ativa é controlada a partir do potência mecânica entregue
na máquina primária ou turbina, se a potência mecânica é incrementada, a
velocidade do rotor irá aumentar, com a corrente de campo e a fem de excita-
ção Ef mantidas constantes, o angulo d entre a tensão Ef e Vt irá aumentar.
Aumentando oangulo d resulta em um maior .cosèIa como pode ser visto gi-
rando o fasor Ef no sentido anti-horário. O gerador com um maior angulo de
carga d, portanto fornece mais potência para o sistema elétrico exercendo um
elevado conjugado eletromagnético frenante na máquina primária restabele-
cendo o equilíbrio na velocidade síncrona.
A partir do circuito equivalente da máquina síncrona de polos lisos
apresentado na Figura 10, podemos escrever que a potência gerada a partir
da fem de excitação é expressa por:
jQP
jXR
jXR
.
jXR
.VE.EE
jXR
V-E
E.IES
S
S
s
Tfff
*
s
Tf
f.
*
f
**
+=÷÷
ø
ö
çç
è
æ
+
+
-
-
=
+
==
÷÷
÷
÷
ø
ö
çç
ç
ç
è
æ
 [16]
Capítulo 8 - Modelagem de Máquinas Síncronas
VIII - 18
( ) ( )[ ]{ })VE(senV.Ej)VE(cosV.E.jXRjXR.E.
XR
1
S TfTfTfTfSS
2
f
22
Ð-Ð+Ð-Ð+-+÷
ø
ö
ç
è
æ
+
= [17]
separando a parte real e a imaginária da equação [17], encontramos as equa-
ções da potência ativa e reativa fornecida por uma máquina síncrona de polos
lisos.
{ })VE(senV.EX )VE(cosV.ER.R.E.
XR
1
P TfTfTfTf
2
f
22
Ð-Ð+Ð-Ð-÷
ø
ö
ç
è
æ
+
= [18]
{ })VE(senV.ER- )VE(cosV.EX.X.E.
XR
1
Q TfTfTfTf
2
f
22
Ð-ÐÐ-Ð-÷
ø
ö
ç
è
æ
+
= [19]
Desprezando a resistência de armadura as equações [18] e [19] ficam
reduzidas as seguintes expressões:
 )VE(sen
X
V.E
P Tf
Tf
Ð-Ð= [20]
X
)VE(cosV.EE
Q
TfTf
2
f Ð-Ð-
= [21]
No caso da máquina síncrona de polos salientes a potência fornecida
pode ser determinada a partir do diagrama fasorial mostrado na Figura 21.
fF
EF
IA
jXd.Id
jXq.Iq
Ra.Ia
Vt
Iq
Id d
Figura 21 - Diagrama fasorial de uma máquina síncrona de polos salientes
Capítulo 8 - Modelagem de Máquinas Síncronas
VIII - 19
Analisando esse diagrama podemos ver que dqa j.III += , tdtqt jVVV +=
onde Vt.cosäVtq= e Vt.senäVtd= . A potência suprida pela máquina síncrona
de polos salientes é obtida pela seguinte equação:
df.qf
*
dqf
*
af IjE.IE)jI.(IE.IEjQPS +=-==+= [22]
Do diagrama fasorial da Figura 21 podemos retirar as expressões para
Id e Iq em função da tensão terminal, fem de excitação, parâmetros da máquina
síncrona e angulo de carga:
d
aatf
d
X
.cosè.IR.cosäVE
I
--
= [23]
q
aat
q
X
.senè.IR.senäV
I
+
= [24]
Substituindo as expressões [23] e [24] na equação [22] e desprezando
a resistência de armadura obtemos as seguintes equações:
.sen2ä
.X2.X
XX
V.senä
X
.VE
P
qd
qd
.f
d
tf 2
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ -
+= [25]
7. CURVA DE CAPACIDADE DE MÁQUINAS SÍNCRONAS
A curva de capacidade ou capabilidade de uma máquina síncrona de-
fine todas as condições normais de operação desta máquina conectada a um
barramento infinito. Esta curva consiste de um conjunto de pontos na superfí-
cie do plano PxQ, cujos pontos que se situam sobre os contornos da curva são
pontos de operação da maquina síncrona em que pelo menos um dos fatores
limitativos da capacidade de equipamento atinge o valor máximo permissível,
definindo assim as características nominais da máquina.
A curva de capacidade de uma máquina síncrona é construída admi-
tindo uma tensão terminal constante e desprezando-se a resistência de arma-
dura. A construção da curva se inicia a partir da obtenção do diagrama fasorial
Capítulo 8 - Modelagem de Máquinas Síncronas
VIII - 20
tomando Vt como referência e traçando as cinco curvas responsáveis pela de-
finição dos limites operacionais da máquina síncrona em regime contínuo ou
dos contornos da curva de capacidade de uma máquina síncrona. São elas:
excitação máxima, corrente de armadura máxima, excitação mínima, potência
máxima da máquina primária e limite de estabilidade.
O diagrama fasorial para um gerador síncrono sobrexcitado despre-
zando a resistência de armadura e adotando o fasor tensão terminal Vt como
referência está apresentado na Figura 22.
dd
Ef
Vt
jXs.Ia
Ia
ff
Figura 22 – Diagrama fasorial de um gerador síncrono de polos lisos
Multiplicando o módulo de cada fasor do diagrama mostrado na Figura
22 por 
s
t
X
V
 obteve-se o diagrama que pode ser visto na Figura 23.
dd
s
Tf
X
.VE
s
T
X
V 2
Ia
ff
Vt.Ia
Figura 23 - Diagrama da potência reativa requerida
Capítulo 8 - Modelagem de Máquinas Síncronas
VIII - 21
Analisando-se a Figura 23 pode-se obter as equações [1] e [2]. Com-
binando-se estas equações obtém-se a equação [3] que demonstra o fato de
que a curva relacionada a excitação constante é um círculo de raio 
s
Ft
X
.EV
.
ö.sen .IV
X
V
cos.
X
.EV
at
s
t
s
ft
2
+=d [26]
ö .cos.IVsen.
X
.EV
at
s
ft
=d [27]
( )
2
s
t2
2
s
ft
Q
X
V
P
X
.EV 2
÷
ø
ö
ç
è
æ ++=÷
ø
ö
ç
è
æ
 [28]
A primeira curva que limita a capacidade operacional da máquina sín-
crona é a curva excitação máxima. Esta curva consiste de um círculo de raio
igual a máxima tensão de excitação (corrente de campo máxima) com centro
no ponto (0, -Vt) como pode ser visto na Figura 24 para uma máquina síncrona
de polos lisos.
Q
P
dd
s
Tfmax
X
.VE
s
T
X
V 2
Ia
ff
Vt.Ia
ff
Figura 24 - Curva de corrente de excitação máxima
Capítulo 8 - Modelagem de Máquinas Síncronas
VIII - 22
A segunda curva limite operacional está relacionada ao valor máximo
de corrente de armadura, esta curva corresponde também a um círculo de raio
Vt.Ia e centro no ponto (0,0) como pode ser visto na Figura 25.
Q
P
dd
s
Tf
X
.VE
s
T
X
V 2
Ia
ff
Vt.IaMAX
ff
Figura 25- Curva limite da corrente de armadura máxima
A terceira curva limite está relacionada a potência ativa máxima que
um gerador síncrono pode fornecer, que está diretamente associado a limita-
ção da máquina primária. Esta curva limite é uma reta paralela ao eixo da po-
tência reativa que cruza o eixo da potência ativa no valor limite de potência
mecânica da máquina primária como pode ser visto na Figura 26.
Q
P
dd
Ia
ff
N
ff
PMAX
Figura 26 - Curva do limite de potência ativa
Capítulo 8 - Modelagem de Máquinas Síncronas
VIII - 23
A quarta curva limite está relacionada ao limite de excitação mínima
permissível. Quando a máquina opera com o módulo da tensão de Ef menor
que a tensão terminal isto é subexcitada, ela absorve potência reativa da rede.
A medida que a tensão Ef vai sendo reduzida, o torque eletromagnético vai
também sendo reduzido afetando também a estabilidade da máquina síncrona.
Se a fem de excitação Ef for nula a máxima potência reativa absorvida
pela máquina pode ser determinada a partir da equação [28], fazendo Ef = 0 e
a potência ativa suprida pela máquina síncrona nula (P = 0), assim:
s
t
X
V
Q
2
-= [29]
Em termos práticos a quarta curva limite corresponde a condição de
excitação mínima usualmente limitada a valores da ordem de 5 à 15% do valor
correspondente a excitação máxima. Esta curva limite corresponde a um cír-
culo de raio relacionado ao valor da excitação mínima e centro no ponto
(
s
t
X
V 2
- ,0) como pode ser visto na Figura 27.
Q
P
dd
Ia
ff
N
ff
PMAX
EfMIN
Figura 27 - Círculo de excitação mínima
A quinta curva limite está associada ao limitede estabilidade, relacio-
nado ao angulo de carga que conduz ao valor máximo de potência suprida
Capítulo 8 - Modelagem de Máquinas Síncronas
VIII - 24
pela máquina síncrona. Analisando a equação [20] verificamos que para a má-
quina síncrona de polos lisos esta situação ocorre para d = 900, isto é colocan-
do-se Ef perpendicularmente a Vt. Esta condição de operação corresponde a
fatores de potência fortemente capacitivos.
O conjunto de pontos onde d = 900 corresponde a uma reta paralela ao
eixo da potência ativa cruzando o eixo de potência reativa no ponto x =
s
t
X
V 2
-
como pode ser visto na Figura 28.
Q
P
dd
Ia
ff
N
ff
PMAX
EfMIN
dd = 900Limite de
estabilidade
teórico
Figura 28 - Limite de estabilidade teórico
A operação de uma máquina síncrona no limite de estabilidade teórico
embora possível seria indesejável pois resultaria numa condição de operação
bastante instável, pois qualquer perturbação mínima levaria a máquina a perda
de sincronismo. Por este fato, a operação nesta condição limite não pode ser
permitida, daí se definir um limite prático de estabilidade a partir do limite teóri-
co. Este limite prático é obtido de modo que a cada valor de Ef, a potência ati-
va seja limitada ao valor resultante da diferença entre o máximo teórico para
este valor de Ef e 10% da potência nominal. Dessa forma, na região de cargas
capacitivas o contorno passará a ser estabelecido pela linha limite prático de
estabilidade representado na Figura 29.
Capítulo 8 - Modelagem de Máquinas Síncronas
VIII - 25
Figura 29 - Limite prático de estabilidade
Resumindo a Figura 30 mostra a curva de capacidade de um gerador
síncrono de polos lisos identificando cada uma das curvas limites.
Figura 30 - Curva de capacidade de um gerador síncrono de polos lisos
Capítulo 8 - Modelagem de Máquinas Síncronas
VIII - 26
A obtenção da curva de capacidade para motores síncronos de polos
lisos segue o mesmo procedimento descrito anteriormente, apenas a curva
deve ser esboçada no terceiro e quarto quadrante do plano complexo pois a
potência ativa é negativa, indicando absorção de potência. Para esboçar a
curva de capacidade de uma máquina síncrona de polos salientes o procedi-
mento em essência é o mesmo do apresentado para a máquina de polos lisos,
apenas a presença do conjugado de relutância produz um componente adicio-
nal de potência modificando ligeiramente o formato da curva como pode ser
visto na Figura 31.
Figura 31 - Curva de capacidade de uma máquina de polos salientes
Concluindo é importante destacar que os fatores que limitam o campo
de operação das máquinas síncronas estão relacionados aos níveis de perdas
toleráveis, decorrentes do carregamento da máquina, que influenciam decisi-
vamente na produção de calor e na conseqüente elevação da temperatura de
trabalho seja no rotor, no estator ou em ambos. Qualquer elevação das perdas
e, em conseqüência, da temperatura, além dos limites, provocará o envelhe-
cimento precoce do material isolante, desgaste de suas propriedades dielétri-
cas e até mesmo sua destruição.
Capítulo 8 - Modelagem de Máquinas Síncronas
VIII - 27
8. CURTO CIRCUITO TRIFÁSICO NOS TERMINAIS DE UMA
MÁQUINA SÍNCRONA
A máquina síncrona é um grande circuito RL constituído de um con-
junto de enrolamentos (enrolamentos de armadura, enrolamento de campo e
enrolamentos amortecedores) acoplados eletromagneticamente. Como todos
os outros sistemas dinâmicos, a análise do comportamento de uma máquina
síncrona em qualquer instante de tempo t, exige a solução de um sistema de
equações diferenciais de um certo nível de complexidade, principalmente pelo
fato de boa parte das indutâncias próprias e mútuas variarem com a posição
do rotor.
Para que possamos entender fisicamente o modelo a ser utilizado para
estudar a máquina síncrona em regime transitório, este será apresentado a
partir da análise de um curto circuito trifásico nos seus terminais, como está
mostrado na Figura 32.
if
icc
Figura 32 - Curto circuito nos terminais de uma máquina síncrona
A máquina síncrona da Figura 32 é assumida de polos lisos e operan-
do em vazio com a tensão terminal fase neutro da fase a, dada por:
á).sen(wtv(t)v Ma += [30]
Em t=0 a chave da Figura 32 é fechada e os terminais da máquina síncrona
são curto circuitados, a corrente de curto circuito na fase a é dada por:
( ) ( ) AT
t
dT'
t
dT''
t
CC è).e.I".sen(á2-è)á.sen(wtI.eII'.eI'I".2(t)i
-
--
--+
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
+-+-= [31]
onde:
Capítulo 8 - Modelagem de Máquinas Síncronas
VIII - 28
I” - corrente subtransitória de curto circuito
I’ - corrente transitória de curto circuito
I - corrente de regime permanente de curto circuito
T”d – constante subtransitória de eixo direto em curto circuito
T’d - constante transitória de eixo direto em curto circuito
Ta – constante de tempo de armadura
a - q - fase inicial da corrente
CORRENTE DE CURTO CIRCUITO
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
TEMPO ( seg.)
C
O
R
R
E
N
T
E
 (
 p
u
 )
Figura 33 - Corrente de curto circuito trifásico na fase a
A Figura 33 apresenta o gráfico da corrente de curto circuito trifásico
da equação [31]. Analisando esta equação verificamos que a corrente de curto
circuito é composta de dois termos. O primeira termo da equação é uma senói-
de com amplitude variável que decai com o tempo sobre ação de duas cons-
tantes de tempo T’d e T’’d e é denominada componente CA (iCA). O segundo
termo é não periódico e decai exponencialmente com uma constante de tempo
TA. Este termo não periódico é chamado componente CC da corrente (iCC).
Portanto:
(t)i(t)i(t)i CCCACC += [32]
onde:
Capítulo 8 - Modelagem de Máquinas Síncronas
VIII - 29
( ) ( ) è)á.sen(wtI.eII'.eI'I".2(t)i dT'
t
dT''
t
AC -+
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
+-+-=
--
 [33]
AT
t
DC è).e.I".sen(á2-(t)i
-
-= [34]
CORRENTE DE CURTO CIRCUITO
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
TEMPO ( seg.)
C
O
R
R
E
N
T
E
 (
 p
u
 )
Figura 34 - Componentes CC e AC da corrente de curto trifásico
A Figura 34 apresenta o gráfico da corrente de curto circuito trifásico e
de suas duas componentes CA e CC. A componente CC surge de modo a sa-
tisfazer a condição física da corrente constante se manter em todas as indu-
tâncias da máquina no instante do curto circuito. Como a máquina síncrona
estava em vazio antes de ocorrer o curto nos seus terminais, existindo valor
inicial para a componente CA, a componente CC surge para anular a compo-
nente CA em t=0, uma vez que se em t =0- a corrente é nula nos enrolamentos
de armadura, em t=0+ tem que ser nula também pois se a corrente variar brus-
camente estaria contrariando o princípio de conservação da energia.
Devido a própria origem o termo CC, ela não existe se o circuito é fe-
chado num ponto da onda de tensão tal que a - q = ± np ( n inteiro positivo ou
negativo). Se o circuito é fechado no ponto da onda da tensão que a - q = ±
np/2, a componente CC tem seu máximo valor inicial para anular o valor má-
ximo da componente CA.
Capítulo 8 - Modelagem de Máquinas Síncronas
VIII - 30
A componente CC pode assim ter qualquer valor dependendo do valor
instantâneo da tensão quando o circuito é fechado e também do fator de po-
tência do circuito. Num sistema elétrico, sendo o valor instantâneo inicial da
tensão diferente nas três fases, a componente CA em t=0 é diferente nas três
fases, consequentemente teremos diferentes componentes CCnas três fases.
A Figura 35 ilustra este fato apresentando um gráfico das correntes de arma-
dura nas três fases e da corrente de campo durante a ocorrência de um curto
circuito nos terminais de uma máquina síncrona em vazio.
Figura 35 - Correntes de curto e de campo durante um curto trifásico
Um outro aspecto que é importante ressaltar relacionada a compo-
nente CC da corrente de curto circuito trifásico nos terminais de uma máquina
síncrona, é que esta componente, torna a corrente de curto trifásica assimétri-
ca em relação ao eixo dos tempos. Se a componente CC não existir a corrente
de curto circuito terá apenas a componente CA, será simétrica em relação ao
eixo dos tempos, e neste caso particular a corrente de curto circuito é denomi-
nada corrente simétrica de curto circuito.( Figura 36).
Capítulo 8 - Modelagem de Máquinas Síncronas
VIII - 31
Figura 36 – Corrente simétrica de curto circuito
Admitindo a máquina síncrona em vazio antes da ocorrência do curto,
o fluxo magnético produzido pela corrente de campo, induz uma tensão Ef nos
enrolamentos de armadura. Com a máquina síncrona em regime permanente
na velocidade síncrona, o fluxo que enlaça os enrolamentos amortecedores é
constante, não existindo portanto tensão induzida ou corrente nestes enrola-
mentos. Ocorrendo um curto circuito trifásico nos terminais desta máquina,
como os enrolamentos de armadura são predominantemente indutivo, a cor-
rente de curto circuito estará praticamente em cima do eixo direto da máquina,
produzindo um fluxo em oposição de fase ao fluxo de campo. Deste fato se diz
que a corrente de curto circuito tem efeito desmagnetizante. Como os fluxos
concatenados com o enrolamento de campo e com os enrolamentos amortece-
dores não podem variar instantaneamente são então induzidas correntes mag-
netizantes nos enrolamento de campo e nos enrolamentos amortecedores de
forma a contrabalancear a fmm desmagnetizante criado pela corrente de curto.
A Figura 37 apresenta o oscilograma da corrente de campo durante a
ocorrência de um curto circuito trifásico nos terminais de uma máquina síncro-
na de polos lisos, pode-se observar que ela consiste de uma componente uni-
direcional (linha pontilhada) e uma componente alternada, ambas decaem no
tempo até atingir o valor de regime permanente.
Capítulo 8 - Modelagem de Máquinas Síncronas
VIII - 32
Figura 37 - Corrente de campo durante um curto circuito trifásico
Analisando a equação [3] verifica-se que a componente CA tem uma
amplitude que decai no tempo, constituída por três períodos distintos. O perí-
odo imediatamente após a falta é denominado de subtransitório, se caracteriza
por valores muito elevados da corrente de curto circuito devido as influências
dos enrolamentos de campo e amortecedores. Como o fluxo magnético nos
enrolamentos não pode variar bruscamente, tensões são induzidas em ambos
enrolamentos para que entre t=0- e t=0+ o fluxo enlaçado pelos enrolamentos
devido a ocorrência de um curto circuito súbito não varie.
O enrolamento amortecedor é o principal responsável pelo apareci-
mento do período subtransitório. Sua atuação é idêntica à gaiola de um motor
de indução. Em regime permanente, o rotor gira à velocidade síncrona, ou
seja, não existe escorregamento. Em conseqüência, não haverá indução de
corrente no enrolamento amortecedor e tudo se passa como se ele não exis-
tisse. Sua presença e eficiência serão sentidas nos primeiros ciclos do curto-
circuito. Isto porque, com o curto circuito, se estabelece momentaneamente,
variação entre o campo girante do estator (armadura ) e o do rotor , induzindo
corrente no enrolamento amortecedor. Estas corrente produzem um campo
magnético adicional, que impede maiores oscilações do rotor, dando maior
estabilidade a máquina. Portanto, o enrolamento amortecedor é importante
para aumentar a estabilidade da máquina frente ao sistema elétrico. Mas, em
contrapartida, aumenta a corrente de curto-circuito, e consequentemente, au-
mentando também o dimensionamento dos disjuntores, e TC’s. Uma máquina
síncrona sem enrolamento amortecedor na cabeça polar, não terá o período
Capítulo 8 - Modelagem de Máquinas Síncronas
VIII - 33
subtransitório e o curto-circuito se dará imediatamente dentro do período
transitório .
A duração do período imediatamente após a falta está diretamente re-
lacionada a constante de tempo subtransitória (da ordem de quatro vezes esta
constante) que é da ordem de alguns ciclos. Se desconsiderarmos o decai-
mento provocado pelas constantes de tempo Td’ e Td”, a componente CA fica
reduzida a uma senóide de amplitude I’’, isto é:
è)á.I".sen(wt2(t)iAC -+= [35]
O valor eficaz da corrente de curto circuito I’’ neste período é denomi-
nado corrente subtransitória de curto circuito e sua intensidade pode ser ex-
pressa admitindo que durante este período a reatância da máquina é diferente,
pela seguinte equação:
Xd"
E
jXd"Ra
E
'I' @
+
= [36]
 Quando a máquina síncrona não possui enrolamentos amortecedores
ou quando o efeito destes enrolamentos já tenham cessados, a corrente de
curto circuito se encontra no período transitório que tem duração de alguns
ciclos de até alguns segundos.
 O período transitório é caracterizado por um decaimento mais suave
e por período maior do que o período subtransitório. O principal responsável
pela dinâmica deste período é o enrolamento de campo. Este enrolamento é
energizado, como já se sabe, por uma fonte de corrente contínua, cuja corrente
cria um campo magnético que gira à velocidade síncrona. Durante o curto-
circuito, a brusca mudança do fluxo enlaçado nos enrolamentos provoca osci-
lações, e o enrolamento de campo do rotor passa a funcionar como uma gaio-
la, onde é induzida, por reação, uma corrente alternada. O enrolamento de
campo é encarado como um curto-circuito pela corrente CA induzida. A com-
ponente induzida da corrente de campo determina o comportamento da cor-
rente de estator durante o período transitório. Ela simplesmente representa
Capítulo 8 - Modelagem de Máquinas Síncronas
VIII - 34
maior excitação da máquina do que está presente no regime permanente, e
consequentemente as correntes de estator durante o período transitório são
maiores do que no regime permanente. A corrente induzida no campo, não
sendo mantida por um tensão aplicada ao circuito de campo, decresce numa
taxa determinada pela resistência do circuito de campo e pela indutância equi-
valente, e o correspondente acréscimo de corrente de estator decresce com
a mesma taxa, como pode-se ver na Figura 35.
Cessado ou simplesmente não existindo o efeito dos enrolamentos
amortecedores e desconsiderando o decaimento provocado pelas constante
de tempo Td’, a componente CA fica reduzida a uma senóide de amplitude I’,
isto é:
è)á.I'.sen(wt2(t)iAC -+= [37]
O valor eficaz da corrente de curto circuito I’ neste período é denomi-
nado corrente transitória de curto circuito e sua intensidade pode ser expressa
admitindo que durante este período a reatância da máquina é também dife-
rente, pela seguinte equação:
Xd'
E
jXd'Ra
E
I' @
+
= [38]
Após aproximadamente quatro constantes de tempo transitórias, a in-
fluência a corrente de campo estabiliza e a corrente de curto circuito da arma-
dura atinge o terceiro período desta corrente denominado corrente de regime
permanente de curto circuito. Neste período a componente CA fica reduzida a
uma senóide de amplitude I, dada por:
è)á.I.sen(wt2(t)iAC -+= [39]
O valor eficazda corrente de regime permanente de curto circuito I é
expressa pela seguinte equação:
Xd
E
jXdRa
E
I @
+
= [40]
Capítulo 8 - Modelagem de Máquinas Síncronas
VIII - 35
Na realidade, durante a ocorrência de um curto-circuito num sistema
elétrico, a máquina síncrona não chega a atingir o regime permanente de cur-
to, porque antes de se atingir este regime, os dispositivos de proteção, isto é,
os relés promovem a abertura dos disjuntores, eliminando o defeito.
9. REATÂNCIAS DA MÁQUINA SÍNCRONA
A variação da corrente de curto circuito analisada anteriormente de-
monstra que, para se determinar com exatidão os valores instantâneos corres-
pondentes aos diferentes instantes, é necessário conhecer três reatâncias di-
ferentes do gerador, as quais sejam: a reatância subtransitória Xd’’, a reatân-
cia transitória Xd’ e a reatância síncrona Xd. A Figura 38 mostra os fluxos de
eixo d e eixo q relacionadas a cada uma destas reatâncias durante o curto.
Figura 38 - Reatâncias da máquina síncrona
Capítulo 8 - Modelagem de Máquinas Síncronas
VIII - 36
A reatância subtransitória Xd’’ compreende a reatância de dispersão
dos enrolamentos do estator e do rotor do gerador, estando incluídos na dis-
persão do rotor as influências do enrolamento de amortecimento e das partes
maciças do rotor. A reatância subtransitória também é designada por reatân-
cia inicial. O valor relativo da reatância subtransitória é nos turbo geradores,
da ordem de 12%. Nas máquinas de pólos salientes e com enrolamentos
amortecedores, é de 18% .
A reatância transitória Xd’, engloba a reatância de dispersão do enro-
lamento do estator e de excitação do gerador. Geralmente o seu valor é mais
elevado do que a reatância subtransitória. Se, porém, o rotor tem pólos e car-
caça laminados e tem enrolamentos amortecedores, então o valor de ambas é
praticamente o mesmo. A reatância transitória é às vezes conhecida por rea-
tância total de dispersão. O valor relativo da reatância transitória, em turbo
geradores é da ordem de 18% e nas máquinas de pólos salientes com en-
rolamentos amortecedores atinge 27%. Em ambos os casos portanto, o seu
valor é aproximadamente igual a 1,5 vezes o valor da reatância subtransitória.
A reatância síncrona Xd engloba a reatância total do enrolamento rotor
do gerador (reatância de dispersão mais a reatância da reação do induzido). O
seu valor relativo equivale ao valor recíproco da relação de curto-circuito em,
vazio, sendo em média igual a 160% nos turbo geradores e igual a 100% nas
máquinas com pólos salientes.
Todas as reatâncias mencionadas pertencem ao conceito de reatân-
cias de seqüência positiva. Tratando-se unicamente de diferentes valores
desse, particulares ao gerador e necessários para a determinação dos valores
instantâneos de curto-circuito.
O subíndice ‘’d’’ indica que as reatância são referidas a uma posição
do rotor, na qual o eixo do enrolamento do rotor e do estator coincidem. Este
eixo é designado por eixo direto. Além destas reatâncias, o gerador também
possui reatâncias nos eixos transversais, designado eixo em quadratura ou
eixo q, as quais entretanto, praticamente não tem maior importância para o
cálculo das condições de curto-circuito.
Capítulo 8 - Modelagem de Máquinas Síncronas
VIII - 37
10. CIRCUITOS EQUIVALENTES DA MÁQUINA SÍNCRONA
Para que possa determinar todas as expressões das reatâncias e
constantes de tempo da máquina síncrona, é essencial apresentar os circuitos
equivalentes da máquina síncrona de eixo direto e em quadratura em pu para
estudos de fenômenos transitórios envolvendo máquinas síncronas. Estes cir-
cuitos tem os enrolamentos de rotor (enrolamento de campo e amortecedores)
referidos ao estator.
O circuito equivalente de eixo direto ou de eixo d da maquina síncrona
é apresentado na Figura 39 enquanto que o do eixo em quadratura ou eixo q é
mostrado na Figura 40.
Figura 39 - Circuito equivalente de eixo d da máquina síncrona
Figura 40 - Circuito equivalente de eixo q da máquina síncrona
A expressão da reatância subtransitória de eixo direto da maquina sín-
crona pode ser obtida a partir do circuito equivalente de eixo d da Figura 39.
Desconsiderando todas as resistências envolvidas, a reatância subtransitória
de eixo direto é a reatância equivalente vista de aa’.( Figura 41)
Capítulo 8 - Modelagem de Máquinas Síncronas
VIII - 38
Figura 41 - Reatância subtransitória de eixo d
 Analisando a Figura 41 podemos escrever que:
dfdkdkdf
dkdf
ld
.XX.XX.XX
.X.XX
XX"
jj
j
++
+= [41]
De forma semelhante pode-se obter a expressão da reatância transitó-
ria de eixo direto da maquina síncrona a partir do circuito equivalente de eixo d
da Figura 41, desconsiderando a influência do enrolamento amortecedor e re-
atância equivalente vista de aa’:
df
df
ld
X.X
.XX
XX'
j
j
+
+= [42]
Desconsiderando a influência do enrolamento amortecedor e do enro-
lamento de campo a reatância equivalente vista de aa’ é a reatância síncrona
de eixo direto,
dld XXX j+= [43]
Para a obtenção das reatâncias do gerador do eixo em quadratura ou
eixo q, utiliza-se o mesmo procedimento, contudo como não existe influência
do enrolamento de campo na variação do fluxo enlaçado em quadratura, não
se determina a reatância transitória de eixo q. A partir do circuito equivalente
de eixo q apresentado na Figura 40, desconsiderando as resistências obtemos
o circuito equivalente da Figura 42.
Capítulo 8 - Modelagem de Máquinas Síncronas
VIII - 39
Figura 42 - Reatância subtransitória de eixo q
A reatância subtransitória de eixo em quadratura é a reatância equi-
valente vista de aa’, isto é:
q
q
j
j
X.X
.XX
XX"
l
l
lq
+
+= [44]
Desconsiderando a influência do enrolamento amortecedor e do enro-
lamento de campo a reatância equivalente vista de aa’ é a reatância síncrona
de eixo direto,
qjXXX lq += [45]
Os circuitos equivalentes de eixo direto e em quadratura apresentados
na Figura 39 e na Figura 40 respectivamente também podem ser utilizados
para obter as constantes de tempo da máquina síncrona.
A constante de tempo subtransitória de eixo direto em circuito aberto
T”do da máquina síncrona, fisicamente está relacionada a influência dos enro-
lamentos amortecedores quando ocorrem variações bruscas no fluxo de cam-
po com a máquina operando em vazio. A constante de tempo subtransitória do
gerador em vazio Tdo’’ tem usualmente valores que estão entre 40 e 60 ms. Ela
pode ser determinada a partir do circuito equivalente de eixo direto (Figura 39),
assumindo os terminais de estator em aberto, a relação X/R vista do enrola-
mento amortecedor, desconsiderando a resistência de campo é dada por:
kd
df
df
kd
''
do Rù
XX
XX
X
T
×
+
×
+
= j
j
 [46]
Capítulo 8 - Modelagem de Máquinas Síncronas
VIII - 40
A constante de tempo subtransitória de eixo direto em curto circuito Td’’
depende das propriedades amortecedoras do circuito de corrente do rotor, e,
em especial, do enrolamento amortecedor. Ela pode ser determinada a partir
do circuito equivalente de eixo direto (Figura 39), assumindo os terminais de
estator em curto, a relação X/R vista do enrolamento amortecedor, desconside-
rando as resistência de campo e de armadura é dada por:
kd
ldlffd
ldf
kd
''
d Rù
XXXXXX
XXX
X
T
×
×+×+×
××
+
= jj
j[47]
No caso de um curto-circuito nos terminais do gerador Td’’ tem valores
típicos entre 20 e 30 milisegundos, variando relativamente pouco de máquina
síncrona para máquina, de forma que todo o fenômeno subtransitório fica limi-
tado a 1 ou 2 ciclos.
Para o cálculo das constantes de tempo transitória, a influência do en-
rolamento de amortecedor cessou, e o decaimento da corrente de curto circuito
neste período passa a ser comandado pelo enrolamento de campo.
A constante de tempo transitória de eixo direto em circuito aberto T”do
da máquina síncrona, fisicamente está relacionada a influência do enrolamento
de campo quando ocorrem variações bruscas no fluxo de campo com a máqui-
na operando em vazio. A constante de tempo transitória do gerador em vazio
Tdo’ tem usualmente valores que estão entre 2 e 12 segundos Os valores me-
nores são encontrados para as máquinas com pólos salientes e os maiores
nos turbogeradores. Ela pode ser determinada a partir do circuito equivalente
de eixo direto (Figura 39), assumindo os terminais de estator em aberto, a re-
lação X/R vista do enrolamento de campo, é dada por:
f
df''
do Rù
XX
T
×
+
= j [48]
 A constante de tempo transitória de eixo direto em curto circuito Td’ é
função das propriedades amortecedoras do circuito de excitação. Seu valor
sofre a influência do tipo de curto-circuito, de modo que os valores são dife-
Capítulo 8 - Modelagem de Máquinas Síncronas
VIII - 41
rentes nos casos de defeitos trifásico, bifásico ou monofásico. Num curto cir-
cuito trifásico, a constante de tempo Td’ nos casos em que o curto-circuito
ocorre junto dos terminais do gerador seu valor se reduz a valores próximos de
1s nos turbogeradores e de 2s nas máquinas síncronas com pólos salientes.
Portanto o fenômeno transitório somente desaparece após um tempo de 3 a 8
segundos.
A constante de tempo subtransitória de eixo direto em curto circuito Td’’
pode ser determinada a partir do circuito equivalente de eixo direto (Figura 39),
assumindo os terminais de estator em curto, a relação X/R vista do enrola-
mento de campo, desconsiderando a resistência de armadura é dada por:
f
fd
ld
f
'
d Rù
XX
XX
X
T
×
+
×
+
= j
j
 [49]
A constante de tempo de armadura Ta define a duração da compo-
nente CC da corrente de curto circuito e é expressa pela seguinte equação:
a
d
A
R.w
"X
T = [50]
Para os valores típicos de resistência de armadura e reatância sub-
transitória das máquinas síncronas de polos lisos e polos salientes, a cons-
tante de tempo de armadura varia entre 0,1 e 0,2 segundos, de tal forma que
usualmente com pouco menos que um segundo ( 0.4 a 0.8 segundos) a com-
ponente CC desaparece. A constante de tempo TA é importante na definição
no valor de pico máximo da corrente de curto circuito, quanto maior seu valor,
mais lentamente a componente CC decai, fazendo com que uma maior parcela
desta componente contribua para o valor do pico máximo.
Capítulo 8 - Modelagem de Máquinas Síncronas
VIII - 42
11. CURTO CIRCUITO TRIFÁSICO AFASTADO DOS TERMI-
NAIS DA MÁQUINA SÍNCRONA
Considere o sistema elétrico mostrado na Figura 43, onde o curto cir-
cuito trifásico ocorre num ponto P ‘afastado’ eletricamente da falta, isto é, num
ponto onde existe uma impedância Zn entre os terminais da máquina síncrona
e a falta.
Zn = Rn + jXn PG1
Figura 43 - Curto trifásico num ponto P
A corrente de curto circuito trifásico num ponto P afastado dos termi-
nais da máquina síncrona é expressa pela mesma equação [31], apenas cada
um dos parâmetros precisa ser recalculado levando em consideração a impe-
dância Zn entre a máquina e o ponto de falta. Portanto, para as correntes sub-
transitória, transitória e de regime permanente de curto circuito, obtemos:
nnd jXR"jXRa
E
'I'
+++
= [51]
nnd jXRjX'Ra
E
I'
+++
= [52]
nnd jXRjX'Ra
E
I'
+++
= [53]
Analisando as equações verificamos que quanto maior for a impedân-
cia Zn, mais próximo estarão os módulos de cada uma correntes fazendo com
que a componente CA da corrente de curto circuito seja quase que uma senói-
de pura.
Capítulo 8 - Modelagem de Máquinas Síncronas
VIII - 43
A constante de tempo de armadura TA é também afetada quando o
curto circuito ocorre afastado da máquina, pois ela é definida pelas caracte-
rísticas amortecedoras do estator, isto é, pela relação entre a reatância e a
resistência vista do enrolamento do estator incluindo portanto nesta situação a
impedância entre os terminais da máquina e o ponto de falta, daí:
)RR.(w
X"X
T
na
nd
A
+
+
= [54]
Na seção anterior foi descrito que no caso de um curto circuito nos
terminais do gerador, o valor de Ta varia entre 0,1 e 0,2s, quando o curto cir-
cuito ocorre num dado ponto P, a constante de tempo será tanto menor,
quanto menor for o valor de Xn/Rn, como pode ser visto no gráfico da Figura
44. Portanto, quando o curto-circuito se dá afastado dos terminais da máquina,
a componente da corrente contínua tende a desaparecer rapidamente, sempre
que a rede possua resistências ôhmicas acentuadas.
Figura 44 - Variação da constante de tempo de armadura com R/X
As constantes de tempo da componente CA também são significativa-
mente afetadas pela impedância Zn e pela relação X/R desta impedância entre
Capítulo 8 - Modelagem de Máquinas Síncronas
VIII - 44
os terminais da máquina e o ponto de falta. Inicialmente vamos considerar que
a impedância Zn é predominantemente indutiva, nesta situação as constantes
de tempo subtransitória e transitória de eixo direto em curto circuito podem ser
determinadas a partir das constantes de tempo subtransitória e transitória de
eixo direto em circuito aberto pelas seguintes equações:
''
doT
nX
'
dX
nX
''
dX"dT ×+
+
= [55]
'
doT
nXdX
nX
'
dX'dT ×+
+
= [56]
Como das constantes de tempo subtransitória e transitória de eixo di-
reto em circuito aberto tem valores mais elevados que as constantes de tempo
subtransitória e transitória em curto circuito, quanto maior o valor de Xn, maio-
res serão os valores constantes de tempo subtransitória e transitória de eixo
direto em curto circuito e consequentemente maiores serão as durações dos
respectivos períodos da componente CA.
No caso da impedância Zn ser predominantemente resistiva as cons-
tantes de tempo subtransitória e transitória da componente CA também serão
ampliadas, embora este efeito seja mais acentuado na constante de tempo
transitória que passa a ser determinada pela seguinte equação:
'
do
ndnd
2
n
n
'
dnd
2
n
d TXX)X(XR
XX)X(XR
'T ×
+++
+++
= [57]
A figura mostra o crescimento da constante de tempo T’d referida a
constante de tempo do rotor em vazio T’do, tanto no caso particular da impe-
dância Zn ter característica puramente indutiva, quanto predominantemente
resistiva . A resistência ôhmica tem, supostamente, um valor 3 vezes maior
que o da reatância, o que corresponde a um angulo de impedância de 30o,
valor este típicos em alimentadores e cabos .
Capítulo 8 - Modelagem de Máquinas Síncronas
VIII - 45
Figura 45 - Variação de T'do para uma falta distante da máquina
12. VALOR DE PICO MÁXIMO DA CORRENTE DE CURTO
CIRCUITO TRIFÁSICO
Um valor elevado de corrente,como uma corrente de curto, circulando
num dado ponto de um sistema elétrico, produz nos condutores e equipamen-
tos dois tipos de efeitos um térmico e outro dinâmico.
O efeito térmico está relacionado ao Efeito Joule, isto é, ao aquecimento
produzido pela energia dissipada quantificada por R.I2 onde I é o valor eficaz
da corrente. Um aquecimento excessivo pode produzir danos irreversíveis aos
materiais e equipamentos como a própria fusão dos materiais envolvidos.
F
Condutor 1
Condutor 2
i1(t)
i2(t)
B2
B1D
Figura 46 – Efeito dinâmico produzido por condutores
A Figura 46 apresenta dois condutores 1 e 2 retilíneos de raio R e
afastados por uma distância D, percorridos por duas correntes de mesmo
Capítulo 8 - Modelagem de Máquinas Síncronas
VIII - 46
sentido i1(t) e i2(t) respectivamente. A corrente i1(t) circulando pelo condutor 1,
produz uma indução magnética B1 expressa pela seguinte equação, obtida a
partir da Lei de Ampère:
D
ti
B
..2
)(. 10
1
p
m
= [58]
A indução magnética B1 origina no condutor 2 uma força de atração
para o condutor 1 expressa pela seguinte equação:
D
titi
F
..2
)().(. 210
p
m
= [59]
Analisando a equação [59] , verificamos que a passagem da corrente
elétrica produz esforços mecânicos que estão associados ao quadrado dos
valores instantâneos de corrente. Em caso de valores elevados de corrente, se
os materiais e equipamentos não estiverem dimensionados para suportar os
valores de pico máximo destas correntes, os esforços mecânicos produzidos
poderão produzir deformações, fadigas e até mesmo rupturas. Para que se
possa avaliar a suportabilidade de materiais e equipamentos a estes esforços
torna-se essencial o cálculo do maior valor de pico produzido pela corrente de
curto circuito num dado ponto de um sistema elétrico.
Obter o valor de pico máximo para a corrente de curto circuito trifásico
expressa pela equação [31] a partir dos conceitos de Cálculo determinando os
pontos críticos da curva e verificando se tratar de ponto de máximo da função
conduziria o problema para uma solução numérica. Contudo, analisando a
equação [31] podemos observar que:
· O valor de pico máximo da corrente de curto circuito trifásico ocorre
quando tivermos a máxima componente CC.
· A máxima componente CC num curto circuito trifásico, implica em um
valor máximo da componente CA no instante inicial, isto é em
2
.ð
nèá ±=-
Capítulo 8 - Modelagem de Máquinas Síncronas
VIII - 47
Nestas condições o instante no qual ocorrerá o valor de pico máximo
será aproximadamente meio ciclo ou 8,33ms, e este valor pode ser determina-
do fazendo a-q =-900 e t =0,00833 milisegundos na equação [31] o que resulta
em:
( ) ( ) AT
t
dT'
t
d'T'
t
CCPICOMAX e.I"2
2
ð
wt.senI.eII'.eI'I".2(0,00833)ii
-
--
+÷
ø
ö
ç
è
æ -
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
+-+-== [60]
Este valor de pico máximo da corrente de curto circuito trifásico num
dado ponto de um sistema elétrico pode ainda ser determinado de forma apro-
ximada e pessimista desprezando os decaimentos exponenciais do período
subtransitório e transitório, isto é:
AT
t
CCPICOMAX e.I"2
2
ð
wt.I".sen2(0,00833)ii
-
+÷
ø
ö
ç
è
æ -== [61]
Em qualquer instante de tempo t valor eficaz da corrente de curto cir-
cuito pode ser obtido pela seguinte equação:
[ ] [ ]2DC2CARMSCC (t)I(t)I(t)I += [62]
onde:
( ) ( )
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
+-+-=
--
I.eII'.eI'I"(t)I dT'
t
d'T'
t
CARMS [63]
e:
( )âásene.I"2(t)I AT
t
DC --=
-
 [64]
13. BIBLIOGRAFIA
[1] Kinderman, G. - Curto Circuito
[2] Robba, E. J. - Introdução aos Sistemas Elétricos de Potência
[3] Clarke, Edith – Circuit Analysis of A.C. Power Systems
Capítulo 8 - Modelagem de Máquinas Síncronas
VIII - 48
[4] Roeper, Richard – Correntes de curto circuito em redes trifásicas - Siemens
[5] Stevenson, W. D. – Elementos de Analise de Sistemas de Potência
[6] Fitzgerald, A. E. - Máquinas Elétricas
[7] Elgerd, Olle – Introdução à Teoria de Sistemas de Energia Elétrica
[8] Altino, Luciana – Transitório de Máquinas Elétricas
[9] Feijó, José Antonio – Curva de Capacidade