Lista cálculo A

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MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO 
SECRETARIA DE EDUCAÇÃO PROFISSIONAL E TECNOLÓGICA 
INSTITUTO FEDERAL DE SANTA CATARINA – CAMPUS FLORIANÓPOLIS 
DEPARTAMENTO ACADÊMICO DE LINGUAGEM, TECNOLOGIA, EDUCAÇÃO E CIÊNCIA 
 
 
Curso: Engenharias 
Disciplina: Cálculo A 
Prof: Jorge Paulino da Silva Filho 
 
 
EXERCÍCIOS DE PRÉ-CÁLCULO – LISTA 02 
 
Temas: 
 
- Funções - definição, domínio, conjunto imagem 
- Função Afim, Função e Inequação do 1o grau – gráficos 
- Função e Inequação do 2o grau – gráficos 
- Qualidades de uma função – injetora, sobrejetora e bijetora. Paridade e periodicidade 
- Função Composta e Inversa 
 
 
1) (Espcex 2014) Na figura abaixo está representado o gráfico da função polinomial f, definida no intervalo real 
[a,b]. 
 
 
 
Com base nas informações fornecidas pela figura, podemos afirmar que: 
a) f é crescente no intervalo [a,0]. 
b) 
f(x) f(e)
 para todo x no intervalo [d, b]. 
c) 
f(x) 0
 para todo x no intervalo [c, 0]. 
d) a função f é decrescente no intervalo [c,e]. 
e) se 
1x [a,c]
 e 
2x [d,e],
 então 
1 2f(x ) f(x ).
 
 
2) (Epcar 2013) O gráfico abaixo descreve uma função 
f : A B
 
 
 
 
 
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Analise as proposições que seguem. 
 
I. 
A *
 
II. f é sobrejetora se 
 B – –e, e
 
III. Para infinitos valores de 
x A,
 tem-se 
 f x –b
 
IV. 
       f –c – f c f –b f b 2b  
 
V. f é função par. 
VI. 
 x | f x d   
 
 
São verdadeiras apenas as proposições 
a) I, III e IV b) I, II e VI c) III, IV e V d) I, II e IV 
 
3) (Ufpr 2017) O gráfico abaixo representa o consumo de bateria de um celular entre as 
10 h
 e as 
16 h
 de um 
determinado dia. 
 
 
 
Supondo que o consumo manteve o mesmo padrão até a bateria se esgotar, a que horas o nível da bateria atingiu 
10%?
 
a) 
18 h.
 b) 
19 h.
 c) 
20 h.
 d) 
21h.
 e) 
22 h.
 
 
 
4) (ifsp 2016) O gráfico abaixo apresenta informações sobre a relação entre a quantidade comprada 
(x)
 e o valor 
total pago 
(y)
 para um determinado produto que é comercializado para revendedores. 
 
 
 
Um comerciante que pretende comprar 
2.350
 unidades desse produto para revender pagará, nessa compra, o 
valor total de: 
a) 
R$ 4.700,00.
 b) 
R$ 2.700,00.
 c) 
R$ 3.175,00.
 d) 
R$ 8.000,00.
 e) 
R$ 1.175,00.
 
 
 
 
 
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5) (Unesp 2016) Em um experimento com sete palitos de fósforo idênticos, seis foram acesos nas mesmas 
condições e ao mesmo tempo. A chama de cada palito foi apagada depois de 
t
 segundos e, em seguida, anotou-
se o comprimento 
x,
 em centímetros, de madeira não chamuscada em cada palito. A figura a seguir indica os 
resultados do experimento. 
 
 
 
Um modelo matemático consistente com todos os dados obtidos no experimento permite prever que o tempo, 
necessário e suficiente, para chamuscar totalmente um palito de fósforo idêntico aos que foram usados no 
experimento é de 
a) 1 minuto e 2 segundos. 
b) 1 minuto. 
c) 1 minuto e 3 segundos. 
d) 1 minuto e 1 segundo. 
e) 1 minuto e 4 segundos. 
 
6) (Fuvest 2015) A função 
f
 está definida da seguinte maneira: para cada inteiro ímpar 
n,
 
 
 x n 1 , se n 1 x n
f(x)
n 1 x, se n x n 1
     
 
    
 
 
a) Esboce o gráfico de 
f
 para 
0 x 6. 
 
b) Encontre os valores de 
x,
 
0 x 6, 
 tais que 
1
f(x) .
5

 
 
7) (Espm 2014) A função 
f(x) ax b 
 é estritamente decrescente. Sabe-se que 
f(a) 2b
 e 
f(b) 2a.
 O valor de 
f(3)
 é: 
a) 
2
 b) 
4
 c) 
2
 d) 
0
 e) 
1
 
 
8) (Uemg 2017) Seja 
p(x)
 um polinômio do 2º grau, satisfazendo as seguintes condições: 
 

 
1
 e 
4
 são raízes de 
p(x).
 

 
p(5) 12. 
 
 
O maior valor de 
x
 para o qual 
p(x) 8
 é 
a) 
0.
 b) 
3.
 c) 
6.
 d) 
12.
 
 
 
 
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9) (Epcar 2017) No plano cartesiano abaixo estão representados o gráfico da função real 
f
 definida por 
2f(x) x x 2   
 e o polígono 
ABCDE.
 
 
 
 
Considere que: 
 
- o ponto 
C
 é vértice da função 
f.
 
- os pontos 
B
 e 
D
 possuem ordenadas iguais. 
- as abscissas dos pontos 
A
 e 
E
 são raízes da função 
f.
 
 
Pode-se afirmar que a área do polígono 
ABCDE,
 em unidades de área, é 
a) 
1
8
16
 b) 
1
4
8
 c) 
1
4
4
 d) 
1
8
2
 
 
10) (epcar 2017) Nos gráficos abaixo estão desenhadas uma parábola e uma reta que representam as funções 
reais 
f
 e 
g
 definidas por 
2f(x) ax bx c  
 e 
g(x) dx e, 
 respectivamente. 
 
 
 
Analisando cada um deles, é correto afirmar, necessariamente, que 
a) 
(a e) c b  
 b) 
e
b
d
  
 c) 
e
a b c 0
d
   
 d) 
( b a) e a c    
 
 
11) (Ufpr 2017) Um agricultor tem arame suficiente para construir 
120 m
 de cerca, com os quais pretende montar 
uma horta retangular de tamanho a ser decidido. 
 
a) Se o agricultor decidir fazer a horta com todos os lados de mesmo tamanho e utilizar todo o arame disponível 
cercando apenas três dos seus lados, qual será a área da horta? 
b) Qual é a área máxima que a horta pode ter se apenas três dos seus lados forem cercados e todo o arame 
disponível for utilizado? 
 
12) (Pucsp 2016) Para abastecer seu estoque, um comerciante comprou um lote de camisetas ao custo de 16 
reais a unidade. Sabe-se que em um mês, no qual vendeu 
(40 x)
 unidades dessas camisetas ao preço unitário 
de 
x
 reais, o seu lucro foi máximo. Assim sendo, pela venda de tais camisetas nesse mês, o percentual de 
aumento repassado aos clientes, calculado sobre o preço unitário que o comerciante pagou na compra do lote, foi 
de: 
 
a) 
80%
 b) 
75%
 c) 
60%
 d) 
45%
 
 
 
 
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13) (Acafe 2016) A função 
f : ,
 definida para todo 
x
 real, pode ser representada através da equação dada 
por 
f(x 1) f(x) 3 4x.   
 Sabendo que o gráfico da função 
f(x)
 é uma parábola e que o valor máximo dessa 
função é dado por uma constante real acrescida do valor do coeficiente independente da função, pode-se concluir 
que o valor dessa constante é: 
a) 
25 8
 b) 
25 4
 c) 
1 8
 d) 
7 8
 
 
14) (ifsul 2015) Considerando a função 
f : [ 1,1[  
 dada por 
2f(x) x 1, 
 a imagem é dada pelo intervalo 
a) 
[1, [ 
 b) 
[0, [ 
 c) 
] , 0]
 d) 
] , 1] 
 
 
 
15) (Insper 2013) No gráfico estão representadas duas funções: f(x) do primeiro grau e g(x) do segundo grau.O gráfico que melhor representa a função h(x) = f(x) + g(x) é 
 
 
a) b) c) 
 
 
d) e) 
 
16) (cftmg 2012) Se a função 
1
L(x) 10.(x 2). x
10
 
   
 
 representa o lucro de uma indústria em que x é a 
quantidade de unidades vendida, então o lucro será 
a) mínimo para 
x 3.
 b) positivo para 
x 2.
 
c) máximo para 
1
x .
10

 d) positivo para 
1
x 2.
10
 
 
 
 
 
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17) (Pucrj 2015) Quantas soluções inteiras tem a inequação 
  2x 10x 21 0
? 
a) 
3
 b) 
4
 c) 
5
 d) 
6
 e) 
7
 
 
18) (Espm 2013) O número de soluções inteiras do sistema de inequações 
2
2x 3
3
2
x 2x 8



  
 é igual a: 
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 
 
 
19) (Ufjf 2012) Sejam 
f : e g : 
funções definidas por 
2f(x) x 14 e g(x) x 6x 8,     
 
respectivamente. 
 
a) Determine o conjunto dos valores de x tais que 
f(x) g(x).
 
b) Determine o menor número real 
κ
 tal que 
f(x) g(x)κ 
 para todo 
x .
 
 
20) (Uespi 2012) Em qual dos intervalos abertos seguintes, o gráfico da parábola 
2y 3x 4x 3  
 fica abaixo do 
gráfico da parábola 
2y x 3? 
 
a) (-1, 4) b) (0, 5) c) (-2, 1) d) (-2, 4) e) (-1, 3) 
 
21) (Uft 2010) Seja a um número real e 
   f : , a,   
 uma função definida por f(x) = m2x2 + 4mx + 1, com 
m

0. O valor de a para que a função f seja sobrejetora é: 
a) – 4 b) – 3 c) 3 d) 0 e) 2 
 
 
22) (Udesc 2013) A função 
f
 definida por 
2f(x) 1 x 
 é uma função bijetora, se os conjuntos que representam o 
domínio 
(D(f ))
 e a imagem 
(Im(f ))
 são: 
a) 
D(f) 
 e 
lm(f) [1, [ 
 
b) 
D(f) ] ,0] 
 e 
lm(f) 
 
c) 
D(f) 
 e 
lm(f) 
 
d) 
D(f) [0, [ 
 e 
lm(f) [0, [ 
 
e) 
D(f) [0, [ 
 e 
lm(f) [1, [ 
 
 
23) (Ita 2013) Considere funções f, g, 
f g : . 
 Das afirmações: 
 
I. Se f e g são injetoras, 
f g
 é injetora; 
II. Se f e g são sobrejetoras, 
f g
 é sobrejetora; 
III. Se f e g não são injetoras, 
f g
 não é injetora; 
IV. Se f e g não são sobrejetoras, 
f g
 não é sobrejetora, 
 
é (são) verdadeira(s) 
a) nenhuma. 
b) apenas I e II. 
c) apenas I e III. 
d) apenas III e IV. 
e) todas. 
 
24) (Espcex 2015) Sabendo que 
c
 e 
d
 são números reais, o maior valor de 
d
 tal que a função 
f : 
 definida 
por 
2
x c, para x d
f(x)
x 4x 3, para x d
  
 
  
 seja injetora é 
a) 0. b) 1. c) 2. d) 3. e) 4. 
 
 
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25) (Uepb 2012) Sejam 
 
I. 
2
x 2
f(x)
x 2



 II. 
2
1
f(x)
x

, 
x 0
 III. 
2
f(x)
x

, 
x 0
 III. 
f(x) (x 1) (x 1)   
 
 
Classificando cada uma das funções reais acima em par, ímpar ou nem par nem ímpar, temos, respectivamente: 
a) par, par, ímpar, ímpar 
b) nem par nem ímpar, par, ímpar, ímpar 
c) par, ímpar, par, ímpar 
d) ímpar, par, ímpar, ímpar 
e) par, par, ímpar, nem par nem ímpar 
 
 
26) (Unifesp 2010) Uma função f : R → R diz-se par quando f(−x) = f(x), para todo x∈R, e ímpar quando f(−x) = − 
f(x), para todo x

R. 
 
a) Quais, dentre os gráficos exibidos, melhor representam funções pares ou funções ímpares? Justifique sua 
resposta. 
 
 
 
b) Dê dois exemplos de funções, y = f(x) e y = g(x), sendo uma par e outra ímpar, e exiba os seus gráficos. 
 
27) (Ita 2003) Mostre que toda função f: IR / {0}

IR, satisfazendo f(xy) = f(x) + f(y) em todo seu domínio, é par. 
 
28) Dada uma função qualquer f, definida em toda reta (ou num intervalo (-a,a)), mostre que a função 
( ) ( ) ( )g x f x f x  
é par. 
 
29) Dada uma função qualquer f, definida em toda reta (ou num intervalo (-a,a)), mostre que a função 
( ) ( ) ( )h x f x f x  
é ímpar. 
 
30) Demonstre que uma função f, definida em toda reta (ou num intervalo (-a,a)), se decompõe, univocamente, na 
forma 
f g h 
, onde 
g
é função par e 
h
 é função ímpar. 
 
31) (Ufjf 2015) Uma função 
f
 é dita periódica de período 
p,
 se existe um menor número real positivo 
p
 tal que 
f(t) f(t p), 
 para todo 
t
 no domínio de 
f.
 Alguns fenômenos naturais, tais como as ondas sonoras e as ondas 
eletromagnéticas, podem ser descritos por funções periódicas. O gráfico a seguir representa um desses 
fenômenos, a tensão 
U: [0, ) 
 em função do tempo 
t.
 
 
 
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A partir da análise do gráfico dessa função, responda cada questão abaixo, justificando suas respostas. 
 
a) Após 
d
 unidades de tempo, há instantes em que a tensão é zero no intervalo 
[d, 3]?
 Em caso afirmativo, quais? 
 
b) Determine uma expressão para 
U(t)
 no intervalo 
0 t c 
 e outra expressão para 
U(t)
 no intervalo 
c t d. 
 
c) Para quais valores de 
t [0, c]
 temos 
1
U(t) 1?
2
 
 
d) Determine o período da função 
U(t).
 Em quais instantes a tensão é mínima? 
 
32) (Unicamp 2010) Suponha que f: IR→IR seja uma função ímpar (isto é, f(–x) = –f(x)) e periódica, com período 
10 (isto é, f(x) = f(x+10)). O gráfico da função no intervalo [0, 5] é apresentado a seguir. 
a) Complete o gráfico, mostrando a função no intervalo [-10, 10], e calcule o valor de f(99). 
b) Dadas as funções g(y) = y2 – 4y e h(x) = g(f(x)), calcule h(3) e determine a expressão de h(x) para 2,5 ≤ x ≤ 5. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
33) (Ufpr 2017) Responda às seguintes perguntas a respeito da função 
3x 4
g(x) :
1 4x



 
 
a) Qual é o domínio de 
g?
 
b) Qual é a inversa de 
g?
 
 
 
34) (Uepb 2014) Uma função inversível f, definida em 
 R 3 
 por 
 
x 5
f x ,
x 3



 tem contradomínio 
 0R y ,
 
onde R é o conjunto dos números reais. O valor de 
0y
 é: 
a) 
1
 b) 3 c) 2 d) 1 e) zero 
 
 
 
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35) (Espcex 2015) Considere a função bijetora 
   f : 1, ,3 ,  
 definida por 
2f(x) x 2x 2   
 e seja 
(a,b)
 o 
ponto de intersecção de 
f
 com sua inversa. O valor numérico da expressão 
a b
 é 
a) 2. b) 4. c) 6. d) 8. e) 10. 
 
36) (Esc. Naval 2014) Considere as funções reais 
x
100
f(x)
1 2


 e x
2g(x) 2 ,
 
x .
 Qual é o valor da função 
composta 
1(g f )(90)?
 
a) 
1
 b) 
3
 c) 
9
 d) 
1
10
 e) 
1
3
 
 
37) (Ita 2012) Analise se 2
2
3 x , x 0
f : , f(x)
3 - x , x 0
  
  

é bijetora e, em caso afirmativo, encontre 
1f : 
. 
 
38) (Cefet MG 2015)Considere a função 
f : 0, :   
 
 
 
2
x 1, se 0 x 1
f x 2 , se 1 x 2
x 3 , se x 2
   

  

 
 
 
O gráfico que melhor representa a função composta 
g f f,
 é 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
 
 
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39) (Epcar 2016) Considere as funções reais 
f : 
 e 
g: 
 cujos gráficos estão representados abaixo. 
 
 
 
Sobre essas funções, é correto afirmar que 
a) 
x [0 , 4], 
 
g(x) f(x) 0 
 
b) 
f(g(0)) g(f(0)) 0 
 
c) 
2
g(x) f(x)
0 x ] , 0 [ [4 , 9]
[f(x)]

     
 
d) 
x [0 , 3] 
 tem-se 
g(x) [2 , 3]
 
 
 
40) (Ime 2016) Sejam as funções 
nf ,
 para 
n {0,1, 2, 3, ...},
 tais que: 
0
1
f (x)
1 x


 e 
n 0 n 1f (x) f (f (x)),
 para 
n 1.
 
Calcule 
2016f (2016).
 
 
 
GABARITO: 
 
1) D 
2) A 
3) B 
4) E 
5) C 
6) 
a) 
x, se 0 x 1
n 1 f(x)
2 x, se 1 x 2
 
   
  
 
 
x 2, se 2 x 3
n 3 f(x)
2 x, se 3 x 4
  
   
  
 
 
x 4, se 4 x 6
n 5 f(x)
6 x, se 5 x 6
  
   
  
 
 
De acordo com as funções acima, temos o seguinte gráfico. 
 
 
 
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b) Considerando 
1
f(x) ,
5

 temos: 
1
x
5
1 9
2 x x
5 5
1 11
x 2 x
5 5
1 19
4 x x
5 5
1 21
x 4 x
5 5
1 29
6 x x
5 5

   
   
   
   
   
 
 
Portanto, 
1
x
5

 ou 
9
x
5

 ou 
11
x
5

 ou 
19
x
5

 ou 
21
x
5

 ou 
29
x .
5

 
7) C 
8) B 
9) B 
10) D 
11) a) 
21.600 m .
 b) 
21.800 m .
 
12) B 
13) A 
14) B 
15) C 
16) D 
17) C 
18) D 
19) a) 
 S x / x 1 ou x 6    
 b) 49/4 
20) E 
21) B 
22) E 
23) A 
24) C 
25) B 
26) a) As funções pares são I e III. As funções ímpares são IV e V. b) Resposta pessoal 
27) Sugestão: primeiro faça x=y=z e depois x = y = -z 
28) Demonstração 
29) Demonstração 
30) Demonstração 
 
 
MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO 
SECRETARIA DE EDUCAÇÃO PROFISSIONAL E TECNOLÓGICA 
INSTITUTO FEDERAL DE SANTA CATARINA – CAMPUS FLORIANÓPOLIS 
DEPARTAMENTO ACADÊMICO DE LINGUAGEM, TECNOLOGIA, EDUCAÇÃO E CIÊNCIA 
 
 
31) a) Sim. 
t 1,
 
3
t ,
2

 
t 2,
 
5
t
2

 e 
t 3.
 
b) Para 
t [0, c],

1
U(t) t
c
. Para 
t [c, d],
 

 
 
2 c d
U(t) t
c d c d
 
c) 
 
c
t c.
2
 
d) Do gráfico, segue que o período da função é igual a 
1.
 Em consequência, sendo 
t d
 o primeiro instante para 
o qual a tensão é mínima, podemos concluir que a resposta é 
t d k, 
 com 
k .
 
 
32) 
a) f(99) = -2 
 
 
b) h(3) = 0 
 
33) a) 
1
D x | x
4
 
   
 
 b) 
 

1 x 4g (x)
3 4x
 
34) D 
35) B 
36) B 
37) 
1 x 3 , para x 3f (x)
3 x , para x <3

  
 
 
 
38) E 
39) C 
40) 

1
2015